南京师范大学2000年研究生入学考试量子力学试卷

南京师范大学
2000年研究生入学考试试卷 学科专业：理论物理、天体物理
考试科目：量子力学（A 卷）559
一、填充：（每题4分，共32分）
1、波函数模的平方2|),(|t r
ψ表示的物理意义是_______1_______。

τψd t r 2|),(| 表示的物理意义是_______2_______。

2、由几率流密度矢量J 构成的⎰⋅∇-τd J 表示的物理意义是_______3_______。

3、算符A
∧若满足关系_______4_______，则此算符为角动量算符。

4、完成对易关系：=]ˆ,[x p x ____5____,=]ˆ,ˆ[2x
L L _____6____。

=]ˆˆ[,y x σσ
____7___。

5、设),,(φθψr nlm 为氢原子的能量本征函数，完成下列积分：
=⎰τψψd nlm
x L nlm ˆ*____8_____，⎰=+τψψd L L nlm y x nlm )ˆˆ(22*__9__， ⎰=τψψd L nlm nlm 2*ˆ_____10_____。

6、若采用狄拉克符号，}ˆ,ˆ,ˆ,ˆ{22221z
J J J J 构成的耦合表象的基矢为_____11_____，}ˆ,ˆ,ˆ,ˆ{222121z
z J J J J 构成的耦合表象的基矢为_____12_____。

7、在任意状态中≥∆⋅∆22)ˆ()ˆ(x p x _____13_____，在2
ˆL 和z L ˆ的本征态lm Y 中，≥∆⋅∆2
2)ˆ()ˆ(y x L L _____14_____。

8、对坐标和自旋变量分别为1q 和2q 的两个费米子，若粒子的可能状态为i φ和j φ，则体系的波函数为______15_____。

二、选择：（每题4分，共16分）
1、判断下列氢原子偶极跃迁中何为允许跃迁：
A.310433ψψ→
B.310100ψψ→
C.200320ψψ→
D.210322ψψ→
2、若氢原子在t=0处在状态31022101ψψc c +中，则在t 时刻氢原子的波函数为： A.)exp()(231022101
t E i c c -+ψψ B. )exp()(331022101 t E i
c c -+ψψ C. )exp(22101
t E i c -ψ D.)exp()exp(3310222101
t E i c t E i c -+-ψψ 3、判断下列算符的矩阵表示何为厄密算符，其中a ，b 为实数：
A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b b a
B.⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+ib a ib ib ib a C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ib ib a D.⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ia a 00 4、判断下列波函数何为定态波函数：
A.)exp()()exp()(),(*1
Et i x Et i x t x -+-=φφψ B. )exp()()exp()(),(2112 t E i x t E i
x t x -+-=φφψ C. )exp()()exp()(),(3
Et i x Et i x t x φφψ+-= D. )exp()()exp()(),(4
Et i ikx x Et i ikx x t x +-+-=φφψ 三、证明：（共16分）
1、（8分）证明)ˆˆˆˆ(y z z y p L L p i -为厄密算符。

2、（8分）已知体系中厄密算符A ˆ与B ˆ对易，设)(1r ψ和)(2
r
ψ分别是A ˆ的属于本征值为1α和2α的本征函数，证明 （1）（5分）)(ˆ1r B ψ和)(ˆ2
r B
ψ也分别为A ˆ的属于本征值为1α和2α的本征函数。

（2）（3分）证明积分⎰
=0ˆ12τψψd B 四、计算：（共36分）
1、（10分）设粒子在一维势场∞<<<<--<<∞-⎪⎩⎪⎨⎧=x a a x a a x V V x U 0
00)(中运动，求：
（1）（7分）能级所满足的方程，
（2）（3分）证明当∞→0V 粒子的能级与一维无限深势阱的能级相同。

2、（10分）设自旋角动量在)cos ,sin sin ,cos (sin θφθφθ方向的投影为θφθφθcos ˆsin sin ˆcos sin ˆˆz
y x n S S S S ++=求： （1）（5分）n
S ˆ的本征值和本征函数， （2）（5分）在这些态中，测量z S 有哪些可能值，相应的几率和平均值。

3、（16分）两维各向同性谐振子的哈密顿算符为
)(21)(2ˆ222222220y x x
x H ++∂∂+∂∂-=μωμ ，求 （1）（5分）能量的本征值和本征函数。

（2）（3分）第n 个能级的简并度。

（3）（8分）现粒子受到微扰xy H
λ='ˆ，试用有简并的微扰理论求第一激发态的能量一级修正。

（递推公式：)](21)(2[1
)(11x n x n x x n n n +-++=ψψαψ）。