高考数学计算题型精练(新高考通用版)专题05 复数的四则运算(解析版)

复数的四则运算
1．34i i +的共轭复数为（）．
A ．1i +
B ．1i
-C ．1i
-+D ．1i
--【答案】A
【详解】因为34i i 1i +=-，则其共轭复数为1i +．故选:A 2．若2
2i i 1i z +=+，则z =（
）
A ．13i
22
+B ．13i
22-C ．13i
22
-+D ．13i
22
--【答案】B 【详解】因为2i 1(2i 1)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z ---+=
===+++-，所以13
i 22
z =-．故选：B 3．已知i i z z +=，则z =（）
A
2
B ．0
C ．1
2
D ．1
【答案】A
【详解】设i z a b =+，则()2
1i i i i a b a b b a ++=+=-+，故1a b b a =-⎧⎨+=⎩，解之得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以2
z ==.故选:A 4．已知i
1i z
=+（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则z z -=（）
A ．1-
B ．1
C ．i
-D ．i
【答案】D 【详解】由
i 1i z
=+，则()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z -+===++-，则1i 2z -=，所以i z z -=．故选：D ．5．
5
43i
=-（）
A ．43i
-+B ．43i +C ．43i
55
-+D ．43i
55
+【答案】D
【详解】
()()()()543i 543i 543i 43i 43i 43i 2555
++===+--+.故选：D 6．若复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =（）
A ．2
B
C ．3
D ．5
【答案】D
【详解】()43i i 43i 4i 3
i 43i 34i i i i 1
z z +⋅+-⋅=+∴=
===-⋅- ，，
5z ∴=.故选：D.
7．若a 为实数，且7i
2i 3i
a +=-+，则=a （）A ．2B ．1
C ．1
-D ．2
-【答案】C
【详解】由题意得，()()2i 3i 7
i
1i
i
a -+--==
=-，故选：C ．8．2(1=（）
A ．2+
B ．
2-C ．2-+D ．2--【答案】C
【详解】22(113i 2+=++=-+；故选：C.9．已知复数3i
2i 12i
z +=++，则z =（）
A ．1
B
C ．2
D ．
【答案】B
【详解】因为()()3i 12i 3i
2i 2i 1i 2i 1i 12i 5
z +-+=
+=+=-+=++，所以z =．故选:B
10．()1i 1z -=，则z =（）
A ．1i +
B ．1i -
C ．22i +
D ．22i
-【答案】B
【详解】()1i 12z -=-= ，()()()()21i 21i 2
1i 1i 1i 1i 2
z ++∴=
===+--+，1i z ∴=-.故选：B.
11．设1
1i
z =+，则z z -=（）
A ．i
-B ．i
C ．1
D ．0
【详解】由题意可得11i 11
i 1i 222z -=
==-+，则11i 22
z =+，所以1111i i i 2222z z ⎛⎫⎛⎫
-=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选：A
12．已知i 为虚数单位，复数13i
2i
z -=+，则z =（）
A ．2B
C D
【答案】C 【详解】()()()()13i 2i 13i 17i 17
i 2i 2i 2i 555
z -----=
===--++-，
则z =故选：C.
13．已知i 为虚数单位，复数z
满足(13i)i z =，则z =（）
A ．i -
B i
C 1i
2
D 1i 2
【答案】D
【详解】依题意，2i 1
i
422
z -==
=-，
所以1
i 22
z =
+.故选：D 14．若复数()43i i z =-，则z =（）
A ．25
B ．20
C ．10
D ．5
【答案】D
【详解】因为()43i i 34i z =-=+，所以5z ==，故选:D.15．设复数z 满足()1i 4z -=，则z =（）A ．B ．1
C D ．2
【答案】A
【详解】由()1i 4z -=，得()()()41i 444i 22i 1i 1i 1i 2
z ⨯++=
===+--⨯+，
所以z ==故选：A.
16．已知复数()()()1i 2i z a a =-+∈R 在复平面对应的点在实轴上，则=a （）
A ．1
2
B ．12
-
C ．2
D ．-2
【详解】依题意，()()()()1i 2i 22i z a a a =-+=++-，因为复数z 在复平面对应的点在实轴上，
所以20a -=，解得2a =.故选：C.
17．已知复数z 满足(1)(23i)32i z --=+，则z =（）
A ．0
B ．i
C ．1i
-+D ．1i
+【答案】D
【详解】∵(1)(23i)32i z --=+，∴()()()()
32i 23i 32i 13i
1111i 23i 23i 23i 49z +++=+==+=+--++，故选：D.
18．若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）
A ．2i --
B ．2i
-+C ．2i
+D ．2i
-【答案】B
【详解】由已知可得，12i 2i i z -==--，从而2i z =-+.故选：B.
