湖北省孝感高级中学高中数学教学论文《例谈联想思维在解题中的应用》

湖北省孝感高级中学高中数学《例谈联想思维在解题中的应用》论文
联想是一种心理现象，是由一个事物想到另一个事物的心理过程.数学解题的过程，就是根据题目条件与结论联想与之接近或相似的知识点，结构特点，思想方法，做过的题目，常用结论和常用方法，把题目的条件和结论之间用一系列的因果链条连接起来，从而解决问题的过程.本文通过例题说明联想思维在解题中的应用，旨在提高学生分析问题，解决问题的能力. 1联想知识点
在解题过程中，可根据问题的形式特点联想相关知识点，通过对有关定义，定理，公式，法则和性质等的联想，从中寻找解题的突破口，使问题迎刃而解.
例1（2020辽宁理11）已知0,a >则x 满足关于x 的方程ax b =的充要条件是（ ）
220011.,22A x R a x b x a x b x ∃∈-≥- 22
00
11.,22B x Ra x b x a x b x ∃∈-≤- 220011.,22C x Ra x b x a x b x ∀∈-≥- 22
00
11.,22
D x Ra x b x a x b x ∀∈-≤- 解析移项后得
22001122a x b x a x b x --+，因 2
20011422b a a x b x ⎛⎫∆=-⋅-+
⎪⎝⎭
()2
0,b ax =-要与结论0ax b =等价，则0∆≤恒成立，又0,a >故
220011022a x b x a x b x --+≥恒成立，即22
00
11,22
x R a x b x a x b x ∀∈-≥-恒成立，选.C 点评由形式特点联想到“一元二次不等式恒成立的充要条件”这一重要知识点是解决问题得关键.
例2设函数()()
2
l n 1f x x x =
+使关于θ的不等式()()s i n 1f m f m θ>-在,22ππθ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
上至少存在一个解，则实数m 的取值范围（ ）. 解
析
因
定
义
域
是
且恒大于()0,ln 1x +在()0,+∞单增且恒大于0故()f x 在()0,+∞为增函数，故原不等式
()()()()
s i n 1s i n 1f m f mf m f m θθ
>-⇔>- s i n 1,m m θ⇔>-若0,m =则01>矛盾，故0,m ≠原命题等价于1
sin m m
θ->
有解，故2
m a x
11s i n 11,m m m m θ--⎛⎫
=>⇔> ⎪⎝⎭
即1.2m > 点评由函数解析式的特点联想到函数的单调性和奇偶性这些重要性质，再利用其性质等价转化，避免了繁杂的分类讨论.
例3（2020安徽理18）在数1和100之间插入n 个实数，使得这()2n +个数构成递增的等比
数列，将这()2n +个数的乘积记作,n T 再令l g ,1.n n a T n =≥（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1
t a n t a n ,n n n b a a +=⋅求数列{}n b 的前n 项和.n S 解析（1） 2.n a n =+（过程略）.（2）()()t a n 2t a n 3,n b n n =+⋅+由tan1= ()()()
t a n 1t a n t a n 1,1t a n 1t a n k k k k k k +-+-=⎡⎤⎣⎦++得()
()t a n 1t a n t a n 1t a n 1,t a n 1
k k k k +-+=-故()()()2
2
133t a n 1t a n t a n 3t a n 3t a n 1t a n 1.t
a n 1t a n 1n
n n n i i k k k k n S b k k n ++===+-+-⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑ 点评由数列通项的形式特点联想到两角差的正切公式，再进行裂项求和是快速破题的关键.
2联想结构特点
面对一个数学问题，如果能够根据所求问题的结构特点进行联想，挖掘其中蕴含的特殊规律和内在联系，预测，猜想，探索可能的解题途径，往往能够使得问题的求解过程简洁明了.
