〖汇总3套试卷〗上海市虹口区2019年九年级上学期期末教学质量检测数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．4cm，2cm，1cm，3cm
B．1cm，2cm，3cm，5cm
C．3cm，4cm，5cm，6cm
D．1cm，2cm，2cm，4cm
【答案】D
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例.
【详解】A.从小到大排列，由于1423
⨯≠⨯，所以不成比例，不符合题意；
B. 从小到大排列，由于1523
⨯≠⨯，所以不成比例，不符合题意；
C. 从小到大排列，由于3645
⨯≠⨯，所以不成比例，不符合题意；
D. 从小到大排列，由于1422
⨯=⨯，所以成比例，符合题意；
故选D.
【点睛】
此题主要考查线段成比例的关系，解题的关键是通过计算判断是否成比例.
2．已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（）
A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）
【答案】C
【分析】根据（0，3）、（3，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（3，3）两点，
∴对称轴x=03
2
+
=1.5；
点（-1，0）关于对称轴对称点为（4，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（4，0）．
故选C．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．直径为1个单位长度的圆上有一点A 与数轴上表示1的点重合，圆沿着数轴向左滚动一周，点A 与数轴上的点B 重合，则B 表示的实数是（ ）
A ．2π1-
B ．π1-
C ．1π-
D ．12π-
【答案】C
【分析】因为圆沿数轴向左滚动一周的长度是π，再根据数轴的特点及π的值即可解答． 【详解】解：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周， ∴数轴上表示1的点与点B 之间的距离为圆的周长π=，点B 在数轴上表示1的点的左边．
∴点B 对应的数是1-π．
故选：C ．
【点睛】
本题比较简单，考查的是数轴的特点及圆的周长公式．圆的周长公式是：2L r π=．
4．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，若0a b c ++=，则该方程一定有一个根为（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．1或-1 【答案】C
【分析】由题意将0a b c ++=变形为c a b =--并代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可．
【详解】解：依题意得c a b =--，
原方程化为20ax bx a b +--=，
即(1)(1)(1)0a x x b x +-+-=，
∴(1)()0x ax a b -++=，
∴1x =为原方程的一个根.
故选：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程解的定义．注意掌握方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．
5．反比例函数4y x
=-（x ＜0）如图所示，则矩形OAPB 的面积是（ ）
A ．-4
B ．-2
C ．2
D ．4
【答案】D 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图象上一点向x 轴，y 轴作垂线与坐标轴围
成的矩形面积等于|k|解答即可．
【详解】∵点P 在反比例函数4y x
=-
（x ＜0）的图象上， ∴S 矩形OAPB =|-4|=4，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义，掌握反比例函数上一点向x 轴，y 轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|是关键．
6．如图，AOB 中，30B ∠=︒．将AOB 绕点O 顺时针旋转52︒得到A OB ''△，边A B ''与边OB 交于点C （A '不在OB 上），则A CO '∠的度数为（ ）
A ．22︒
B ．52︒
C ．60︒
D ．82︒
【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得∠B′=∠B=30°，∠BOB′=52°，再由三角形外角的性质即可求得A CO ∠'的度数.
【详解】∵△A′OB′是由△AOB 绕点O 顺时针旋转得到，∠B=30°，
∴∠B′=∠B=30°，
∵△AOB 绕点O 顺时针旋转52°，
∴∠BOB′=52°，
∵∠A′CO 是△B′OC 的外角，
∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解决问题的关键.
7．如图，这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心，则这个花坛的周长（实线部分）为（ ）
A ．4π米
B ．113π米
C ．3π米
D ．2π米
【答案】A 【分析】根据弧长公式解答即可．
【详解】解：如图所示：
∵这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心，∴OA＝OC＝O'A＝OO'＝O'C＝1，
∴∠AOC＝120°，∠AOB＝60°，
∴这个花坛的周长＝2401601
244 180180
ππ
π
⨯⨯
⨯+⨯=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆的弧长公式，找到弧所对圆心角度数是解题的关键
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tanA＝（）
A．2
3
B．
3
2
C
213
D
313
【答案】B
【分析】根据正切的定义tan
a
A
b
=计算，得到答案．
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
3
tan
2
BC
A
AC
==，故选：B．
【点睛】
本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键.
