2020届湖北名校高三入学调研考试卷 文科数学(一)2020届新高三入学测试卷： 文科数学(一)-教师版

2020届高三入学调研考试卷
文 科 数 学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|15}A x x =-<，则R A =ð（ ） A ．{|4}x x >- B ．{|4}x x ≤ C ．{|4}x x <-
D ．{|4}x x ≤-
【答案】D
【解析】集合{15}{|4}A x x x =-<=>-，则{|4}R A x x =≤-ð． 2．2(3)i -=（ ） A ．86i -- B ．86i + C ．86i - D ．86i -+
【答案】C
【解析】22(3)9686i i i i -=-+=-．
3．已知平面向量(1,2)a =-，(2,)b y =，且//a b ，则32a b +=（ ） A ．(1,7)-
B ．(1,2)-
C ．(1,2)
D ．(1,2)-
【答案】D
【解析】∵(1,2)a =-，(2,)b y =，且//a b ， ∴1220y -⨯-⨯=，解得4y =-，
故可得323(1,2)2(2,4)(1,2)a b +=-+-=-．故选D ． 4．已知数列{}n a 为等差数列，若26102
a a a π
++=，则39tan()a a +的值为
（ ） A ．0 B
C ．1 D
【答案】D
【解析】∵数列{}n a 为等差数列，26102
a a a π
++=，
∴2610632
a a a a π
++==，解得66
a π=
．
∴39623
a a a π
+==
，
∴39tan()tan
3
a a π
+==D ．
5．设a ，b 是非零向量，“||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，
//a b ．
而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ⋅=-， 故“||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A ．
6．设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间
此
卷只
装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
(2,1]-上的图象，则(2018)(2019)f f +=（ ）
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．2 【答案】D
【解析】由题意可得：(2018)(20186733)(1)2f f f =-⨯=-=，
(2019)(20196733)(0)0f f f =-⨯==，则(2018)(2019)2f f +=．故选D ．
7．若函数32()236f x x mx x =-+在区间(1,)+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,1)-∞
C ．(,2]-∞
D ．(,2)-∞
【答案】C
【解析】2()666f x x mx '=-+；
由已知条件知(1,)x ∈+∞时，()0f x '≥恒成立； 设2()666g x x mx =-+，则()0g x ≥在(1,)+∞上恒成立；
问题转化为1
m x x ≤+在(1,)+∞恒成立，
而函数1
2y x x
=+>，故2m ≤，故选C ．
8．已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随
机模拟产生了如下20组随机数：907，966，
191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989．据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0.25
B ．0.2
C ．0.35
D ．0.4
【答案】A
【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随
机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：
191、271、932、812、393．共5组随机数， ∴所求概率为
51
0.25204
==． 9．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，已知
(cos )b a C C =，2a =
，c =
C =（ ） A ．
3
π
B ．
6
π C ．
34
π D ．
4
π 【答案】D 【解析】
∵(cos )b a C C =，
∴由正弦定理可得：sin sin cos sin B A C C A =+
， 又∵sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，
cos A A =
，可得：tan A = ∵(0,)A π∈，∴3
A π
=
，可得：sin 2
A =
， 又∵2a =
，c =
∴由正弦定理可得sin 32sin 22
c A C a ⋅=
==， ∵c a <，C 为锐角，∴4
C π
=
．故选D ．
10．已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线21,l l 交于点O 且相互垂直，
1l 与C 交于点11,B A ，2l 与C 交于点22,B A ，若使得||||2211B A B A =成立的直线21,l l 有且只有一对，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ） A ．]2,1( B ．]2,1( C ．]2,2[
D ．
),2(+∞ 【答案】D
【解析】不妨设双曲线的方程是22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
由||||2211B A B A =及双曲线的对称性知12,A A 与12,B B 关于坐标轴对称，如图，
又满足条件的直线只有一对，当直线与x 轴夹角为45︒时，双曲线的渐近线与x 轴夹角大于45︒，双曲线与直线才能有交点1212,,,A A B B ，且满足条
件的直线只有一对，可得tan 451b
a >︒=
，即有c e a ==>
则双曲线的离心率的范围是)+∞．故选D ．
11．下列命题：
①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题； ②命题p ：2x ≠或3y ≠，命题q ：5x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件；
③“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“x R ∀∈，3210x x -+>”； ④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】对于①“在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题为“在
ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”，若A B >，则a b >，根据正弦定理可知，sin sin A B >，所以逆命题是真命题，所以①正确；
对于②，由2x ≠或3y ≠，得不到5x y +≠，比如1x =，4y =，5x y +=，
∴p 不是q 的充分条件；由等价转换的思想易得p 是q 的必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，所以②正确；
