吉林省通化市梅河口市第五中学2023届高考二模考试数学试题

吉林省通化市梅河口市第五中学2023届高考二模考试数学
试题（火箭班）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集R U =，集合{}|1A x x =≥-，{}
2|230B x x x =+-<，则阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{}3|1x x -≤≤
B ．{}|31x x -<<-
C ．{}|31x x -<≤
D ．
{}|31x x -≤<- 2．若()1i 13i z +=-，则z =（ ）
A ．12i --
B ．12i +
C ．12i -+
D ．12i - 3．已知四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，2AD =，4DC =，60BAD ∠=o ，PD ⊥平面ABCD ，直线PD 与平面P AC 所成角为30o ，则PD =（ ）
A ．
B
C
D 4．已知双曲线22
:145
x y C -=右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点．当点P
为AB 的中点时，OA OB ⋅=u u u r u u u r （ ）
A ．818
B ．9
C ．274
D ．92 5．某校排球社团的同学为训练动作组织了垫球比赛，如图所示是为排球社团40位同学的一次垫球数所绘制的频率分布直方图，所有同学一次垫球数都在5~40个之间，估计一次垫球数的样本数据的80%分位数是（ ）
A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()220f x f x ++-=，且当01x <≤时，()()2log 3f x x =+，则()()20222023f f +=（ ）
A ．2
B ．2-
C ．1-
D ．1
7．如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0.9、0.7、0.7，则系统不能正常工作的概率为（ ）
A ．0.864
B ．0.156
C ．0.181
D ．0.819 8．已知0.10.1e ,0.11,ln1.1a b c ===，则a b c ，，的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．a c b <<
二、多选题
9．已知两组数据：第一组数据1278,,,,x x x x ⋅⋅⋅；第二组数据1278,,,,y y y y ⋅⋅⋅．其中，
()1,2,,7i i x y i ==⋅⋅⋅，78117i i y x ==∑，881
18i i x y ==∑，第一组数据不全相同．将这两组数据相比，则下列说法中正确的是（ ）
A ．平均数一定相等
B ．中位数一定相等
C ．极差一定相等
D ．第一组数据的方差大于第二组数据的
方差
10．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则（ ）
A ．()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ B ．()f x 的图像关于点()ππ,026k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
Z 对称
C ．()f x 的图像关于直线()π5πZ 212
k x k =
+∈对称 D ．函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数 11．已知ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r ，且OA AB =u u u r u u u r ，下
列结论正确的是（ ）
A ．CA u u u r 在C
B u u u r 方向上的投影长为B ．OA AB OA A
C ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
C ．
CA u u u r 在CB u u u r D ．OB AB OC AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
12．已知正方体ABCD EFGH -棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A ．存在点P ，使得4AP PM +=
B ．存在唯一点P ，使得AP PM ⊥
C ．当AM BP ⊥，此时点P
D ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P ABM -的外接球体积为9π2
三、双空题
13．给出下列结论：
①当(),0x ∈-∞时，()f x 单调递增；
②x ∀∈R ，()()2f x f x =-；
③R x ∀∈，()()1f x f x +-=．
写出符合上述任意两个结论的一个函数，你的答案是：符合______的函数()f x =______．
四、填空题
14．已知抛物线()2:20C x py p =->与直线1:12
l y x =+相切，则C 的准线方程为______． 15．已知函数()lg f x x =，若存在0a b <<且()()f a f b =，使得3m a b ≥+成立，则实数m 的取值范围是____________．
16．已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为______时，圆锥的体积最大，最大值为______．
六、解答题
17．如图，在二面角D AC B --中，2AD CD ==，F 是AB 的中点，且AC DF ⊥．
(1)证明：AC BC ⊥；
(2)若AC =，4BC =，DF A CD F --的余弦值．
18．已知{}n a 为等差数列，公差为d ，{}n b 是公比为2的等比数列，且22a b =，
354a a b +=． (1)证明：1a d =；
(2)求集合{}2|,1100k m k b a m =≤≤的子集个数．
19．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为直径的三个半圆的面积依次为1S ，2S ，3S ．
(1)若132S S S +=，证明：π2B =
；
(2)若132π8S S S +-=，且ABC V 的面积为12，cos cos A C b ． 20．某国家网球队为了预选2024年奥运会的参赛选手，预计在国家队选拔一批队员做特训．选拔过程中，记录了某队员的40局接球成绩，每局发100个球，该队员每接球成功得1分，否则得0分，且每局结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)结合直方图，估算该队员40局接球成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值
(2)若该队员的接球训练成绩X 近似服从正态分布(),100N μ，其中μ近似为样本平均数，求()6494P X ≤≤的值；
(3)为了营造竞技氛围，队员间相互比赛．一局比赛中发球方连续发100个球，若接球方得分达到80分，则接球方获胜，否则发球方获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y ．以频率分布直方图中该队员获胜的频率作为概率，求均值()E Y ．
参考数据：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，
()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈，()330.9973P μσξμσ-≤≤+≈．
21．已知函数()()2ln 2f x x ax a x =+++，a ∈R ．
(1)当2a =-时，讨论()f x 的单调性；
(2)当a<0时，若关于x 的不等式()21f x b a
≤-+-恒成立，求实数b 的取值范围； (3)设*n ∈N 时，证明：()1111ln 12ln 22341n n n ⎛⎫+≥++++- ⎪+⎝⎭
L ． 22．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．
(1)若点(A ，B ⎛ ⎝⎭在双曲线C 上，求C 的方程；
(2)若点P 为双曲线C 右支上一点，I 为12PF F △的内心，且1212IF F IPF IPF S S S λ-=△△△，过原点O 作PI 的平行线交1PF 于点K ，求证：e λ=，且点I 的横坐标等于PK 的长．。