2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(十三)数学(理科)

2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（十三）
数学试题（理）
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{
}2
|230A x x x =--≤，{
}
|21x
B y y ==+，则A B =（）
A. ∅
B. (]1,3
C. (]0,3
D. ()1,+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞， 所以(]1,3A
B =，故选B.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题.
2.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（ ） A. 2 B. 7
C. 14
D. 28
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差数列通项的性质，将已知条件转化为关于4a 的方程，由此解得4a 的值，利用等差数列前n 项和的性质，求得7S 的值. 【详解】
5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a =
(
)177477142
a a S a +∴=
==.
故选：C
【点睛】本小题主要考查等差数列通项的性质，考查等差数列前n 项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
3.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）
A. －15
B. －9
C. 1
D. 9
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B （－6，－3）时，取得最小值. 【详解】作出不等式组表示的可行域，
结合目标函数的几何意义得函数在点B （－6，－3）处取得最小值 z min ＝－12－3＝－15. 故选：A
【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.
4.若命题“0,x R ∃∈使得2
002+50x mx m ++<”为假命题，则实数m 的取值范围是 （ ）
A. [10,6]-
B. (6,2]-
C. [2,10]-
D. (2,10)-
【答案】C 【解析】
试题分析：由命题“0,x R ∃∈使得2
002+50x mx m ++<”为假命题，则命题“x R ∀∈使得
22+50x mx m ++≥”为真命题.所以24(25)0,210m m m =-+≤∴-≤≤.故选（C ）.
考点：1.命题的真假.2.特称命题与全称命题的否定.3.二次不等式的解法. 5.函数y =2x sin2x 的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2
上的符号，即可判断选择.
详解：令||
()2sin 2x f x x =， 因为,()2
sin 2()2sin 2()x
x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，
所以||
()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π
(,π)2
x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 6.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫
⎪⎝⎭
恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）
A.
π
6
B.
π3
C.
2π3
D.
5π6
【答案】B 【解析】 【分析】
先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫
≥
⎪
⎝⎭
恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果.
【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22π
ωπ
==，
又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
， 所以函数()f x 在3
x π
=上取得最小值，则
223
k π
ϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3
k k Z π
ϕπ=
+∈，
所以()cos 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 令222,3
k x k k Z π
πππ≤+
≤+∈，解得,6
3
k x k k Z π
π
ππ-+≤≤
+∈ ，
则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故a 的最大值是3π
. 故选B
【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.
7.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
直角三角形中较小的锐角为θ，那么
πcos(θ)
2=πsin(θ-)
2
+（ ）
A. 34
-
B. 43
-
C.
43
D.
34
【答案】D 【解析】 【分析】
设出直角三角形的边长，根据勾股定理，求得边长，即可得tan θ；利用诱导公式和同角三角函数关系式，求得结果.
【详解】根据几何关系可知，图中直角三角形的两条直角边长相差为1， 故可设直角三角形的
两直角边长为,1a a +， 由勾股定理可得：()2
2125a a ++=， 解得3a =. 故可得3tan 4
θ=
， πcos()
sin 32=tan πcos 4sin()2
θθθθθ+-==-- 故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，三角函数的定义式，属于基础题目.
8.已知两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线，若a R ∈， b R ∈，且
0ab ≠，则
2
211
a b
+的最小值为（ ） A. 3
B. 1
C.
19
D.
49
【答案】B 【解析】 【
分析】
根据公切线条数，则两圆外切，根据圆的位置关系，得到,a b 的等量关系，再根据均值不等式求最小值即可.
【详解】因为两圆2224440x y ax a +++-=和222
210x y by b +-+-=恰有三条公切线，
故两圆外切，则圆心()2,0a -到圆心()0,b 的距离等于半径2和半径1的和，
3=，整理得2249a b +=，
故2211a b +()222222221111414551999a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎝ 当且仅当2222224,49a b a b b a
=+=时，即2
23,32a b ==时取得最小值1.
