弱测量原理及应用-北京大学物理学院

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)
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2, Application: Photon trajectory Methods[8]
单光子空间模，对粒 子位置后选择，指示器极 化qubit。 入射界面前的初态:
ϕ in =
1 e ( 2
1
进入玻璃后的态
− iϕ k 2
2
(H
+V
)
H + e iϕ k
2
V
a 2 w0 ε 1 ⇒ Aw =
1 a cot ε（ a） 2
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▲ 曲面上的矢量平移与Berry相位[6]
dA = 0 ⇒ DA = 0 S Δγ ( C ) = Ω ( S ) = 2 ， Δγ ( C ) is the U ( 1) − Holonomy Group R
例：球面上沿经线、纬线的平行移动。 现在，光激束在空气-玻璃界面折射时，极化矢 量改变类似于球面上沿纬线的矢量平移。激光束在 Y方向的微小动量差，对应纬度略有差异的纬线。 使电矢量平面（相对于中心）分别向外侧的左右偏 转。出现类似于电子自旋取向有关的空间小微移动。
ψ f U S ( t ) ψ in
S
= S ψ f exp − i ∫ dt H = ψ in = S ψ f exp {iq S AS } ψ in
= S ψ f exp {iqS AS } ψ in =∑
n
{
}
2 2 exp − q 4 Δ ( ) S
S
exp ( − q 2 4Δ 2 )
S
( iq )
⎧ ⎡ −2 ( y + a ) ⎪ 2 2 I ( y ) = I 0 ⎨cos α cos β exp ⎢ 2 w ⎢ 0 ⎪ ⎣ ⎩
E f ( x = 0)
2
2
:
⎤ ⎡ −2 y 2 ⎤ 2 2 ⎥ + sin α sin β exp ⎢ 2 ⎥ + ⎥ ⎣ w0 ⎦ ⎦
⎡ ( y + a )2 + y 2 ⎤ ⎫ ⎪ ⎥ + 2cos ϕ cos α cos β sin α sin β exp ⎢ − ⎬ 2 w0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎭ α = π 4， β = α ； β = α + π 2 + ε ， ε 1 ⇒
}
4
二, 弱测量原理[2,3]
弱测量由下面两条假设构成: 被测系统S, 测量仪器A， [假设1] 测量作用很弱，即假设相互作用强度弱而且时 间短暂，由 决定的 中 ； [假设2] 在测量作用后，对被测系统S态作如下的后选 择：ψ out S。测量前后S的初末态既不会彼此全同，也不能 彼此完全正交。但仪器可区分态应正常工作。 弱测量所得的测量值称为弱值。由于被测系统S的初末 态不完全相同，弱值一般是复数。可证它等于
3
2, 典型例子——Stern-Gerlach装置对电子 自旋的测量 [1]
σz
Bz = λ z
Hi = −λμ zσ z
∂H i ˆ F =− = λμσ z ∂Z
ˆ =F ˆ t ；l ≈ P z
σ z = ±1
ˆ F m t2
⎧ ⎧i ˆ ⎫ ⎧i ˆ ⎫ ⎧ i ˆ⎫ ⎫ lP α β α β exp ⎨ zP 0 exp 0 exp + + − ⊗ = + ⊗ + − ⊗ } ⎨ ⎨ ⎨ − lPz ⎬ 0 ⎬ z ⎬{ z⎬ ⎩= ⎭ ⎩= ⎭ ⎩ = ⎭ ⎭ ⎩ = {α + ⊗ l + β − ⊗ − l
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通过光子自旋投影弱测量发现：光子通过空气--玻璃界 面时, 发生垂直于折射率梯度方向的、与自旋有关的移动。 称作光子自旋Hall效应（SHEL）。 这是电子自旋Hall效应（施加在粒子上的场造成在垂直 于场方向的运动）在光子情况的翻版。但不象传统的Hall效 应和它量子翻版，现在的SHEL并不依赖于电荷，而只与光 子自旋状态（右旋圆偏光s=+1，左旋圆偏光s=-1 ）有关。 角动量守恒的 SHEL分裂来自旋-轨作用：（σ 3 s = s s ）
弱测量原理及应用
张永德 中国科学技术大学, 近代物理系
1
一,引言━━von Neumann正交投影 测量
1, von Neumann正交投影测量模型[1]
用A观测量子系统S的可观测量 Ω S ，在S- A之间要有适 之间 当的“测量Hamiltonian” ,使S的可观测量和A的位置指示器 ˆ P ˆ 量之间产生耦合 H i = λΩ S A 。耦合作用导致的本征态和可区分 态之间产生量子纠缠。量子纠缠使我们能够通过测量指示器 变数x来制备力学量 Ω S 数值 ω i 的本征态 ωi S。 设初始时刻A的状态和S的叠加态合成大系统S-A，处于孤 立系能量本征态的可分离态，
(
)
6
▲ 三个Stern-Gerlach的peres相干叠加[4]
