河北省石家庄市2019-2020学年高考数学模拟试题(3)含解析

河北省石家庄市2019-2020学年高考数学模拟试题（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}
2
2530B x x x =-++>，则A B =I （ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}1,0,1-
【答案】A 【解析】 【分析】
解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B I . 【详解】
因为{
}{
}
2
2
1
2530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-
<<⎨⎬⎩⎭
，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.
故选：A. 【点睛】
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
2．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条
渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ）
A 1
B ．
C D 【答案】A 【解析】 【分析】
设(,)M a b ，则MF 的中点坐标为(
,)22
a c b
+，代入双曲线的方程可得,,a b c 的关系，再转化成关于,a c 的齐次方程，求出c
a
的值，即可得答案. 【详解】
双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(c,0)F ，
M 所在直线为x a =，不妨设(,)M a b ，
∴MF 的中点坐标为(,)22
a c
b +
.代入方程可得22
22221a c b a b
+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴22
()5
44
a c a +=，∴2240e e +-=，∴51e =-（负值舍去）. 故选：A. 【点睛】
本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造,a c 的齐次方程.
3．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若
AF x AC yDE =+u u u r u u u r u u u r
，则y x -的值为（ ）
A ．12
-
B ．23
-
C ．13
-
D ．1-
【答案】D 【解析】 【分析】
使用不同方法用表示出AF u u u r
，结合平面向量的基本定理列出方程解出． 【详解】
解：13
AF AD DF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又11()()()()22
AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得59
49x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
，所以1y x -=- 故选：D 【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
4． 若x,y 满足约束条件x 0
x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪
≥=+⎨⎪≤⎩
，则的取值范围是
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6, +∞）
D ．[4, +∞）
【答案】D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为( )
A．3 B．3.4 C．3.8 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.
【详解】
x和
由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为,3,1
一个底面半径为
1
2
，高为5.4x -的圆柱组合而成. 该几何体的表面积为
()()233 5.442.2x x x π+++⋅-=，
解得4x =， 故选：D. 【点睛】
本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.
6．已知双曲线22
221x y a b
-=（0a ＞，0b >）的左、右焦点分别为E F ，，以OF （O 为坐标原点）为直
径的圆C 交双曲线于A B 、两点，若直线AE 与圆C 相切，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
236
+ B ．
226
+ C ．
3226
+
D ．
326
+ 【答案】D 【解析】 【分析】
连接CA AF ，，可得32
c
EC =，在ACF V 中，由余弦定理得AF ，结合双曲线的定义，即得解. 【详解】
连接CA AF ，，
则2c
OC CA CF ===
，OE c =， 所以32c
EC =，||2
c FC =
在Rt EAC V 中，2AE c =，1
cos 3
ACE ∠=，
故1
cos cos 3
ACF ACE ∠=-∠=-
在ACF V 中，由余弦定理
2222cos AF CA CF CA CF ACF =+-⋅⋅∠
可得
6
3 AF c
＝.
根据双曲线的定义，得
6
22
c c a
-=，
所以双曲线的离心率
326
2
6326
2
3
c
e
a
+
====
-
-
故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
7．已知i是虚数单位，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果
【详解】
故选
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

8．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin
a bx的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000
y t
=构成乐音的是（）A．0.02sin360000
y t
=B．0.03sin180000
y t
=C．0.02sin181800
y t
=
D．0.05sin540000
y t
=
【答案】C
【解析】 【分析】
由基本音的谐波的定义可得12()f nf n *
=∈N ,利用12f T ωπ
=
=可得12()n n ωω*
=∈N ,即可判断选项. 【详解】
由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由12f T ωπ
=
=,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*
=∈N , 故选:C 【点睛】
本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.
9．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//a b ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】
若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ； 若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题. 10．设复数121,1z i z i =+=-，则12
11
z z +=（ ） A ．1 B ．1-
C ．i
D ．i -
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算，代入化简即可求解. 【详解】
复数121,1z i z i =+=-，
则
12
11z z + 1111i i
=
++- ()()()()
111111i i
i i i i -+=
++--+
11122
i i
-+=
+= 故选：A. 【点睛】
本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.
