第二课时 一元二次不等式的应用

第二课时一元二次不等式的应用
课标要求素养要求1.借助一元二次函数的图象，了解一元
二次不等式与相应函数、方程的联系.
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
问题如何判断甲、乙两车是否超速？
提示由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，
解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去).
这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，
即x2＋10x－2 000>0，
解得x >40或x <－50(不符合实际意义，舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h ，超过规定限速.
1.简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
2.一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a >0，Δ<0，ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a <0，Δ<0.
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 3.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案.
拓展深化
[微判断]
1.利用一元二次不等式解实际问题时，要注意实际问题的意义.(√)
2.不等式x
x －1
≥0的解集为{x |x ≥1或x ≤0}.(×)
提示 分式不等式中的分母不等于1，解集为{x |x >1或x ≤0}. 3.不等式1－x
x ＋1
<0的解集为{x |－1<x <1}.(×)
提示 注意先将x 的系数化为正再解不等式，解集为{x |x <－1或x >1}.
[微训练]
1.不等式x －1
2x ＋1
≤0的解集为________.
解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，
2x ＋1≠0，
即⎩⎪⎨⎪⎧－1
2≤x ≤1，x ≠－1
2，
即－12<x ≤1.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1
2<x ≤1. 答案 ⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |－1
2<x ≤1
2.若集合
A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，
B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎪⎬⎪
⎫x －2x ≤0
，则A ∩B ＝________.
解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}. 答案 {x |0<x ≤1}
3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b 所在的范围应是________.
解析 设每个涨价a 元，则涨价后的利润与原利润之差为(10＋a )(400－20a )－10×400＝－20a 2＋200a .
要使商家利润有所增加，则必须使－20a 2＋200a >0，即a 2－10a <0，得0<a <10. ∴售价b 所在的范围应为90<b <100. 答案 {b |90<b <100} [微思考]
不等式①x ＋1x ＋2>0；②x ＋1
x ＋2
≥0.
想一想 (1)不等式①与(x ＋1)(x ＋2)>0同解吗？ (2)不等式②与(x ＋1)(x ＋2)≥0同解吗？ (3)不等式①和②是同解不等式吗？
提示 (1)同解. (2)不同解. (3)不是同解不等式.
题型一 简单分式不等式的解法 【例1】 解不等式： (1)
x ＋1
2x －1
<0； (2)1－x 3x ＋5≥0； (3)x －1x ＋2
>1. 解 (1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)<0， ∴－1<x <1
2，
故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪－1<x <12.
(2)原不等式可化为
x －13x ＋5
≤0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（3x ＋5）≤0，
3x ＋5≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－53≤x ≤1，x ≠－5
3，
即－53<x ≤1.
故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪－53<x ≤1.
(3)原不等式可化为
x －1x ＋2
－1>0，
∴
x －1－（x ＋2）
x ＋2
>0，∴
－3x ＋2
>0，则x <－2.
故原不等式的解集为{x |x <－2}.
规律方法 简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可. 【训练1】 解下列不等式. (1)2x －13x ＋1≥0； (2)2－x x ＋3
>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）（3x ＋1）≥0，
3x ＋1≠0.
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－13或x ≥1
2，x ≠－13.
∴x <－13或x ≥12，
∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)原不等式可化为 （2－x ）－（x ＋3）
x ＋3
>0，化简得
－2x －1x ＋3
>0，即
2x ＋1x ＋3
<0，
∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－1
2.
∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪－3<x <－12. 题型二 不等式恒成立问题 角度1 在R 上恒成立问题
【例2－1】 若一元二次不等式2kx 2＋kx －3
8<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A.{k |－3<k ≤0}
B.{k |－3≤k <0}
C.{k |－3≤k ≤0}
D.{k |－3<k <0}
解析 ∵2kx 2＋kx －3
8<0为一元二次不等式， ∴k ≠0，
又2kx 2＋kx －3
8<0对一切实数x 都成立，
则必有⎩⎨⎧2k <0，Δ＝k 2
－4×2k ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－38<0，解得－3<k <0. 答案 D
角度2 在给定范围内的恒成立问题 【例2－2】 设函数y ＝mx 2－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，y <0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈{x |1≤x ≤3}，y <－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. 解 (1)若m ＝0，显然－1<0恒成立； 若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，
Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.
∴m 的取值范围为{m |－4<m ≤0}. (2)y <－m ＋5恒成立， 即m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立， ∵x 2
－x ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋3
4>0，
又m (x 2－x ＋1)－6<0， ∴m <6
x 2－x ＋1.
∵函数y ＝
6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4
在1≤x ≤3时的最小值为67，∴只需m <
6
7即可. ∴m
的取值范围为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.
规律方法 (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0； 当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0，
Δ<0.
