2018_2019学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1

答案 C
2.如图所示，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的 高，在图中的六条线段中，你认为只要知道几条 线段的长，就可以求出其他线段的长( A.1 C.3 B.2 D.4 )
解析 图中所有三角形都是直角三角形，由勾股定理，射
影定理，可知只需知道两条线段的长，就可以求出其他线 段的长. 答案 B
1.(1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足
即为射影；
(2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线 引垂线，两垂足间的线段就是所求射影. 2.应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是 斜边上的高.应用射影定理可求直角三角形的边长、
面积等有关量，还可研究相似问题、比例式等问题.
3.直角三角形射影定理的逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边
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[预习导引]
1.射影 垂线的垂足 ，叫作这个点在 从一点向一直线所引___________ 这条直线上的正射影.一条线段的两个端点在一条 正射影之间的线段，叫作这条线段在这 直线上的____________ 条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
2.射影定理 文字 语言 高 是两直角边在斜边上的射影的比 直角三角形斜边上的___
3.如图所示，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 E， 1 ∠ADE＝3∠CDE，则∠EDB＝________. 解析 由已知△ADE∽△DBA，
∴∠ADE＝∠ABD＝∠BDC， 1 且∠ADE＝ ∠CDE， 3 1 ∴∠EDB＝ ∠ADC＝45°. 2 答案 45°
4.已知线段a，b(a<b)，求作：线段a，b的比例中项c.
规律方法 (1)射影实质上就是平行投影. (2)当线段AB所在直线与直线l平行时，设其在l上的射影为 A1B1，则有AB＝A1B1，如图(1)所示 ；当线段AB所在直线与 直线l不平行且不垂直时，设其在l上的射影为A1B1，则有
AB>A1B1，如图(2)所示；当线段AB与直线l垂直时，线段AB
在l上的射影是一个点A1，如图(3)所示.
证明
∵AB∶BC＝5∶6，
∴设 AB＝5k，BC＝6k(k>0). ∴在矩形 ABCD 中，有 CD＝AB＝5k，BC＝ AD＝6k，∠B＝∠C＝∠D＝90°. 1 1 ∵EC＝ BC，∴EC＝ ×6k＝k.∴BE＝5k. 6 6 3 3 ∵FC＝ CD，∴FC＝ ×5k＝3k. 5 5 ∴DF＝CD－FC＝2k.
(3)过 B 作 BB1⊥DC 于 B1， 则 B1C 就是线段 BC 在直线 DC 上的射影，如图所示. 2 3 ∵BC＝BD1＋D1C＝1＋ ， 3 ∴B1C＝BC· cos
2 3 1 1 × ＝ ＋ 60°＝1＋ 3 2 2
3 3.
1 3 ∴线段 BC 在直线 DC 上的射影长为2＋ 3 .
2 2
规律方法 (1)已知三角形是直角三角形，或者有
直角、垂线等，这是在直角三角形中应用射影定
理必需的条件. (2)运用射影定理进行相关计算时，常常还要与直 角三角形的其他性质相结合，如三角函数、面积 公式、勾股定理等.
跟踪演练 2
如图所示，△ABC 中，AB＝m，
∠A∶∠B∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB 于 D. 求 BD，CD 的长.
解
设∠A＝x，∠B＝2x，∠ACB＝3x，由∠A＋∠B＋
∠ACB＝180°，得 x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°. ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠ACB＝90°. 1 ∵AB＝m，∴BC＝ m.又∵CD⊥AB，∴BC2＝BD· AB， 2
1 2 1 1 即2m ＝BD· m， ∴BD＝4m.∴AD＝AB－BD＝m－4m＝
提示 (1)6 条，分别记为 AB，AC，BC，CD，AD，BD. (2)由图中△ACD∽△CBD∽△ABC，可分别写出三组比例式： CB BD CD CB BD CD AC CD DA AB＝BC＝ AC ；AB＝BC＝ AC ；AB ＝ BC ＝CA . (3)只有三个比例中项的表达式： CD AD CB BD AC DA BD ＝CD， AB＝BC ，AB＝CA . 可得到等积式：CD2＝AD· BD，BC2＝BD· BA，AC2＝AD· AB.
AF在BC上的射影是DE，FG在BC上的射影是点E.
要点二 例2
与射影定理有关的计算问题
如图， D 为△ABC 中 BC 边上的一点，
∠CAD＝∠B，若 AD＝6，AB＝10，BD ＝8，求 CD 的长.
解
在△ABD 中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，满足 AB2
＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，即 AD⊥BC.又∠CAD ＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°，∴∠C＋∠B＝90°. ∴∠BAC＝90°.∴在 Rt△BAC 中，AD⊥BC，由射影定 9 理可知，AD ＝BD· CD，∴6 ＝8×CD，∴CD＝2.