11
．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56
x π
=
，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )
A ．3
π-
B ．0
C ．
3
π D ．
23
π 【答案】D 【解析】 【分析】
运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=
，且53()622
a f π=+，
即
322a +=1a =，所以()2sin()3
f x x π
=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，
所以可设11152,6x k k Z ππ=+
∈，2222,6
x k k Z π
π=-∈， 所以1212222,3
x x k k k Z π
ππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23
π
，故选D.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理
利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 12．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x
>，若在ABC ∆中，34A π
∠=，则（ ）
A ．()()2
2
sin sin sin sin f A B f B A <
B ．()()2
2
sinC sin sin sin f B f B C
< C ．()()2
2
cos sin sin cos f A B f B A >
D ．()()2
2
cosC sin sin cos f B f B C >
【答案】D 【解析】 【分析】 根据()()2'f x f x x >
的结构形式，设()()
2f x g x x =，求导()()()3
2xf x f x g x x
'-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=
，得到04π<∠<B ，04
π
<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()
2f x g x x
=
， 所以 ()
()()
3
2xf x f x g x
x
'-'=
，
因为当0x >时，()()
2'f x f x x
>
， 即
()()
20xf x f x x
'->，
所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04
π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫
∠=+∠
⎪⎝⎭
C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，
所以sin sin 4π⎛⎫
∠<+∠
⎪⎝⎭
B B ， 即cos sin ∠>∠
C B ， 所以
()()
2
2
cos sin s sin f C f B co C
B
>
，
即()()2
2
cosC sin sin cos f B f B C >
故选：D 【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{}n a 递增的等比数列，若2312a a +=，1427a a =，则n a =______.
【答案】13n - 【解析】 【分析】
142327a a a a ==，建立23,a a 方程组，且23a a <，求出23,a a ，进而求出{}n a 的公比，即可求出结论.
【详解】
数列{}n a 递增的等比数列，32a a ∴>，
2314231227a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得23
3
9a a =⎧⎨
=⎩， 所以{}n a 的公比为3，13-=n n a . 故答案为:13n -. 【点睛】
本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题.
14．在6()x a +的展开式中的3x 系数为160，则a =_______． 【答案】2 【解析】 【分析】
首先求出6
()x a +的展开项中3x 的系数，然后根据3x 系数为160即可求出a 的取值.
【详解】
由题知616r r r
r T C x a -+=，
当3r =时有333333
466160160T C x a x C a ==⇒=，
解得2a =. 故答案为：2. 【点睛】
本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.
15．函数()f x 满足()()4f x f x =-，当[)2,2x ∈-时，3223,2()1,2
x x a x a
f x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩，若函数()
f x 在[)0,2020上有1515个零点，则实数a 的范围为___________.
【答案】1,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
由已知，()f x 在[2,2)-上有3个根，分21a >≥，01a <<，10a -<≤，21a -<≤-四种情况讨论()f x 的单调性、最值即可得到答案. 【详解】
由已知，()f x 的周期为4，且至多在[2,2)-上有4个根，而[)0,2020含505个周期，所以()f x 在[2,2)-上有3个根，设3
2
()23g x x x a =++，'
2
()66g x x x =+，易知()g x 在(1,0)-上单调递减，在(,1)-∞-，
(1,)+∞上单调递增，又(2)40g a -=-<，(1)50g a =+>.
若21a >≥时，()f x 在(,2)a 上无根，()f x 在[2,]a -必有3个根，
则(1)0(0)0f f ->⎧⎨<⎩，即100a a +>⎧⎨<⎩
，此时a ∈∅；
若01a <<时，()f x 在(,2)a 上有1个根，注意到(0)0f a =>，此时()f x 在[2,]a -不可能有2个根，故不满足；
若10a -<≤时，要使()f x 在[2,]a -有2个根，只需(1)0()0
f f a ->⎧⎨≤⎩，解得1
02a -≤≤；
若21a -<≤-时，()f x 在[2,]a -上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意； 综上，实数a 的范围为1
02
a -≤≤. 故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.