9．在一个有10 万人的小镇，随机调查了1000 人，其中有120 人周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目，那么在该镇随便问一个人，他在周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目的概率大约是（）
A．1
25
B．
1
50
C．
3
25
D．
3
1250
【答案】C
【解析】试题解析：由题意知：1000人中有120人看中央电视台的早间新闻，
∴在该镇随便问一人，他看早间新闻的概率大约是1203
= 100025
．
故选C．
【点睛】本题考查概率公式和用样本估计总体，概率计算一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些
事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=
m n ． 10．方程x （x ﹣1）＝0的根是（ ）
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．无解
【答案】C 【分析】解一元二次方程时，需要把二次方程化为两个一元一次方程，此题可化为：0x =或10x -=，解此两个一次方程即可. 【详解】()10x x -=，
∴0x =或10x -=，
∴ 10x =，21x =.
故选C .
【点睛】
此题虽不难，但是告诉了学生求解的一个方法，高次的要化为低次的，多元得要化为一元的.
11．下列一元二次方程中，两个实数根之和为2的是（ ）
A ．2x 2+x ﹣2＝0
B ．x 2+2x ﹣2＝0
C ．2x 2﹣x ﹣1＝0
D ．x 2﹣2x ﹣2＝0 【答案】D
【分析】利用根与系数的关系进行判断即可．
【详解】方程1x 1+x ﹣1=0的两个实数根之和为12-
； 方程x 1+1x ﹣1=0的两个实数根之和为﹣1；
方程1x 1﹣x ﹣1=0的两个实数根之和为12
； 方程x 1﹣1x ﹣1=0的两个实数根之和为1．
故选D ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 1是一元二次方程ax 1+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 1b a =-，x 1x 1c a
=． 12．若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点，且过点A(m ，n ），B(m ﹣8，n)，则n 的值为（ ） A ．8
B ．12
C ．15
D ．16 【答案】D
【分析】由题意b 2﹣4c ＝0，得b 2＝4c ，又抛物线过点A （m ，n ），B （m ﹣8，n ），可知A 、B 关于直线x ＝2b -对称，所以A （2b -+4，n ），B （2
b -﹣4，n ），把点A 坐标代入y ＝x 2+bx+
c ，化简整理即可解决问题．
【详解】解：由题意b 2﹣4c ＝0，
∴b 2＝4c ，
又∵抛物线过点A （m ，n ），B （m ﹣8，n ），
∴A 、B 关于直线x ＝2b -对称， ∴A （2b -+4，n ），B （2
b -﹣4，n ）， 把点A 坐标代入y ＝x 2+bx+
c ，
n ＝（2b -+4）2+b （2
b -+4）+
c ＝14-b 2+1+c ， ∵b 2＝4c ，
∴n ＝1．
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质,关键在于熟悉性质,灵活运用.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图(1)位置，第二次旋转至图(2)位置…，则正方形铁片连续旋转2018次后，点P 的纵坐标为_________．
【答案】1
【分析】由旋转方式和正方形性质可知点P 的位置4次一个循环，首先根据旋转的性质求出P 1～P 5的坐标，探究规律后，再利用规律解决问题．
【详解】解：∵顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2），
∴第一次旋转90°后，对应的P 1（5，2），
第二次P 2（8，1），
第三次P 3（10，1），
第四次P 4（13，2），
第五次P 5（17，2），
…
发现点P 的位置4次一个循环，
∵2018÷4=504余2，
P2018的纵坐标与P2相同为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
14．如图，A，B是反比例函数y=4
x
在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，
则△OAB的面积是_____．
【答案】2
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（1，1），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出
S△AOC=S△BOD=1
2
×4=1．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式
求出S梯形ABDC=1
2
（BD+AC）•CD=
1
2
（1+1）×1=2，从而得出S△AOB=2．
【详解】解：∵A，B是反比例函数y=4
x
在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是1
和4，
∴当x=1时，y=1，即A（1，1），
当x=4时，y=1，即B（4，1）．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则S△AOC=S△BOD=1
2
×4=1．
∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，∴S△AOB=S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC=1
2（BD+AC）•CD=
1
2
（1+1）×1=2，
∴S△AOB=2．
故答案是：2．【点睛】
主要考查了反比例函数y=k
x
中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂
线所围成的直角三角形面积S的关系即S=1
2
|k|．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝3，AB＝5，OD⊥BC于点D，则OD的长为_____．
【答案】1
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC22
53
4，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，
而OB＝OA，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD＝1
2
AC＝
1
2
×4＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论及垂径定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”，及垂径定理是关键．
16．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝k
x
（k＞0）的图像在第一象限交于点A，点C在以B（7，
0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为__________________________.
