数学高考第二轮复习平面解析几何含详解

2009年高考数学第二轮执点专题测试
平面解析几何（含详解）
一、选择题：
1、直线4x ＋3y ＝40与圆x 2＋y 2＝100的位置关系是（ ） （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）无法确定
2、经过点M （2,1）作圆C ：x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程是（ ）
（A x ＋y －5＝0 （B x ＋y ＋5＝0
（C ）2x ＋y －5＝0 （D ）2x ＋y ＋5＝0
3、直线y ＝x －1上的点到圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为（ ）
（A ）1 （B ） （C －1 （D ）－1
4、已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）
A ．03222=--+x y x
B ．0422=++x y x
C ．03222=-++x y x
D ．0422=-+x y x 5、已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6、设椭圆1C 的离心率为
5
13
，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）
A ．22
22143
x y -=
B ．22
221135x y -=
C ．22
22134x y -=
D ．22
2211312
x y -=
7、若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 8、抛物线y x =2的准线方程是（ ）
（A ）014=+x
（B ）014=+y （C ）012=+x
（D ）012=+y
9、已知点),(y x P 在圆22(2)1x y -+=上运动，则代数式y
x
的最大值是（ ）
（A ）
33 （B ）－3
3 （C （D 10、已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，
的距离与点P 到抛物线焦点距离
之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）
（A ）114⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， （B ）114⎛⎫
⎪⎝⎭
， （C ）(12)， （D ）(12)-，
11、我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。

嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆(地球半径忽略不计)。

若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ，远地点到地心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m 、2n （近地点是指卫星到地面的最近距离，远地点是最远距离），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率
A.变大
B.变小
C.不变
D.以上都有可能
12、设AB 是椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB 的
垂线，交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则
21111P F P F A F +++…B F P F 1991++的值是 （ ）
（A ）a 98 （B ）a 99 （C ）a 100 （D ）a 101
二、填空题
13、由点(13)P ，引圆229x y +=的切线，则切线长等于 14、已知两圆221:210240C x y x y +-+-=，222:2280C x y x y +++-=， 则它们的公共弦长为＿＿＿＿＿＿
15、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．
16、双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直
于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．求
双曲线的离心率＿＿＿＿＿ 三、解答题
17、已知，圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax .
(1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；
(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.
18.已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内
部所覆盖．
(Ⅰ)试求圆C 的方程.
(Ⅱ)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.
19、若椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 过点（-3，2），离心率为33
，⊙O 的圆心为原点，直径
为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(22=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点为A 、B.
(1)求椭圆的方程；
（2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程； （3）求OB OA ⋅的最大值与最小值.
20、已知圆O ：122=+y x ，圆C ：1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外一点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、
B ，如右图，满足|PA|=|PB|.
（Ⅰ）求实数a 、b 间满足的等量关系；
（Ⅱ）求切线长|PA|的最小值；
（Ⅲ）是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切
并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程； 若不存在，说明理由.
21、已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a
-->>的两个焦点为
:(2,0),:(2,0),F F P -点的曲线C 上. （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点
E 、
F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程
22、已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,
曲线C 是以AB 为长轴,离心率为
2
的椭圆,其左焦点为F .若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点
Q .
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆
O 相切；
(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.
参考答案（详解）
一、选择题
B
P
A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A
C
D
D
B
A
D
B
A
A
C
D
1、（A ）
解：圆心为（0，0），R ＝10，圆心到直线距离：d
＝8＜10。

2、（C ）
解：因为，点M 在圆上，圆心C （0,0），OM k ＝
1020--＝1
2
，过点M 的切线的斜率为k ＝－2，切线方程为：y －1＝－2（x －2），即2x ＋y ＝5 3、（D ）
解：圆心（－2,1），R ＝1，圆心到直线距离：d
＝，最近距离为：－1。

4、D
解：设圆心为2234
(,0),(0),2,2,(2)45
a a a a x y +>==-+= 5、B
解： 化成标准方程 22(3)(4)25x y -+-=，过点(3,5)的最长弦为10,AC =
最短弦为BD == 1
2
S AC BD =
⋅= 6、A
解：对于椭圆1C ，
13,5,a c ==曲线2C 为双曲线，5,c =4a =，3,b =标准方程为：22
22 1.43
x y -= 7、D
解：点P 到直线x ＝－1的距离比它到点（2，0）的距离小1，即
点P 到直线x ＝－2的距离与它到点（2，0）的距离相等，故点P 的轨迹是抛物线，选（D ）。

8、B
解：由2p ＝1，则p ＝1
2
，抛物线的开口向上，焦点在y 轴上，所以， 准线方程为：y ＝－1
4
，即4y ＋1＝0，故选（B ）。

9、A 解：设
y
x
＝
00y k x -=-，则k 表示点),(y x P 与点（0，0）连线的斜率.当该直线kx －y ＝0与圆相切时，k 取得最大值与最小值.圆心（2,0）
＝1，
图
解得33±
=k ，∴2
1--x y 的最大值为33， 10、A
解：抛物线的焦点为F （1，0），作PA 垂直于准线x ＝－1，则 ｜PA ｜＝｜PF ｜，当A 、P 、Q 在同一条直线上时， ｜PF ｜＋｜PQ ｜＝｜PA ｜＋｜PQ ｜＝｜AQ ｜，
此时，点P 到Q 点距离与抛物线焦点距离之和取得最小值，
P 点的纵坐标为－1，有1＝4x ，x ＝14，此时P 点坐标为（1
4
，－1），故选（A ）。

