2019-2020年高三数学上学期12月段考试卷 理(含解析)

2019-2020年高三数学上学期12月段考试卷理（含解析）
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，把正确答案涂在答题卡上.
1．设集合A={x||x|＜1}，B={x|log2x≤0}，则A∩B=（）
A． {x|﹣1＜x＜1} B． {x|0＜x＜1} C． {x|﹣1＜x≤1}D． {x|0＜x≤1}
2．下列说法正确的是（）
A．命题“若x=2，则x2=4”的否命题为“若x2≠4，则x≠2”
B．命题“∀x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＞0”
C．“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件
D．命题“若x=0或y=0，则xy=0”的逆否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”3．如图所示，则阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
4．已知a=，b=log2，c=log，则（）
A． a＞b＞c B． a＞c＞b C． c＞b＞a D． c＞a＞b 5．函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）
A．B．C．
D．
6．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中正确的个数是（）
（ I）若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；
（ II）若m∥α，α⊥β，则m⊥β；
（ III）若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
（ IV）若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
7．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则
等于（）
A．﹣1 B． 1 C．﹣D．
8．若a，b＞0，直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则+的最小值为（）
A．B． 3 C． 5 D． 9
9．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）
A．B． 3 C．D． 4
10．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，）C．（，2）D．（﹣1，2）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在横线上）
11．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则
log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= ．
12．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1=3，则双曲线的离心率为．
13．已知P（x，y）满足约束条件，则x﹣2y的最大值是．
14．定义a*b=，则函数f（x）=1*3x的值域是．
15．定义||=a1a4﹣a2a3，若函数f（x）=||，给出下列四个命题：
①f（x）在区间[，]上是减函数；
②f（x）关于（，0）中心对称；
③y=f（x）的表达式可改写成y=cos（2x﹣）﹣1；
④由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；
其中正确命题的序号是．
三、解答题：（本大题6小题，共75分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC
（I）求边AB的长；
（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．
17．设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x﹣9x＜
a对一切正实数x均成立．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
18．已知四棱锥P﹣ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？试证明你的结论；
（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．
19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+2．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）设c n=，求数列{c n}的前2n项和T2n．
20．已知倾斜角为60°的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右
焦点，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若已知点D（3，0），点M，N是椭圆C上不重合的两点，且=λ，求实数λ的取值范围．
21．已知函数f（x）=lnx+．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，函数g（x）=f（x）﹣m在[，2]上有两个零点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，+++…+＜lnn恒成立．
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，把正确答案涂在答题卡上.
1．设集合A={x||x|＜1}，B={x|log2x≤0}，则A∩B=（）
A． {x|﹣1＜x＜1} B． {x|0＜x＜1} C． {x|﹣1＜x≤1}D． {x|0＜x≤1}
考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：解绝对值不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得
A∩B．
解答：解：∵集合A={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|log2x≤0}={x|0＜x≤1}，
则A∩B={x|0＜x＜1}，
故选：B．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，对数不等式的解法，求两个集合的交集，属于基础题．
2．下列说法正确的是（）
A．命题“若x=2，则x2=4”的否命题为“若x2≠4，则x≠2”
B．命题“∀x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＞0”
C．“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件
D．命题“若x=0或y=0，则xy=0”的逆否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：A．利用否命题的定义即可判断出正误；
B．利用命题的否定定义即可判断出正误；
C．由“x=y”⇒“sinx=siny”，反之不成立，例如取x=，y=，即可判断出；
D．利用逆否命题的定义即可判断出正误．
解答：解：A．命题“若x=2，则x2=4”的否命题为“若x≠2，则x2≠4”，因此不正确；B．命题“∀x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此不正确；
C．由“x=y”⇒“sinx=siny”，反之不成立，例如取x=，y=，因此“x=y”是
“sinx=siny”的充分不必要条件，正确；