【答案】
9
y
x
=或
16
y
x
=
【解析】过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），则根据A在y=x上得m=n，由AC长的最大值为7，可知AC过圆心B交⊙B于C，进而可知AB=5，在Rt△ADB中，AD=m，BD=7-m，根据勾股定理列方程即可求出m的值，进而可得A点坐标，即可求出该反比例函数的表达式.
【详解】过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），
∵A在直线y=x上，
∴m=n，
∵AC长的最大值为7，
∴AC过圆心B交⊙B于C，
∴AB=7-2=5，
在Rt△ADB中，AD=m，BD=7-m，AB=5，
∴m2+(7-m)2=52，
解得：m=3或m=4，
∵A点在反比例函数y＝k
x
（k＞0）的图像上，
∴当m=3时，k=9；当m=4时，k=16，
∴该反比例函数的表达式为：
9
y
x
=或
16
y
x
=，
故答案为
9
y
x
=或
16
y
x
=
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的性质，理解题意找出AC的最长值是通过圆心的直线是解题关键. 17．一中和二中举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
学校参赛人数平均数中位数方差
一中45 83 86 82
二中45 83 84 135
某同学分析上表后得到如下结论：.
①一中和二中学生的平均成绩相同；
②一中优秀的人数多于二中优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）；
③二中成绩的波动比一中小.
上述结论中正确的是___________. （填写所有正确结论的序号）
【答案】①②
【分析】根据表格中的数据直接得出平均数相同，再根据一中成绩的中位数86＞85可判断一中优秀人数较多，最后根据方差越大，成绩波动越大判断波动性.
【详解】由表格数据可知一中和二中的平均成绩相同，
故①正确；
∵一中成绩的中位数86＞85，二中成绩的中位数84＜85，竞赛得分≥85分为优秀
∴一中优秀的人数多于二中优秀的人数
故②正确；
二中的方差大于一中，则二中成绩的波动比一中大，
故③错误；
故答案为：①②
【点睛】
本题考查平均数，中位数与方差，难度不大，熟练掌握基本概念是解题的关键.
18．天水市某校从三名男生和两名女生中选出两名同学做为“伏羲文化节”的志愿者，则选出一男一女的概率为．
【答案】
【解析】试题分析：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有12种情况，
∴选出一男一女的概率为：．
故答案为．
考点：列表法与树状图法求概率
三、解答题（本题包括8个小题）
19．（7分）某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组频数频率
50≤x＜60 8 0.16
60≤x＜70 12 a
70≤x＜80 ■0.5
80≤x＜90 3 0.06
90≤x≤100 b c
合计■ 1
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
【答案】（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）600人；（3）2
5人.
【分析】（1）利用50≤x＜60的频数和频率，根据公式：频率＝频数÷总数先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c的值；
（2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数；
（3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率.
