20152016学年天津市和平区七年级上期末数学试卷含答案解析

2015-2016 学年天津市和平区七年级上期末数学试卷含答案分析
2015-2016 学年天津市和平区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12 小题，每题 2 分，满分 24 分）1．计算（﹣ 3）﹣（﹣ 5）=（）
A ．2 B．﹣ 2 C．8D．﹣ 8
2．数轴上的点 A 到原点的距离是4，则点 A 表示的数为（）
A ．4 B．﹣ 4C．4 或﹣ 4 D．2 或﹣ 2
3．以下作图语句中，正确的选项是（）
A ．画直线 AB=6cm B．延长线段 A
B 到 C
C．延长射线 OA 到 B D．作直线使之经过A，B，C三点
4．把一条曲折的公路改成直道，能够缩短行程，其
道理用几何知识解说正确的选项是（）
A ．线段能够比较大小B．线段有两个端点
C．两点之间线段最短D．过两点有且只有一条直
线
5．把方程﹣去分母，正确的选项是（）
A ．3x﹣（ x﹣1）=1 B．3x﹣x﹣1=1 C．3x﹣x﹣
1=6 D．3x﹣（ x﹣1）=6
6．已知 m+a=n+b，依据等式性质变形为m=n，那么a，b 一定切合的条件是（）
A．a=﹣b
B．﹣ a=b
C．a=b
D．a，b 能够是随意有理数或整式
7．如图，以下说法中错误的选项是（）
A ．OA 的方向是东北方向 B．O
B 的方向是北偏西55°
C．OC 的方向是南偏西30°D．OD 的方向是南偏东30°
8．以下图形中，经过折叠不可以围成一个立方体的是（）
A ．
B ．
C ．D．
9．已知∠ 1=18°18′，∠°，∠°，
以下结论正确的选项是（）
A ．∠ 1=∠3 B．∠ 1=∠2C．∠ 2=∠3 D．∠ 1=∠2=∠3
10．已知∠ 1 与∠ 2 互余，∠2 与∠ 3 互补，∠1=58°，则∠ 3=（）
A ．58° B．148° C．158°D．32°
11．假如线段 AB=10cm ，MA +MB=13cm ，那么下边说法中正确的选项是（）
A ．点 M 是线段 A
B 上
B．点 M 在直线 AB 上
C．点 M 在直线 AB 外
D．点 M 在直线 AB 上，也可能在直线AB 外12．如图， AOB 是一条直线，∠ AOC=60 °， OD ，OE 分别是∠ AOC 和∠ BOC 的均分线，则图中互补的角有（）
A ．5 对B．6 对C．7 对D．8 对
二、填空题（共 6 小题，每题 3 分，满分 18 分）13．43的底数是，指数
是，计算的结果是．14．从三个不一样方向看一个几何体，获得的平面图形如下图，则这个几何体是．
15．若 a，b 互为相反数， c，d 互为倒数， m 的绝对值为 2，则的值为．16．已知：线段 a，b，且 a＞b．画射线 AE ，在射线AE 上按序截取 AB=BC=CD=a ，在线段 AD 上截取 AF=b ，则线段 FD=．
17．把一张长方形纸片 ABCD 按如下图的那样折叠后，若获得∠ AEB ′=56°，则∠
BEF=．
18．平面内有四个点A，B，C，D，过此中每两个点画直线能够画出直线的条数为．
三、解答题（共7 小题，满分 58 分）
19．计算：
（1）；
（2）﹣ 6+（﹣ 2）3×（）÷（）2÷（﹣3）．20．解以下方程：
（1）x+5= x+3﹣2x；
（2）．
21．已知 A=3x 2+3y2﹣5xy，B=2xy ﹣3y2+4x2．
（1）化简： 2B﹣A；
（2）已知﹣ a|x﹣2|b2与 ab y的同类项，求 2B﹣ A 的值．
22．如图，将一幅直角三角板叠放在一同，使直角
极点重合于点 O．
（1）若∠ AOC=35 °，求∠ AOD 的度数；
（2）问：∠ AOC= ∠BOD 吗？说明原因；