16．直线l 是圆1C ：22(1)1x y ++=与圆2C ：22
(4)4x y ++=的公切线，并且l 分别与x 轴正半轴，y 轴
正半轴相交于A ，B 两点，则AOB ∆的面积为_________
【答案】
2
根据题意画出图形，设,OA a OB b ==，利用三角形相似求得,a b 的值，代入三角形的面积公式，即可求解. 【详解】
如图所示，设,OA a OB b ==， 由2ABC ∆与2ADC ∆相似，可得
11
42
a a +=+，解得2a =， 再由AOB ∆与2AEC ∆相似，可得2
4
13
b b +=，解得22b =，
由三角形的面积公式，可得AOB ∆的面积为1122
22222
S ab =
=⨯⨯=
. 故答案为：
2
.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，11AB CB =.
（1）证明：平面11BDD B ⊥平面ABCD ；
（2）若60DAB ∠=︒，1DB B ∆是等边三角形，求二面角11A BD C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）0
（1）根据面面垂直的判定定理可知，只需证明AC ⊥平面11BDD B 即可． 由ABCD 为菱形可得AC BD ⊥，连接1B 和AC 与BD 的交点O ， 由等腰三角形性质可得1B O AC ⊥，即能证得AC ⊥平面11BDD B ；
（2）由题意知，1B O ⊥平面ABCD ，可建立空间直角坐标系Oxyz ，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，1OB 所在直线为z 轴，再分别求出平面1C BD 的法向量，平面1A BD 的法向量，即可根据向量法求出二面角11A BD C --的余弦值． 【详解】
（1）如图，设AC 与BD 相交于点O ，连接1B O ，
又ABCD 为菱形，故AC BD ⊥，O 为AC 的中点. 又11AB CB =，故1B O AC ⊥.
又BD ⊂平面11BDD B ，1B O ⊂平面11BDD B ，且1BD B O O =I ， 故AC ⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面ABCD ， 所以平面11BDD B ⊥平面ABCD .
（2）由1DB B ∆是等边三角形，可得1B O BD ⊥，故1B O ⊥平面ABCD ，
所以1B O ，AC ，BD 两两垂直.如图以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，1OB 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .
不妨设2AB =，则3AO =13OB =，
则A ，(0,1,0)B
，1B ，(0,1,0)D -
，11
A -
，1(1C -， 设()111,,n x y z =r
为平面1C BD 的法向量，
则10,0,n BD n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v
即111120,0,y y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩可取(1,0,1)n =r ， 设()222,,m x y z =u r
为平面1A BD 的法向量，
则10,0,m BD m OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v
即222220,0,y y =⎧⎪-=可取(1,0,1)m =-u r ， 所以
cos ,0n m n n m
m ⋅<>==r u r
r r u r u r . 所以二面角11A BD C --的余弦值为0. 【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的应用，以及利用向量法求二面角，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题． 18．已知命题p ：x R ∀∈，20x x m -+>；命题q ：函数()ln 2
m
f x x x =-无零点. （1）若q ⌝为假，求实数m 的取值范围；
（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2
m e > （2）12(,]4e
【解析】 【分析】
（1）q ⌝为假,则q 为真，求导，利用导函数研究函数()ln 2
m
f x x x =-
有零点条件得m 的取值范围； （2）由p q ∧为假，p q ∨为真，知,p q 一真一假；分类讨论列不等式组可解. 【详解】
（1）依题意，q 为真，则ln 02
m x x -=无解，即ln 2x m
x =无解； 令ln ()x
g x x
=
，则2
1ln ()x g x x -'=， 故当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞，()0g x '<， ()g x 单调递减， 作出函数()g x 图象如下所示，
观察可知，
1
()
2
m
g e
e >=
，即
2
m
e
>；
（2）若p为真，则140
m
∆=-<，解得
1
4
m>；
由p q
∧为假，p q
∨为真，知,p q一真一假；
若p真q假，则实数m满足
1
4
2
m
m
e
⎧
>
⎪⎪
⎨
⎪≤
⎪⎩
，则
12
4
m
e
<≤；
若p假q真，则实数m满足
1
4
2
m
m
e
⎧
≤
⎪⎪
⎨
⎪>
⎪⎩
，无解；
综上所述，实数m的取值范围为
12
(,]
4e
.