(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c <0；
当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0，
Δ<0.
【训练2】 对任意的x ∈R ，函数y ＝x 2＋(a －4)x ＋(5－2a )的值恒大于0，则a 的取值范围为________.
解析 由题意知，y 开口向上，故要使y >0恒成立， 只需Δ<0即可， 即(a －4)2－4(5－2a )<0， 解得－2<a <2. 答案 {a |－2<a <2}
题型三 一元二次不等式的实际应用
【例3】 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点. (1)写出降税后税收y (万元)与x 的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围.
解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元.依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝1
50a (100＋2x )(10－x )(0<x <10).
(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).
依题意得1
50a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
解得－42≤x≤2.
又因为0<x<10，所以0<x≤2.
即x的取值范围为{x|0<x≤2}.
规律方法解不等式应用题的步骤
【训练3】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解(1)由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，
整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －（12－10）×10 000>0，0<x <1，
即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，
解得0<x <13， 所以投入成本增加的比例x 的取值范围为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |0<x <13.
一、素养落地
1.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系提升直观想象素养，通过从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决，提升数学建模素养.
2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.
3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解. 二、素养训练
1.不等式x －2
x ＋1≤0的解集是( )
A.{x |x <－1或－1<x ≤2}
B.{x |－1≤x ≤2}
C.{x |x <－1或x ≥2}
D.{x |－1<x ≤2} 解析 此不等式等价于
⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）≤0，x ＋1≠0，∴－1<x ≤2. 答案 D
2.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消
耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少5
2t 万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是( ) A.{t |1≤t ≤3} B.{t |3≤t ≤5} C.{t |2≤t ≤4}
D.{t |4≤t ≤6}
解析 设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2).令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900.解得3≤t ≤5. 答案 B
3.不等式1
x －1
≥－1的解集是________.
解析 1x －1≥－1⇔1x －1＋1≥0⇔x
x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1）≥0，x －1≠0，
∴不等式的解集是{x |x ≤0或x >1}. 答案 {x |x ≤0或x >1}
4.已知不等式x 2＋x ＋k >0恒成立，则k 的取值范围为________. 解析 由题意知Δ<0，即1－4k <0，
得k >1
4，即k 的取值范围为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫k |k >14.
答案
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫k |k >14
5.某单位在对一个长为800 m 、宽为600 m 的草坪进行绿化时，是这样设想的：中间为矩形绿草坪，四周为等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.
解 设花坛宽度为x m ，则草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m ，(0<x <300).
根据题意得(800－2x )(600－2x )≥1
2×800×600，
整理得x2－700x＋60 000≥0，
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，
因此0<x≤100.
故当花坛的宽度在0<x≤100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.
三、审题答题
示范(二)不等式恒成立问题
【典型示例】(12分)已知y＝ax2＋x－a，
(1)若函数y有最大值17
8
①，求实数a的值；
(2)若不等式y>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立②，求实数a的取值范围. 联想解题
看到①想到二次函数有最大值，因此二次函数的图象开口向下，又因为x为全体
实数，可以直接利用公式最大值＝4ac－b2
4a
求解.
看到②想到解决恒成立问题可以转化为求解最值问题，本题的x属于全体实数，因此可以利用二次不等式恒成立解决.
满分示范
解(1)由题意知a<0，且－4a2－1
4a
＝17
8
，3分
解得a＝－2或a＝－1
8.5分(2)由y>－2x2－3x＋1－2a得(a＋2)x2＋4x＋a－1>0.7分
当a＝－2时，不合题意；8分
当a ≠－2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，
Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）<0，10分
解得a >2，所以a 的取值范围为{a |a >2}.12分 满分心得
(1)解决本题时首先判断二次函数图象的开口方向，确定取得最大值的位置为对称轴位置.
(2)在解决(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0恒成立时，易忽视对二次项系数是否为零进行讨论而失分.
(3)对于二次不等式恒成立问题通常考虑二次项系数的符号及判别式的符号.
基础达标
一、选择题
1.不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A.{x |x ≥5或x ≤－1} B.{x |x >5或x <－1} C.{x |－1<x <5}
D.{x |－1≤x ≤5}
解析 由x 2－2x －5>2x ，得x 2－4x －5>0， 因为x 2－4x －5＝0的两根为－1，5， 故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}. 答案 B
2.不等式1＋x
1－x ≥0的解集为( )
A.{x |－1<x ≤1}
B.{x |－1≤x <1}
C.{x |－1≤x ≤1}
D.{x |－1<x <1}
解析 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －1）≤0，
x －1≠0，
∴－1≤x <1.
3.已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( ) A.A
B
B.B
A
C.A ＝B
D.A ∩B ＝∅
解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，则B A ，故选B.