（3）写出∠ AOD 与∠ BOC 所知足的数目关系，并
说明原因．
23．列一元一次方程解应用题．
某校七年级（ 1）班数学老师为做好期末复习，预先录制了一节复习课，准备刻成电脑光盘给每个学生回家观看．假如到电脑企业刻录光盘每张需 9 元；假如在学校自己刻录，除租用一台刻录机需要 140 元外，每张光盘还需要成本费 5 元．
（1）问刻录多少张光盘时，到电脑企业刻录与学
校自己刻录所需花费同样？
（2）假如七年级（1）班共有学生 36 人，每人一张，那么到电脑企业刻录合算，仍是在学校自己刻录合
算．
24．已知 m，n 知足等式（ m﹣8）2 +2| n﹣ m+5| =0．（1）求 m，n 的值；
（2）已知线段 AB=m ，在直线 AB 上取一点 P，恰巧使 AP=nPB，点 Q 为 PB 的中点，求线段 AQ 的长．
25．已知∠ AOB 为锐角，如图（ 1）．
（1）若 OM 均分∠ AOC ，ON 均分∠ BOD ，∠
MON=32 °，∠ COD=10 °，如图（ 2）所示，求
∠ AOB 的度数．
（2）若 OM ，OD，OC，ON 是∠ AOB 的五均分线，如图（ 3）所示，以射线 OA ，OM ，OD，OC，ON ，OB 为始边的全部角的和为980°，求∠ AOB 的度数．
2015-2016 学年天津市和平区七年级（上）期末数学试卷
参照答案与试题分析
一、选择题（共12 小题，每题 2 分，满分 24 分）1．计算（﹣ 3）﹣（﹣ 5）=（）
A ．2 B．﹣ 2 C．8D．﹣ 8
【考点】有理数的减法．
【剖析】先将减法转变为加法，而后再依据加法法例
计算即可．
【解答】解：（﹣ 3）﹣（﹣ 5）=﹣3+5=2．
应选： A．
【评论】本题主要考察的是有理数的减法，掌握有理
数的减法法例是解题的重点．
2．数轴上的点 A 到原点的距离是4，则点 A 表示的数为（）
A ．4 B．﹣ 4 C．4 或﹣ 4 D．2 或﹣ 2
【考点】数轴．
【剖析】在数轴上点 A 到原点的距离为 4 的数有两
个，意义相反，互为相反数．即 4 和﹣ 4．
【解答】解：在数轴上， 4 和﹣ 4 到原点的距离为4．
∴点 A 所表示的数是 4 和﹣ 4．
应选： C．
【评论】本题考察的知识点是数轴．重点是要明确原
点的距离为 4 的数有两个，意义相反．
3．以下作图语句中，正确的选项是（）
A ．画直线 AB=6cm B．延长线段 A
B 到 C
C．延长射线 OA 到 B D．作直线使之经过A，B，C三点
【考点】作图—尺规作图的定
义．【专题】研究型．
【剖析】依据各个选项中的语句，能够判断其能否正确，进而能够解答本题．
【解答】解：∵直线没法丈量，应选项 A 错误；
延长线断 AB 到 C 是正确的，应选项 B 正确；
射线 OA 自己是以点 O 为端点，向着 OA 方向延长，应选项 C 错误；
假如点 A、B、C 三点不在同向来线上，则直线不可
以同时经过这三个点，应选项 D 错误；应选 B．
【评论】本题考察作图﹣尺规作图的定义，解题的重点是明确尺规作图的方法，哪些图形能够丈量，哪些不可以够丈量．
4．把一条曲折的公路改成直道，能够缩短行程，其道理用几何知识解说正确的选项是（）
A ．线段能够比较大小B．线段有两个端点
C．两点之间线段最短D．过两点有且只有一条直线
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【剖析】依据线段的性质：两点之间线段最短进行解答即可．
【解答】解：把一条曲折的公路改成直道，能够缩短行程，其道理是两点之间线段最短，应选： C．
【评论】本题主要考察了线段的性质，重点是掌握两点之间线段最短．
5．把方程﹣去分母，正确的选项是（）
A ．3x﹣（ x﹣1）=1 B．3x﹣x﹣1=1 C．3x﹣x﹣1=6 D．3x﹣（ x﹣1）=6