故选：B.
【点睛】本题考查两圆的位置关系，以及利用均值不等式求和的最小值，属综合中档题.
9.双曲线C ：22
221x y a b
-=，()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F .P 为双曲线左支上一点，且
11•()0PF OF OP +=（O 为坐标原点），214
cos 5
PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B.
43
C.
75
D.
52
【答案】A 【解析】 【分析】
取1PF 的中点为M ，则()
11
2
OM OF OP =
+，根据题意可得1PF OM ⊥，则12PF PF ⊥，由21c 4
5
os PF F ∠=
可求出a ，c ，从而求得离心率. 【详解】如图，取1PF 的中点为M ，则()
11
2OM OF OP =+，
由()
110PF OF OP ⋅+=，得10PF OM ⋅=，即1PF OM ⊥. 因为OM 为12PF F ∆的中位线，所以12PF PF ⊥. 由21c 4
5
os PF F ∠=
，设24PF =，则125F F =，13PF =， 所以2121a PF PF =-=，1225c F F ==， 得C 的离心率为252c
e a
==. 故选：A.
【点睛】本题考查垂直关系的向量表示，中位线的性质，求双曲线的离心率，属于中档题. 10.已知ABC ∆外接圆的圆心为O ，若5AB =，13AC =，则AO BC ⋅的值是（ ） A. 18 B. 36
C. 72
D. 144
【答案】C 【解析】 【分析】
可画出图形，并将O 和AC 中点D 相连，O 和AB 的中点E 相连，从而得到,OD
AC OE AB ，根据数
量积的计算公式及条件可得出·
,22
16925
AO AC AO AB ⋅==，而()
AO BC AO AC AB ⋅=⋅-，即可得出AO BC ⋅的值．
【详解】如图，取AC 中点D ，AB 中点E ，并连接OD ，OE ，
则,OD AC OE AB ；
∴2211·,1692222
25
AO AC AC AO AB AB =
===
⋅ ∴ ()
16925
7222
AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=
-= 故选：C.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，正确解题的关键是要熟练的运用数量积的运算公式
cos a b a b θ⋅=以及三角形法则，属于简单题目.
11.已知函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()(-)x f x e f x =，当0x ≤时，()()0f x f x '+>，若2(21)(1)a f a e f a --≥+，则实数a 的取值范围是（ ）
A. [0,2]
B. [-2,0]
C. (][)02,∞⋃+∞-，
D. ](
),20,⎡-∞-⋃+∞⎣
【答案】A 【解析】 【分析】
根据当0x ≤时，()()0f x f x '+>，构造()()x
g x f x e = ，得到()
()()0x
g x
f x f x e ''⎡⎤=+>⎣⎦，从
而()g x 在(,0]-∞上是增函数，再根据2()(-)x
f x e f x =，得到()
g x 是偶函数，得到()g x 在[0,)+∞上是
减函数，()()()
g x
g x g x -==，然后将2(21)(1)a f a e f a --≥+，转化为(21)(1)-≥+g a g a ，利
用单调性的定义求解.
【详解】设()()x
g x f x e = ，
因为当0x ≤时，()()0f x f x '+>， 所以()
()()0x
g x
f x f x e ''⎡⎤=+>⎣⎦
， 所以()g x 在(,0]-∞上是增函数， 又因为2()(-)x
f x e f x =，
所以()()()()x x g x
f x e f x e
g x --=-==，
所以()g x 是偶函数，
所以()g x 在[0,)+∞上是减函数， 所以()()()
g x
g x g x -==，
因为2
(21)(1)a f a e f a --≥+，
所以211(21)(1)-+-≥+a a f a e f a e ， 即(21)(1)-≥+g a g a ， 所以211-≤+a a ， 两边化简得22≤a a ， 解得02a ≤≤.