【详解】解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名）
a=12÷50=0.24，
70≤x＜80的人数为：50×0.5=25（名）
b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名）
c=2÷50=0.04
所以a=0.24，b=2，c=0.04；
（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有：1000×0.6=600（人）
∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；
（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A，B
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有20种情况：
抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA共8种情况，
∴抽取的2名同学来自同一组的概率P=8
20
=
2
5
【点睛】
本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）CE长度为1
【分析】（1）连接OD，如图，根据等腰三角形的性质和等量代换可得∠ODB=∠C，进而可得OD∥AC，于是可得OD⊥DE，进一步即可得出结论；
（2）连接OF，由切线的性质和已知条件易得四边形ODEF为矩形，从而可得EF=OD=3，在Rt△AOF中根
据勾股定理可求出AO 的长，进而可得AB 的长，即为AC 的长，再利用线段的和差即可求出结果． 【详解】解：（1）DE 与⊙O 相切；理由如下：连接OD ，如图， ∵OB=OD ， ∴∠B=∠ODB ， ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ， ∴∠ODB=∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∴DE 与⊙O 相切；
（2）如图，连接OF ； ∵DE ，AF 是⊙O 的切线， ∴OF ⊥AC ，OD ⊥DE ， 又∵DE ⊥AC ，
∴四边形ODEF 为矩形， ∴EF=OD=3，
在Rt △OFA 中，∵AO 2=OF 2+AF 2， ∴22345AO +=，
∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC ﹣AF ﹣EF=8﹣4﹣3=1． 答：CE 长度为1． 【点睛】
本题考查了圆的切线的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 21．如图，直线:l y x b =+和反比例函数k
y x
=
的图象交于,A B 两点，已知A 点的坐标为(1,4)．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求出B 点关于原点O 的对称点C 的坐标； （3）连接,,AO CO AC ，求AOC ∆的面积．
【答案】（1）4y x
=
；（2）C 的坐标为(4,1)；（3）AOC ∆的面积为15
2．
【分析】（1）将点A 的坐标代入反比例函数的解析式中即可出答案；
（2）将一次函数与反比例函数联立求出B 点的坐标，再根据关于原点对称的点的特征写出C 的坐标即可； （3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积即可求出AOC ∆的面积． 【详解】（1）将点(1,4)A 的坐标代入k
y x
=
中，得 41
k
= 解得4k =
∴反比例函数的解析式为4y x
=
（2）将点(1,4)A 的坐标代入y x b =+中，得
14b +=
解得3b =
∴一次函数的解析式为3y
x
43y x y x ⎧=⎪
⎨
⎪=+⎩ 解得14x y =⎧⎨=⎩
或41x y =-⎧⎨=-⎩ ∴B 的坐标为(4,1)--
∵B 点关于原点O 的对称点是C
∴C 的坐标为(4,1) （3）如图
11115
441414(41)(41)2222
AOC
S
=⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯-⨯-=
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法，数形结合是解题的关键． 22．画出如图所示的几何体的主视图、左视图和俯视图．
【答案】见解析．
【分析】分别从正面、左面、上面看得到的图形即可.看到的棱用实线表示,实际存在但是被挡住看不见的棱用虚线表示.
【详解】
【点睛】
本题考查了三视图的作图.
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝14
x 2
+kx+c 的图象经过点C （0，1），当x ＝2时，函数有最小值． （1）求抛物线的解析式；
（2）直线l ⊥y 轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l 交于点A ．在x 轴上有一点B ，且AB
l 上求异于点A 的一点Q ，使点Q 在△ABC 的外接圆上；
（3）点P （a ，b ）为抛物线上一动点，点M 为坐标系中一定点，若点P 到直线l 的距离始终等于线段PM 的长，求定点M 的坐标．
【答案】（1）y ＝
14
x 2
﹣x+1； （2）Q （1，﹣1）；（3）M （2，1） 【分析】（1）由已知可求抛物线解析式为y ＝1
4
x 2﹣x+1；
（2）由题意可知A （2，﹣1），设B （t ，0），由AB
，所以（t ﹣2）2+1＝2，求出B （1，0）或B （3，0），当B （1，0）时，A 、B 、C 三点共线，舍去，所以B （3，0），可证明△ABC 为直角三角形，BC 为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC 的中点（
32，12），
，设Q （x ，﹣1），则有（x ﹣32）2+（12+1）
2
＝（
2
）2
，即可求Q （1，﹣1）； （3）设顶点M （m ，n ），P （a ，b ）为抛物线上一动点，则有b ＝14
a 2
﹣a+1，因为P 到直线l 的距离等于PM ，所以（m ﹣a ）2+（n ﹣b ）2＝（b+1）2，可得
2
12
n a -+（2n ﹣2m+2）a+（m 2+n 2﹣2n ﹣3）＝0，由a 为任意值上述等式均成立，有1022220
n
n m -⎧=⎪
⎨⎪+-=⎩，可求定点M 的坐标．
【详解】解：（1）∵图象经过点C （0，1）， ∴c ＝1，
∵当x ＝2时，函数有最小值，即对称轴为直线x ＝2， ∴
2
1
24
k -
=⨯，解得：k ＝﹣1，
∴抛物线解析式为y ＝
14
x 2
﹣x+1； （2）由题意可知A （2，﹣1），设B （t ，0）， ∵AB
， ∴（t ﹣2）2+1＝2， ∴t ＝1或t ＝3，
∴B （1，0）或B （3，0），
∵B （1，0）时，A 、B 、C 三点共线，舍去， ∴B （3，0），
∴AC ＝
，BC
，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC 的中点（3
2
，
1
2
）
，半径为
10
2
，设Q（x，﹣1），则有（x﹣
3
2
）2+（
1
2
+1）2＝（
10
）2，
∴x＝1或x＝2（舍去），
∴Q（1，﹣1）；
（3）设顶点M（m，n），∵P（a，b）为抛物线上一动点，
∴b＝
1
4
a2﹣a+1，
∵P到直线l的距离等于PM，
∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，
∴2
1
2
n
a
-
+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，
∵a为任意值上述等式均成立，
∴
1
2
2220
n
n m
-
⎧
=
⎪
⎨
⎪+-=
⎩
，
∴
1
2
n
m
=
⎧
⎨
=
⎩
，
此时m2+n2﹣2n﹣3＝0，
∴定点M（2，1）．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，结合圆的相关知识解题是关键．24．已知：如图，在ABC中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.