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题．
【剖析】去分母的方法是方程两边同时乘以各分母的
最小公倍数6，在去分母的过程中注意分数线起到括
号的作用，以及去分母时不可以漏乘没有分母的项．【解答】解：方程两边同时乘以 6 得： 3x﹣（ x﹣1）=6．
应选 D．
【评论】在去分母的过程中注意分数线起到括号的
作用，并注意不可以漏乘没有分母的项．
6．已知 m+a=n+b，依据等式性质变形为m=n，那么a，b 一定切合的条件是（）
A．a=﹣b
B．﹣ a=b
C．a=b
D．a，b 能够是随意有理数或整式
【考点】等式的性质．
【剖析】依据等式的性质，两边都减去 b，而后判断即可得解．
【解答】解：m+a=n+b 两边都减去 b 得，m+a﹣b=n，∵等式可变形为 m=n ，
∴a﹣b=0，
∴a=b．
应选 C．
【评论】本题主要考察了等式的基天性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字
母，等式仍建立；
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为 0 数或字母，等式仍建立．
7．如图，以下说法中错误的选项是（）
A ．OA 的方向是东北方向 B．O
B 的方向是北偏西55°
C．OC 的方向是南偏西30°D．OD 的方向是南偏东30°
【考点】方向角．
【剖析】依据题意、联合方向角的观点对各个选项进行判断即可．
【解答】解： OA 的方向是东北方向， A 正确；
OB 的方向是北偏西55°， B 正确；
OC 的方向是南偏西60°，C 错误；
OD 的方向是南偏东30°，D 正确，
应选： C．
【评论】本题考察的是方向角的知识，在方向图中正确读懂方向角是解题的重点．
8．以下图形中，经过折叠不可以围成一个立方体的是（）
A ．
B ．
C ．D．
【考点】睁开图折叠成几何体．
【剖析】由平面图形的折叠及正方体的睁开图解题．【解答】解：选项A 、B、C 经过折叠均能围成正方体；
D、有“田”字格，不可以折成正方体．
应选 D．
【评论】本题主要考察睁开图折叠成几何体的知识点，注意只需有“田”字格的睁开图都不是正方体
的表面睁开图．
9．已知∠ 1=18°18′，∠°，∠°，
以下结论正确的选项是（）
A ．∠ 1=∠3 B．∠ 1=∠2C．∠ 2=∠3D．∠ 1=∠2=∠3
【考点】度分秒的换算．
【剖析】依据小单位化大单位除以进率，可化成同样
单位的角，依占有理数的大小比较，可得答案．
【解答】解：∠ 1=18°18′°=∠3＜∠ 2，应
选： A．
【评论】本题考察了度分秒的换算，利用小单位化大
单位除以进率化成同样单位的角是解题重点．
10．已知∠ 1 与∠ 2 互余，∠2 与∠ 3 互补，∠1=58°，则∠ 3=（）
A ．58° B．148° C．158° D．32°
【考点】余角和补角．
【剖析】已知∠ 1 的度数，依据余角的性质可求得∠
2 的度数，再依据补角的性质即可求得∠
3 的度数．【解答】解：∵∠ 1 与∠ 2 互余，∠ 1=65°
∴∠ 2=90°﹣ 58°=32
∠2 与∠ 3 互补
∴∠ 3=180°﹣ 32°=148°．
应选 B．
【评论】本题考察了余角和补角，是基础题，熟记观
点是解题的重点．
11．假如线段 AB=10cm ，MA +MB=13cm ，那么下边说法中正确的选项是（）
A ．点 M 是线段 A
B 上
B．点 M 在直线 AB 上
C．点 M 在直线 AB 外
D．点 M 在直线 AB 上，也可能在直线AB 外
【考点】直线、射线、线段．