例4（2020四川理12）设0,a b c >>>则()
2
2
112
1025a a c c a b aa b ++-+-的最小值是（ ）
2.A
4.B
52.C
5.D
解析 原式=≥
-+-+=+-+-+
+2
2222
)5()
(1)2510()(11c a b a b a c ac a b a a ab a 442402)(12
2
22=≥+=+⎪
⎭⎫
⎝
⎛-++a a b a b a ，当且仅当“c a b a b 5,=-=且 ,22=a ”即“252===c b a
”时=成立，故原式的最小值为4. 点评 本题代数式结构繁杂，但联想到完全平方式，均值不等式等结构特征，对原式进行优
化重组，问题便迎刃而解.
例5若函数()y f x =满足()(),f x f x '>则当0a >时，()f a 与()0a
e f 的大小关系为（ ） 解析设()(),x f x F x e =则()()()()()20,x x
x x
f x e fx e f x fx F x e e
''--'==>故()F x 在R 上单增，因0,a >故()()0,F a F >即()()0.a
f a e f >
点评由式子结构特点联想到构造商的导数法则，若条件变为()()0,f x f x '+>
则联想到构造积的求导法则.
3联想数学思想方法
数学思想方法是数学解题的灵魂，数学解题过程，实际上就是数学思想方法的再现过程.当
解题过程中不能充分揭示题目的隐含条件，找不到解题的突破口时，若能联想我们学过的数学思想方法，转换思维角度，经过适当的变形，转化，往往能使许多思维障碍不攻自破. 例6（2020重庆文15）若实数,,a b c 满足222,2222,a b a b a b c a b c
++++=++=则c 的最大值为（ ）
解析因22222a b a b a b ++=+故2
4,a b
+≥又由2
222a b c a b c
++++=得，222111421,2121213a b a b
c
a b a b a b
+++++-+===+≤---故24lo g ,3c ≤即c 的最大值为24
l o g .3
点评不少同学做此题时无从下手，关键是没能联想到函数思想引领解题，求最值和范围问题往往要联想利用函数思想，分清自变量与函数值，将函数解析式准确求出来.
例7（2020年浙江理21）已知抛物线21:.C x y =圆()2
2
2:41C x y +
-=的圆心为点M.（1）求点M 到抛物线的准线的距离；（2）已知点P 是抛物线上一点（异于原点），过点P 作圆2
C
的
两条切线交抛物线于A ，B 两点，若过点M ，P 两点的直线垂直于AB ，求直线的方程. 解析(1)略.（2）如图1，设()
()()2001122
,,,,,,P x x A x yB x y 由题意得00120,1,,x x x x ≠≠±≠ 2210
110010
10
,,,P A yy x y x y k xx P A xx -==∴==+∴-Q 直线方程为()()2
0100,yx x x xx -=+-即()1001
0,xx x y x x P A +--=Q 与圆2
C 相
切，()
012
1041,1x x x x +=++化简得()222
0110061150
,x xxx x +-+-=即()220101061150,x x x y x +-+-=同理可得()22
020*******
,x x x y x +-+-=由直线方程思想得直线AB 的方程为()
22
0002
661150,,1A B
x x x x y x k x +-+-=∴=- ()22020
02
00
64423,1,,15115P M A B P M l x x k k k x l x x --=∴⋅==-∴=∴=±∴-Q 的直线方程为4.115
y x -= 点评根据相切条件得到方程后，若能联想到利用直线方程思想引领解题，便可快速求解，比原解答更加简洁. 4联想做过的题目
图1
例
8（2020课标全国理21）已知函数()ln ,1a x b
f x x x
=++曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程
为
230.
x y +-=（
1
）
取值范围.