⎧ ⎫ ⎛ 1⎞ 1 ⎧ 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞ z z x x z x x + = ⇒ + + = = + + − = = − ， ； ， ⎪ ⎨ ⎬⇒ A ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 1 − 2⎩ 2⎝ ⎠ 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎭ ⇒⎨ ⎫ ⎛ 0⎞ 1 ⎧ 1 ⎛ 1⎞ −1 ⎛ 1 ⎞ ⎪ +x = − − z， −x = ⎜ ⎟ = +x ； ⎜ ⎟ = − −x ⎬⇒ B ⎪ − z = ⎜ 1 ⎟ ⇒ 2 ⎨ − z， 1 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎩ ⎭ ⎩ ⎧ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎫ z x z z x z + ， + =⎜ ⎟ + ， − ， + =⎜ ⎟ ⎪ ⎪+ ， 0 1⎪ ⎝ ⎠ ⎝ 0⎠ ⎪ A⇒ ⎨ ⎬ 2⎪ ⎛ 0⎞ ⎛ 0 ⎞⎪ + x， − z = ⎜ ⎟ + z， − x， − z = ⎜ ⎟⎪ ⎪ + z， ⎝ 1⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎭ ⎩ ⎧ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎫ z x z z x z − + + = − − − + = − ， ， ， ， ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ 1⎪ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎪ B⇒ ⎨ ⎬ 2⎪ ⎛ 0⎞ ⎛ 0 ⎞⎪ + x， − z = ⎜ ⎟ − − z， − x， − z = − ⎜ ⎟⎪ ⎪ − z， 1 ⎝ ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎭ ⎩
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三，弱测量初步应用
1，Applications: Signal-amplification[7] Gauss波包激光束， 穿过空气玻璃界面时，
+ ，−
两种成分有少许位置分离。 矢量平移， Berry相位因子
O. Hosten, P. Kwiat, Science 319, 787 (2008)
⎡ − ( y + a )2 ⎤ ⎡ x2 ⎤ ⎧ ⎡ − y2 ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ iϕ ⎥ e + sin α sin β exp ⎢ 2 ⎥ ⎬ ⋅ E f = E0 exp ⎢ − 2 ⎥ ⎨cos α cos β exp ⎢ 2 w0 ⎢ ⎥ ⎣ w0 ⎦ ⎪ ⎣ w0 ⎦ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ K K ⋅ cos β e x + sin β e y
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参考文献
[1] 张永德, 《量子信息物理原理》，北京:科学出版社，2012年，p.20。 [2] Y. Aharonov, et.al., How the Result of a Measurement of a Component of the Spin of a Spin- 2 Particle Can Turn Out to be 100. PRL , 60, 1351(1988)。 [3] Y.Aharonov, et.al., Vol. 41, PRA, 11(1990)。 [4] 见[1]中p.26习题1.4，及p.335的解答。 [5] N.W.M.Ritchie,et.al., PRL, Vol.66,1107(1991)。 [6]张永德,《高等量子力学(第II版)》,北京:科学出版社,2010年, p.658, 附录G [7] O. Hosten, et.al., Observation of the Spin Hall Effect of Light via Weak Measurements, Science , 319, 787 (2008)。 [8] S. Kocsis, et.al., Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer, Science , 332, 1170 (2011)。 [9] A. P. Laloy, et.al., Experimental violation of a Bell’s inequality in time with weak measurement. Nature Physics, Vol. 6 , ?(2010)。 [10] J. S. Lundeen, Nature, 474, 188-191(2011)。 [11] Yong-Su Kim, et.al., Protecting entanglement from decoherence using weak measurement and quantum measurement reversal. Nature Physics, Vol. 8, ?(2012)。 [12] P. B. Dixon, PRL，102, 173601(2009)。