所以实数a 的取值范围是[0,2]. 故选：A
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3AB =
，E ，F 分别是AB ，BC 棱靠近B
点的三等分点，G 是1CC 棱靠近1C 的三等分点，P 是底面ABCD 内一个动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，则1BB P ∆周长的最小值为（ ）
A.
237
++
B. 22
C. 33
D.
437
++
【答案】A 【解析】 【分析】
根据E ，F 分别是AB ，BC 棱靠近B 点的三等分点，G 是1CC 棱靠近1C 的三等分点，易得//AC EF ，
1//D A FG ，从而得到平面1//D AC 平面EFG ，再由直线1D P 与平面EFG 平行，得到点P 在AC 上，
然后利用垂线段最短当BP AC ⊥求解.
【详解】因为E ，F 分别是AB ，BC 棱靠近B 点的三等分点，G 是1CC 棱靠近1C 的三等分点， 所以//AC EF ，1//D A FG ，又1D A AC A ⋂=， 所以平面1//D AC 平面EFG ，
因为直线1D P 与平面EFG 平行， 所以点P 在AC 上， 如图所示：
当BP AC ⊥时，
因为在长方体中，1BB ⊥平面ABCD ， 所以11,BB AC BB BP B ⊥⋂=， 所以AC ⊥平面BB 1P ，
所以1AC B P ⊥，此时，1,BP B P 最短，1BB P ∆的周长最小， 因为11AD DD ==，3AB =
所以22113
7,2
2
BP B P BP BB =
=+=
， 所以最小值为11237
++++=BP B P BB .
故选：A
【点睛】本题主要考查线面平行与面面平行，线线垂直与线面垂直的转化以及垂线段最短问题，还考查了转化化归的思想和空间想象、运算求解的能力，属于中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数()2a i
z a R i
+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 【答案】12
- 【解析】 【分析】
先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255
z a a i =
++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚
部不为零求解. 【详解】因为复数()()()()()()211
21222255
a i i a i z a a i i i i +-+=
==++-++-， 又因为复数z 是纯虚数， 所以
()()11
210,2055
a a +=-≠， 解得1
2
a =-
， 所以a 的值为12
-. 故答案为：12
-
【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，已知
sin 2
A B a b ==
22a c ac +-=__________.
【答案】1 【解析】 【分析】
根据
sin A a =
，利用正弦定理得到2R =
，从而2sin b R B B ==
=
求得角B ，从而求得边b ，再由余弦定理求解.
【详解】因为
sin A a =
，
所以
2sin R A a ==
所以2sin 3
b R B B ==
，
=
所以2B b ==
，
所以tan B = 因为()0,B π∈， 所以3
B π
=
所以1b B =
==， 由余弦定理得：222222cos 1b a c ac B a c ac =+-=+-=， 故答案为：1
【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15.函数2,02
()28,2
x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()(2)f a f a =+，则()2f a =__________.
【答案】4 【解析】 【分析】
根据函数2,02
()28,2
x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩各段的定义域，分02a <<，2a ≥两种情况，由 ()(2)f a f a =+求
解.
【详解】当02a <<时，则22a +>， 因为()(2)f a f a =+， 所以()2
228a a a +=-++，
即2340a a +-=， 解得1a =或4a =-（舍去）， 所以()22284f a =-⨯+=. 当2a ≥时，则22a +>， 因为()(2)f a f a =+，
所以()28228a a -+=-++无解. 综上：()24f a = 故答案为：4
【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题. 16.如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）
.
【答案】90 【解析】 【分析】
根据有六个集装箱，需要全部装运，得到6
6A 种取法，再根据每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，由排列中的定序问题求解.
【详解】因为有六个集装箱，需要全部装运，共有6
6720A =种取法，
又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，
由排列中的定序问题，可知不同的取法有66222222720
908
A A A A =
=种. 故答案为：90.
【点睛】本题主要考查排列的应用，还考查了分析问题求解问题的能力，属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分.
17.已知数列{}n a 满足*
1231,2n n a a a a a n N ++-++⋯+=∈，且1=2a .