解 如图所示.(1)作 AB＝b；
(2)在 AB 上截取 AD＝a； (3)过 D 作 DH⊥AB； (4)以 AB 为直径画半圆交 DH 于 C， 连接 AC， BC. 则 AC 即为 a，b 的比例中项 c.
在 Rt△ADF 中，由勾股定理得 AF2＝AD2＋DF2＝36k2＋ 4k2＝40k2，同理可得 AE2＝50k2，EF2＝10k2. ∴AF2＋EF2＝40k2＋10k2＝50k2＝AE2. ∴△AEF 是直角三角形. ∵FG⊥AE，由直角三角形的射影定理，
2 2 EF 10 k 得 EF2＝GE· AE.∴AE＝5 2k，∴GE＝ AE ＝ ＝ 2k. 5 2k
∴4GE＝4 2k.又∵AG＝AE－GE＝5 2k－ 2k＝4 2k， ∴AG＝4GE.
规律方法
①判断两线段的数量关系时，
可设变量使之能表示线段，②在直角三
角形中，一般考虑利用射影定理或勾股
定理来做.
跟踪演练 3
如图所示，BD，CE 是△ABC 的
两条高，过点 D 的直线分别交 BC 和 BA 的延 长线于 G， H 两点， 交 CE 于 F， 且∠H＝∠BCF. 求证：GD2＝GF· GH.
上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角
三角形.
1.在直角三角形ABC中，斜边AB＝5 cm，BC＝2 cm，D为AC上
一点，DE⊥AB于点E，且AD＝3.2 cm，则DE等于(
A.1.24 cm C.1.28 cm
解析
)
B.1.26 cm D.1.3 cm
由已知△ADE∽△ABC，
3.2×2 AD DE ∴ AB ＝BC，∴DE＝ 5 ＝1.28.
证明
∵∠H＝∠BCE，∠HBG 是△BCE 与△BHG 的公共角，
∴△BCE∽△BHG.又 CE⊥BH，∴∠BEC＝∠BGH＝90°， 即 HG⊥BC.又 BD⊥AC，在 Rt△BDC 中， DG 是斜边 BC 上的高， 由射影定理得 GD2＝BG· CG.① 又∠FGC＝∠BGH＝90°，∠H＝∠FCG， FG CG ∴△FCG∽△BHG，∴BG＝GH.即 BG· CG＝FG· GH.② 由①②可得 GD2＝GF· GH.
解
(1)过 D 作 DD1⊥BC 于 D1，则 BD1 就是线段 AD 在
直线 BC 上的射影，如图所示， ∵四边形 ABD1D 为矩形，∴BD1＝AD＝1， ∴线段 AD 在直线 BC 上的射影长为 1. (2)由(1)的作图知，D1C 即为线段 DC 在直线 BC 上的射 D1D 影.∵DD1＝AB＝2，∠DCB＝60°，∴D1C＝ ＝ tan 60° 2 2 3 2 3 ＝ 3 .∴线段 DC 在直线 BC 上的射影长为 3 . 3
四 直角三角形的射影定理
[学习目标]
1.通过实践，结合生活中的实例，理解点在直线上的正射影， 线段在直线上的正射影的概念.
2.理解射影定理，能应用定理解决相关的几何问题.
[知识链接]
已知：如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D. (1)图中有几条线段？ (2)图中有几对相似三角形？可写出几组比例式？ (3)有几个带有比例中项的比例式？由上可得到哪些等 积式？
跟踪演练 1
如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，指出
点 A，B，C，D，E，F，G 和线段 AB，AC，AF， FG 在直线 BC 上的射影.
解 由AD⊥BC，EF⊥BC知：A在BC上的射影是D；B在BC 上的射影是B；C在BC上的射影是C；E，F，G在BC上的射 影都是E；AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；
3 3 1 3 2 3 2 BD＝4m·4m＝16m ，得 CD＝ 4 m. 4m.由 CD ＝AD· 1 3 ∴BD＝4m，CD＝ 4 m.
要点三 例3
与射影定理有关的证明问题
如图，已知在矩形 ABCD 中，AB∶BC＝
1 5∶6， 点 E 在 BC 上， 点 F 在 CD 上， EC＝ BC， 6 3 FC＝5CD，FG⊥AE 于点 G.求证：AG＝4GE.
斜边 的 例中项；两条直角边分别是它们在斜边上射影与_____ 比例中项
AD 符号 在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则CD2＝BD· ___； AB ；BC2＝BD· BA 语言 AC2＝AD· ____ ___
图形
语言 作用 确定成比例的线段
要点一 射影的概念 例 1 如图所示， 在梯形 ABCD 中， AD∥BC， ∠ABC ＝90°，∠BCD＝60°，AD＝1，AB＝2.求： (1)线段 AD 在直线 BC 上的射影长； (2)线段 DC 在直线 BC 上的射影长； (3)线段 BC 在直线 DC 上的射影长.