19．设i 为虚数单位，若复数z 满足3i i 1i
z -=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1
-C ．1
D ．2
【答案】D
【详解】由()()()()3i 1i 3i 42i
2i i 1i 1i 1i 2
z -+-+=
===+--+，则2i 1z =-，所以z 的虚部为2．故选：D ．20．已知复数z 满足(2i)24i z +=-，则z 的虚部为（）
A ．2i -
B ．2i
C ．2
-D ．2
【答案】C 【详解】()()()()
24i 2i 24i 10i
2i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，故虚部为2-.故选：C 21．已知i 12i
z
=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i -+B ．2i
-C ．2i
+D ．2i
--【答案】C 【详解】因为
i 12i
z
=-，则()i i 122i z =-=+.故选：C.22．已知复数z 满足()()1i 2i 2i z --=，则z 的虚部为（）
A ．1-
B ．i
-C ．3
D ．3i
【答案】C
【详解】因为()()()
2i 1i 2i
2i 2i i 12i 13i 1i 1i 1i z +=
+=+=-+=-+--+，所以z 的虚部为3，故选：C.23．已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=，则a 的值为（）
A B ．2
C ．
D ．2
±
【答案】D
【详解】因为i z a =+，所以2(i)(i)15z z a a a ⋅=+-=+=，解得2a =±，故选：D 24．已知复数z 是方程2220x x +=-的一个根，则z =（）
A ．1
B ．2
C D
【答案】C
【详解】因为方程2220x x +=-是实系数方程，且()2
24240∆=--⨯=-<，
所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即22i
1i 2
z ±==±，所以
z ==
故选：C 25．若复数()2i
R 2i
a z a -=∈+是纯虚数，则=a （）
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
【答案】D
【详解】由题意设i z b =（0b ≠），2i
i 2i
a z
b -=
=+，即()2i i 2i 2i a b b b -=+=-+，则22
a b b =-⎧⎨=-⎩，解得：1,1a b ==-.故选：D 26．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则复数z =（）
A ．2
B
C ．D
【答案】B
【详解】因为()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 24i
12i 1i 1i 1i 2
z ----=
===-++-，
因此，z ==故选：B.
27．已知复数1i 22
z =+，则3
z =（）
A ．
3
4
B C ．1
D 【答案】C
【详解】法一：由复数乘法运算得2
31111i i i i =i 22222222z ⎫
⎫⎛⎫
=++=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则31z =，
法二：由1
||12
z =
=，则31z =，故选：C 28．已知复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =___________．【答案】5
【详解】由i 43i z ⋅=+得2243i 4i 3i 4i 3
34i i i 1
z ++-====--，
因为5z ==，所以5z z ==，故答案为：5．29．
3i
i
+=______【答案】13i -【详解】
()2
3i i
3i 13i i i ++==-.故答案为：13i -30．复数z 满足26i z z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为___________.【答案】-1
【详解】令i z a b =+，则i z a b =-，所以()()22i i 3i=6i z z a b a b a b +=++-=+-，故z 的虚部为1-.故答案为：-1.
31．设复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =____________．【答案】1i
+【详解】∵()1i 2i z +=，则()()()
i 1i i
i i i i 221111z -=
==+++-.故答案为：1i +.32．复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，则12z z +=________.【答案】3i -/-i+3
【详解】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，所以12i z =+，212i z =-，所以123i z z +=-，故答案为：3i -.33．若复数2
1i
z =+（i 为虚数单位），则i z -=___________.
【详解】()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --=
===-++-，所以i 12i z -=-==.故答案
34．若复数z 满足(1i)12i z -=+（i 是虚数单位），则复数z =_____________．【答案】13
i 22
-+．
【详解】由(1i)12i z -=+可得()()()()
12i 1i 12i 13i 13
i 1i 1i 1i 222z +++-+===--+--+.故答案为：13i 22
-+.
35．若()12i 1z +=，则()1i z +=______【答案】62
i
55
-
【详解】因为()12i 12z +===，所以()212i 2
24i 12i 145
z --===
++，故()()24i 22i 4i 4621i 1i i 5555
z -+-++=
⨯+==-.故答案为：62
i 55-.
36．若复数z 满足2136i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =______.【答案】23i
-【详解】由2136i z -=+，得246i z =+，∴23i z =+，则23i z =-．故答案为：23i -．37．已知复数i 12i 2i
z
=-++，则z 的虚部为______．【答案】4
-【详解】解：由题意得(12i)(2i)(43i)i
34i i i i
z -++-+=
==+⋅，
则34i z =-，所以z 的虚部为－4，故答案为：-4
38．已知复数z 满足210z z ++=，则z z ⋅=_____________.【答案】1
【详解】因为2
2
131024z z z ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即2
213i 242z ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以，12z =-或1i 22
z =-+
，
若12z =-，则122z =-+，则111312244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
若1i 22z =-+，则12z =-，则1113i 1222244
z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，1z z ⋅=.故答案为：1.
39．已知复数z 满足()1i i z -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．【答案】
12
/0.5【详解】由()1i i z -=得：()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222
z +-+=
===-+--+，z ∴的虚部为12.故答案为：
1
2
.
40．在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅=___________．【答案】2
【详解】由题意可知1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故答案为：2
41．已知复数z 满足()12i |43i |z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为___________.【答案】12i
+
【详解】由()12i 43i 5z +=-==，得()()()()2
512i 512i 5
12i 12i 12i 12i 14i z --=
===-++--，则复数z 的共轭复数为12i z =+；故答案为：12i +42．复数3
12i
3i ++的值是_____________．【答案】
17i 1010
+【详解】解：
312i 12i (12i)(3i)17i 17i 3i 3i 10101010+++++====++-．故答案为：17
i 1010
+.。