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2122
1
log log n n n b a a ++=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T .
【答案】（1）2n
n a =（2）
24
n
n +
【解析】 【分析】
（1）利用数列的通项与前n 项和的关系，由12312n n a a a a a ++++⋯+-=，当1n =时，得到24a =，当2n ≥时，
由12312n n a a a a a ++++⋯+-=，得到12312n n a a a a a -++++=-，两式相减得12n n a a +=，
再利用等比数列的定义判断求解.
（2）由（1）易得()()21221111
12
12
n n n b log a log a n n n n ++=
==-⋅++++，再利用裂项相消法求解.
【详解】（1）因为12312n n a a a a a ++++⋯+-=， 当1n =时，24a =，
当2n ≥时，由12312n n a a a a a ++++⋯+-=① 得：12312n n a a a a a -+++
+=-②
①-②可得12n n a a +=， 又122a a =，
所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以其通项公式为2n n a =.
（2）由（1）知：()()1221222211111
221212
n n n n n b log a log a log log n n n n ++++====-⋅⋅++++，
所以111111112334
122224
n n
T n n n n =
-+-++
-=-=
++++. 【点睛】本题主要考查数列的通项与前n 项和的关系以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18. 在新冠肺炎疫情的影响下，重庆市教委响应“停课不停教，停课不停学”的号召进行线上教学，某校高三年级的甲、乙两个班中，根据某次数学测试成绩各选出5名学生参加数学建模竞赛，已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86.
（1）求出x ，y
值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差21S 、2
2S ，并根据结果，你认为应该
选派哪一个班的学生参加决赛，并说明你的理由.
（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名，用X 表示来自甲班的人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.
【答案】（1）5x =；6y =；2127.2S =，2
257.2S =；应选甲班参加，详见解析（2）详见解析
【解析】 【分析】
（1）根据甲班5名学生成绩的平均分是83，利用1748284(80)90
835
x x +++++=
=求解，再根据乙班
5名学生成绩的中位数是86，利用中位数的定义求解.然后分别求得方差，根据平均数和方差的大小作出选择.
（2）甲班中85分及以上的有2人，得到随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.由P （X =k ）=23
22
5
C C C k k
-⋅（k =0，1，2）求得相应的概率，列出分布列再求期望.. 【详解】（1）因为甲班5名学生成绩的平均分是83， 所以1748284(80)90
835
x x +++++=
=，
解得5x =
因为乙班5名学生成绩的中位数是86， 所以6y =，
所以()()()()()22222
2
117483828384838583908327.25S ⎡⎤=
-+-+-+-+-=⎣
⎦， ∵因为27375869091
835
x ++++=
=， 所以()()()()()222222
217383758386839083918357.25S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣
⎦，
所以22
12S S <，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加.
（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.
P （X =k ）=23
22
5
C C C k k
-⋅（k =0，1，2）. 所以，随机变量X 的分布列为：
随机变量X 的数学期望()36140121010105
E X =⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查茎叶图，平均数，方差的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19.在四棱锥P ABCD -中，1
,//,,2
AB PA AB CD AB CD PAD ⊥=△是等边三角形，点M 在棱PC 上，平面PAD ⊥平面ABCD .
（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；
（2）若AB AD =，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2219
【解析】 【分析】
(1) 取AD 中点为O ，连接PO ，首先证明PO ⊥平面ABCD ，然后证明CD ⊥平面PAD 即可
(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量，利用向量数量积求得线面角，最后根据二次函数性质求最值.
【详解】(1)证明：取AD 中点为O ，连接PO . 因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥.
因为平面PAD ⊥平面ABCD 且相交于AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO DC ⊥. 因为//,AB CD AB PA ⊥，所以CD PA ⊥. 因为PO PA P =，所以CD ⊥平面PAD .
因
CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD .
（2）以O 为原点，过O 作AB 的平行线OF ，分别以OA ，OF ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.