【剖析】依据AB=10cm ，若点M 是线段AB 上，则MA +MB=10cm ，点M 在直线AB 外或点M 在直线AB 上都可能 MA +MB=13cm ．
【解答】解：如图 1：点 M 在直线 AB 外时，
MA +MB=13cm ，
如图 2，点 M 在直线 AB 上时， MA +MB=13cm ，
依据以上两个图形得出M 能够在直线 AB 上，也可以在直线 AB 外，
应选 D．
【评论】本题考察了求两点间的距离的应用，主要考
察学生的绘图能力和理解能力．
12．如图， AOB 是一条直线，∠ AOC=60 °， OD ，OE 分别是∠ AOC 和∠ BOC 的均分线，则图中互补
的角有（）
A ．5 对B．6 对C．7 对D．8 对
【考点】余角和补角．
【剖析】依据邻补角的定义以及角均分线的定义求
得图中角的度数，而后依据互补的定义进行判断．
【解答】解：∠ BOC=180 °﹣∠ AOC=180 °
﹣60°=120°，
∵OD ，OE 分别是∠ AOC 和∠ BOC 的均分线，
∴∠ AOD= ∠COD=30 °，∠ COE= ∠BOE=60 °，∴∠ AOE= ∠BOC=120 °，∠ DOE=90 °，∠
DOB=150 °，
则∠ AOD +∠DOB=180 °，∠COD +∠DOB=180 °，∠AOC +∠BOC=180 °，∠COE +∠BOC=180 °，∠BOE +∠BOC=180 °，∠ AOE +∠BOE=180 °，∠AOE +∠AOC=180 °，∠ AOE +∠COE=180°．
总之有 8 对互补的角．
应选 D．
【评论】本题考察了补角的定义以及角均分线的定义，正确求得图中角的度数是重点．
二、填空题（共 6 小题，每题 3 分，满分 18 分）13．43的底数是 4 ，指数是 3 ，计算的结果是
64．
【考点】有理数的乘方．
【专题】计算题；实数．
【剖析】利用幂的意义判断即可获得结果．
【解答】解： 43的底数是 4，指数是 3，计算的结果是64，
故答案为： 4；3；64
【评论】本题考察了有理数的乘方，娴熟掌握乘方的意义是解本题的重点．
14．从三个不一样方向看一个几何体，获得的平面图形如下图，则这个几何体是圆柱．
【考点】由三视图判断几何体．
【剖析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，依
据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱．
故答案为：圆柱．
【评论】考察了由三视图判断几何体，用到的知识点为：三视图里有两个同样可确立该几何体是柱体，锥
体仍是球体，由另一个视图确立其详细形状．
15．若 a，b 互为相反数， c，d 互为倒数， m 的绝对值为 2，则的值为4．
【考点】代数式求值；相反数；绝对值；倒数．
【专题】计算题；实数．
【剖析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出a+b，cd，以及m 的值，代入计算即可求出值．【解答】解：依据题意得：a+b=0，cd=1，m=2 或﹣2，
当m=2 时，原式 =8﹣4=4；当 m=﹣2 时，原式 =8﹣4=4．
第18页（共 31页）
【评论】本题考察了代数式求值，相反数，倒数，以
及绝对值，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．
16．已知：线段 a，b，且 a＞b．画射线 AE ，在射
线AE 上按序截取 AB=BC=CD=a ，在线段 AD 上截取AF=b ，则线段 FD= 3a﹣b ．
【考点】两点间的距离．
【剖析】先依据题意画出图形，而后依据线段间的和
差关系进行计算即可．
【解答】解：如下图：
DF=AD ﹣AF=AB +CB+CD﹣ AF=3a ﹣b．
