轴对称的性质
中心对称和轴对称的几何性质
中心对称和轴对称的几何性质在几何学中，中心对称和轴对称是两种重要的对称性质。
它们在数学、物理、化学等领域中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍中心对称和轴对称的几何性质，以及它们之间的区别和联系。
1. 中心对称中心对称是指图形相对于一个中心点进行对称，即图形中的每个点与中心点之间的连线都会与另一个点对称。
中心对称特性使得图形能够在某个中心点进行旋转180度后不变。
1.1 中心对称的判定条件一个图形是否具有中心对称可以通过以下两个判定条件来验证：1）图形中存在至少一个点，它与中心点之间的连线与该点与另一个点之间的连线对称。
2）图形中的每个点都与中心点之间的连线都能够与另一个点对称。
1.2 中心对称的性质中心对称具有以下几何性质：1）中心对称的图形具有镜像对称性，即图形可以关于中心点进行对称，将其中一个点对称到另一个位置。
2）中心对称的图形无论进行旋转多少度，都不会改变其形状和大小，只会改变位置。
2. 轴对称轴对称是指图形相对于一个轴线进行对称，即图形中的每个点与轴线之间的连线都会与另一个点对称。
轴对称特性使得图形能够在轴线上进行翻转后不变。
2.1 轴对称的判定条件判断一个图形是否具有轴对称可以通过以下两个条件来验证：1）图形中存在一个轴线，使得图形中的每个点与轴线之间的连线与该点与另一个点之间的连线对称。
2）图形中的每个点都与轴线之间的连线都能够与另一个点对称。
2.2 轴对称的性质轴对称具有以下几何性质：1）轴对称的图形具有镜像对称性，即图形可以关于轴线进行对称，将其中一部分镜像到另一部分。
2）轴对称的图形无论进行旋转多少度，只要不改变轴线的位置和方向，都不会改变图形的形状和大小，只会改变位置。
3. 中心对称和轴对称的区别和联系尽管中心对称和轴对称都是几何形状的对称性质，它们之间存在一些区别和联系。
区别：1）中心对称是相对于一个点进行对称，而轴对称是相对于一个轴线进行对称。
2）中心对称的图形无论进行旋转多少度，都不会改变其形状和大小，但轴对称的图形必须在轴线上进行翻转才能保持不变。
轴对称的性质
探索轴对称的性质1．线段的垂直平分线上的点到_________________ __ ____相等．（如上图）几何语言：∵__________________ , ∴__________________.2．①线段；②角；③等腰三角形；④直角三角形；⑤锐角三角形；⑥圆．其中是轴对称图形的是_______________________．3.角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的相等。
几何语言：∵________ _ 且__ _ ______ , ∴__________________.4．轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。
5．轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。
6．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段________________________；（2）对应线段_________________ _______；（3）对应角_________________ _________；（4）对应图形。
7.常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
8. 等腰三角形的特征和判定⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”）⑵等腰三角形的_____________、_______________、_____________互相重合（简称为“________________”）⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的_____也相等（简称为“____________”）。
【巩固提升】1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥AO ， ED ⊥BO ，垂足分别是C 、D ． 试说明：（1） ∠EDC ＝∠ECD ； (2)OC ＝OD ； (3)OE 是CD 的垂直平分线。
轴对称的性质
轴对称的性质xx年xx月xx日•轴对称的定义•轴对称的性质•轴对称的应用目录•轴对称的历史和发展•总结和展望01轴对称的定义轴对称的数学定义函数f(x)关于直线y=x对称：f(x)=f(y)函数f(x)在直线x=a处对称：f(a+x)=f(a-x)函数f(x)关于直线y=-x对称：f(x)=-f(y)两个点关于原点对称，满足距离和坐标的关系轴对称的几何定义点关于点对称一条直线上的点关于原点对称后，满足直线的方程和坐标的关系线关于点对称一个平面上的点关于原点对称后，满足平面的法向量和坐标的关系面关于点对称生物学人体的某些器官、肢体等结构呈轴对称分布物理学物理现象中的平衡、稳定等现象可以用轴对称来解释美学许多优美的图案都是由轴对称构成的，如自然界中的雪花、蜂巢等轴对称的应用02轴对称的性质轴对称图形沿对称轴折叠后，对称点重合。
轴对称图形中的对应线段、对应角相等。
轴对称图形的对称轴不会与图形的任何线段相交。
