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高等数学有关概念、公式
一，对函数概念的理解。

（一），函数
函数是数学中非常重要的一个概念，理解这个概念应特别注意把握以下几点：
1、函数的两个基本要素是定义域和对应法则，只要这两个要素相同就是相同的函数，而与自变量、因变量分别用什么字母表示无关。

2、函数对应法则一般用“f ”表示，其中字母“f ”也可以换用其他字母表示，如 g ，F ，φ，Φ，等，但用不同字母表示的通常是不同的函数。

3、函数表达式“y=f(x)”中的核心是“f( )”，它表示了函数式的基本结构，一旦函数确定，它就是不容更改的，字母“x ”和“y ”在一定条件下则是可变换的。

“x ”的这种变化可以说是奇妙无穷，涵义深远，而高等数学研究的就是变量的变化规律，所以本文主要就是围绕着“x ”的这些变化展开的。

4、函数的记号“y=f(x)”的意义可以理解为：对于一个由对应法则“f( )”确定的函数，如果给定其自变量为“x ”，就可得到因变量的值，亦即函数值 “y ”；每给定一个不同的“x ”值，就有一个不同的函数值“y ”与其对应，“x ”可以遍取自变量范围内的任意值。

也有人把“f( )”比喻成一台“机器”，输入不同的原料“x ”，就可得到相应的产品“y ”，机器不变，原料和产品则可能千变万化。

（二），复合函数
在函数表达式“y=f(x)”中，自变量“x ”的取值不仅可以是数字，也可以是代表具体数值的字母，甚至可以是一个符合条件的表达式。

一旦“x ”所代表的变量换成为另外一个符合条件的函数式，就会得到一个复合函数。

这样就把复合函数统一到了函数概念当中。

认识到这点对于后面学习掌握复合函数求导法和凑微分法求积分是非常有帮助的。

这点可以通过求函数值的练习时让自变量分别取常数、字母和代数式来潜移默化地让学生认识和理解。

把几个函数基本初等函数复合成复合函数、把复合函数分解为简单的基本初等函数的练习也有助于学生深入理解函数和复合函数的概念及二者间的关系。

（三），导函数和变限积分函数
这两个概念与前述的函数概念也没有本质区别，其中导函数只是与自变量对应的因变量变成某个函数的导数值而已。

而变限积分函数则是自变量变为定积分的上下限，而函数值是一些定积分值，即极限值。

因此它们也都可以统一到函数的概念之中。

有了这些理解，二阶和高阶导数的定义、计算以及其他相关问题也就可以迎刃而解。

比如二阶导数，从求导的角度看，实际上就是被求导的函数变成某一个函数的导函数而已，这与复合函数是自变量变成另外一个函数式如出一辙。

（四）反函数及其图像
反函数是由于自变量与因变量的相对性而引入的，体现了变量“x ”的另一种特殊变化。

本来函数y=f(x)的反函数应
该是x=f -1(y)，但因为通常大家都习惯于用“x ”表示自变量，用“y 表”示因变量，而函数是否相同与自变量、因变量
分别用什么字母表示无关，所以才写为y=f -1(x)，也只有在这样交换后反函数的图像才与原函数的图像关于直线“y=x ”
对称，否则二者应该是重合的。

二、对数学公式的理解和掌握
公式是数学课程知识体系重要组成部分，是解决数学问题的重要手段，但是很多学生在学习数学公式的时候往往流于死记硬背，不能深刻掌握和灵活运用，我们老师就要引导学生掌握公式的内在实质，以便在解决实际问题时可以举一反三。

何谓“公式”？所谓“公”者，可以广泛甚至普遍运用也。

那么怎样来体现这个“公”字呢？用字母代表数这一重要数学思想的目的之一就是为了体现数学概念和公式的普适性，公式中的字母具有广泛的代表性。

因此对公式最根本的是要记住其结构，理解其意义，不能把重点放在字母上，尤其不能死板理解这些字母，而要把它们看成和上述函数式中的“x ”一样是“活”的，是可以变化的。

从下面几个例子就可以看出常用公式中的字母“x ”可以用来包容或代替很多不确定、不规则的东西，具有极强的同化能力：
（一），两个重要极限公式： 1sin lim 0=>-x x x e x x
x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞>-11lim 这两个公式都可以这样理解：每个式中的3个“x ”同步变换为满足条件的相同代数式后公式仍然成立。