11、C
解：第一次变轨前离心率m n m
n m n m
n e +-=+-=2
21，第二次变轨后离心率m n m n e +-=2 ，21e e =∴。

12、D
解：由椭圆的定义知a P F P F i i 221=+(99,,2,1 =i )，
.198992)(99
121a a P F P F i i i =⨯=+∴∑=由题意知9921,,,P P P 关于y 轴成对称分布，
.99)(21)(99
121991
1a P F P F P F i i i i i =+=∴∑∑==又a B F A F 211=+ ，故所求的值为a 101.
二、填空题
13、1
解：圆心（0，0），则由勾股定理，得切线长为：（0－1）2＋（0－3）2－9＝1。

14、
解：由两圆12C C ，方程可知公共弦方程为240x y -+=，
∴圆1C 圆心(15)-，
到直线（公共弦）的距离为d ==．
∴
弦长2==
15、28y x =
解：设所求抛物线方程为2y ax =,依题意2428a a =⇒=,故所求为28y x =. 16
、
解：（1）因为OA AB OB 、
、成等差数列，所以可设OA m d =-，AB m =，OB m d =+，
画出草图，如图，由勾股定理可得：
222
()()
m d m m d -+=+ 得：
1
4
d m
=，tan b AOF a
∠=
，
tan tan 2AB AOB AOF OA ∠=∠=
＝m m d -＝43
， 由倍角公式∴22431b
a b a ⨯
=⎛⎫- ⎪
⎝⎭
，解得：1
2b a =，则离心率e ＝c a
＝a
三、解答题
17．解：将圆C 的方程012822=+-+y y x 配方得标准方程为4)4(22=-+y x ，则此圆的圆心为（0,4），半径为2.
(1) 若直线l 与圆C 相切，则有
21
|24|2=++a a . 解得43
-=a . (2) 解：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
====+++=.
221
,2,1|24|22222
AB DA AC DA CD a a CD 解得1,7--=a . ∴直线l 的方程是0147=+-y x 和02=+-y x .
18. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形,
所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),
所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=. (2)设直线l 的方程是:y x b =+.
因为CA CB ⊥,所以圆心C 到直线l
的距离是
2
,
=
解得
:1b =-±所以直线l 的方程是
:1y x =-±
.
19．解：（1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+===+10153314922
22222b a c b a a c b a ，所以椭圆的方程为
1101522=+y x （2）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大
因为直线PA 的斜率一定存在， 设直线PA 的方程为：y-6=k(x-8)
又因为PA 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线PA 的距离为10 即
101|68|2
=+-k k 可得9
13
31==k k 或
所以直线PA 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 20、解：（Ⅰ）连结PO 、PC ，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1， ∴|PO|2=|PC|2，从而2222)4()2(-+-=+b a b a 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：052=-+b a .
（Ⅱ）由052=-+b a ，得52+-=b a ∴当2=b 时，2||min =PA
（III ）∵圆O 和圆C 的半径均为1，若存在半径为R 圆P ，与圆O 相内切 并且与圆C 相外切，则有
1||-=R PO 且 1||+=R PC
于是有：2||||=-PO PC 即 2||||+=PO PC 从而得 2)4()2(2222++=-+-b a b a 两边平方，整理得)2(422b a b a +-=+ 将52=+b a 代入上式得：0122<-=+b a
故满足条件的实数a 、b 不存在，∴不存在符合题设条件的圆P.
21、 (Ⅰ)解：依题意，由a 2+b 2=4，得双曲线方程为142
222=--a
y a x （0＜a 2
＜4＝， 将点（3，7）代入上式，得14792
2=--a
a .解得a 2=18（舍去）或a 2
＝2， 故所求双曲线方程为.12
222=-y x (Ⅱ)解：依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得(1－k 2)x 2－4kx －6=0.
∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,
∴⎩⎨⎧-±≠⇔⎪⎩⎪
⎨⎧-⨯+-=∆≠-,33,10)1(64)4(,012
22
＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3-)∪(1,3).
设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=
,16
,142
2
12k x x k k -=-于是 |EF |=2212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+-
=|
1|32214)(12
2
2
212
212
k k k x x x x k --+=-++∙∙ 而原点O 到直线l 的距离d ＝2
12
k
+,
∴S ΔOEF =.|
1|322|1|322112
21||2122
222
2
k k k k k k EF d --=--++=∙∙
∙
∙
若S ΔOEF ＝22，即,0222|1|3222
42
2=--⇔=--k k k k 解得k =±2, 满足②.故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =22+x 和.22+-=x y
22、解：(Ⅰ)
因为2
a e ==
,所以c=1 则b=1,即椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=
(Ⅱ)因为P (1,1),所以1
2
PF k =
,所以2OQ k =-,所以直线OQ 的方程为y=－2x 又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4) 所以1PQ k =-,又1OP k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥, 故直线PQ 与圆O 相切
(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切
证明:设00(,)P x y
(0x ≠),则22
002y x =-,所以001PF y k x =+,00
1OQ x k y +=-,
所以直线OQ 的方程为00
1
x y x y +=- 所以点Q(－2,0022
x y +)
所以0
022000000000000
22(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x x
k x x y x y y +--+--====-+++,又00OP y k x =,
所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 始终与圆O 相切。