2020-2021上海市外国语大学附属实验高中必修一数学上期中第一次模拟试题带答案

2020-2021上海市外国语大学附属实验高中必修一数学上期中第一次模拟试题
带答案
一、选择题
1．已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则A =R ð
A ．{}
12x x -<<
B ．{}
12x x -≤≤
C ．}{}{|12x x x x <-⋃
D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥
2．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =
( ) A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3．已知集合{}
{}2
|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件
A C
B ⊆⊆的集合
C 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，
上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫
-<-< ⎪⎝⎭
B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫
-<-< ⎪⎝⎭
C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
5．已知()20191
1,0
2log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩
，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得
()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)
B ．[-2,0)
C ．(]2,0-
D ．（0,1）
6．已知函数22
21,2,
()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩
且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）
A ．(4,5)
B ．[4,5)
C ．(4,5]
D ．[4,5]
7．已知111,2,,3,23a ⎧
⎫∈-⎨
⎬⎩
⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-
B ．1
,33
C ．11,,33
-
D ．11,,332
8．若0.2
3log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为
A ．c b a <<
B ． b a c <<
C ． a b c <<
D ．b c a <<
9．设0.60.3a =，0.30.6b =，0.30.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．c b a <<
10．已知集合{
}
22
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
11．设0.1
359
2,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
12．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若
12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．a c b >>
B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．a b c >> 二、填空题
13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 14．已知函数()3
2f x x x =+，若()
()2
330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是
__________．
15．已知偶函数()f x 满足3
()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___
16．已知函数2,()24,x x m
f x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩
其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的
方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 17．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21x
f x =-，则
()()1f f -的值为______．
18．函数6()12log f x x =-__________．
19．已知2
()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．
20．若函数()22x
f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.
三、解答题
21．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；
（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.
22．已知函数()f x 对任意的实数m ,n 都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,有()1f x >.
(1)求()0f ;
(2)求证:()f x 在R 上为增函数;
(3)若()12f =,且关于x 的不等式()(
)2
23f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,
求实数a 的取值范围.
23．若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()x f f x f y y
=-， 当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；
（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x
+-<.
24．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”.
（1）分别判断下列函数：①y =2
1
1
x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论）
（2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围；
（3）设“X —函数”f （x ）=21,,
x x A
x x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B .
25．国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元． （1）写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； （2）旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？
26．已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；
（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}
|12A x x x =<->或，
所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
2．C
解析：C 【解析】
∵ 集合{}1
24A ，，=，{}
2
|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =
∴{}{}
{}2
2
|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
求解一元二次方程，得
{}
()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .
因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】
本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
4．D
【解析】 【分析】
函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，
上是增函数，即可进行判断. 【详解】
函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.
又函数()f x 在区间(]1-∞-，
上是增函数. 则()()3122
f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
-，即()()3212f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
故选：D. 【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】
()20191
1,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .
【点睛】
本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
6．A
【解析】
不妨设123x x x <<，当2x <时，()()2
12f x x =--+，此时二次函数的对称轴为
1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且
12
12
x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】
因为()a
f x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭
因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭
因此选B. 【点睛】
本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】
由指数函数与对数函数的性质可知，
a =()3log 20,1,
b ∈=lg0.20,
c <=0.221>，所以b a c <<，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性得出0.60.30.30.3<，而根据幂函数的单调性得出0.30.30.30.6<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】
解：0.3x
y =Q 在定义域上单调递减，且0.360.<，
0.60.30.30.3∴<，
又0.3
y x
∴=在定义域上单调递增，且0.360.<，
0.30.30.30.6∴<，
0.60.30.30.30.30.6∴<<，
a c
b ∴<<
故选：B ． 【点睛】
考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．
10．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆
2
2
1x y +=与直线y x =相交于两点22,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
，则A B I 中有2个元
素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
11．A
解析：A 【解析】 试题分析：
，
，即
，
，
．
考点：函数的比较大小．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出
12log 30<，由偶函数的性质得出()2
log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12
的大小关
系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】
()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，
Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，
112
2
log 3log 10<=Q ，由换底公式得122
log 3log 3=-，由函数的性质可得
()2log 3a f =，
对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2x
y =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.2
1
02
12
-<<
<， 1.221
02log 32
-∴<<
<，因此，b c a >>. 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题
13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝
解析：1120 【解析】 【分析】
明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案．
【详解】
由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，
y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪
=-≤⎨⎪-+⎩
，＜，
＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100
∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，
故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】
本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．
14．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
解析：(1,3) 【解析】
由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()
()2
330f a a f a -+-<
22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内
15．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或
【解析】 【分析】
通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】
根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在
()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t
>，即22x -<-或22x ->，即0x <或
4x >.
【点睛】
本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.
16．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数
解析：()3+∞，
【解析】
试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.
【考点】分段函数，函数图象
【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
17．【解析】由题意可得： 解析：1-
【解析】
由题意可得：()()()()()111,111f f f
f f -=-=--=-=-
18．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4 解析：(
6⎤⎦
【解析】
要使函数()f x 有意义，则必须60
12log 0x x >⎧⎨
-≥⎩
，解得：06x ≤<
故函数()f x 的定义域为：(
6． 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为π
{|π,}2
x x k k ≠+
∈Z . 19．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性
解析：-1 【解析】
试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则
，所以
．
考点：函数的奇偶性．
20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<
【解析】 【分析】 【详解】
函数()22x
f x b =--有两个零点，
和
的图象有两个交点，
画出
和
的图象，如图，要有两个交点，那么
三、解答题
21．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <． 【解析】
试题分析：（1）由对数有意义，得20{
20
x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解
⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．
试题解析：（1）x 须满足20{
20
x x +>->，∴22x -<<，
∴所求函数的定义域为(2,2)-.