答案 B
4.不等式3x －1
2－x
≥1的解集是( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪34≤x ≤2
B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪⎪34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪⎪x >2或x ≤34
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥34 解析
不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x －1≥0，即x －34
x －2
≤0，可化为⎩⎨⎧x －3
4≥0，
x －2<0
或
⎩⎨
⎧x －3
4≤0，
x －2>0，
解得3
4≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫34≤x <2， 故选B. 答案 B
5.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.{a |a <2} B.{a |a ≤2} C.{a |－2<a <2}
D.{a |－2<a ≤2}
解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0，恒成立； 当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，
4（a －2）2＋16（a －2）<0，
解得－2<a <2，∴－2<a ≤2，故选D.
二、填空题
6.不等式x ＋5
（x －2）2
>0的解集为________.
解析 x ＋5
（x －2）2
>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，x －2≠0
⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，
x ≠2⇔x >－5且x ≠2. 答案 {x |x >－5且x ≠2}
7.不等式x ＋1
x ≤3的解集是________.
解析 由x ＋1x ≤3，得x ＋1x －3≤0，即2x －1x ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，
x （2x －1）≥0，解得x <0或
x ≥1
2.∴不等式x ＋1x ≤3的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x <0或x ≥12.
答案 ⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x <0或x ≥12
8.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________. 解析 依题意得25x ≥3 000＋20x －0.1x 2， 整理得x 2＋50x －30 000≥0， 解得x ≥150或x ≤－200(舍去). 因为0<x <240，所以150≤x <240， 即最低产量是150台. 答案 150 三、解答题
9.若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2>0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 解 当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2>0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；
当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ， 只需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝22－4×2a <0，
解得a >12.
综上，所求实数a 的取值范围为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a |a >12.
10.关于x 的不等式
4x ＋m
x 2－2x ＋3
<2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.
解 ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0， ∴4x ＋m <2(x 2－2x ＋3)恒成立， ∴m <2x 2－8x ＋6恒成立， 设y ＝2x 2－8x ＋6，
则当x ＝2时，y 的最小值为－2. ∴m <－2.
∴实数m 的取值范围为{m |m <－2}.
能力提升
11.若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b
x －2
>0的解集为( ) A.{x |x <－2或x >1} B.{x |1<x <2} C.{x |x <－1或x >2}
D.{x |－1<x <2}
解析 x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ， ∵ax －b >0的解集为(1，＋∞)，∴a >0， 故ax ＋b x －2
＝
a （x ＋1）x －2
>0，∴(x ＋1)(x －2)>0.
∴x >2或x <－1. 答案 C
12.(1)当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求实数m 的取值范围. (2)对任意－1≤x ≤1，函数y ＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，求a 的取值范围.
解 (1)令y ＝x 2＋mx ＋4. ∵y <0在1≤x ≤2上恒成立.
∴y ＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5<0，
4＋2m ＋4<0.
∴m 的取值范围是{m |m <－5}.
(2)∵x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立， 即x 2＋ax －4x ＋4－2a >0恒成立. ∴(x －2)·a >－x 2＋4x －4. ∵－1≤x ≤1，∴x －2<0.
∴a <－x 2＋4x －4x －2＝x 2－4x ＋4
2－x
＝2－x .
令y ＝2－x ，则当－1≤x ≤1时，y 的最小值为1，∴a <1. 故a 的取值范围为{a |a <1}.
创新猜想
13.(多选题)与不等式x －3
2－x
≥0不同解的不等式是( ) A.(x －3)(2－x )≥0 B.0<x －2≤1 C.2－x x －3
≥0 D.(x －3)(2－x )>0
解析 解不等式
x －3
2－x
≥0，得2<x ≤3， A.不等式(x －3)(2－x )≥0的解是2≤x ≤3，故0满足要求. B.不等式0<x －2≤1的解是2<x ≤3，故不满足要求. C.不等式2－x
x －3≥0的解是2≤x <3，故满足要求.
D.不等式(x －3)(2－x )>0的解是2<x <3，故满足要求. 答案 ACD
14.(多选题)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x (件)与单价P (元)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C (元)，其中C ＝(500＋30x )元.若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x 的取值范围可以是( ) A.{x |20≤x ≤30，x ∈N *} B.{x |30≤x ≤45，x ∈N *} C.{x |15≤x ≤30，x ∈N *}
D.{x |15≤x ≤45，x ∈N *}
解析 设该厂每天获得的利润为y 元，
则y ＝(160－2x )·x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500，0<x <80，x ∈N *. 根据题意知，－2x 2＋130x －500≥1 300，解得20≤x ≤45，
故当20≤x ≤45且x ∈N *时，每天获得的利润不少于1 300元.故选AB. 答案 AB。