【答案】(1)见详解；（2）
49
5
【详解】（1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD =∠ACB,
∴△ABD∽△ACB.
（2）解: ∵△ABD ∽△ACB ，
∴
AB AD
AC AB =， ∴
757
AC =， ∴49
5
AC =
25．十八大以来，某校已举办五届校园艺术节.为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目.小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.
(1)五届艺术节共有________个班级表演这些节日，班数的中位数为________，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为________； (2)补全折线统计图；
(3)第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演(“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用A ，B ，C ，D 表示).利用树状图或表格求出该班选择A 和D 两项的概率. 【答案】 (1)40，7，81°；(2)见解析；(3)
16
. 【解析】（1）根据图表可得，五届艺术节共有：()0036022.5117
576(1)40360
⨯+++÷-
=；根据中位数定义和圆心角公式求解；（2）根据各届班数画图；（3）用列举法求解；
【详解】解：(1) 五届艺术节共有：()0036022.5117
576(1)40360
⨯+++÷-
=个，第四届班数：40×22.5%=9，第五届40117
360
⨯=13，第一至第三届班数：5，7，6，故班数的中位数为7， 第四届班级数的扇形圆心角的度数为：3600×22.5%=81°； (2)折线统计图如下；.
(3)树状图如下.
所有情况共有12种，其中选择A 和D 两项的共有2种情况， 所以选择A 和D 两项的概率为21
126
=. 【点睛】
考核知识点：用树状图求概率.从图表获取信息是关键.
26．某企业设计了一款工艺品，每件成本40元，出于营销考虑，要求每件售价不得低于40元，但物价部门要求每件售价不得高于60元．据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每涨1元，每天就少售出2件，设单价上涨x 元(0)x ≥． （1）求当x 为多少时每天的利润是1350元？
（2）设每天的销售利润为y ，求销售单价为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）5x =时，每天的利润是1350元；（2）单价为60元时，每天利润最大，最大利润是1600元
【分析】（1）根据每天的利润=单件的利润×销售数量列出方程，然后解方程即可；
（2）根据每天的利润=单件的利润×销售数量表示出每天的销售利润，再利用二次函数的性质求最大值即可．
【详解】（1）由题意得(5040)(1002)1350x x -+-=，即2401750x x -+=， 解得：125,35x x ==，
∵物价部门要求每件不得高于60元， ∴5x =，即5x =时每天的利润是1350元；
（2）由题意得：(5040)(1002)y x x =-+-22801000x x =-++()2
2(20)1800010x x =--+≤≤，
∵抛物线开口向下，对称轴为20x
，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，且010x ≤≤，
∴当10x =时，max 1600y =（元），当10x =时，售价为5060x +=（元）， ∴单价为60元时，每天利润最大，最大利润是1600元． 【点睛】
本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键．
27．某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹(tái)共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元． (1)求两批次购进蒜薹各多少吨；
(2)公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？
【答案】 (1)第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨；(2)精加工数量为75吨时，获得最大利润，最大利润为85000元．
【详解】试题分析：（1）设第一批购进蒜薹x 吨，第二批购进蒜薹y 吨．构建方程组即可解决问题． （2）设精加工m 吨，总利润为w 元，则粗加工吨．由m≤3，解得m≤75，利润w=1000m+400=600m+40000，构建一次函数的性质即可解决问题．
试题解析：（1）设第一批购进蒜薹x 吨，第二批购进蒜薹y 吨．
由题意10040001000160000x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
解得20
80
x y =⎧⎨
=⎩，
答：第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨． （2）设精加工m 吨，总利润为w 元，则粗加工吨． 由m≤3，解得m≤75，
利润w=1000m+400=600m+40000， ∵600＞0，
∴w 随m 的增大而增大，
∴m=75时，w 有最大值为85000元．
考点：1、一次函数的应用；2、二元一次方程组的应用
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．直角三角形两直角边之和为定值,其面积与一直角边之间的函数关系大致图象是下列中的（）A． B．C．
D．
【答案】A
【解析】设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x).根据三角形面积公式即可得到关系式,观察形式即可解答.
