交口县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

交口县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 设曲线y=ax ﹣ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x ，则a=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项，则能使不等式1212
111
n n
a a a a a a ++
+≤
+++
成立的自然数的最大值为（ ） A ．9 B ．8 C.7
D ．
5 3． 棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（
）
A ．
B ．18
C ．
D ．
4． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ） A ．21n a n n =-+ B ．(1)2n n n a -= C ．(1)
2
n n n a += D
．21n a n =+ 5． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（ ）
A ．
1
B ．2
C ．3 D
．
4 6．
设向量
，满足：
||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．
8． 复数i i -+3)1(2
的值是（ ）
A ．i 4341+-
B ．i 4341-
C ．i 5351+-
D ．i 5
351-
【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．
9． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧ 10．实数x ，y
满足不等式组
，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）
A ．（1，1）
B ．（0，3） C
．（，2） D
．（，0）
11．已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20
210220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪-+⎩
……… 内的概率为（ ）
A.
3
4
B.
38
C.
14
D.
18
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 12．已知集合23111
{1,(
),,}122
i A i i i i -=-+-+（其中为虚数单位），2{1}B x x =<，则A B =（ ） A ．{1}- B ．{1} C
．{- D
． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.
14．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23
π，23c a -=，则a
与
c
的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 15．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =__________.
16．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分
别是AC ，BD 的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.
【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．设A （x 0，y 0）（x 0，y 0≠0）是椭圆T ：
+y 2=1（m ＞0）上一点，它关于y 轴、原点、x 轴的对称点依
次为B ，C ，D ．E 是椭圆T 上不同于A 的另外一点，且AE ⊥AC ，如图所示．
（Ⅰ） 若点A 横坐标为
，且BD ∥AE ，求m 的值；
（Ⅱ）求证：直线BD 与CE 的交点Q 总在椭圆
+y 2=（
）2
上．
18．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小。

19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
CP=.
如图，点C为圆O上一点，CP为圆的切线，CE为圆的直径，3
（1）若PE交圆O于点F，16
EF=，求CE的长；
5
⊥于D，求CD的长.
（2）若连接OP并延长交圆O于,A B两点，CD OP
20．（本小题满分12分）
如图（1），在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC =，若沿AB 将三角形PAB 折起，使
PAD θ∠=，构成四棱锥P ABCD -，且
2PC CD
PF CE
==. （1）求证：平面 BEF ⊥平面PAB ； （2）当 异面直线BF 与PA 所成的角为
3
π
时，求折起的角度.
21．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。