即可以把3
个“x ”都变换为符合要求的式子“f （x ）”：
1)()(sin lim
0)(=→x f x f x f e x f x f =+→))(11(lim 0)( 但是，公式中的其他部分不能变：等式右边极限值为“1”或“e ”一般无需强调，但前式要注意变量“x ”或“f （x ）”必须趋向于“0”，分母、分子必须分别是这变量和其正弦，；后式中除了自变量趋于无穷大外，括号内的两个常数“1”和加号“+”等表征公式结构的要素也不能改变，若在解题时遇到不一致的情况就要先把那些导致不一致的项想办法通过恒等变形化到分母中那个“x ”里面，把这些位置化为与公式完全一致。

如：
x x x )1(lim 0+→=e x x
x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+∞>-11111lim 这就是也可以用做公式的e x x x =+>-)1(lim 0，而且这里面的3个“x ”也同样可以变换为符合条件的相同代数式。

自变量的趋向变化在实际解题时通常可不改写，但必须要考察式子变形后其是否满足公式条件的要求。

（二），等价无限小代换公式：
同样道理，对于等价无穷小：
当x →0时：e x －1~x ；ln （1+x ）~x ；1—cosx~
221x ；……………等等。

包括条件在内，每个式子涉及的3个“x ”也可以分别用3个相同的式子同步代换，即：
当f(x) →0时：e f(x)－1~f(x)
当g(x) →0时：ln[1+g(x)]~g(x)
当φ(x) →0时：1—cos φ(x)~)(212x ϕ
（三），求导和微分公式
严格来说导数公式中应该标出对哪个变量求导，正如等价无穷小必须先指明在哪个变量有怎样的变化趋势时两个式子才是等价无穷小。

但是通常都是默认为对“x ”求导，所以教材和大多数老师为了印刷和书写简单都忽略了，这对学生完整理解和掌握这些公式是不利的。

例如：
(sinx)＇=cosx 严格说应该写为：dx
x d sin =cosx 或 (sinx)x ＇=cosx 最后一个式子中的下角标“x ”就是说明对变量“x ”求导。

类似地，(a x )＇= a x
lna 应该写为 =dx da x
a x lna 或 (a x )x ＇= a x lna (tanx)＇＝sec 2x 应该写为 dx
x d tan =sec 2x 或 (tanx)x ＇=sec 2x 也就是说公式中实际上也包含着3个而不是2个“x ”，如果把这3个“x ”同时换成相同的其他式子，公式仍然成立，当然公式的其他地方都不能变。

如：
)
2()2sin(x d x d =cos2x 或 (sin2x)2x ＇=cos2x )
13(1
3++x d da x = a 3x+1lna 或 (a 3x+1)3x+1＇= a 3x+1lna )
(ln )tan(ln x d x d =sec 2(lnx) 或 [tan(lnx)]lnx ＇=sec 2(lnx)
上述“2x ”，“3x+1”，“lnx ”也可以是符合条件的其他函数式，当然也可以一律用“f(x)”代替。

有了这层理解对于灵活套用公式，解决复合函数求导的问题就简单多了。

(四)，积分公式
针对不定积分是求导的逆运算，我们可以借助上述思想由求导公式把不定积分公式一一推导出来，例如：
由(x u )＇＝ux u-1，可以得出：∫ux u-1dx= x u +C
但我们为了应用方便通常需要把左边的积分函数化为基本初等函数或其他简单代数式，所以可以进行以下变化：把指数“u-1”用“u ”来代换，相应地“u ”就要变成“u+1”,把系数“u+1”提出移到公式右边就变成基本初等函数的积分公式：
∫x u dx= 1
1+u x u+1＋C 类似地，其他公式也可以通过这种交换和代换得到。

同时，这些积分公式中的3个“x ”也应该理解为是可以同步变化成其他式子而保持公式的成立，即：
∫cosxdx=sinx+C 也可以写成∫cos φ(x)d φ(x)=sin φ(x)+C
∫e x dx=e x +C 也可以写成：∫e f(x)df(x)=e f(x)+C ∫211x
+dx= arctanx 也可以理解为 ∫)(112x g +dg(x)＝arctan g(x)＋C 其他公式以及凑微分公式和分部积分公式也可以类似理解。

