湘教版高考总复习数学精品课件 第5章三角函数、解三角形 第6节函数y=Asin(ω+φ)的图象及应用

与最低点的值确定的.( √ )
题组二回源教材

4.(．
湘教版必修第一册习题
.4．第
(1)
改编
)为了得到函数 y=2sin 2x- 的
．．．．．．．．．．5．
．
．2．题
．．
．
．
．．．
3
图象,只需把函数 y=2sin 2x +

A.向左平移3 个单位长度

B.向右平移3 个单位长度
2
C.向左平移 3 个单位长度
1
,纵坐标不变
4
解析 将
得到
π
1
y=sin(x+6)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的4,纵坐标不变,
π
π
y=sin(4x+6)的图象,再把得到的图象上所有的点向右平移8个单位长度,
得到函数
π
y=sin(4x- )的图象,A
3
π
移2个单位长度,得到
正确;将
π
y=sin(x+ )的图象上所有的点向右平
2
2
这 5 个值,然后求出相应 x 的值,作为图象上 5 个点的横坐标,而不是令 x 取
3
0, 2 ,π, 2 ,2π.
主要指平移变换(相位变换)和伸缩变换(周期变换、振幅变换)
3.函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种
第6节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
课标解读
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数A,ω,φ
的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事
物周期变化的数学模型.
目录索引
1 强基础 固本增分

1
B.f(x)在区间[0, ]上的最小值为2
2

C.f(x+6 )为偶函数
D.将

f(x)的图象上所有的点向右平移6 个单位长度后得到
7
2 12
C.sin
7
212
B.sin

2
+

12
D.sin 2 +
解析 逆向考虑:y=sin
π
4

12
的图象

π
y=sin( + )的图象.
2
12
y=sin
π
+
12
的图象
变式探究 1
(变条件变结论)若将本例(1)改成为得到函数

y=-sin(2x- )图象上所有的点(
4
7
A.向左平移 个单位长度
考向1函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例 1(1)为得到函数

f(x)=cos(2x- )的图象,只需将函数
3
的点( D )

A.向左平移3 个单位长度

B.向右平移3 个单位长度

C.向左平移6 个单位长度

D.向右平移6 个单位长度
y=cos 2x 图象上所有
解析 由于
π
π
f(x)=cos(2x- )=cos[2(x- )],因此应将
1
A.6
1
B.4
1
C.3
1
D.2
解析 由题可知,曲线 C 的解析式为 f
π
+2
因为曲线 C 的图象关于 y 轴对称,所以
π
π
π
g(x)为偶函数,则2 +3=kπ+2,k∈Z,所
以
1
ω=3+2k,k∈Z.因为
ω>0,所以 ω
π
π
=sin(ωx+2 +3).令 g(x)=f
1
的最小值为3.故选
C.
6
6
6
C 正确;因为
D 错误.故选 BC.
考点二 函数y=Asin(ωx+φ)图象、性质的综合应用
例3(1)(多选题)(2024·山东日照模拟)已知函数f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ
(ω>0,0<φ<
π
2
)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( BC )

A.f(x)的图象关于点(-3 ,0)对称
精髓是通过变量代换,求出相应的x,然后描点、作图
ωx+φ
π
2
0
x
y=Asin(ωx+φ) 0
φ
-ω
φ

-ω + 2ω
A
3
2
π
φ

-ω + ω
0
φ
3
-ω + 2ω
-A
2π
φ
2
-ω + ω
0
误区警示在用五点法作 y=Asin(ωx+φ)的图象时,要令 ωx+φ 整体取
3
0, ,π, ,2π
24
7π π
π
y=cos[2(x- )+ ]=cos(2x- )的图象,故选
24 4
3
D.
变式探究 2
(变条件变结论)若将本例(1)改成将函数

f(x)=cos(2x- )图象上所有点的横
3
坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,所得函数解析式为( A )

A.y=cos(x- )
3

B.y=cos(x-6 )
而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移),平移的量是
度.
φ
ω
个单位长
常用结论
1.三角函数图象的平移规则是“左加右减”“上加下减”.
2.在函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,若其最大值、最小值分别为M,m,则
M-m
M+m
A=
,b=
.
2
2
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
2π
+φ)=0,
3
4π
7π
π
π
即- +φ=π+2kπ(k∈Z),所以 φ= +2kπ(k∈Z),当 k=-1 时,φ= ,y=sin( -2x),所以
3
3
3
3
B 正确;因为
π
π π
π
y=sin(3-2x)=sin[2-(6+2x)]=cos(2x+6),所以
5π
π
π
cos( -2x)=cos[π-(2x+ )]=-cos(2x+ ),所以
知识梳理
1.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A 振幅
>0,ω>0,x≥0)表
示一个简谐振 A
动时
周期
频率
相位
2
T= ω
ω
1
f= = 2
ωx+φ
T
初相
φ
2.五点法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
的五个特征点如下表所示:
π
2
)在一个周期内的简图时,要找出