解析（1）1;a b ==（2）()l n 1l n 11x x k
f x x x x x
=+>++-可转化为22
2ln 11x x x k x +-<-在0x >且
1
x ≠恒成立，令
()2
2
2l n 1,1x x x
g x x
+-=-再令
()2
12l n ,(0,1),h x x x x x x =-+>≠()
22l n 2,h x x x '=-++Q ()()2122,x h x x x -''=
-+=当01x <<时，()0;h x ''>当1x >时，()0;h x ''< ()()()()m a x
10,0h x h h x '''∴==∴<在0,1x x >≠时恒成立，即()h x 在()0,+∞上单调递减，注意到()10,h =2
01,()(1)0,10,()0;
x h x h x g x ∴<<>=->∴>Q 1,()(1)0,x h x h ><=2
10,()0.x g x -<∴>∴Q 0,1x x >≠时，总有()0g x >恒成立，又由定理1知，()2
2
11
2l n 122l n 10,0.12l i m l i m x x x x x x x k x x →→+-+-==∴≤-- 点评联想到我们做过的2020课标全国卷理21题目：设函数()
2
1.x
f x e x a x =---（1）若0,a =求()f x 的单调区间；
（2）若当0x ≥时，()0,f x ≥求a 的取值范围.此外我们做过的还有2020年全国卷II 理22题，2020年全国卷I 理20题，2020全国II 理20题，我们还有
什么理由不能“秒杀”本题来？此外2020大纲全国21题是“四点共圆问题”，也可以联想到2020年湖北理21题的“四点共圆”是我们做过的题目. 5联想常用结论
有些较为复杂的题目实际上是许多重要知识点的有机组合，它们往往来自简单题，即“简单题+简单题=难题”，而数学解题是命题的连续变换，所以在遇到复杂的题目时，若能联想到常用的结论，善于把复杂问题分解，往往能够起到化难为易的效果.
例9设P 为OAB ∆所在平面上一点，,,
O Aa O Bb ==u u u r ru u u r r
且P 在线段A B 的垂直平分线上，向量,O P c =u u u r r
若3
,4,a b ==r r 则()
c a b ⋅-=r r r （） 解析设线段A B 的垂直平分线与A B 交于E 则()()()
c a b O P P E a b
⋅-=+⋅-rrr u u u ru u u r rr
()
()()()
221
17.
222
O P a b P E B A a b a ba b =⋅-+⋅=+-=-=-u u u r r r u u u r u u u r r r r r r r 点评许多学生做此题时不知如何下手，有些用特值法处理；但若能联想到“若E 为OAB ∆边
A B 的中点，则(
)
12
O
E O A O B =+u u u r u u u r u u u r
”这一平面向量中的重要结论，便可圆满解决该题. 例10（2020山东理22）已知函数()1l n 1.().a f x x a x a R x -=-+-∈（1）1
2a ≤时，
讨论()f x 的单调性；（2）设()2
24.gx x b x =
-+当14
a =时，若对任意()10,2,x ∈存在[]21,2,x ∈使()()
12,f x g x ≥求实数b 的取值范围. 解析（1）①当0a ≤时，()f
x 的单增区间为()1,,+∞单减区间为()0,1;②当1
2
a
=
时，()f x 的单减区间为()0,;+∞③当102a <<
时，()f x 的单增区间为11,1,a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
单减区间为()0,1和1
1,.a
⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
（过程略）.（2）“若对任意()10,2,x ∈存在[]21,2,x ∈使()()12f x
g x ≥”可先把x
看作自变量，x
看作常量，于是等价于()()12m i n
f x gx ≥有解；又等价于()()12m i n m i n
.f x gx ≥ 110,,42a ⎛⎫
=∈∴ ⎪⎝⎭
Q 由（1）知，()1f x 在()0,1上单减，在()1,2上单增，
()()1m i n
11,2
f x f ∴==-又()()[]22
4,1,2,g x x b b x =-+-∈∴①当1b <时，()()2m i n
111
152,24
g x g b b ==-≤-∴≥矛盾；②当12b ≤≤时，()()2
2m i n
14,2g x g b b b ==-≤-矛盾；③当2b >时，()()2m i n 117284,.28g x g b b ==-≤-∴≥综合上述， b 的取值范围为17
,.8⎡⎫
+∞⎪⎢⎣
⎭
点评本题将两个常用的结论“()()()
f x A f x A ≥≤在[],a b 上恒成立等价于
()()m i n m a x
();f x A f x A ≥≤()()()f x A f x A ≥≤在[]
,a b 上有解等价于
()()m a x m i n
()f x A f x A ≥≤”有机结合起来，由此可见，本题所谓的压轴难题就是“简单题+简单题”.