设2AB AD ==，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,4,0)C -，3)P .
因为M 在棱PC 上，可设[](1)(,43(1)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈， 所以(1,43(1))AM t t t =---.
设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，因为(2,2,0),(1,4,3)BC PC =-=-，
所以220430x y x y z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令1x =，可得1
13
x y z ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩，即(1,1,3)n =.
设直线AM 与平面PBC 所成角为θ，
所以2
sin cos ,5(51)
AM n AM n AM n
t t θ⋅==
=
-+.
所以可得当110t =
时，sin θ取最大值1919
； 【点睛】常用向量法解决空间中的线线角、线面角和面面角的相关问题，计算能力是解题的关键. 20.已知点(1,0)F ，点A 是直线1 : =-1l x 上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .
（1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）若点M ，N 是直线1l 上两个不同的点，且PMN 的内切圆方程为2
2
1x y +=，直线PF 的斜率为k ，
求
k MN
的取值范围.
【答案】（1）2
4y x =；（2）1
(0,)2
【解析】 【分析】
（1）根据题意得到：点P 到点(1,0)F 的距离等于它到直线1l 的距离，所以点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线1:l 1x =-为准线的抛物线，再利用抛物线的定义即可得到曲线C 的方程.
（2）首先设00(,)P x y ，点(1,)M m -，点(1,)N n -，求出直线PM 的方程，根据圆心(0,0)到直线PM 的
距离为1，得到2000(1)2(1)0x m y m x -+-+=，同理得到2
000(1)2(1)0x n y n x -+-+=，即,m n 是关于
t 的方程2
000(1)2(1)0x t y t x -+-+=
的两根，再根据韦达定理得到MN =，再求k MN 的范围即可.
【详解】（1）因为点(1,0)F ，点A 是直线1:l 1x =-上的动点， 过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P ， 所以点P 到点(1,0)F 的距离等于它到直线1l 的距离，
所以点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线1:l 1x =-为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为2
4y x =.
（2）设00(,)P x y ，点(1,)M m -，点(1,)N n -， 直线PM 的方程为：00(1)1
y m
y m x x --=
++， 化简得0000()(1)()(1)0y m x x y y m m x --++-++=， 因为PMN 的内切圆的方程为2
2
1x y +=， 所以圆心(0,0)到直线PM 的距离为1
1=，
整理得：()()2
2
2
2
2
000000()(1)()21(1)y m x y m m y m x m x -++=-+-+++，
由题意得01x >，所以上式化简得2
000(1)2(1)0x m y m x -+-+=， 同理，有2
000(1)2(1)0x n y n x -+-+=.
所以,m n 是关于t 的方程2
000(1)2(1)0x t y t x -+-+=的两根，
0021
y m n x -+=
-，00(1)
1x mn x -+=-.
所以
MN m n =-== 因为2
004y x
=，0y =，
所以
MN == 直线PF 的斜率001y k x =
-
，则0
01y k x ==-
所以k
MN
=
=， 因为函数1
y x x
=-
在(1,)+∞单调递增， 所以00
1110x x ->-=，00
11
0144x x <<-+， 所以012
k MN
<
<
. 即
k MN
的取值范围是1(0,)2
.
【点睛】本题第一问考查利用抛物线的定义求抛物线的标准方程，第二问考查直线与圆相切，同时考查了抛物线的性质，属于难题. 21.已知函数()11f x a lnx lnx x x ⎛⎫
=+
+-- ⎪⎝⎭
. （1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣lnx 有2个不同的极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求证：()()12122
4
25f x f x x x ln e +-＞. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）求导得到()()()
2
1'x x a f x x
---=
，讨论0,01,1,1a a a a ≤<<=>四种情况得到单调性.
（2）g （x ）＝alnx a x +-x ﹣1，()22
'x ax a
g x x
-+=-，得到x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝a ，f （x 1）+f （x 2）﹣2x 1x 2＝alna +lna ﹣2a ﹣2，设g （a ）＝alna +lna ﹣2a ﹣2，（a ＞4），根据函数的单调性得到答案.