故答案为： 3a﹣ b．
【评论】本题主要考察的是两点间间的距离，依据题
意画出图形是解题的重点．
17．把一张长方形纸片 ABCD 按如下图的那样折叠后，若获得∠ AEB ′=56°，则∠ BEF= 62° ．
【考点】角的计算；翻折变换（折叠问题）．
【剖析】先依据平角的定义求出∠BEB ′，再依据折叠的性质得出∠BEF= ∠B′EF= ∠BEB ′，即可求出答案．
【解答】解：∵把一张长方形纸片 ABCD 按如下图的
那样折叠后，获得∠ AEB ′=56°，
∴∠ BEB ′=180°﹣∠ AEB ′=124°，∠ BEF=
∠ B′EF，
∵∠ BEF+∠B′EF= ∠BEB ′，
∴∠ BEF= ∠B′EF= ∠BEB ′=62°，
故答案为： 62°．
【评论】本题考察了平角的定义和折叠的性质的应
用，重点是求出∠ BEB ′的度数以及得出∠ BEF= ∠B′EF= ∠BEB ′．
18．平面内有四个点A，B，C，D，过此中每两个点画直线能够画出直线的条数为 1 条、4 条或 6 条．【考点】直线、射线、线段．
【剖析】由直线公义，两点确立一条直线，但题中没有明确指出已知点中，能否有 3 个点，（或许 4 个点）在同向来线上，所以要分三种状况加以议论．
【解答】解：（ 1）假如 4 个点，点 A、B、C、D 在
同向来线上，那么只好确立一条直线，如图：
（2）假如 4 个点中有 3 个点（不如设点 A、B、 C）在同向来线上，而第 4 个点，点 D 不在此直线上，那么能够确立 4 条直线，如图：
（3）假如 4 个点中，任何 3 个点都不在同向来线上，那么点 A 分别和点 B、C、D 确立 3 条直线，点 B 分别与点 C、D 确立 2 条直线，最后点 C、D 确立一条直线，这样共确立 6 条直线，如图：
综上所述，过此中 2 个点能够画 1 条、4 条或 6 条直线．
故答案为： 1 条、 4 条或 6 条．
【评论】本题考察了直线的定义．在解题过程中，注意分状况议论，这样才能将各样状况考虑到．
三、解答题（共7 小题，满分 58 分）
19．计算：
（1）；
（2）﹣ 6+（﹣ 2）3×（）÷（）2÷（﹣3）．【考点】有理数的混淆运算．
【专题】计算题；实数．
【剖析】（ 1）原式通分并利用同分母分数的加减法例计算即可获得结果；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最
后算加减运算即可获得结果．
【解答】解：（ 1）原式 = + ﹣ +1=﹣ +1= ；
（2）原式 =﹣6﹣8× ×36×（﹣）=﹣6+16=10．
【评论】本题考察了有理数的混淆运算，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．
20．解以下方程：
（1）x+5= x+3﹣2x；
（2）．
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【剖析】（ 1）方程去分母，移项归并，把 x 系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项归并，把 x 系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（ 1）去分母得： 2x+10=x+6﹣4x，
移项归并得： 5x=﹣4，
解得： x=﹣；
（2）去分母得： 5（x﹣3）﹣3（2x+7）=15（x﹣1），去括号得： 5x﹣ 15﹣6x﹣21=15x﹣15，
移项归并得：﹣ 16x=21，
解得： x=﹣．
【评论】本题考察认识一元一次方程，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．