6联想常用方法
数学解题常用方法需要不断积累，在积累过程中不断提高应对各种新颖题目的能力.有些题目看上去很陌生，但实际上就可以用我们常见的方法去解决.
例11（2020江苏12）设,,x y R ∈满足22
38
,49,x x y y ≤≤≤≤则x y
的最大值为（ ）
解析令()32
2224,23,24,1,2,n
m m nm n
x x x y xy m n m n m n y y +-⎛⎫==∴+=-=-∴=-= ⎪
⎝⎭ 2
223
2
24
11138,;49,1681,227,83x x x x y x y y y y ⎛⎫≤≤∴≤≤≤≤∴≤≤∴≤≤∴ ⎪⎝⎭
Q Q x y 的最大值为27.
点评联想到待定系数法是解决本题的关键，甚至还可以将本题结论推广.
例12（2020上海理17）设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使
12345
0M A M A M A M A M A ++++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r
成立的点M 的个数为（ ）. A ．0 B.1 C.5 D.10
解析从特例入手，不妨令12345,,,,A A A A A 五点共线，
且12233445,A A A A A A A A ===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r
则满足题意的点M 恰为15A A uuuur
的中点，存在且唯一.猜想知：满足条件的点M 的个数是唯一的，
下面用反证法证明如下：假设满足条件的点除M
外还有点N 那么
123450,M A M A M A M A M A ++++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r ①，12345
0,N A N A N A N A N A ++++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r
②，①--②得50,M N =u u u u r r
则点与M 点重合，与假设矛盾. ∴满足条件的点M 只有一个.
点评联想到特殊到一般的分析问题的方法和反证法，可准确，快速解决此问题. 7联想常用技巧
有些数学问题若能联想到常用解题技巧解决问题，便会有“山重水复疑无路，柳岸花明又一春”的感悟.
例13（2020重庆理10）函数()
)
02
f x x π≤≤的值域是（ ）
.0A ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
[].1,0B - .C ⎡⎤⎣⎦ .D ⎡⎤⎣⎦
解析()
()()
22
s i n 1s i n 1
,32c o s 2s i n s i
n 1c o s 1x x fx x x x x --==---+-Q ①当sin 1x =时，
()0;f x =②当1s i n 1x -≤<时，()2
1,1f x y -=
+其中1cos ,1sin x
y x
-=
-其几何意义为动点
()s i n ,c o s x x 与定点()
1,1构成直线的斜率，由数形结合知()0,10.y f x ≥∴-≤<综上有
()10.f x -≤≤故选.B
点评联想到“122s i n c o s x x =+”的巧用这一技巧，将函数式的分母变形成完全平方式，再联想到几何意义是解决本题的关键.
例14（2020广东理20）设0,b >数列{}n a 满足()
1
11
,2.(1)22n n n n b a a b a n a n --==≥+-求数列{}n a 的通项公式；（2）略. 解析()111
1111
21222211,,.
22n n n n
n n n n n n n n b a an an n a an a n b a a b a b b a --------+-+-=∴=∴==++-Q 令()11
121
,2,.n n n n
n c c c n c a b b b -=∴=+≥=①
当
2
b =时，
()1111,1,2.2222n n n n n c c c n a -=+∴=+-=∴=②当0,2b b >≠时，由112
n
n c c b b
-=+得1
1112111212,,22222n n
n n n c c c c b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+∴+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()22,.22n
n
n
n n n n n
n b b b c a b b b --∴=∴=--综合上述，()()2,0
,2.22,(2
)n
n n n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=⎨-⎪=⎩ 点评联想到对递推关系取倒数这一常用技巧，思路便明朗了，问题便可以迎刃而解.。