轴对称的特性03定理3两个图形关于直线对称，如果其中一个图形沿对称轴对折后与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。
轴对称的定理01定理1两个图形关于直线对称，如果它们的对应线段或对应点所在的直线相交于一点，那么交点在对称轴上。
02定理2两个图形关于直线对称，如果它们的对应线段或对应点所在的直线相交于一点，那么交点到对称轴的距离相等。
轴对称的判别方法方法1观察图形的形状和结构，看是否具有轴对称图形的特点。
方法2找出图形的对称轴，判断图形沿对称轴对折后是否重合。
方法3利用轴对称的性质和定理进行判断。
03轴对称的应用轴对称在几何中的应用在平面几何中，轴对称可以用来解决一些证明和作图问题，如证明一个四边形是正方形或菱形，或者作一个已知轴对称图形的对称图形等。
在立体几何中，轴对称可以用来研究一些几何体的性质，如圆柱、圆锥、球等，以及解决一些与对称有关的问题，如最小路径问题等。
轴对称在几何中有着广泛的应用，如平面几何、立体几何等。
初中数学知识点总结：轴对称与中心对称
知识点总结一、轴对称与轴对称图形:1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.注意：对称轴是直线而不是线段3。
轴对称的性质：(1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；(4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4。
线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.5。
角的平分线：(1）定义:把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2）性质:①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意:根据角平分线的性质,三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
6。
等腰三角形的性质与判定：性质:(1)对称性:等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；(2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；(3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除三线合一外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如:①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.判定定理：如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边)。
轴对称的性质
轴对称的性质：
轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等。
如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做对称轴。
斜放的图形只要能沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称图形。
在轴对称图形中间画一条线，那条线叫对称轴。
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
轴对称图形具有以下的性质：
（1）成轴对称的两个图形全等；
（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；
①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。
④对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
初中数学知识点——轴对称与中心对称
初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
轴对称课件ppt
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04
轴对称的作图
轴对称作图的方法和步骤
确定对称轴
首先确定图形关于哪条直线对称，即对称轴的位 置。
绘制对称图形
根据对称轴，绘制出与原图形对称的图形。
检查完整性
确保新绘制的图形与原图形完全一致，没有遗漏 或多余的部分。
轴对称作图的实例解析
矩形
以矩形为例，其对称轴为其对角线，沿对称轴折叠后，两侧图形 完全重合。
轴对称的两个图形也是全等的，它们的对应点关于对称轴对称，且每个点到对称轴的距离等 于它到对称点的距离。
轴对称与旋转对称的关系
旋转对称是指图形绕某一点旋转一定角度后与自身重合，而轴对称则是 图形关于某一直线对称。
旋转对称和轴对称可以同时存在于一个图形中，例如正三角形既具有旋 转对称性（绕中心点旋转120度与自身重合），又具有轴对称性（关于中
轴对称的几何意义
点关于对称轴的对称
对于直线上的任意一点，关于对称轴都有另一个点与之对称，且 两点连线与对称轴垂直。
直线关于对称轴的对称
对于直线上的任意一段线段，关于对称轴都有另一段线段与之对称 ，且两段线段平行于对称轴。