对于③，“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>”， 所以③不对；
对于④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； 所以④正确，故选C ．
12
3sin x =的根的个数是（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C
【解析】
大致图形如图所示，接下来比较()f x =()3sin g x x =在
0x =
处的切线斜率，()0f x x '=→时，()f x '→+∞即()f x 在0
x =处的切线方程为y 轴，
【答案】4或
12
-
【解析】抛物线2y ax =的标准方程为2
1x y a =
，准线方程为14y a
=-，
1|1()|24a --=，解得14a =或112-．故答案为14或112
-．
14．若02
π
α<<
，02π
β-
<<，1cos()43πα+=
，sin()243
βπ+=， 则cos(2)αβ+=
． 【答案】
23
27
【解析】
∵1cos()
sin )43πααα+=-=，可得cos sin αα-=
①
∴两边平方可得，21sin 29α-=
，解得：
7
sin 29
α=，
∵02
πα<<
，可得：4
cos sin 3
αα+==
，② ∴由①②解得：cos 2(cos sin )(cos sin )ααααα=-+=
又∵sin(
)243β
π+=，可得：cos )2223
ββ+=
， 两边平方，可得：1sin 3β=-，cos 3
β=，
∴7123
cos(2)cos 2cos sin 2
sin ()939327
αβαβαβ+=-
=-⨯-
=
． 故答案为
23
27
． 15．菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=︒，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120︒，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球
面上，则球的表面积等于 ． 【答案】84π
【解析】如图，点1O ，2O 分别为BAD ∆，CBD ∆外接圆的圆心，点O 为球心，
因为菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=︒， 所以1163O G ==1tan603OO ︒=，16AO == ∴2222
1121R OA AO OO ==+=，2484S R ππ==，故答案为84π．
16．已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫
=≤≤ ⎪⎝⎭
，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的
图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是________．
【答案】3
2
2,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】因为()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点， 若()1g x mx =+关于直线1y =对称的直线为1y mx =-+，则直线
1y mx =-+与2ln y x =在21,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有交点，直线1y mx =-+过定点()0,1，
当直线1y mx =-+经过点1,2e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
时，则直线斜率3m e -=-，3m e =，
若直线+1y mx =-与2ln y x =相切，设切点为(),x y ，则+1 22
y mx y lnx m x
⎧
⎪=-⎪
=⎨⎪⎪=-⎩，
解得3
23232x e y m e ⎧
⎪
=⎪⎪
=⎨⎪⎪=-⎪
⎩
，
22m e e ∴-≤≤时直线1y mx =-+与2ln y x =在21,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有交点，即()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，实数m 的取值范围是
322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为3
22,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤．
17．（12分）设数列{}n a 满足：11a =，2131a a -=，且
11
11
2n n n n n a a a a a -+-++=(2)n ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列11
2b =
，14n n n b a a -=，设{}n b 的前n 项和n T ．证明：1n T <． 【答案】（1）2
1n a n =+；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵数列{}n a 满足：11a =，2131a a -=，且
11112n n n n n a a a a a -+-++=(2)n ≥，∴11
211n n n a a a -+=+， 又11a =，2131a a -=，∴
111a =，2132a =，∴21111
2
a a -=， ∴1{}n a 是首项为1，公差为1
2的等差数列，
∴1111(1)(1)22n n n a =+-=+，∴21
n a n =+． （2）证明：∵数列11
2
b =
，14n n n b a a -=，
∴111
(1)1
n b n n n n =
=-++，
∴12111
111
(1)()()1122311
n n T b b b n n n =+++=-+-+
+
-=-<++． 故1n T <．
18．（12分）已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．
（1）将甲每天生产的次品数记为x （单位：件），日利润记为y （单位：元），写出y 与x 的函数关系式；
（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X 表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X 的分布列和数学期望．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）∵甲每天生产的次品数为x ，∴损失30x 元，
则其生产的正品数为100x -，获得的利润为()20100x -元，因而y 与x 的函数关系式为()2010030200050y x x x =--=-，其中04x ≤≤，x ∈N ． （2）同理，对于乙来说，200050y x =-，03x ≤≤，x ∈N ． 由2000501950x -≥，得1x ≤，
∴X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，∴X 的可能值为0，1，2，
又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为
20403
1005+=， 乙1天中生产的次品数不超过1的概率为302511