D．“若x=0或y=0，则xy=0”的逆否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”，因此不正确．故选：C．
点评：本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
3．如图所示，则阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
考点：定积分在求面积中的应用．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：由题意，S=﹣，求出原函数，即可得出阴影部分的面积．
解答：解：由题意，S=﹣=﹣=．
故选：D．
点评：本题考查阴影部分的面积，考查定积分知识的运用，确定原函数是关键．
4．已知a=，b=log2，c=log，则（）
A． a＞b＞c B． a＞c＞b C． c＞b＞a D． c＞a＞b
考点：对数的运算性质．
专题：计算题；综合题．
分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．
解答：解：∵0＜a=＜20=1，
b=log2＜log21=0，
c=log=log23＞log22=1，
∴c＞a＞b．
故选：D．
点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．
5．函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）
A．B．C．
D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．解答：解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，
∴其图象必过点（1，1）．
故排除A、B，
又∵g（x）=21﹣x=2﹣（x﹣1）的图象是由y=2﹣x的图象右移1而得
故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，
故排除D
故选C
点评：本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题，属于容易题
6．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中正确的个数是（）
（ I）若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；
（ II）若m∥α，α⊥β，则m⊥β；
（ III）若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
（ IV）若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点：平面与平面之间的位置关系．
专题：常规题型．
分析：对各项依次加以判断：根据垂直于同一直线的平面和直线之间的位置关系，得到（I）正确；根据线面平行的判定定理，结合已知条件，通过举反例得到（II）错误；根据垂直于同一个平面的直线与平面的位置关系，得到（III）错误；根据线面垂直和线线垂直的性质，再结合面面垂直的判定定理，得到（IV）正确．
解答：解：对于（I），若m⊥n和m⊥α同时成立，说明n∥α或n⊂α
再结合已知条件n⊄α，得n∥α成立，故（I）正确；
对于（II），因为α⊥β，设它们的交线为n，若α、β外的直线m∥n，
则满足m∥α且m∥β，但m⊥β不成立，故（II）错；
对于（III），若m⊥β，α⊥β，说明m∥α或m⊂α
当m⊂α时直线m∥α就不能成立．因此可得（III）错误；
对于（ IV），根据m⊥n，m⊥α，得到n∥α或n⊂α
不论是n∥α还是n⊂α，都可结合n⊥β，得到α⊥β
故（IV）正确．
因此正确的命题是（I）（IV），共两个
故选B
点评：本题以空间的平行与垂直为载体，考查了命题的真假的判断，属于基础题．着重考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系，考查了空间想象的能力．
7．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则
等于（）
A．﹣1 B． 1 C．﹣D．
考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．
专题：计算题．
分析：由题意可得，，代入=（）•（）
=，整理可求
解答：解：∵AM=AB，AB=2，AD=1，∠A=60°，
∴
∴=（）•（）
=
=
=1+×4
=1
故选B
点评：本题主要考查了向量得数量积的基本运算、向量的加法的应用，属于向量知识的简单应用．
8．若a，b＞0，直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则+的最小值为（）
A．B． 3 C． 5 D． 9
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由于直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，可得直线l经过圆心M（﹣2，﹣1），2a+b=1．再利用“乘1法”、基本不等式的性质即可得出．
解答：解：∵直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，
∴直线l经过圆心M（﹣2，﹣1），
∴﹣2a﹣b+1=0，即2a+b=1．
∵a，b＞0，
+=（2a+b）=5+≥5+2×=9，当且仅当a=b=时取等号．
∴+的最小值为9．
故选：D．
点评：本题考查了“乘1法”、基本不等式的性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）
A．B． 3 C．D． 4
考点：圆锥曲线的共同特征．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物
线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B （﹣3，y0），根据|AK|=|AF|及AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，进而可求得A点坐标．
解答：解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．
∴抛物线C：y2=12x，准线为x=﹣3，
∴K（﹣3，0）
设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0）
∵|AK|=|AF|，又AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，
∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，
解得x0=3．
故选B．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．
10．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，）C．（，2）D．（﹣1，2）
考点：函数的单调性与导数的关系；导数的运算．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：根据函数的奇偶性和条件，判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可．
解答：解：∵f（x）是奇函数，
∴不等式xf′（x）＜f（﹣x），等价为xf′（x）＜﹣f（x），
即xf′（x）+f（x）＜0，
∵F（x）=xf（x），
∴F′（x）=xf′（x）+f（x），
即当x∈（﹣∞，0]时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函数F（x）为减函数，
∵f（x）是奇函数，
∴F（x）=xf（x）为偶数，且当x＞0为增函数．
即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等价为F（3）＞F（|2x﹣1|），