平面图形关于对称轴的对称
对于平面图形中的任意部分，关于对称轴都有另一部分与之对称， 且两部分形状和大小完全相同。
01
首先需要确定两个图形之间的对称轴。
寻找对应点
02
在两个图形上寻找关于对称轴对称的对应点。
判断是否满足判定定理
03
检查对应点连线是否被对称轴垂直平分，以及对应线段是否关
于对称轴对称。
判定轴对称的实例解析
01
02
03
等腰三角形
等腰三角形是轴对称的， 其对称为底边的中垂线 。
轴对称图形的性质及应用
轴对称图形的性质及应用如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1已知直线l 外有一定点 P ，试在l 上求两点A ，B ，使AB m =（定长），且PA PB +最短．分析：当把P 点沿l 方向平移至C （如图1），使PC m =，那么问题就转化为在l 上求一点B ，使CB PB +为最短．作法：过P 作//PC l ，使PC m =，作P 关于l 的对称点P '，连结CP '交l 于B ．在l 上作AB m =，点A ，B 为所求之两点．证：在l 上另任取A B m ''=，连PA ，PA '，PB '，CB '，A P ''，B P ''，则P A PA'''=，PB P B '''=，又PA B C ''为平行四边形，∴CB PA ''=． ∵CB '＋B P ''＞CP '， ∴PA '＋PB '＞PA ＋PB ．例2如图2，△ABC 中，P 为∠A 外角平分线上一点，求证：PB ＋PC ＞AB ＋AC ．分析：由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP，CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把AB＋AC，AC，PB，PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证：（略）．点评：通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB＋AC化直为BD）．例3等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解：如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m.过AD，BC的中点M，N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．求证：EFGH的周长不小于．证：如图4，连结AA 2，EE 3．正方形ABCD 和正方形A 1BCD 1关于BC 对称；EFGH和E 1FG 1H 1关于BC 对称；A 1BCD 1和A 2B 1CD 1关于 CD 1对称；E 1FG 1H 1和 E 2F 1G 1H 2关于CD 1对称；A 2B 1CD 1和A 2B 2C 1D 1关于A 2D 1对称，E 2F 1G 1H 2和E 3F 2G 2H 2关于A 2D 1对称．2AA =，又23AE A E =32EE AA ==1122332EF FG GH HE EF FG G H H E EE AA ∴+++=+++==≥例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知：如图5．四边形ABCD 中，M ，F ，N ，E 分别为各边的中点，且MN ，EF 为它的对称轴．求证：ABCD 是矩形．分析：欲证ABCD 是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证：∵四边形ABCD 关于EF 成轴对称，∴DC ⊥EF ，AB ⊥EF ， ∴AB ∥DC ．同理AD ∥BC ．∴ABCD 是平行四边形．∴DC ＝AB ．又∵2DC DE =，2AB AF =．∴D E AF ，∴ADEF 为平行四边形．∴AD ∥EF ，而DE ⊥EF ，∴DE ⊥AD ，∠D ＝90 ．∴ABCD 是矩形．轴对称应用举例山东 徐传军生活中很多图形的形状都有一个共同的特性———轴对称．在日常生活中利用轴对称的性质能解决很多问题，下面举例说明．一、确定方向例1 如图1，四边形ABCD 是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E 、F 两点的位置，试问，怎样撞击黑球E ，才能使黑球先碰撞台边DC ，反弹后再击中白球F ？解：作E 点关于直线CD 的对称点E ′，连接FE ′，与CD 的交点P 即为撞击点，点P即为所求．例2 如图2，甲车从A 处沿公路L 向右行驶，乙车从B 处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？解：作AB 的垂直平分线EF ，交直线L 于点C ，乙车沿着BC 方向行驶即可．二、确定点的位置找最小值例3 如图3，AB ∥CD ，AC ⊥CD ，在AC 上找一点Ｅ,使得BE +DE 最小．解：作点B 关于AC 的对称点B ′,连接DB ′，交AC 于点E ，点E 就是要找的点．例4如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小．解：作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点．