【详解】（1）()()()221111'1x x a f x a x x x
x ---⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，x ＞0， （i ）若a ＝1，()2
2
(1)'x f x x
-=-≤0恒成立，故f （x ）在（0，+∞）单调递减， （ii ）当a ＞1时，x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ∈（1，a ），f ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ∈（a ，+∞），f ′（x ）＜0，函数单调递减，
（iii ）0＜a ＜1时，x ∈（0，a ）时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ∈（a ，1），f ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ∈（1，+∞），f ′（x ）＜0，函数单调递减，
（iv ）当a ≤0时，x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ∈（1，+∞），f ′（x ）＜0，函数单调递减.
（2）g （x ）＝f （x ）﹣lnx ＝alnx a x +-x ﹣1，()222
'1a a x ax a g x x x x
-+=--=-， 由题意可得，x 2﹣ax +a ＝0与2个不同的根x 1，x 2（x 1＜x 2）， 则x 1+x 2＝a ＞0，x 1x 2＝a ，△＝a 2﹣4a ＞0，所以a ＞4， ∴f （x 1）+f （x 2）﹣2x 1x 2＝a （lnx 1+lnx 2）+a （12
11
+x x ）+（lnx 1+lnx 2）﹣（x 1+x 2）﹣2﹣2x 1x 2＝alna +lna ﹣2a ﹣2，
令g （a ）＝alna +lna ﹣2a ﹣2，（a ＞4），
则()1'1g a lna a =++
-2＝lna 1
a
+-1＞0，即g （a ）在（4，+∞）上单调递增， 所以g （a ）＞g （4）＝5ln 4﹣10＝5（ln 4﹣2）＝5（ln 4﹣lne 2）＝524
ln e
.得证.
【点睛】本题考查了函数的单调性，极值点问题，证明不等式，意在考查学生计算能力，转化能力，综合应用能力.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所选的第一题计分.
22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为7413x t y t
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 80ρρθ+-=.
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若点M 是直线l 上的一点，过点M 作曲线C 的切线，切点为N ，求MN 的最小值. 【答案】（1）34170x y --=；()2
219x y ++=（2）7
【解析】
【分析】
（1）利用相关知识直接转化即可；
（2）首先判断出l 与圆A 相离，然后连接,AM AN ，在Rt ANM ∆中，22222||||43MN MA AN =-≥-，即可得出答案. 【详解】（1）将l 的参数方程7413x t y t =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数）消去参数，得34170x y --=. 因为x cos y sin ρθρθ
=⎧⎨=⎩，22cos 80ρρθ+-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为()2219x y ++=.
（2）由（1）知曲线C 是以()1,0-为圆心，3为半径的圆，设圆心为A ，
则圆心A 到直线l 的距离317
435d --==>，所以l 与圆A 相离.
连接,AM AN ，在Rt ANM ∆中，22222||||437MN MA AN =-≥-=，
所以，7MN ≥，即MN 的最小值为7.
【点睛】本题考查的是极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考查了圆中的最值问题，
属于基础题.
23.已知函数(
)2f x x =+.
（1）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；
（2）在（1）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.
【答案】（1）4M =（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）不等式()1f x m ≥-有解等价于()1max f x m ≥-，(
)2=f x x =+12x x --+，然后利用绝对值的三角不等式求出其最大值即可， （2）2234a b +=，然后利用柯西不等式求解即可. 【详解】（1）若不等式()1f x m ≥-有解，只需()1max f x m ≥-即可. 因为(
)2=f x x =+()()12123x x x x --+≤--+=， 所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =. （2）根据（1）知正实数a ，b 满足2234a b +=， 由柯西不等式可知()()()2223313a b
a b ++≥+， 所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，
所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).
【点睛】本题主要考查的是绝对值的三角不等式和柯西不等式，属于基础题.。