三、在习题的应用
（一）求极限
1，两个重要公式求极限
为了套用公式，需要把所要求极限的函数式进行恒等变形使其结构形式与公式原型相同，例如应用公式一：
x x x 3sin lim 0→=x
x x 33sin 3lim 0→=3333sin lim 03=>-x x x 也就是要根据题目中的正弦函数表达式中sin 后面的式子“f(x)”，在保持恒等的前提下把分母也变成“f(x)”，如上式中的“3x ”。

同时看“f(x)”的变化趋势是否趋于0，然后把多余的系数提取出来应用公式。

对于公式二，则首先要保证要求极限的函数式中两个“1”和“＋”号的位置与公式保持完全一致，若有不同就要通过恒等变形变为相同，同时把导致不同的因素化到括号里面那个“x ”中，得到一个含“x ”的代数式“f(x)”，指数部分先写出一个与这个“f(x)”相同的式子，然后乘以一个合适的系数以保持恒等。

如：
6)6(23)2
11(lim )21(lim --∙-∞→∞→=-+=-e x x x x x x 在这里，显然当“x →∞”时也有“-
2x →∞”成立，故第二步极限符号下面也可以保留“x →∞”，但心里应该明白其实这里应该是“－∞→2
1。

2、等价无穷小代换求极限
应用时特别注意代换的条件是相应的代数式是某个变量趋于零时的无穷小。

共涉及3个变量或者函数式，而不是2个。

虽然有的没有写出来，但必须意识到。

如：
92lim 92)3(21sin lim )3cos(11lim 2202
20sin 02
===--→→→x x x x x e x x x x (x →0时，3x →0，sin 2x →0) 2
1cos 21lim cos )cos 1(sin lim sin tan lim 32
03030=⋅=-=-→→→x x x x x x x x x x x x x x 这里特别要注意，进行无穷小代换的时候，如果分子分母有多项式的话，必须作为一个整体进行代换，不能逐项代
换，如最后一个式子的分子不能直接等价代换为“x －x ”。

（二）导数与微分
1，高阶导数
把函数f(x)一次求导得到的导函数g(x)再进行一次求导得到函数φ(x)，则φ(x)是g(x)的一阶导数，是f(x)的二阶导数。

因此题目：
已知f (n-1)(x)=x 3+e kx ，求f (n+1)(x)
其实就是求函数的二阶导数，即：
∵f (n)(x)=[ f (n-1)(x)]'=(x 3+e kx )'=3x 2+ke kx
∴f (n+1)(x)=[ f (n)(x)]'=(3x 2+ke kx )'=6x+k 2e kx
类似，其他高阶函数就是多次求导即可。

2，复合函数求导
如果求复合函数对中间变量的导数，就可以直接套用公式，如：
[ln(5x)]5x '=x
51 即 x x d x d 51)5()5ln(= （对“5x ”求导） ()[]'22
sec x x = sec(x 2)tan(x 2) 即 =22)sec(dx
x d sec(x 2)tan(x 2) （对“x 2”求导） 但是我们更多的是要求函数对自变量“x ”的导数，如求（sin2x ）x '，即dx
x d )2sin(此时我们不妨做如下变化： dx x d )2sin(=)2()2sin(x d x d ·dx
x d )2(=cos2x ·2=2cos2x 亦即：(sin2x)x '=(sin2x)2x '·(2x)x '=2cos2x
一般地就有，对于有y=f(u)和u=φ(x)构成的复合函数y=f[φ(x)]对x 的导数：
dx
du du df dx df ∙= 或 f'[φ(x)]=f u '(u)·φx '(x) 因此，所谓复合函数求导就是为了套用基本求导公式，把中间变量代数式视为一个整体作为自变量求导，再乘以这个中间变量对x 的导数。

对于多重复合的函数，依次运用这个思路，逐层从外向内“扒皮”就可以得到最终结果。

这种思路可以叫做“化零为整”，本文第一大部分分析复合函数可以看做是一个函数的自变量被另外一个函数式代换得到的可以叫做“化整为零”，二者是虽然方向相反，但本质上是相同的思维方式，都是整体思想的一种应用。

3，隐函数求导与取对数求导法
隐函数求导的一个关键就是要意识到式中的 “y ”是一个函数式“y(x)”，因此两边求导时，凡是含有“y ”的式子都要当成中间变量为“y ”的复合函数，应用复合函数求导法，先把式子对“y ”求导再乘以“y ”对“x ”的导数“y x ′”。

