最新(浙教版)八年级数学上册：专题课堂(五) 特殊三角形有关性质的灵活应用 (共14张PPT)
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∴∠CAE＋∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°应用 5．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个等边三角形分别分割成
四个等腰三角形．(在图中画出分割线，并标出必要角的度数)
解：
6 ．( 余杭区期中 ) 如图，△ABC是等边三角形，点D ，E分别在CA ，AB
解：(1)过点D作DF∥AC交AB于点F，图略．∵△ABC为等边三角形，
∴∠ BAC ＝∠ ACB ＝∠ B ＝ 60°， AB ＝ BC.∴∠ACG ＝ 120°，∵ DF∥AC ，
∴∠ BDF ＝∠ ACB ＝ 60°，∠ BFD ＝∠BAC ＝ 60°，∴△ BDF 是等边三角形， ∠ AFD ＝ 120°，∴ BD ＝ BF ，∴ AB － BF ＝ BC － BD ，即 AF ＝ DC.∵∠B ＝
证明：先证△ ACE≌△CBF ，得 CE ＝ BF，再证△CEG≌△BFD，得BD＝CG.
9．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点，将CP
绕点C顺时针旋转90°得到CD，连结AD.若PA＝3，PB＝1，PC＝2，求 ∠BPC的度数．
解：先证△DCA≌△PCB，∴AD＝PB，∠BPC＝ ∠ADC，CD＝CP，连结 PD，图略．在 Rt△DCP 中， CD＝CP＝2，DP2＝CD2＋CP2＝8，在△ADP 中，DP2 ＝8，AD2＝PB2＝1，AP2＝9，∴DP2＋AD2＝AP2，∴ ∠ADP＝90°，∵∠DCP＝90°，CD＝CP，∴∠CDP ＝45°，∴∠ADC＝135°，∴∠BPC＝135°.
∠ ADE ＝ 60° ， ∴ ∠ BAD ＋ ∠ ADB ＝ ∠ CDE ＋ ∠ ADB ， ∴ ∠ BAD ＝
∠ CDE.∵∠ACG ＝ 120°， CE 平分∠ ACG ，∴∠ ACE ＝ 60°，∴∠ DCE ＝ 120°.∴∠DCE ＝∠ AFD.∴△DCE≌△AFD(ASA) ．∴ AD ＝ DE.(2) 可知 (1) 中
EC.(2) 由 (1) 知 ， △ ABD≌△BCE ， ∴ ∠ D ＝
∠ E.∵∠DBA ＝ ∠ EBF ， ∠ BFC ＝ ∠ E ＋ ∠ EBF ， ∠BAC＝∠D＋∠DBA，∴∠BFC＝∠BAC＝60°.
7．如图①，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE＝60°， 边DE与△ABC中∠ACB的外角平分线交于点E. (1)求证：AD＝DE. (2) 如图②，若点D 在CB的延长线上， (1)中的结论是否仍成立？若成立， 请给予证明；若不成立，请说明理由．
∴ Rt△ABD≌Rt△CAE(HL) ，∴∠ DAB ＝∠ ECA.∵∠EAC ＋∠ ECA ＝
90°，∴∠DAB ＋∠ EAC ＝ 90°.∴∠BAC ＝ 180°－(∠DAB ＋∠EAC) ＝ 90°.∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC. 理 由 如 下 ： 同 (1) 可 证 得
Rt△ABD≌Rt△CAE ，∴∠ DAB ＝∠ ECA.∵∠CAE ＋∠ ECA ＝ 90°，
OC.(2)∵∠ODB＝∠OEC，∠BOD＝∠COE，OB＝OC，
∴△ BOD≌△COE(AAS)∴OD ＝ OE ，又∵ OD⊥AB ， OE⊥AC，∴AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2.
4 ． 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， DE 是 过 点 A 的 直 线 ， BD⊥DE 于 点 D ，
CE⊥DE于点E.
(1)若点B，C在DE的同侧(如图①)，且AD＝CE，求证：AB⊥AC. (2) 若点B，C在DE 的两侧( 如图②)，其他条件不变， AB与AC是否仍
垂直？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
解 ： (1)∵BD⊥DE ， CE⊥DE ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ CEA ＝ 90° ， 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中 ， ∵ AB ＝ CA ， AD ＝ CE ，
的延长线上，AD＝BE，DB的延长线交EC于点F.求证： (1)DB＝EC； (2)∠BFC＝60°.