（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <
()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -
令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤
∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <. 考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．
22．(1)1 (2)见解析(3)()
,1-∞ 【解析】 【分析】
(1) 令0m n ==，代入计算得到答案.
(2) 任取1x ，2x ∈R ，且12x x <，计算得到()()()()221111f x f x x f x f x =-+->得到证明.
(3)化简得到(
)()2
21f ax x x
f -+-<，根据函数的单调性得到()2
130x a x -++>对任
意的[]1,x ∈+∞恒成立，讨论112a +≤和1
12
a +>两种情况计算得到答案. 【详解】
(1)令0m n ==，则()()0201f f =-()01f ∴=.
(2)任取1x ，2x ∈R ，且12x x <，则210x x ->，()211f x x ->.
()()()1f m n f m f n +=+-Q ，
()()()()()()221121111111f x f x x x f x x f x f x f x ∴=-+=-+->+-=⎡⎤⎣⎦，
()()21f x f x ∴>()f x ∴在R 上为增函数.
(3)()()2
23f ax f x x
-+-<Q ，即()()2212f ax f x x -+--<，
()2
22f ax x x ∴-+-<()12f =Q ()()2
21f ax x x f ∴-+-<.
又()f x Q 在R 上为增函数221ax x x ∴-+-<，
()2130x a x ∴-++>对任意的[]1,x ∈+∞恒成立.
令()()()2
131g x x a x x =-++≥，只需满足()min 0g x >即可
当
1
12
a +≤，即1a ≤时，()g x 在[)1,+∞上递增，因此()()min 1g x g =， 由()10g >得3a <，此时1a ≤；
当
112a +>，即1a >时，()min 12a g x g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，由102a g +⎛⎫
> ⎪⎝⎭
得
11a -<<
，此时11a <<.
综上，实数a
的取值范围为()
,1-∞. 【点睛】
本题考查了抽象函数的函数值，单调性，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.
23．（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x << 【解析】 试题分析：
(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；
(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x
⎧
⎪+<⎪
+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.
试题解析： （1）增函数
证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则1
2
1x x > 由题意知：1
122
(
)()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x > ∴1
2
()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数
(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2
f f f =- ∴()()422122f f ==⨯=
()1
3()((3))(4)f x f f x x f x
+-=+<
又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x
⎧
⎪+<⎪
+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<.
点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性
较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法． 24．（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0） 【解析】 【分析】
（1）直接利用信息判断结果；
（2）利用信息的应用求出参数的取值范围； （3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果. 【详解】
（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”； （2）∵f （-x ）=-x -x 2+a ，
-f （x ）=-x +x 2-a ，f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”， ∴f （-x ）=-f （x ）无实数解， 即x 2+a =0无实数解， ∴a ＞0，
∴a 的取值范围为（0，+∞）； （3）对任意的x ≠0，
若x ∈A 且-x ∈A ，则-x ≠x ，f （-x ）=f （x ），与f （x ）在R 上单调增矛盾，舍去； 若x ∈B 且-x ∈B ，f （-x ）=-f （x ），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去； ∴对任意的x ≠0，x 与-x 恰有一个属于A ，另一个属于B ， ∴（0，+∞）⊆A ，（-∞，0）⊆B ，
假设0∈B ，则f （-0）=-f （0），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去； ∴0∈A ，
经检验，A =[0，+∞），B =（-∞，0）符合题意. 【点睛】
本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型. 25．（1）900,030,120010,3075,x x N y x x x N +
+<≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩
；（2）当人数为60时，旅行社可获最大
利润. 【解析】 【分析】
（1）当030x <≤时，900y =；当3075x <≤，用900减去优惠费用，求得y 的表达.由此求得每人需交费用y 关于人数x 的分段函数解析式.
（2）用收取的总费用，减去15000，求得旅行社获得利润的分段函数表达式，利用一次函数和二次函数最值的求法，求得当人数为60时，旅行社可获得最大利润.
【详解】
（1）当030x <≤时，900y =；
当3075x <≤，90010(30)120010y x x =--=- 即900,030,120010,3075,x x N y x x x N +
+<≤∈⎧=⎨
-<≤∈⎩
；
（2）设旅行社所获利润为S 元，则 当030x <≤时，90015000S x =-；
当3075x <≤时，2(120010)1500010120015000S x x x x =--=-+-
即2
90015000,030,10120015000,3075,x x x N S x x x x N +
+-<≤∈⎧=⎨-+-<≤∈⎩
Q 当030x <≤时，900 15000S x =-为增函数
30x ∴=时，max 12000S =，
当3075x <≤时，2
10(60)21000S x =--+，
60x =，max 2100012000S =>.
∴当人数为60时，旅行社可获最大利润.
【点睛】
本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查一次函数、二次函数的值域的求法，属于中档题.
26．（1）2
()1f x x x =-+（2）1m <- 【解析】 【分析】
（1）设2
()(0)f x ax bx c a =++≠，带入()(1)2f x f x x -+=-和(0)1f =，即可求出
a ，
b ，
c 的值.
（2）首先将题意转化为[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立，再求出2
min (31)x x -+，
2min (31)m x x <-+即可.
【详解】
（1）设2
()(0)f x ax bx c a =++≠，
则22
()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---， 所以22ax a b x ---=-，
解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==， 所以2
()1f x x x =-+.
（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立， 即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立. 设2
()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-. 则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-. 【点睛】
本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.。