而取对数求导法取对数之后式子就变成了隐函数，最终也要归结为复合函数求导，都要应用上述思路。

（三）积分
1、第一换元积分法
即凑微分法，其实就是复合函数求导法的逆运算，基本思路也是为了应用基本积分公式，依据公式中字母“x ”的可变性，把被积表达式通过恒等变形转化成与公式结构一致的形式，例如：
⎰⎰⎰+==∙=C x x xd x xd xdx 2sin 2
1)2(2cos 2121)2(2cos 2cos 就是为了应用公式∫cosxdx=sinx+C 或者说∫cos φ(x)d φ(x)=sin φ(x)+C ，根据被积函数的形式，把积分变量“凑．”成一个与被积函数中自变量部分的相同的“微分．．
”式。

应用这种思路解题，不需要进行翻来覆去的换元且思路清晰，不仅渗透着丰富的数学思想，也便于学生掌握。

2、变限积分函数问题
变限积分函数不仅是推导牛顿—莱布尼茨公式的重要过度，也蕴含着丰富的数学思想，同时也经常可以与求极限、常微分方程等知识点一起出综合题，主要围绕下述基本定理的应用：
Φ'(x)=)()(x f dt t f dx d x
a
=⎰ (a ≤x ≤b) 在这里也要注意式中的“x ”可以是其他函数式，也存在复合函数的问题，也要考虑转化或看做一个整体的问题，思路方法跟前面是一样的，在此不再赘述。

第一章 函数与极限
1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x )≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A ，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x 在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c 是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a ，limF2(x)=b ，那么a≥b.
5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn 且limyn=a ，limzn=a ，那么limxn=a ，对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限。

6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。

非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。

定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。

反三角函数在他们的定义域内都是连续的。

定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。

如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0)，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ<b）。

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

第二章导数与微分
1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限
lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数
f+′(x0)存在相等。

2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。

即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。

3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。

4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。

第三章中值定理与导数的应用
1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b），使的函数f（x）在该点的导数等于零：f'（ξ）= 0.
2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b），使的等式f（b）-f（a）= f'（ξ）（b-a）成立即f'（ξ）= [f（b）-f（a）]/（b-a）。

3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F'(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。

4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f'(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加；(2)如果在(a，b)内f’(x)<0，那么函数f(x)在[a，b]上单调减少。

如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f'(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f'(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。

定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即
f'(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：(1)如果当x 取x0左侧临近的值时，f'(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值；
(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f'(x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f'(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f'(x0)=0，f''(x0)≠0那么：(1)当
f''(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；(2)当f''(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f'’(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的；(2)若在(a，b)内f'’(x)<0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凸的。

判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f'’(x)；(2)令f'’(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f'’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f'’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。

在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。

第四章不定积分
1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F'(x)=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。

分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。

如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u.
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

第五章定积分
1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程
2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。

定理设f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积。

3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0.推论如果在区间[a，b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a，b]上除点c(a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。

第六章定积分的应用
求平面图形的面积(曲线围成的面积)
直角坐标系下(含参数与不含参数)
极坐标系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)
旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)
平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx，其中A(x)为截面面积)
功、水压力、引力
函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
第七章多元函数微分法及其应用
1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。

反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。

例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0
2、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。

性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。

这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。

4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。

6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。

定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在点(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：(1)AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；(2)AC-B2<0时没有极值；(3)AC-B2=0时可能有也可能没有。

7、多元函数极值存在的解法(1)解方程组fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。

(2)对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶偏导数的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符号，按充分条件进行判定f(x0，y0)是否是极大值、极小值。

注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。

第八章二重积分
1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积(A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ)
平面薄片的质量平面薄片的重心坐标(x=1/A∫∫xdσ，y=1/A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积。

平面薄片的转动惯量(Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)为在点(x，y)处的密度。

平面薄片对质点的引力(FxFyFz)
2、二重积分存在的条件当f(x，y)在闭区域D上连续时，极限存在，故函数f(x，y)在D上的二重积分必定存在。

3、二重积分的一些重要性质性质如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，则有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性质设M，m分别是f(x，y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。

性质(二重积分的中值定理)设函数f(x，y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ4、二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换把二重积分从直角坐标系换为极坐标系，只要把被积函数中的x，y分别换成ycosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxd。