(通用版)高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第3讲 圆锥曲线的几何性质专题强化训练 理-人教版高三

（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第3讲 圆
锥曲线的几何性质专题强化训练 理
(时间：45分钟 满分：60分)
一、选择题
1．已知P 为椭圆x 225＋y 2
16
＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y
2
＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A ．5
B ．7
C ．13
D ．15
解析：选B.由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.
2．已知椭圆x 2＋my 2
＝1的离心率e ∈(12
，1)，则实数m 的取值X 围是( )
A ．(0，34)
B ．(4
3，＋∞)
C ．(0，34)∪(43，＋∞)
D ．(34，1)∪(1，4
3
)
解析：选C.在椭圆x 2＋my 2＝1中，当0<m <1时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2
＝1m
－1，
∴e 2
＝c 2
a 2＝1m －11
m
＝1－m ，
又1
2<e <1， ∴14<1－m <1，解得0<m <34
； 当m >1时，a 2＝1，b 2
＝1m ，c 2＝1－1m
，
e 2＝c 2
a 2＝1－
1m 1＝1－1
m ，
又12<e <1，∴14<1－1
m
<1， 解得m >4
3
.
综上可知实数m 的取值X 围是(0，34)∪(4
3
，＋∞)．
3．若点P 是以A (－10，0)，B (10，0)为焦点，实轴长为22的双曲线与圆x 2
＋y
2
＝10的一个交点，则|PA |＋|PB |的值为( )
A ．2 2
B ．4 2
C ．4 3
D ．6 2 解析：选D.由题意知2a ＝22，c ＝10，
所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2
＝10－2＝8，
28
不妨设点P 在第一象限，则由题意知
⎩⎨⎧|PA |－|PB |＝2a ＝22
|PA |2＋|PB |2＝（2c ）2
＝40
， 所以(|PA |－|PB |)2
＝|PA |2
＋|PB |2
－2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝32，
所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2
＋2|PA ||PB |＝72， 所以|PA |＋|PB |＝72＝6 2.
4．已知双曲线：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB
交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2.若直线AB 过原点，则k 1k 2的值为( )
A ．2
B ．3 C. 3
D ． 6
解析：选B.由题意知e ＝c a
＝2，则b 2＝3a 2，双曲线 方程可化为3x 2－y 2＝3a 2
，设A (m ，
n )，M (x ，y )，则B (－m ，－n )，k 1k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2
x 2－m 2
＝3.
5．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离
为
5
3c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( ) A.32 B ．
52
C.35
2
D ．52
解析：选A.不妨取双曲线的右焦点(c ，0)，双曲线的渐近线y ＝b a
x ，即bx －ay ＝0，则焦点到渐近线的距离为|bc |c ＝5
3
c ，
即b ＝
53c ，从而b 2＝5
9c 2＝c 2－a 2， 所以49c 2＝a 2，即e 2
＝94
，
所以离心率e ＝3
2.
6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2
，则C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±1
4x
B ．y ＝±1
3x
C ．y ＝±1
2x
D ．y ＝±x
解析：选C.由e ＝52，得c a ＝52
， ∴c ＝
52a ，b ＝c 2－a 2＝1
2
a . 而x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a
x ，
2
7．双曲线C 1：x 2m 2－y 2b 2＝1(m >0，b >0)与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)有相同的焦点，双曲
线C 1的离心率是e 1，椭圆C 2的离心率是e 2，则1e 21＋1
e 22
＝( )
A.12
B ．1
C. 2 D ．2
解析：选D.依题意，双曲线C 1中c 2＝m 2＋b 2，椭圆C 2中c 2＝a 2－b 2
，
所以a 2－b 2＝m 2＋b 2，即m 2＝a 2－2b 2
，
所以1e 21＋1e 22＝a 2－2b 2c 2
＋a 2
c
2 ＝2a 2－2b 2c 2＝2（a 2－b 2）c 2
＝2.
8．已知点P 为抛物线y 2
＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(72
，
4)，则|PA |＋|PM |的最小值是( )
A.112 B ．4 C.92
D ．5 解析：选C.依题意，焦点F (1
2，0)，当P ，A ，F 三点共线时|PA |＋|PM |才有最小值，此
时|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PF |－1
2
，
即|PA |＋|PM |的最小值为|FA |－1
2
＝
（72－12）2＋42
－12＝5－12＝92
.故选C. 9．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 24－y 2
5＝1的右焦点重合，抛物线的准线
与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( )
A ．2 2
B ．3
C ．2 3
D ．4
解析：选B.抛物线的焦点为(p 2，0)，准线为x ＝－p
2
.
双曲线的右焦点为(3，0)，
所以p
2
＝3，
即p ＝6，即y 2
＝12x .过A 作准线的垂线，垂足为M ， 则|AK |＝2|AF |＝2|AM |，
即|KM |＝|AM |，设A (x ，y )，则直线AK ：y ＝x ＋3，代入y 2
＝12x ，解得x ＝3.故选B.