解 ： (1)∵△ABC 是 等 边 三 角 形 ， ∴ ∠ ABC ＝
∠ BAC ＝ 60° ， AB ＝ BC ， ∴ ∠ BAD ＝ ∠ CBE ＝ 120°，又∵AD＝BE，∴△ABD≌△BCE，∴DB＝
专题课堂(五) 特殊三角形有关性质 的灵活应用
类型一：一般直角三角形有关性质的应用
1 ．如图，已知△ ABC 为直角三角形，∠ C ＝ 90°，若沿图中虚线剪去 ∠C，则∠1＋∠2的度数为_______． 270°
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝69°，过点C作CE∥AB，
连结AE交BC于点D，若DE＝2AC，求∠BAD的度数．
类型二：直角三角形全等的判定及性质的应用 3．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O，求证： (1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
证 明 ： (1)∵∠1 ＝ ∠ 2 ， OD⊥AB ， OE⊥AC ，
∴ OE ＝ OD ， ∠ ODB ＝ ∠ OEC ＝ 90° ， ∠ DOB ＝ ∠ EOC ， ∴ △ BOD≌△COE(ASA) ， ∴ OB ＝
的结论仍成立．证明如下：过点 D 作 DF∥AC ，交 AB 的延长线于点 F ，图
略．先证△ BDF 为等边三角形，再同 (1) ，证△ DCE≌△AFD(ASA) ，即可得 AD＝DE.
类型四：等腰直角三角形性质和判定的应用 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是斜边上任一点， AE⊥CD ，垂足为点 E，BF⊥CD 交CD的延长线于点 F， CH⊥AB，垂足 为点H，交AE于点G，求证：BD＝CG.
解：取 DE 的中点 F，连结 CF，图略．∵AB∥CE， ∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B＝90°，∠E＝∠BAD，∴ 1 CF＝2DE＝EF，∴∠E＝∠ECF，∵DE＝2AC，∴AC＝ 1 ∴AC＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA， 设∠E＝x， 则∠BAD 2DE， ＝x，∠CFA＝2x＝∠CAF，∵∠BAD＋∠CAF＝∠BAC， ∴x＋2x＝69°，解得 x＝23°，∴∠BAD＝23°.
四个等腰三角形．(在图中画出分割线，并标出必要角的度数)
解：
6 ．( 余杭区期中 ) 如图，△ABC是等边三角形，点D ，E分别在CA ，AB
解：(1)过点D作DF∥AC交AB于点F，图略．∵△ABC为等边三角形，
∴∠ BAC ＝∠ ACB ＝∠ B ＝ 60°， AB ＝ BC.∴∠ACG ＝ 120°，∵ DF∥AC ，
∴∠ BDF ＝∠ ACB ＝ 60°，∠ BFD ＝∠BAC ＝ 60°，∴△ BDF 是等边三角形， ∠ AFD ＝ 120°，∴ BD ＝ BF ，∴ AB － BF ＝ BC － BD ，即 AF ＝ DC.∵∠B ＝
证明：先证△ ACE≌△CBF ，得 CE ＝ BF，再证△CEG≌△BFD，得BD＝CG.
9．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点，将CP
绕点C顺时针旋转90°得到CD，连结AD.若PA＝3，PB＝1，PC＝2，求 ∠BPC的度数．
解：先证△DCA≌△PCB，∴AD＝PB，∠BPC＝ ∠ADC，CD＝CP，连结 PD，图略．在 Rt△DCP 中， CD＝CP＝2，DP2＝CD2＋CP2＝8，在△ADP 中，DP2 ＝8，AD2＝PB2＝1，AP2＝9，∴DP2＋AD2＝AP2，∴ ∠ADP＝90°，∵∠DCP＝90°，CD＝CP，∴∠CDP ＝45°，∴∠ADC＝135°，∴∠BPC＝135°.
∠ ADE ＝ 60° ， ∴ ∠ BAD ＋ ∠ ADB ＝ ∠ CDE ＋ ∠ ADB ， ∴ ∠ BAD ＝
∠ CDE.∵∠ACG ＝ 120°， CE 平分∠ ACG ，∴∠ ACE ＝ 60°，∴∠ DCE ＝ 120°.∴∠DCE ＝∠ AFD.∴△DCE≌△AFD(ASA) ．∴ AD ＝ DE.(2) 可知 (1) 中
EC.(2) 由 (1) 知 ， △ ABD≌△BCE ， ∴ ∠ D ＝
∠ E.∵∠DBA ＝ ∠ EBF ， ∠ BFC ＝ ∠ E ＋ ∠ EBF ， ∠BAC＝∠D＋∠DBA，∴∠BFC＝∠BAC＝60°.
7．如图①，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE＝60°， 边DE与△ABC中∠ACB的外角平分线交于点E. (1)求证：AD＝DE. (2) 如图②，若点D 在CB的延长线上， (1)中的结论是否仍成立？若成立， 请给予证明；若不成立，请说明理由．
∴ Rt△ABD≌Rt△CAE(HL) ，∴∠ DAB ＝∠ ECA.∵∠EAC ＋∠ ECA ＝
90°，∴∠DAB ＋∠ EAC ＝ 90°.∴∠BAC ＝ 180°－(∠DAB ＋∠EAC) ＝ 90°.∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC. 理 由 如 下 ： 同 (1) 可 证 得
Rt△ABD≌Rt△CAE ，∴∠ DAB ＝∠ ECA.∵∠CAE ＋∠ ECA ＝ 90°，
OC.(2)∵∠ODB＝∠OEC，∠BOD＝∠COE，OB＝OC，
∴△ BOD≌△COE(AAS)∴OD ＝ OE ，又∵ OD⊥AB ， OE⊥AC，∴AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2.
4 ． 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， DE 是 过 点 A 的 直 线 ， BD⊥DE 于 点 D ，
CE⊥DE于点E.
(1)若点B，C在DE的同侧(如图①)，且AD＝CE，求证：AB⊥AC. (2) 若点B，C在DE 的两侧( 如图②)，其他条件不变， AB与AC是否仍
垂直？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
解 ： (1)∵BD⊥DE ， CE⊥DE ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ CEA ＝ 90° ， 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中 ， ∵ AB ＝ CA ， AD ＝ CE ，
的延长线上，AD＝BE，DB的延长线交EC于点F.求证： (1)DB＝EC； (2)∠BFC＝60°.
解 ： (1)∵△ABC 是 等 边 三 角 形 ， ∴ ∠ ABC ＝
∠ BAC ＝ 60° ， AB ＝ BC ， ∴ ∠ BAD ＝ ∠ CBE ＝ 120°，又∵AD＝BE，∴△ABD≌△BCE，∴DB＝
专题课堂(五) 特殊三角形有关性质 的灵活应用
类型一：一般直角三角形有关性质的应用
1 ．如图，已知△ ABC 为直角三角形，∠ C ＝ 90°，若沿图中虚线剪去 ∠C，则∠1＋∠2的度数为_______． 270°
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝69°，过点C作CE∥AB，
连结AE交BC于点D，若DE＝2AC，求∠BAD的度数．
类型二：直角三角形全等的判定及性质的应用 3．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O，求证： (1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
证 明 ： (1)∵∠1 ＝ ∠ 2 ， OD⊥AB ， OE⊥AC ，
∴ OE ＝ OD ， ∠ ODB ＝ ∠ OEC ＝ 90° ， ∠ DOB ＝ ∠ EOC ， ∴ △ BOD≌△COE(ASA) ， ∴ OB ＝
的结论仍成立．证明如下：过点 D 作 DF∥AC ，交 AB 的延长线于点 F ，图
略．先证△ BDF 为等边三角形，再同 (1) ，证△ DCE≌△AFD(ASA) ，即可得 AD＝DE.
类型四：等腰直角三角形性质和判定的应用 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是斜边上任一点， AE⊥CD ，垂足为点 E，BF⊥CD 交CD的延长线于点 F， CH⊥AB，垂足 为点H，交AE于点G，求证：BD＝CG.
解：取 DE 的中点 F，连结 CF，图略．∵AB∥CE， ∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B＝90°，∠E＝∠BAD，∴ 1 CF＝2DE＝EF，∴∠E＝∠ECF，∵DE＝2AC，∴AC＝ 1 ∴AC＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA， 设∠E＝x， 则∠BAD 2DE， ＝x，∠CFA＝2x＝∠CAF，∵∠BAD＋∠CAF＝∠BAC， ∴x＋2x＝69°，解得 x＝23°，∴∠BAD＝23°.