10020
+=
， ∴()299052050P X ==⨯=，()3921149
1520520100P X ==⨯+⨯=
，()31133
2520100
P X ==⨯=
， ∴随机变量X 的分布列为
∴()0125010010020
E X =⨯
+⨯+⨯=
． 19．（12分）已知椭圆C ：223412x y +=，试确定m 的取值范围，使得
对于直线l ：4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称． 【答案】见解析．
【解析】设存在两点11(,)A x y 、22(,)B x y 关于l 对称，中点为00(,)C x y ，
则AB 所在直线为14y x b =-+．与椭圆联立得2213
241204
x bx b -+-=，
∴12011
1212440
4213122213x x b x x b x b y y b y +⎧
==⎪⎪⎨-+-++⎪===⎪⎩
， ∵C 在4y x m =+上，∵12413
4,13134
b b m
b m =⨯+=
， 又∵222213
44(412)452131204
Δb b b b =-⨯
-=-+⨯>， 故2
13
4
b <，即216913164m <，解得1313m -<<．
20．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，11BC C C ⊥，平面11A C CA ⊥平面11BCC B ，且E ，F 分别是BC ，11A B 的中点．
（1）求证：11BC A C ⊥； （2）求证：//EF 平面11A C CA ；
（3）在线段AB 上是否存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ？若存在，求出AP AB
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，
1
2
AP AB =． 【解析】（1）∵11BC C C ⊥，又平面11A C CA ⊥平面11BCC B ，且平面11A C
CA 平面111BCC B C C =，∴1BC ⊥平面11ACC A ． 又∵1A C ⊂平面11A C CA ，∴11BC A C ⊥． （2）取11A C 中点G ，连FG ，连GC ．
在111A B C △中，∵F ，G 分别是11A B ，11A C 中点，∴11FG B C ∥，且1112
FG B C =． 在平行四边形11BCC B 中，
∵E 是BC 的中点，∴11EC B C ∥，且111
2
EC B C =．
∴//EC FG ，且EC FG =．∴四边形FECG 是平行四边形．∴//FE GC ． 又∵FE ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，∴//EF 平面11A C CA ．
（3）在线段AB 上存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ．取AB 的中点P ，连PE ，
连PF ．∵1BC ⊥平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ，CG ⊂平面11ACC A ， ∴1BC AC ⊥，1BC CG ⊥．在ABC △中， ∵P ，E 分别是AB ，BC 中点，∴//PE AC ． 又由（2）知//FE CG ，∴1BC PE ⊥，1BC EF ⊥． 由PE EF E =得1BC ⊥平面EFP ．
故当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP ．此时，1
2
AP AB =． 21．（12分）已知函数2()ln f x x ax a x =--()a R ∈． （1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，求证：32511
()4326
x x f x x ≥-+
-+． 【答案】（1）1a =；（2）见解析．
【解析】（1）()2a f x x a x '=--，由题意可得(1)0f '=，解得1a =．
经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极值，所以1a =． （2）证明：由（1）知，2()ln f x x x x =--，
令332511311
()()(4)3ln 326326x x x g x f x x x x x =--+-+=-
+--， 由33
2
11(1)()333(1)x x g x x x x x x x
--'=-+-=
--=(0)x >，可知()g x 在
(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，
所以()(1)0g x g ≥=，所以32511
()4326
x x f x x ≥-+-+成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离．
【答案】（1
）30x -=，22(2)4x y -+=；（2
． 【解析】（1）将2t y =
代入32
x t =+
，整理得30x --=， 所以直线l
的普通方程为30x -=． 由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，
将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，
得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．
（2）设A ，B 的参数分别为1t ，2t ．
将直线l 的参数方程代入曲线C
的角坐标方程得
221
(32)()422
t t +
-+=
，化简得230t +-=，
由韦达定理得12t t +=
122P t t t +=
=． 设00(,)P x y
，则009
3()2241(224x y ⎧=+
-=⎪⎪⎨
⎪=⨯-=-⎪⎩
，即9(,44P -． 所以点P 到原点O
2
=．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈． （1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；
（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围．
【答案】（1）2
(,4][,)3
-∞-+∞；（2）[4,10]-．
【解析】（1）①当1
2x ≤-时，()21(1)2f x x x x =--+-=--，
由()2f x ≥解得4x ≤-；
②当1
12x -<<时，()(21)(1)3f x x x x =++-=，
由()2f x ≥解得23x ≥
，∴2
13
x ≤<； ③当1x ≥时，()(21)(1)2f x x x x =+--=+，
由()2f x ≥解得0x ≥，∴1x ≥．
综上可得()2f x ≥的解集是2
(,4][,)3-∞-+∞．
（2）∵()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4]， ∴当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立． 原式可变为21||3x x m x +--≥-即||4x m x -≤+，
∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[3,4]x ∈上恒成立， 显然当3x =时，24x +取得最小值10， 即m 的取值范围是[4,10]-．。