10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，
连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝4
5
，则C 的离心率为( )
A.35 B ．57
C.45 D ．67
解析：选 B.在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos ∠ABF ＝102＋82
－
2×10×8×4
5
＝36，则|AF |＝6.
由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2
可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝
|AB |2
＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边
形，所以|BF |＝|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝5
7
.
二、填空题
11．已知A ，B 是双曲线C 的两个顶点，直线l 与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，且与
实轴所在直线垂直．若PB →·AQ →
＝0，则双曲线C 的离心率e ＝________．
解析：如图所示，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，取其上一
点P (m ，n )，则Q (m ，－n )，由PB →·AQ →
＝0可得(a －m ，－n )·(m ＋a ，－n )
＝0，化简得m 2a 2－n 2
a 2＝1，
又m 2a 2－n
2b
2＝1可得b ＝a ， 因此双曲线的离心率为e ＝ 2.
答案： 2
12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
.过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线
与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →
，则k ＝________．
解析：根据已知c a ＝32，可得a 2
＝43
c 2，
则b 2
＝13
c 2.
故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c
2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2
＝0.
设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF →＝3FB →
，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)， 由此得－y 1＝3y 2，
根据根与系数的关系得y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 2
3（m 2
＋4）
， 把－y 1＝3y 2代入得，
y 2＝cm
m 2＋4，－3y 22
＝－c 2
3（m 2
＋4）， 故9m 2＝m 2
＋4，
故m 2＝12
，从而k 2
＝2，k ＝± 2.
又k >0，故k ＝ 2. 答案： 2
13．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2
上的两点，直线l 是AB 的垂直平分线．当
直线l 的斜率为1
2
时，直线l 在y 轴上的截距的取值X 围是________．
解析：设直线l 在y 轴上的载距为b ，则直线l 的方程为y ＝1
2
x ＋b ，过点A ，B 的直线
可设为y ＝－2x ＋m ，联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2
y ＝－2x ＋m ，得2x 2
＋2x －m ＝0，
从而有x 1＋x 2＝－1，Δ＝4＋8m >0⇒m >－1
2
①.
又AB 的中点(－1
2，m ＋1)在直线l 上，
即m ＋1＝－1
4＋b ，
得m ＝b －54，将m ＝b －54代入①得b >3
4
，
所以直线l 在y 轴上的截距的取值X 围是(3
4
，＋∞)．
答案：(3
4
，＋∞)
14．设抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为________．
解析：设M (x 0，y 0)，A (0，2)，MF 的中点为N .
由y 2
＝2px ，F (p
2，0)，
∴N 点的坐标为(x 0＋
p
22，y 0
2)．
由抛物线的定义知，x 0＋p
2＝5，
∴x 0＝5－p
2.
∴y 0＝
2p （5－p
2
）.
∵|AN |＝|MF |2＝52，∴|AN |2
＝254
.
∴(
x 0＋
p 2
2)2＋(y 02－2)2
＝254. 即（5－p 2＋p
2
）2
4
＋⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫
2p （5－p
2）2－22＝25
4.
∴2p （5－p
2
）2－2＝0.
整理得p 2
－10p ＋16＝0. 解得p ＝2或p ＝8.
∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2
＝16x .
答案：y 2＝4x 或y 2
＝16x
三、解答题
15．如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．
解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2
a
2＋y 2
b
2
＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c ，0)．
因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c 2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2
，所以离心率e ＝c a ＝25 5. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故
S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c
2
·b ＝b 2.
由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2
＝4，
从而a 2＝5b 2
＝20. 因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 2
4
＝1.
(2)由(1)知B 1(－2，0)，B 2(2，0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的
方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2
－4my －16＝0.
设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m
m 2＋5
，y 1·y 2＝－
16
m 2＋5
. 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →
＝(x 2－2，y 2)，所以 B 2P →·B 2Q →
＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2
＝(m 2
＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16
＝－16（m 2＋1）m 2＋5－16m 2
m 2＋5＋16
＝－16m 2
－64m 2＋5
，
由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →
＝0，
即16m 2
－64＝0，解得m ＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0. 16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2，2)，其焦点F 在x 轴上．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；
(3)设过点M (m ，0)(m >0)的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，设D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．
解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2
＝2px . 因为点A (2，2)在抛物线C 上，所以p ＝1.
因此，抛物线C 的标准方程为y 2
＝2x .
(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0， 又直线OA 的斜率为2
2
＝1，
故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，
因此，所求直线的方程是x ＋y －1
2
＝0.
(3)设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝
k (x －m )，k ≠0.将x ＝y
k
＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1，2＝
1±1＋2mk 2
k .由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)．化简得k 2
＝4m
.
因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1k 24（1＋2mk 2）k 2
＝94(m 2＋4m )．所以f (m )＝32m 2
＋4m (m >0)．。