【详解】解:设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x).
根据三角形面积公式则有:
y = ，
以上是二次函数的表达式,图象是一条抛物线,所以A选项是正确的.
【点睛】
考查了现实中的二次函数问题,考查了学生的分析、解决实际问题的能力.
2．在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为( )
A．1
4
B．
1
6
C．
1
2
D．
3
4
【答案】A
【分析】列举出所有情况，看两位数中是奇数的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数有：12，10，21，20四个，是奇数只有21，所
以组成的两位数中是奇数的概率为1
4
．
故选A．
【点睛】
数目较少，可用列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．某厂今年3月的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程正确的是（）
A ．50（1+x ）=72
B ．50（1+x ）＋50（1+x ）2=72
C ．50（1+x ）×2=72
D ．50（1+x ）2=72
【答案】D 【分析】可先表示出4月份的产量，那么4月份的产量×（1+增长率）=5月份的产量，把相应数值代入即可求解．
【详解】4月份产值为：50（1+x ）
5月份产值为：50（1+x ）（1+x ）=50（1+x ）2=72
故选D ．
点睛：考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．
4．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）
A ．③②①④
B ．②④①③
C ．③①④②
D ．②③④①
【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可得到答案．
【详解】∵DE ∥BC ，
∴∠B=∠ADE ，
∵DF ∥AC ，
∴∠A=∠BDF ，
∴∆ADE ~∆DBF ．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查三角形相似的判定定理，掌握“有两个角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键． 5．若点(3,4)A 是反比例函数k y x
=
图象上一点，则下列说法正确的是（ ） A ．图象位于二、四象限
B ．当0x <时，y 随x 的增大而减小
C ．点()2,6-在函数图象上
D ．当4y ≤时，3x ≥
【答案】B
【分析】先根据点A （3、4）是反比例函数y=k x 图象上一点求出k 的值，求出函数的解析式，由此函数的特点对四个选项进行逐一分析．
【详解】∵点A （3，4）是反比例函数y=
k x 图象上一点， ∴k=xy=3×4=12，
∴此反比例函数的解析式为y=12x
， A 、因为k=12＞0，所以此函数的图象位于一、三象限，故本选项错误；
B 、因为k=12＞0，所以在每一象限内y 随x 的增大而减小，故本选项正确；
C 、因为2×（-6）=-12≠12，所以点（2、-6）不在此函数的图象上，故本选项错误；
D 、当y≤4时，即y=
12x ≤4，解得x ＜0或x≥3，故本选项错误． 故选：B ．
【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意求出反比例函数的解析式是解答此题的关键． 6．小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ） A ．13 B ．23 C ．29 D ．12
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：
39=13
． 故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7．关于二次函数y=﹣（x +1）2+2的图象，下列判断正确的是（ ）
A．图象开口向上B．图象的对称轴是直线x=1
C．图象有最低点D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）
【答案】D
【解析】二次函数的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k），据此进行判断即可.
【详解】∵﹣1＜0，
∴函数的开口向下，图象有最高点，
这个函数的顶点是（﹣1，2），
对称轴是x=﹣1，
∴选项A、B、C错误，选项D正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝4
5
，AC＝6cm，则BC的长度为()
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C
【详解】已知sinA=
4
5
BC
AB
=，设BC=4x，AB=5x，
又因AC2+BC2=AB2，
即62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
所以BC=4x=8cm，
故答案选C．
9．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝23，则阴影部分的面积为（）
A．2
3
πB．πC．2πD．4π。