n
n！ S
ψf
( AS )
( iq )
n
ψ in ψf
exp ( − q 2 4Δ 2 )
=
S
ψ f ψ in
S
∑
n

n！ S
1n
max
S
ψ f ψ in
n
S
ψ f ψ in
exp ( − q 2 4Δ 2 )
S
⎡ψ ⎣ f
( AS )
ψ in
⎤ S⎦
Δ
S
⎛ ⎞ S ψ f AS ψ in S ⎟ exp ( − q 2 4Δ 2 ) ψ f U S ( t ) ψ in S ≅ S ψ f ψ in S ⎜ 1 + iq ⎜ ψ f ψ in S ⎟ S ⎝ ⎠ ⎛ S ψ f AS ψ in ⎞ S ψ f U S ( t ) ψ in S S ⎟ exp − q 2 4Δ 2 ≅ exp ⎜ iq ⎜ ψ f ψ in S ψ f ψ in S ⎟ S S ⎝ ⎠
如果中间x方向磁场逐渐减弱最后消失，情况如何？
7
▲ 用三个Stern-Gerlach磁场解释[5] 三个串接的Stern-Gerlach磁场，类似于Peres 安排。 第一个S-G, +Z, 输入态, 预选择 ψ in S 第一个S-G弱磁场, +X, 弱测量 第一个S-G, ≈-Z, 强测量, 后选择 ψ out S <光学类比> 电子自旋态 Gauss模, 光子极化态; S-G磁场 偏振片 弱磁场 双折射薄晶片 双折射诱导位移很小于Gauss束半宽度 a w0
⎧ [air side] Ψa = ∫ dyΨ ( y ) y s = ∫ dk yΦ k y k y s ⎪ ⎨ ˆ ⎪ ⎩[ glass side] Ψg = ∫ dk yΦ k y exp −ik yσ 3δ k y s = ∫ dyΨ ( y − sδ ) y s 1 H = ( s = + + s = − ) ：ky H → ky H + kyδ V ≡ ky ϕ 2 1 ⎡ ˆ 3δ ϕ = k yδ 1： ϕ = ⇒ exp −ik yσ exp −ik yδ + + exp ik yδ − ⎤ ⎣ ⎦ 2
ϕ
S
⊗ Φ ( x)
A
= ∑ ci ω i
i
S
⊗ Φ ( x)
A
2
ˆ 相互耦合。这时，相互作 ˆ 和对A的动量 P H i中被测量 Ω A S 用图象的时间演化算符简化为 USA ( t ) ∝ exp{−iHi t =} 。演化中， ˆ → ω 后转化为对A态 U SA ( t ) 先作用到态 ωn S，代以本征值 Ω S n 的空间平移算符，再向 Φ ( x ) A作用将x平移。于是，原先可分 离态就演化成为纠缠态。即（xn ≡ x − λω n）
)
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Ehrenfest定理 轨道，结果平庸.
平均
3，利用弱测量技术，可以做很多以前很难做的 实验。
除前面讲的两篇之外，还有比如: ▲ Bell不等式破坏的检验[9]，Nature Physics，2010 ▲ 波函数直接测量[10] ▲ 量子纠缠保护[11] ▲ 信号放大[12] PRL，2009） ▲ 量子态X-射线摄影（QST） ▲ 量子徉谬鉴别 ▲ 量子系统反馈控制 ┅┅等等。
USA ( t ) ∑ cn ωn
n
S
Φ( x)
− i λωn PA = = c ω e Φ( x) ∑ n n S A ˆ n
A
= ∑ cn ωn
n
S
Φ ( xn )
A
ˆ 和 ˆ 的测量值 x（和 ）就关联起来。 X 由此， ΩS A ω
按Born法则：观测A位置变量x将导致A的可区分态塌 缩，例如塌缩到 并得到 xk ，而S被测态向对应本征 态 关联塌缩，得到相应数值 。假定对x的观测精度足 以分辨全部本征值ω ，就实现了用A对S的 Ω S 作测量。
ˆ 这个复数强烈地依赖于初末态预选择和后选择。其实，它甚至可能很大于 Ω S 的所有本征值，假如初态和末态接近于正交的话。这就是常说的弱测量的放大 作用。
5

证明:
S
(1
Δ ( 2π )
14
) exp ( −q
2
4Δ
2
)ψ
,
in S
H = −δ ( t ) qAS
2 2 exp − q 4 Δ ( ) S
8
透出双折射片
⎡ x2 + y2 ⎤ K K + Ein = E0 exp ⎢ − cos α e sin α e ⎥ x y 2 w 0 ⎣ ⎦
(
)
后选择（偏振片，和x轴夹角ß）
( ) 沿y轴测透射光强，正比于
⎡ − ( y + a )2 ⎤ K ⎡ x2 ⎤ ⎧ ⎡ − y2 ⎤ K ⎫ ⎪ ⎪ iϕ ⎥ + E w = E0 exp ⎢ − 2 ⎥ ⎨cos α exp ⎢ e e sin α exp e ⎢ 2 ⎥ y⎬ x 2 w w ⎢ ⎥ 0 ⎦⎪ 0 ⎣ ⎣ w0 ⎦ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