【点睛】
本题考查根据全(特)称命题的真假求参数的问题.
其思路：与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
19．某保险公司给年龄在2070
-岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[)[)[)[)[]
20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.
（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求x 精确到整数时的最小值0x ；
（2）经调查，年龄在[]60,70之间的老人每50人中有1人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为
12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄66岁，若购买该项保险(x 取()1中的0x ).
针对此疾病所支付的费用为X 元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y 元.试比较X 和Y 的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？ 【答案】（1）30；（2）()()E Y E X >，比较划算. 【解析】 【分析】
（1）由频率和为1求出0.032a =，根据a 的值求出保费的平均值3.35x ，然后解一元一次不等式
3.35100x ≥ 即可求出结果，最后取近似值即可；
（2）分别计算参保与不参保时的期望()E X ，()E Y ，比较大小即可. 【详解】
解:（1）由()0. 0070.0160.0250.020101a ⨯++++=， 解得0.032a =.
保险公司每年收取的保费为:
()100000.070.1620.32 3.0.2540.20510000 3.35x x x x x x +⨯+⨯+⨯+⨯=⨯
∴要使公司不亏本，则10000 3.351000000x ⨯≥，即3.35100x ≥ 解得100
29.85,3.35
x ≥
≈ ∴030x =.
（2）①若该老人购买了此项保险，则X 的取值为150, 2150.
()()491
,215050 10
550P P X X ==
==Q ∴491
()1502150147431905050
E X =⨯
+⨯=+=(元). ②若该老人没有购买此项保险，则Y 的取值为0. 12000.
()()4910,120005050
P Y P Y ==
==Q ∴491
()0120002405050
E Y =⨯
+⨯=(元). ()()E Y E X >Q
∴年龄为66的该老人购买此项保险比较划算. 【点睛】
本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题.
20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝60°，AB=PA ＝4，E 是PA 的中点，AC ，BD 交于点O.
（1）求证：OE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥E ﹣PBD 的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）3
3
【解析】 【分析】
（1）连接OE ，利用三角形中位线定理得到OE ∥PC ，即可证出OE ∥平面PBC ； （2）由E 是PA 的中点，11
22
E PBD PBD P ABD A V V V -==﹣﹣，求出S △ABD ，即可求解. 【详解】
（1）证明：如图所示：
∵点O ，E 分别是AC ，PA 的中点， ∴OE 是△PAC 的中位线，∴OE ∥PC ， 又∵OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， ∴OE ∥平面PBC ；
（2）解：∵PA ＝AB ＝4，∴AE ＝2， ∵底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，
∴S△ABD 1
446043
2
sin
=⨯⨯⨯︒=，
∴三棱锥E﹣PBD的体积
11
2
183
23
2
E PBD PBD P B
A A D ABD
V V V PA S
-
==⋅
==
﹣﹣△
.
【点睛】
本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.
21．在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为
12
12
x
y
ϕ
ϕ
⎧=+
⎪
⎨
=+
⎪⎩
（ϕ为参数），以原点为极点，x轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系，射线1l的极坐标方程为
66
θαα
ππ
⎛⎫
=-≤≤
⎪
⎝⎭
，射线2l的极坐标方程为2
π
θα
=+.