21．已知 A=3x 2+3y2﹣5xy，B=2xy ﹣3y2+4x2．
（1）化简： 2B﹣A；
（2）已知﹣ a|x﹣2|b2与 ab y的同类项，求 2B﹣ A 的值．【考点】整式的加减；同类项．
【专题】计算题；整式．
【剖析】（ 1）把 A 与 B 代入 2B﹣A 中，去括号归
并即可获得结果；
（2）利用同类项的定义求出 x 与 y 的值，代入原式
计算即可获得结果．
【解答】解：（1）∵A=3x 2+3y2﹣5xy，B=2xy ﹣3y2+4x2，∴2B ﹣A=2（2xy﹣ 3y2+4x2）﹣（3x2+3y2﹣5xy）=4xy
﹣6y2+8x2﹣3x2﹣3y2+5xy=5x2+9xy﹣9y2；
（2）∵﹣ a|x﹣2|b2与 ab y的同类
项，∴| x﹣2| =1，y=2，
解得： x=3 或 x=1，y=2，
当 x=3，y=2 时，原式 =45+54﹣36=53；
当 x=1，y=2 时，原式 =5+18﹣36=﹣13．
【评论】本题考察了整式的加减，以及同类项，娴熟
掌握运算法例是解本题的重点．
22．如图，将一幅直角三角板叠放在一同，使直角
极点重合于点 O．
（1）若∠ AOC=35 °，求∠ AOD 的度数；
（2）问：∠ AOC= ∠BOD 吗？说明原因；
（3）写出∠ AOD 与∠ BOC 所知足的数目关系，并
说明原因．
【考点】余角和补角．
【剖析】（1）把已知角的度数代入∠ AOD= ∠AOC + ∠COD ，求出即可；
（2）已知∠ AOB= ∠COD=90 °，都减去∠ COB 即可；
（3）依据∠ AOB= ∠COD=90 °即可求出答案．
【解答】解：（ 1）∵∠ COD=90 °，∠ AOC=35 °，∴∠ AOD= ∠AOC +∠COD=35 °+90°=125°；
（2）∠ AOC= ∠BOD ，
原因是：∵∠ AOB= ∠COD=90 °，
∴∠ AOB ﹣∠ COB= ∠COD ﹣∠ COB ，
∴∠ AOC= ∠BOD ；
（3）∠ AOD +∠BOC=180 °，
原因是：∵∠ AOB= ∠COD=90 °，
∴∠ AOD +∠BOC
=∠AOC +∠COD +∠BOC
=∠COD +∠AOB
=90°+90°
=180°．
【评论】本题考察了角的计算及余角和补角的观点，
熟习图形是解题的重点．
23．列一元一次方程解应用题．
某校七年级（ 1）班数学老师为做好期末复习，预先录制了一节复习课，准备刻成电脑光盘给每个学生回家观看．假如到电脑企业刻录光盘每张需 9 元；假如在学校自己刻录，除租用一台刻录机需要 140 元外，每张光盘还需要成本费 5 元．
（1）问刻录多少张光盘时，到电脑企业刻录与学
校自己刻录所需花费同样？
（2）假如七年级（1）班共有学生 36 人，每人一张，那么到电脑企业刻录合算，仍是在学校自己刻录合
算．
【考点】一元一次方程的应用．
【剖析】本题中到电脑企业刻录需要的总花费 =单价×刻录的数目，而自刻录的总花费 =租用刻录机的费
用+每张的成本×刻录的数目．列出总花费与刻录
数目的关系式，而后将两种花费进行比较．
（1）到电脑企业刻录需要的总花费 =自己刻录的总花费时，到电脑企业刻录与学校自己刻录所需花费同
样；
（2）分别求出到电脑企业刻录需要的总花费和自
己刻录的总花费，再比较大小即可求解．
【解答】解：（ 1）设刻录 x 张光盘时，到电脑企业刻录与学校自己刻录所需花费同样，依题意，得
9x=140+5x，
解得 x=35．
答：刻录 35 张光盘时，到电脑企业刻录与学校自己刻录所需花费同样
（2）9×36=324（元），
140+5×36
=140+180
=320（元），
由于 324＞320，
所以在学校自己刻录合算．