∴|2x﹣1|＜3，
∴﹣3＜2x﹣1＜3，
即﹣2＜2x＜4，
∴﹣1＜x＜2，
即实数x的取值范围是（﹣1，2），
故选：D．
点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在横线上）
11．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= 5 ．
考点：等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简
log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案．
解答：解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．
又等比数列{a n}中，a1a5=4，即a3=2．
故5log2a3=5log22=5．
故选为：5．
点评：本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．
12．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1，
F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1=3，则双曲线的离心率为．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率
解答：解：∵圆x2+y2=a2+b2的半径r==c，
∴F1F2是圆的直径，
∴∠F1PF2=90°
依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，
又∵在Rt△F1PF2中，tan∠PF2F1=3，
即|PF1|=3|PF2|，
∴|PF1|=3a，|PF2|=a，
在直角三角形F1PF2中
由（3a）2+a2=（2c）2，
得e==．
故答案为：．
点评：本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法，属于中档题．13．已知P（x，y）满足约束条件，则x﹣2y的最大值是 1 ．
考点：简单线性规划．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=0时，z取得最大值．
解答：解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中
A（1，0），B（2，1），C（1，2）
设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，
观察x轴上的截距变化，可得
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（1，0）=1
故答案为：1
点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
14．定义a*b=，则函数f（x）=1*3x的值域是（0，1] ．
考点：函数的值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：为了求函数f（x）=1*3x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围，即可得到数f（x）=1*3x的值域．
解答：解：解：当1≤3x时，即x≥0时，
函数y=1*3x=1
当1＞3x时，即x＜0时，
函数y=1*3x=3x
∴f（x）=，
画出函数图象，如图示：
作出函数的图象，由图知，
函数y=1*3x的值域为：（0，1]．
故答案为：（0，1]．
点评：本题以新定义的形式，考查了函数值域的问题，属于基础题．遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．
15．定义||=a1a4﹣a2a3，若函数f（x）=||，给出下列四个命题：
①f（x）在区间[，]上是减函数；
②f（x）关于（，0）中心对称；
③y=f（x）的表达式可改写成y=cos（2x﹣）﹣1；
④由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；
其中正确命题的序号是①③．．
考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）﹣1，
①由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调递减区间，即可判断；
②由于解得f（）=﹣1，故不是函数的对称中心；
③由2x+=﹣（2x+），由诱导公式即可证明命题正确；
④根据函数的周期T=，函数值等于0的x之差的最小值为，所以x1﹣x2必是的整数倍，即可判断．
解答：解：f（x）=||=2sinxcosx﹣2sin2x=sin（2x+）﹣1，
①由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z可解得f（x）的单调递减区间为：[kπ，
kπ]，k∈Z，故当k=0时，f（x）在区间[，]上是减函数，命题①正确；
②由于f（）=sin（2×+）﹣1=﹣1，故命题②错误；
③由于f（x）=sin（2x+）﹣1=cos[﹣（2x+）]﹣1=cos（2x﹣）﹣1，
故命题③正确；
④因为函数的周期T==π，函数值等于0的x之差的最小值为，所以x1﹣x2必是的
整数倍．所以命题错误．
故答案为：①③．
点评：本题主要考查了平面向量及应用，三角函数的图象与性质，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．
三、解答题：（本大题6小题，共75分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC
（I）求边AB的长；
（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：计算题．
分析：（I）先由正弦定理把sinA+sinB=sinC转化成边的关系，进而根据三角形的周长两式相减即可求得AB．
（2）由△ABC的面积根据面积公式求得BC•AC的值，进而求得AC2+BC2，代入余弦定理即可求得cosC的值，进而求得C．
解答：解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，
两式相减，得：AB=1．
（Ⅱ）由△ABC的面积=BC•ACsinC=sinC，得
BC•AC=，
∴AC2+BC2=（AC+BC）2﹣2AC•BC=2﹣=，
由余弦定理，得，
所以C=60°．
点评：本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识．此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握，并能运用它们灵活地进行边与角的转化，解三角形问题也是每年高考的一个重点，但难度一般不大，是高考的一个重要的得分点．
17．设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x﹣9x＜
a对一切正实数x均成立．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：综合题．
分析：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，由此能够
求出p是真命题时，实数a的取值范围．
（2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．由
∈（﹣∞，0），
知q是真命题时，a≥0．再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，知或，
能求出实数a的取值范围．
解答：解：（1）由题意，若p是真命题，
则对任意实数都成立，
若a=0，显然不成立；
若a≠0，解得a＞2
故如果p是真命题时，
实数a的取值范围是（2，+∞）
（2）若命题q为真命题时，
则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．