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程，并指出是何种曲线；
（Ⅱ）若射线1l与曲线C交于O A
、两点，射线
2
l与曲线C交于O B
、两点，求ABO
∆面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2cos2sin
r q q
=+，曲线C是以()
1,12为半径的圆；（Ⅱ）[]
1,2.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由曲线C的参数方程能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．
（Ⅱ）令
1
2cos2sin
OA
ραα
==+，
2
2cos2sin
22
OB
ραα
ππ
⎛⎫⎛⎫
==+++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，则
12
1
2
Sρρ
∆OAB
=，利用诱导公式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围；
【详解】
解：（Ⅰ）由
12
12
x
y
ϕ
ϕ
⎧=+
⎪
⎨
=+
⎪⎩
（ϕ为参数）化为普通方程为()()
22
112
x y
-+-=
()()
22
cos1sin12
ρθρθ
-+-=，整理得2cos2sin
r q q
=+
曲线C是以()
1,12为半径的圆.
（Ⅱ）令12cos 2sin OA ραα==+
22cos 2sin 2sin 2cos 22
OB ρααααππ⎛⎫
⎛⎫
==+++=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
()22121
2cos sin 2cos 22
S ρρααα∆OAB =
=-= 66
αππ-
≤≤Q ，233αππ∴-≤≤，1
cos 212α∴≤≤，12cos22α∴≤≤，
ABO ∆面积的取值范围为[]1,2
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
22．设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，N a *∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b *∈N .由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表M *；
记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为ij c ，其中ij i j c a b =+，（i ，j=1，2，3，…）.
记数表M *中位于第i 行第j 列的元素为ij d ，其中1ij i j d a b +=-（1i b ≤≤，i *∈N ，j *
∈N ）.如：
1,212c a b =+，1,213d a b =-.
（1）设5a =，9b =，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；
（2）设6a =，7b =，试求ij c ，ij d 的表达式（用i ，j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表M *；
（3）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值. 【答案】（1）50,2020,49-（2）详见解析（3）29 【解析】 【分析】
（1）将5a =，9b =代入，可求出n a ，n b ，可代入求,i j c ，,i j d ，可求结果． （2）可求,i j c ，,i j d ，通过反证法证明，
（3）可推出t M ∉，*t M ∈，t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值，求出． 【详解】
（1）由题意知等差数列{}n a 的通项公式为：55n a n =-； 等差数列{}n b 的通项公式为：99n b n =-，
得,(55)(99)5914i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-， 则2,650c =，396,62020c =，
得,1(55)[9(1)9]595i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--， 故2,649d =-．
（2）证明：已知6a =．7b =，由题意知等差数列{}n a 的通项公式为：66n a n =-； 等差数列{}n b 的通项公式为：77n b n =-，
得,(66)(77)6713i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-，(*i N ∈，*)j N ∈．
得,1(66)[7(1)7]676i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--，17i 剟
，*i ∈N ，*)j N ∈． 所以若t M ∈，则存在u N ∈，v N ∈，使67t u v =+， 若*t M ∈，则存在u N ∈，6u „，*v N ∈，使67t u v =-，
因此，对于正整数t ，考虑集合0{|6M x x t u ==-，u N ∈，6}u „， 即{t ，6t -，12t -，18t -，24t -，30t -，36}t -． 下面证明：集合0M 中至少有一元素是7的倍数．
反证法：假设集合0M 中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合0M 中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，
又因为集合0M 中共有7个元素，所以集合0M 中至少存在两个元素关于7的余数相同， 不妨设为16t u -，2t u -，其中1u ，2u N ∈，126u u <„．则这两个元素的差为7的倍数，即2112()(6)6()t u t u u u ---=-，
所以120u u -=，与12u u <矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．
即集合0M 中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为06t u -，06u „，0u N ∈， 则存在s Z ∈，使067t u s -=，0u N ∈，06u „，即067t u s =+，0u N ∈，s Z ∈，
由已证可知，若t M ∈，则存在u N ∈，v N ∈，使67t u v =+，而t M ∉，所以S 为负整数， 设V s =-，则*v N ∈，且067t u v =-，0u N ∈，06u „，*v N ∈， 所以，当6a =，7b =时，对于整数t ，若t M ∉，则*t M ∈成立．
（3）下面用反证法证明：若对于整数t ，*t M ∈，则t M ∉，假设命题不成立，即*t M ∈，且t M ∈． 则对于整数t ，存在n N ∈，m N ∈，u N ∈，6u „，*v N ∈，使6767t u v n m =-=+成立， 整理，得6()7()u n m v -=+，
又因为m N ∈，*v N ∈，
所以7
()06
u n m v -=+>且u n -是7的倍数，
因为u N ∈，6u „，所以6u n -„，所以矛盾，即假设不成立． 所以对于整数t ，若*t M ∈，则t M ∉， 又由第二问，对于整数t M ∉，则*t M ∈， 所以t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值， 又因为67t u v =-，u N ∈，*v N ∈，6u „， 所以(*)667129max max t M ==⨯-⨯=． 【点睛】
本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．
23．已知函数()ln x f x e x x ax =-+，()f x '为()f x 的导数，函数()f x '在0x x =处取得最小值． （1）求证：00ln 0x x +=；
（2）若0x x …
时，()1f x …恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）[1,)e -+∞. 【解析】 【分析】
（1）对()f x 求导，令()ln 1x
g x e x a =-+-，求导研究单调性，分析可得存在
01
12
t <<使得()00g t '=，即0
1
0t e t -
=，即得证； （2）分00110x a x ++-…，00110x a x ++-<两种情况讨论，当00110x a x ++-…时，转化()n 20mi 000
1
()f x f x x x a x ==
++利用均值不等式即得证；当00110x a x ++-<，()f x '有两个不同的零
点1x ，2x ，分析可得()f x 的最小值为()2f x ，分1a e ≥-，1a e <-讨论即得解. 【详解】
（1）由题意()ln 1x
f x e x a '=-+-，
令()ln 1x
g x e x a =-+-，则1
()x
g x e x
'=-
，知()g x '为(0,)+∞的增函数， 因为(1)10g e '=->
，1202g '⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，
所以，存在0112
t <<使得()00g t '=，即0010t e t -=． 所以，当()00,x t ∈时()0()0g x g t ''<=，()g x 为减函数，
当()0,x t ∈+∞时()0()0g x g t ''>=，()g x 为增函数，
故当0x t =时，()g x 取得最小值，也就是()f x '取得最小值．
故00x t =，于是有0010x e x -=，即00
1x e x =， 所以有00ln 0x x +=，证毕．
（2）由（1）知，()ln 1x f x e x a '=-+-的最小值为00
11x a x ++-， ①当00110x a x ++-…，即0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
…时，()f x 为[)0,x +∞的增函数， 所以()020min 000000
1()ln x f x f x e x x x a x x a x ==-+=++， 2000000
011111x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫++-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦…， 由（1）中0112x <<，得00111x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭
，即()1f x >． 故0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
…满足题意． ②当00110x a x ++-<，即0011a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭
时，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ， 且102x x x <<，即()22222ln 10ln 1x x f x e x a a x e '=-+-=⇒=-+，
若()02,x x x ∈时()2()0f x f x ''<=，()f x 为减函数，（*）
若()2,x x ∈+∞时()2()0f x f x ''>=，()f x 为增函数，
所以()f x 的最小值为()2f x ．
注意到(1)1f e a =+=时，1a e =-，且此时(1)10f e a '=+-=，
（ⅰ）当1a e ≥-时，()2(1)10f e a f x ''=+-=…
， 所以201x <„，即210x -≥，
又()()
()22222222222222ln ln ln 11x x x x f x e x x ax e x x x e x x e x =-+=-+-+=-+ ()()22111x x e =--+，
而210x e ->，所以()()
221111x x e --+>，即()21f x >． 由于在0112x <<下，恒有001x e x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以00111e x x ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭
． （ⅱ）当1a e <-时，()2(1)10f e a f x ''=+-<=，
所以201x x >>，
所以由（*）知()21,x x ∈时，()f x 为减函数，
所以()(1)1f x f e a <=+<，不满足0x x …
时，()1f x …恒成立，故舍去． 故00111e a x x ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭
„满足条件． 综上所述：a 的取值范围是[1,)e -+∞．
【点睛】
本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.。