三、与其他学科结合唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分，你能对出下联来吗?对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联不像话，十分感慨．一连几天在庙前苦思冥想，未能对出下联，有次在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联———“一舟二橹四人摇过八仙桥”．太守再次路过此庙时，看到下联，连连称赞“妙妙妙”．这副对联数字对数字，事物对事物，对称美如此的和谐．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现．生活中的轴对称无处不在,只要你善于观察,将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受．用轴对称解实际问题山东于秀坤在我们实际生活中，许多问题设计到轴对称的应用，下面介绍几例.例1要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B两村送水，请你设计水泵站应修在何处，所用管道最短？分析：设水泵站修在C点，此题的实质是求折线AC+BC的最短长度，可作出A点关于直线l的对称点A′，如图1，根据对称性，AC+BC=A′C+BC，所以连结BA′交直线l于点C，点C便是水泵站的位置，因为此时折线长AC+CB化成线段A′B的长，根据两点之间线段最短的道理便可确定点C是水泵的位置．图1 图2例2如图2，角形铁架∠MON小于60°，A、D是OM、ON上的点，为实际应用的需要，须在OM和ON上各找点B、C，使AB+BC+CD最小，问应如何找？分析：学习了轴对称，可以利用对称性化折为直的道理，分别作出点A、点D关于ON、OM的对称点A′、D′，连结A′D′与ON、OM交于B、C，则点B、C便是所求的点．例3如图3，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置．（1）试问：怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？（2）怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？图3分析：利用轴对称的性质，分别作出B点关于EF的对称点，A点关于HG的对称点，问题得解．解：（1）①作点B关于EF的对称点B′，②连结AB′交EF于C点，则沿AC撞击A，球A必沿BC反弹击中白球B（如图4）．图4 图5（2）如图5，作法类似（1）．例4如图5，小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？图5 图6 图7解：（1）如图6，取线段AB的中点G，过中点G作AB的垂线,交EF于P，则P到A、B的距离相等．（2）如图7，作点A关于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于P，则P到A、B 的距离和最短．用轴对称知识解决打台球一题山东于秀坤题目：小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球比赛．（1）小强把白球放在如图1所示的位置，想通过击打白球撞击黑球，使黑球撞AC边后反弹进F洞；想想看小强这样击打，黑球能进F洞吗？请画图的方法验证你的判断，并说明理由．图1 （2）小勇想通过击打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进A洞，请你猜想小勇有几种方案？并分别在下面的台球桌上画出示意图，解释你的理由．分析：本题是一道操作型探究题，主要根据轴对称的知识的有关进行探究．第(1)题可以通过击打AC边使球反弹进F洞．第(2)题有多种方法．击球入洞需要对每一杆的角度进行适当的估算，实质上等同于几何角度的计算，二者有着密切的关系．要想至多撞台球桌边一次击黑球于F洞．方案可以有以下情况：(1)不击台球桌边，直接用白球撞击黑球;(2)通过白球击CF边反弹再撞击黑球进A洞；(3)用白球撞击DF边反弹撞击黑球进F洞．要想准确撞击黑球，必须找准击球的方向角度，准确估算击球的方向．在数学上，可以借助轴对称的知识来解决问题．解: (1)如图2，将白球与黑球视为两点，过这两点画直线交台球桌边AC于M，过点M 作法线MN⊥AC，在MN右侧∠F′MN=∠PMN，由于射线MF′过F洞，知黑球经过一次反弹后必进入F洞．图2（2）方案1：如图3，视白球、黑球为两点P，G，使A、G、P在同一直线上．方案2：如图4，延长AC到H点，使AC=CH，连接GH交FC于点K，根据轴对称的知识可知，用白球沿GK方向撞击边CF反弹后可进行A洞．方案3：如图5，延长AD到M点，使MD=AD，连结GM交DF于N，根据轴对称知识可知，沿GN方向用白球撞击黑球经反弹后可进入A洞．图3 图4 图5最短线路问题河北欧阳庆红吴立稳同学们，对于最短线路问题你一定很陌生吧?运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题．古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路．我们把这类求近道的问题统称最短线路问题．另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题，这类问题在生产、科研、生活中应用广泛．