∵x＞0
∴3x＞1
∴3x﹣9x∈（﹣∞，0）
所以如果q是真命题时，a≥0．
又p或q为真命题，命题p且q为假命题
所以命题p与q一真一假
∴或
解得0≤a≤2综上所述，实数a的取值范围是[0，2]
点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
18．已知四棱锥P﹣ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？试证明你的结论；
（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．
考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．
（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．由已知得PC⊥BD，从而BD⊥面ACE，由此能证明BD⊥AE．
（III）连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍，设θ为二面角O﹣AE﹣B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O，由，
能求出二面角D﹣AE﹣B的大小．
解答：解：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，
ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，
∴．（4分）
（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
证明如下：
∵PC⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PC⊥BD
而BD⊥AC，AC∩AE=A，∴BD⊥面ACE，
而AE⊂面ACE，
∴BD⊥AE．（7分）
（III）连接AC，交BD于O．
由对称性，二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍，
设θ为二面角O﹣AE﹣B的平面角．
注意到B在面ACE上的射影为O，
，
，
∴，
∴θ=60°∴二面角D﹣AE﹣B是120°．（12分）
点评：本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直，以及二面角的求解的综合运用．
19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+2．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）设c n=，求数列{c n}的前2n项和T2n．
考点：数列递推式；数列的求和．
专题：计算题．
分析：（1）当n=1，可求a1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1可得a n与a n﹣1的递推关系，结合等比数列的通项公式可求a n，由b n+1=b n+2，可得{b n}是等差数列，结合等差数列的通项公式可求b n．
（2）由题意可得，然后结合等差数列与等比数列的求和公式，
利用分组求和即可求解
解答：解：（1）当n=1，a1=2；…（1分）
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，
∴a n=2a n﹣1．…（2分）
∴{a n}是等比数列，公比为2，首项a1=2，
∴．…（3分）
由b n+1=b n+2，得{b n}是等差数列，公差为2．…（4分）
又首项b1=1，
∴b n=2n﹣1．…（6分）
（2）…（8分）
∴+[3+7+…+（4n﹣1）]
=（10分）
=．…（12分）
点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的应用及求和公式的应用，体现了分类讨论思想的应用
20．已知倾斜角为60°的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右
焦点，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若已知点D（3，0），点M，N是椭圆C上不重合的两点，且=λ，求实数λ的取值范围．
考点：椭圆的简单性质．
专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）由直线的斜率公式，求得直线l的方程，可得椭圆的焦点，再由离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（II）设直线MN的方程为x=ay+3，代入椭圆方程，运用判别式大于0，韦达定理，由向量的共线的坐标表示，得到λ的不等式，解得即可得到所求范围．
解答：解：（I）∵直线l的倾斜角为60°
∴直线l的斜率为k=tan60°=，
又∵直线l过点（0，﹣2），
∴直线l的方程为y=﹣2，
∵a＞b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，
∴椭圆的焦点为（2，0），
∴c=2，又∵e==
∴a=，∴b2=a2﹣c2=2，
∴椭圆方程为+=1；
（II）设直线MN的方程为x=ay+3，
代入椭圆方程可得，（m2+3）y2+6my+3=0，
设M，N坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则y1+y2=﹣①y1y2=②，
△=36m2﹣12（m2+3）=24m2﹣36＞0，
∴m2＞，
∵=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2），=，
显然λ＞0，且λ≠1，
∴（x1﹣3，y1）=λ（x2﹣3，y2），
∴y1=λy2，
代入①②，得
λ+=﹣2=10﹣，
∵m2＞，
得2＜λ+＜10，
即，
解得5﹣2＜λ＜5+2且λ≠1．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线的斜率和方程的运用，考查向量共线的坐标表示，属于中档题．
21．已知函数f（x）=lnx+．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，函数g（x）=f（x）﹣m在[，2]上有两个零点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，+++…+＜lnn恒成立．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）先求导，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f′（x）≥0，在[1，+∞）上恒成立；
（Ⅱ）根据函数零点存在定理，利用导数求出函数的在[，2]上的极值和最值，即可得到结论；
（Ⅲ）先判断函数f（x）的单调性，令令，代入函数f（x）根据单调性得到不等式以，令n=1，2，…代入可证．
解答：解：（I）因为，
所以，
依题意可得，对恒成立，
所以对∀x∈[1，+∞），ax﹣1≥0恒成立，
所以对恒成立，
，
即a≥1；
（Ⅱ）函数g（x）=f（x）﹣m在上有两个零点，即f（x）=m在上有两个不同的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m在上有两个零点．
当a=1时，，若，f'（x）≤0，f（x）单调递减；
若x∈[1，2]．f'（x）≥0，f（x）单调递增；
故f（x）在x=1处取得极小值，即最小值f（1）=0
又，
，
所以要使直线y=b与函数y=f（x）的图象在上有两个不同交点，实数m的取值范围为（f（1），f（2）]，
即实数m的取值范围为（；
（Ⅲ）当a=1时，由（1）可知，在[1，+∞）上为增函数，
当n＞1时，令，则x＞1，
故f（x）＞f（1）=0，
即，
所以．
故
相加可得
又因为
所以，对大于1的任意正整数恒成立．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题。