【评论】考察了一元一次方程的应用，解题重点是要读懂题目的意思，依据题目给出的条件，找到重点描绘语，由花费找出适合的等量关系，列出方程，再求解．
24．已知 m，n 知足等式（ m﹣8）2 +2| n﹣ m+5| =0．（1）求 m，n 的值；
（2）已知线段 AB=m ，在直线 AB 上取一点 P，恰巧使 AP=nPB，点 Q 为 PB 的中点，求线段 AQ 的长．【考点】两点间的距离；非负数的性质：绝对值；非
负数的性质：偶次方．
【剖析】（ 1）依据非负数的和为零，可得每个非负
数同时为零，可得 m，n 的值；
（2）依据线段的和差，可得 AP，PB 的长，依据线段中点的性质，可得PQ 的长，依据线段的和差，可得答案．
【解答】解：（ 1）由（ m﹣8）2+2| n﹣m+5| =0，得m﹣8=0，n﹣m+5=0．
解得 m=8，n=3；
（2）由（ 1）得 AB=8 ，AP=3PB ，
有两种状况：
①当点 P 在点 B 的左边时，如图
1，
AB=AP +PB=8，AP=3PB ，
4PB=8，
解得 PB=2，AP=3PB=3 ×2=6．
∵点 Q 为 PB 的中点，
∴PQ= PB=1，
第28页（共 31页）
②当点 P 在点 B 的右边时，如图
2，
∵A P=AB +BP，AP=3PB ，
∴3PB=8+PB，∴ PB=4．
∵点 Q 为 PB 的中点，
∴B Q= PB=2，
∴A Q=AB +BQ=8 +2=10．
【评论】本题考察了两点间的距离，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题重点；利用线段的和差是解题重点，要分类议论，以防遗漏．
25．已知∠ AOB 为锐角，如图（ 1）．
（1）若 OM 均分∠ AOC ，ON 均分∠ BOD ，∠
MON=32 °，∠ COD=10 °，如图（ 2）所示，求
∠ AOB 的度数．
（2）若 OM ，OD，OC，ON 是∠ AOB 的五均分线，如图（ 3）所示，以射线 OA ，OM ，OD，OC，ON ，OB 为始边的全部角的和为980°，求∠ AOB 的度数．
【考点】角的计算；角均分线的定义．
【剖析】（1）依据角均分线的定义简单获得，
∠MON= ∠CON +∠DON ﹣∠ COD ，依据已知条件求得∠ COM +∠DON=42 °，即可求得∠ AOM +∠BON=42 °，进而求得∠ AOB= ∠AOM +∠ BON +∠MON=74 ．
（2）设∠ AOB 被五均分的每个角为x°，则∠
AOB=5x °，分别表示出以射线 OA、OM、OD、OC、ON、OB 为始边的全部角的度数，依据题意列出关
于 x 的方程，解方程求得 x 的值，即可求得∠ AOB
的度数．
【解答】解：（ 1）∵ OM 均分∠ AOC ，ON 均分∠BOD ，
∴∠ AOM= ∠COM ，
同理：∠ BON= ∠DON ，
∵∠ MON=32 °，∠ COD=10 °，∠ MON= ∠CON+ ∠DON ﹣∠ COD ，
∴32°=∠COM +∠DON ﹣10°，
∴∠ COM +∠DON=42 °，
∴∠ AOM +∠BON=42 °，
∵∠ AOB= ∠AOM +∠BON +∠MON ，
∴∠ AOB=42 °+32°=74°；
（2）设∠ AOB 被五均分的每个角为 x°，则∠AOB=5x °，
以射线OA 为始边的全部角的度数为
x°+2x°+3x°+4x°+5x°=15x°，
以射线 OM 、OD 、OC、ON 、OB 为始边的全部角的度数分别为 11x°， 9x°， 9x°11x°， 15x°，由题意得 15x+11x+9x+9x+11x+15x=980，解得
x=14．
故∠ AOB=5 ×14°=70°．
【评论】本题考察了角均分线定义，角的相关计算的应用，解本题的重点是找出角度关系．。