规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。

学生甲三轮考试通过的概率分别为
23，34，4
5
，且各轮考核通过与否相互独立。

（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。

记学生甲得到教育基金的金额为X ，求X 的分布列和数学期望。

22．（本小题满分12分）1111]
已知函数()()1
ln 0f x a x a a x
=+≠∈R ，．
（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；
（2）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数的取值范围．
交口县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】D
【解析】
解：，
∴y ′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D ．
【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．
2． 【答案】C 【解析】
试题分析：因为三个数1,1,5a a a -++等比数列，所以()()()2
115,3a a a a +=-+∴=，倒数重新排列后恰
好为递增的等比数列{}n a 的前三项，为111,
,842，公比为，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以为首项，1
2为公比的等比数列，则不等式1212
11
1n n a a a a a a +++≤
+++等价为()1181122811212
n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤
--，整理，得722,17,n n n N +≤∴≤≤≤∈
，故选C. 1
考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式. 3
． 【答案】
D
【解析】
解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：
故该几何体的表面积为：3×22
+3×（
）+=，
故选：D ．
【解析】
试题分析：可采用排除法，令1n =和2n =，验证选项，只有(1)
2
n n n a +=，使得121,3a a ==，故选C ． 考点：数列的通项公式． 5． 【答案】D
【解析】解：∵（x ﹣2）3
+2x+sin （x ﹣2）=2， ∴（x ﹣2）3
+2（x ﹣2）+sin （x ﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y ﹣2）3
+2y+sin （y ﹣2）=6，
∴（y ﹣2）3
+2（y ﹣2）+sin （y ﹣2）=6﹣4=2，
设f （t ）=t 3
+2t+sint ，
则f （t ）为奇函数，且f'（t ）=3t 2
+2+cost ＞0，
即函数f （t ）单调递增．
由题意可知f （x ﹣2）=﹣2，f （y ﹣2）=2，
即f （x ﹣2）+f （y ﹣2）=2﹣2=0， 即f （x ﹣2）=﹣f （y ﹣2）=f （2﹣y ），
∵函数f （t ）单调递增 ∴x ﹣2=2﹣y ， 即x+y=4， 故选：D ． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f （t ）是解决本题的关键，综合考查了函数的性
质．
6． 【答案】B
【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，
∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，
但5个以上的交点不能实现．
故选B
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．
7． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有12121223=C C C 种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有
12121213=C C C 种. 共有24种. 选A.
【解析】i i i i i i i i i i 5
3
511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+．
9． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：命题的真假. 10．【答案】 D
【解析】解：由题意作出其平面区域，
将u=2x+y 化为y=﹣2x+u ，u 相当于直线y=﹣2x+u 的纵截距， 故由图象可知，
使u=2x+y 取得最大值的点在直线y=3﹣2x 上且在阴影区域内，
故（1，1），（0，3），（，2）成立，
而点（，0）在直线y=3﹣2x 上但不在阴影区域内，
故不成立；
故选D ．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．
11．【答案】B
【解析】
12．【答案】D 【解析】
考点：1.复数的相关概念；2.集合的运算
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】()2
212x y -+=或()2
2
12x y ++=
【解析】
试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,
4P x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由1'2y x =，则切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入
()0,1-得02x =±，则()()2,1,2
,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2
212
x y -+=或()2
212x y ++=.故本题答案填()2
212x y -+=或()2
2
12x y ++=．1
考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质．
14．【答案】6
π
，18+ 【解析】
15．【答案】
【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA⊥底面ABC，且ABC
∆为直角三角形，且
5,,6
AB VA h AC
===，所以三棱锥的体积为
11
56520
32
V h h
=⨯⨯⨯==，解得4
h=.
考点：几何体的三视图与体积.
16．【答案】
5 12
【解析】
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，
∴BD⊥AC，可知A（），
故，m=2；
（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形，
设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则
，
由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0，
显然x1≠x0，从而=，
∵AE⊥AC，∴k AE•k AC=﹣1，
∴，
解得，
代入椭圆方程，知．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．
⊥平面=×AD =×（）××=（=（=（（2）以D 为原点，建立如图直角坐标系
【解析】
试题分析：（1）由切线的性质可知ECP ∆∽EFC ∆，由相似三角形性质知::EF CE CE EP =,可得4CE =；（2）由切割线定理可得2
(4)CP BP BP =+，求出,BP OP ,再由CD OP OC CP ⋅=⋅,求出CD 的值. 1 试题解析：
（1）因为CP 是圆O 的切线，CE 是圆O 的直径，所以CP CE ⊥，0
90CFE ∠=，所以ECP ∆∽EFC ∆,
设CE x =，EP =，又因为ECP ∆∽EFC ∆，所以::EF CE CE EP =，
所以2
x =
4x =.
考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质. 20．【答案】（1）证明见解析；（2）23
πθ=． 【解析】
试题分析：（1）可先证BA PA ⊥，BA AD ⊥从而得到BA ⊥平面PAD ，再证CD FE ⊥,CD BE ⊥可得CD ⊥
平面BEF ,由//CD AB ,可证明平面BEF ⊥平面PAB ；（2）由PAD θ∠=,取BD 的中点G ，连接,FG AG ,可得PAG ∠即为异面直线BF 与PA 所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1 试题解析：
（2）因为PAD θ∠=，取BD 的中点G ，连接,FG AG ，所以//FG CD ，1
2
FG CD =
，又//AB CD ，1
2
AB CD =，所以//FG AB ，FG AB =，从而四边形ABFG 为平行四边形，所以//BF AG ，得；同时，
因为PA AD =，PAD θ∠=，所以PAD θ∠=，故折起的角度23
π
θ=.
考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质．
21．【答案】（1）2
5
（2）X 的分布列为
数学期望为11124700()0100020003000361053
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=-- 解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A ，则P （A ）＝2342
3455
⨯⨯= 所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
2
5
-------------4分 （2）X 的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分
21(0)133P X ==-
=，231(1000)(1)346P X ==⨯-=，2341(2000)(1)34510P X ==⨯⨯-= 2342
(3000)3455P X ==⨯⨯=------------------9分
所以，X 的分布列为
数学期望为11124700()0100020003000361053
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=---------------------12分
22．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；
（2）()1a e e ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝
⎭，，．
【解析】
试题分析：（1）由1a =⇒()2
2111
'x f x x x x -=-
+=．令()'0f x =⇒1x =．再利用导数工具可得：极小值和单调区间；（2）求导并令()'0f x =⇒1x a =，再将命题转化为()f x 在区间(0]e ，上的最小值小于．当1
0x a
=<，
即0a <时，()'0f x <恒成立，即()f x 在区间(0]e ，上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]
①
若1
e a
≤，则()'0f x ≤对(0]x e ∈，
成立，所以()f x 在区间(0]e ，上单调递减， 则()f x 在区间(0]e ，上的最小值为()11
ln 0f e a e a e e
=+=+>，
显然，()f x 在区间(0]e ，的最小值小于0不成立． ②若10e <<，即1
a >时，则有
所以()f x 在区间(0]e ，上的最小值为ln f a a a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫
=+=-< ⎪⎝⎭
，得1ln 0a -<，解得a e >，即()a e ∈+∞，，
综上，由①②可知，()1a e e ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪
⎝
⎭，，符合题意．……………………………………12分
考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.
【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.。