2019-2020学年江苏南京鼓楼区南京师范大学附属中学高一上学期期末数学试卷详解版

2019~2020学年江苏南京鼓楼区南京师范大学附属中学高一上学期期末数学试卷(详
解)
（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.
A.
B.
C.
D.
【答案】【解析】已知集合，集合
，则（ ）．
B 因为
，
，
所以
．
2.
A.
B.
C.
D.
【答案】【解析】
设，，
，则，，的大小关系为（ ）．
D ，，，所以．
故选．
3.
A.
B. C. D.
【答案】【解析】如图，已知点为边上一点，且．若存在实数，，使得
，则
的值为（ ）．
A ∵
，
∴，
再由
，可得
，
，
一、单项选择题
∴．
故选．
4.
A.
B. C. D.
【答案】【解析】已知函数 的图象如图所示，则的值为（ ）．
x
y
O
D
由图可知，
，所以，所以，又因为
，
所以 ，解得
，
因为，所以
．
故选．
5.
A.
B.
C.
D.
【答案】【解析】函数的定义域是（ ）．
C
由对数的真数大于，及二次根式内非负，
得且，
解得且
，
所以定义域为．
故选．
6.
A.
B.
C.
D.
设，是实数，已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点
，
，且
，则的值为（ ）．
【答案】【解析】A
由三角函数的定义，
，且
，
解得，，
所以．
故选．
7.
A.
B.
C. D.
【答案】【解析】函数的图象大致为（ ）．
D
由该函数为奇函数，排除选项，，由
时，函数值为，可排除选项．
故选．
8.
A. B.C.
D.不确定
【答案】【解析】若函数，则对于任意的，，与的大小
关系是（ ）．B
观察图象，可得函数“凹凸性”如图．
故选．
二、多项选择题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分)9.
A.
B.
C.
D.
【答案】【解析】
下列计算结果为有理数的有（ ）．ABCD ；
；
；
．
故选 ABCD ．
10.
A.B.C.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：
D 选项：【解析】对于定义在上的函数，下列判断的有（ ）．
若，则函数是上的单调增函数若，则函数不是偶函数
若，则函数是奇函数
函数在区间
上是单调增函数，在区间
上也是单调增函数，则
是上的单调
增函数ACD 由
，则在上必定不是增函数；故错误；
正确；故正确；，满足
，但不是奇函数；故错误；
该函数为分段函数，在处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误．
故选 A C D .
错.误.
11.
A.
B.
C.
D.
设为实数，则直线和函数的图象的公共点个数可以是（ ）．
【答案】【解析】ABC 由
消去整理得：
，即
，
∴当时，，此时方程有两个不相等的实根，故两个函数的图象有个公共点，当时，，此时方程有一个实根，故两个函数的图象只有个交点，当
时，
，此时方程无实根，故两个函数没有交点．综上所述，故选
．
12.
A. B.C.
D.
【答案】【解析】设函数的定义域为，若对于任意，存在使（为常数）成立，则称
函数在上的“半差值”为．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为的函数是（ ）．
AC
即对任意定义域中的，存在，使得
；
．值域为，满足，故正确；
．当时，函数值为，此时不存在自变量，使得函数值为，不满足，故错误；．当时，函数值为
，此时不存在自变量，使得函数值为
，不满足，故错
误．故选
．
三、填空题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.
【答案】【解析】
【踩分点】
设为实数，若函数在区间上是单调减函数，则的取值范围是 ．
为开口向上的二次函数，对称轴为直线，要使得函数在上递减，则
，解得
．
14.
把函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到图象为；在把
【答案】【解析】【踩分点】
上每一点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到图象为．则对应的解析式为 ．
令
，
则由已知可得
对应的解析式为
，
对应的解析式为．
即
对应的解析式为
．
15.
【答案】【解析】
【踩分点】
若，，其中，则的最大值为 ．
，所以
，
因为，
令，
所以，
所以当时，取最大值，所以
的最大值为．
16.
【答案】【解析】
已知函数，那么 ，若存在实数，使得，则的个
数是 ． ; ，
令
，即满足
，
，即
时，经检验，均满足题意，
【踩分点】
，即或时，，
由，解得
或（舍去），
再由，
解得
或，，即
时，，由，解得 （舍去），
综上所述：共有个．
四、解答题
（本大题共6小题，共70分）17.
（1）（2）（1）
（2）
【答案】（1）（2）
【解析】设为实数，已知向量，
．
若，求
和
的值．
若向量与
所成角为，求的值．，
．
．
当
时，
，
，，
所以
，．
，
，
，
平方化简得：，解得
，
，
经检验，当
时，夹角为
舍去，故
．
【踩分点】
18.
（1）（2）
（1）（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】【踩分点】
设实数满足，其中为常数．
当时，求
的数值．
求值：（用含的式子表示）．
．
．，平方得：，
所以
；
．
，由
，所以平方得：，
，
所以原式
．
19.
（1）（2）（1）
（2）
【答案】设为正实数．如图，一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面
，已知水轮每分钟逆时针转动
圈．当水轮上的点从水中浮现时（即图中点
）开始计算时间．
水面
将点距离水面的高度表示为时间的函数．
点第一次到达最高点需要多少时间？，
．
．
（1）（2）【解析】【踩分点】
如图，以水轮圆心为原点，与水面平行的直线为轴建立直角坐标系，
水面
当时，点的坐标为，角度为；
根据水轮每分钟逆时针转动圈，可知水轮转动的角速度为，
所以时刻，角度为；
根据三角函数定义，可得
，
．
当
时，
，
所以，解得
，
所以当
时，，即第一次达到最高点时需要．
20.
（1）（2）（1）（2）【答案】（1）
（2）
【解析】设向量，向量，其中．
若，求证：
．若
，求证：
．
证明见解析．
证明见解析．
，
，因为
，
所以，不全为，不妨设
，
如果，则存在实数，使得
，即，
所以，则，
即
．
，，因为
，
所以
，不全为，不妨设
，
反之，如果
，因为
，
【踩分点】
所以，
，
令
，则
，所以
．
21.
（1）（2）（1）（2）
【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】
回答问题．
运用函数单调性定义，证明：函数在区间
上是单调减函数．
设为实数，
．若
，试比较
和
的大小，并说明理由．
证明见解析．
；证明见解析．对任意的
，
，且
，
，
因为，
，，
所以，即
，
所以函数
在区间上是单调减函数．
因为
，
所以在上是单调减函数．因为，所以，
，
所以，
且，
所以
．
22.
（1）（2）完成下列各题．已知函数，试判断函数
的单调性，并说明理由．
已知函数
12（3）（1）12（2）（3）【答案】（1）12（2）【解析】的奇偶性，并说明理由．
求证：对于任意的，，且，，，都有
．①
由可以知道满足①式的函数是存在的，如．问：满足①的
函数是否存在无穷多个？说明理由．
函数在区间上是单调递增，在区间上是单调递增．证明
见解析．
为奇函数，证明见解析．
证明见解析．
是，证明见解析．
对任意的，，且，
则,
因为，，所以，即
，所以函数在区间上是单调递增，同理可得在区间上是
单调递增．
的定义域为，
对任意的，
有，
且
，
所以为奇函数，
又，所以不是偶函数．
对于任意的，，且，，，
都有
，
（3）【踩分点】
所以
．
设，则对于任意的，，且，，，
都有
，
即满足①，因为有无穷多个，所以这样的也有无穷多个．。