π
+2
,
考向2由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
例 2(2023·新高考Ⅱ,16)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B 是直线

y=f(x)的两个交点,若|AB|= ,则
6
f(π)=
-
√3
2
.
1
y= 与曲线
2
解析 对比正弦曲线 y=sin x 的图象易知,点
2π
,0
3
对应“五点法”中的第五点,
2π
π
所以 +φ=2π①.由题目中图象知|AB|=xB-xA= ,线段
3
6
于正弦曲线 y=sin
得
π
1
x 在 y 轴右边的第 1 条对称轴直线 x= ,所以由 sin(ωx+φ)= ,
2
2
π
+ = 6 ,
5π 两式相减,得
+ = 6 ,
2π
φ=- ,所以
A.sin +
B.sin
43;
D.cos
5
6

6
-2
解析 (方法一

代入最高点或最低点坐标)依题意得
2
=
2π
π
−
3
6
=
π
,则最小正
2
π+2π
2π
周期 T=π,所以|ω|= =2,所以 ω=±2.又函数图象的最低点为(6 3 ,-1),即
π
5π
,-1
12
2
,当 ω=2 时,则 sin

C.y=cos(4x-3 )
2
D.y=cos(4x- 3 )
解析 依题意,所得函数解析式应为y=cos(x- π ),故选A.
3
[对点训练 1](1)(多选题)(2024·广东东莞模拟)为了得到函数

y=sin)(4x- )的
3

图象,只需将函数 y=sin(x+ )的图象上所有的点( AC )
3
AB 的垂直平分线对应
f(x)=sin
2π
43
4π
π
4π
ω(xB-xA)= ,即 = ,解得
6
6
6
,所以 f(π)=sin
2π
4π3
ω=4,代入①,得
2π √3
=-sin =- .
3
2
[对点训练2](多选题)(2020·新高考Ⅰ,10)下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图
象,则sin(ωx+φ)=( BC )
12
7
B.向右平移 个单位长度
12
7
C.向左平移 个单位长度
24
7
D.向右平移24 个单位长度
D )

f(x)=cos(2x- )的图象,应将函数
3
解析 因为
π
π
π
π
y=-sin(2x- )=-sin(2x+ − )=cos(2x+ ),将其图象上所有的点向右
4
4
2
4
7π
平移 个单位长度,得到函数



sin(-6+φ)=1,可得-6+φ=2+2kπ(k∈
2π
时,φ= 3 ,故函数的解析式为
2π
y=2sin(2x+ 3 ).
题组三连线高考
6.(2022·浙江,6)为了得到函数 y=2sin 3x 的图象,只要把函数
上所有的点( D )

A.向左平移 个单位长度
5

B.向右平移 个单位长度
5

C.向左平移 个单位长度
15

D.向右平移 个单位长度
15

y=2sin(3x+ )图象
5
解析 由
π
π
π
y=2sin(3x+5)=2sin[3(x+15)],因此需要将函数图象向右平移15个单位
长度,即可得到 y=2sin 3x 的图象,故选 D.
7.(2021·全国甲,文15)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则
3
6
π
右平移 个单位长度才能得到
6
y=cos 2x 图象上所有的点向
f(x)的图象,故选 D.
(2)(2021·全国乙,理 7)把函数
1
y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵
2

坐标不变,再把所得曲线向右平移3 个单位长度,得到函数
y=sin

- 4
的图象,
则 f(x)=( B )
A.sin
6
1
A.横坐标缩短到原来的4,纵坐标不变,再把得到的图象上所有的点向右平移

个单位长度
8
1
B.横坐标缩短到原来的4,纵坐标不变,再把得到的图象上所有的点向左平移

个单位长度
8

C.向右平移 个单位长度,再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
2
1
,纵坐标不变
4

D.向左平移2 个单位长度,再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
2
D.向右平移 个单位长度
3

3
的图象上所有的点( B )
解析 因为

y=2sin[2(x- )+ ]=2sin
3 3
象,只需把函数

2x3
,所以为了得到函数

y=2sin(2x- )的图
3


y=2sin(2x+ )的图象上所有的点向右平移 个单位长度.
3
3
5.(人教A版必修第一册习题5.6第4题)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)
方法.
微思考由y=sin x的图象通过变换得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的过程中,先
平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)和先周期变换再平移变换有什
么联系与区别?
提示 两种变换方法都是针对x而言的,即x本身加减多少,而不是ωx加减多
少.
先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度,
6
π
y=sin(x-3)的图象,再把得到的图象上所有点的横坐标缩
1
短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数
4
π
y=sin(4x- )的图象,C
3
正确.故选 AC.
(2)(2022·全国甲,文 5)将函数


f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的图象向左平移 个单位长
3
2
度后得到曲线 C,若关于 y 轴对称,则 ω 的最小值是( C )
π
+
3
=cos 2
4π
φ=2kπ- ,k∈
3
π
+
6
.当 ω=-2
π
φ=2kπ+3,k∈Z,此时
.故选 BC.
(方法二

代入交点坐标)由题图可知,2
以|ω|=2,所以 A 错误;当 ω=-2
=
2π
π
−6
3
=
π
,所以
2
2π
T=π,因为||=π,所
2π
时,因为图象过点( ,0),所以
3
sin(-2×
2
在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为 y=2sin(2x+ 3 )
.
解析 由函数的最小值为-2 可得
ω=2,所以
T
A=2,再根据2

y=2sin(2x+φ),图象经过(-12,2),即
Z),又 0<φ<π,所以当 k=0