请同学们看下面几个生活中的最短线路问题．一、两点一线问题例1 如图1，某同学打台球时想绕过黑球，通过击黑球A，使主球A撞击桌边MN后反弹，来击中白球B．请在图中标明，黑球撞在MN上哪一点才能达到目的？(以球心A、B来代表两球)?分析：要撞击黑球A，使黑球A先撞击台边MN上的P点后反弹击中白球B，需∠APN=∠BPM，如图2，可作点A关于MN的对称点A’，连结A’B交MN于点P，则P点即为所求作的点．作法:（图2）：⑴作点A关于MN的对称点A’；⑵连结A’B，交MN于P．则经AP撞击台边MN，必沿P B反弹击中白球B．∴点P就是所要求的点．N图1说明：本题黑球A ，白球B 在MN 的同侧，直接确定撞击点的位置不容易，但若A 、B 在MN 的异侧，击球路线就容易确定了．本题可利用轴对称的特征将A 点转化到MN 的另一侧，设为A ’，连接A ’B 即可确定撞击点．二、一点两线问题例2 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点．水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位置，才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)? 分析：此题要求时间最短，而速度一定，所以可转化为求最短路程．如图4，小桥DE为必走之路，所以容易得到D 为BC 边上的取样点．关键是确定另外两边上的取样点，这是线段之和最小的问题，我们的想法是将三条线段拼起来，关于线段最短，我们有“两点之间，线段最短”，利用对称便可使问题得到解决．解析：如图4，作点D 关于AB 的对称点F ；点D 关于AC 的对称点G ， 连接FG ，交AB 于M ，交AC 于N ．∴D 、M 、N 即所求三个取样点．（请同学们试着证一证）．三、同类变式 例3 某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图５中的AO ，BO ），AO 桌面上摆满了糖果，BO 桌面上摆满了桔子，坐在C 处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到座位，请你帮他设一条行走路线，使其所走的总路程最短？分析：此题是轴对称的特殊应用，需分两种情况讨论：①∠AOB 小于90°；②∠AOB 等于90°。
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1.2 轴对称的性质（一）
一、课标要求：
通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
二、教学目标：
1、知道线段的垂直平分线的概念，知道“成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称
点连线的垂直平分线”等性质。
2、会画已知点关于已知直线的对称点，会画已知线段的对称线段，会画已知三角
形的对称三角形。
3、经历探索轴对称的性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理地思考和表达能力
三、教学重点与难点
准确理解成轴对称的两个图形的基本性质并会简单应用这个基本性质解决一些实际问
题。
四、设计思路
本节课的设计主要让学生在经历画点、折纸、扎孔等操作活动的过程中,进一步体会轴对称的基本特征,并使学生清晰地观察到点和折痕之间的位置关系,以及对应线段之间的大小关系,从而引导学生得出线段垂直平分线的概念;然后由师生互动、生生互动,来说明图形的对称归根到底是点的对称,用同样的方法可以观察到对称的线段和对称的三角形与折痕的关系;最后让学生能从图形中直观地、自主地探索得到轴对称图形的两条基本性质。
五、教学过程
(一) 创设氛围,激发求知的欲望
情境一:提出问题――――上一节课我们研究了轴对称和轴对称图形的基本特征,并会找出它们的对称轴和成轴对称的两图形上的一些对称点。
试问:成轴对称的两个图形具有哪些
性质呢?它们的大小和位置有什么关系?
【设计说明:让学生温故而知新,从以前看过的图形中找出新的东西,激发学习兴趣;在解决问题中的过程中,创设学生们互相讨论,合作交流的氛围。
】
情境二:(给出一些图形图形)同学们,你们看这些图形美吗?为什么我们看这些图形会感觉特别的美呢?今天我们就来探索一下它们美的奥秘。
【设计说明:从美开始入手,提高孩子鉴赏美的能力,同时激发学生们探索新知的欲望。
】
(二) 展开活动,点燃探究新知的热情
活动一操作“画点、折纸、扎孔”。
【设计说明:这里其实就是课本中第10页的“画点、折纸、扎孔”操作,一定要让学生真正动手操作,同时教师要引导学生通过观察、分析、发现、归纳得出相应的结论,努力让学生用自己的语言说清道理:即折痕为什么垂直平分?课本中从轴对称的特性-----重合出发。
给了有根有据的说明,这有利于加强在活动中对学生进行有条理地说理和表达的训练。
】活动二继续进行“画点、折纸、扎孔”的操作活动,自主探索成轴对称的线段、三角形的
性质。
【设计说明:提高学生的合作学习意识,由“学数学”向“做数学”过渡,重在提高学生“做数学”
的兴趣和能力。
】
问题1 图1-8(2)中,线段与有什么关系? 与呢?线段与有什么关系? 与呢?说说
你的理由。
问题2 图1-8(2)中, 与有什么关系? 与呢? 与有什么关系?为什么?
问题3 轴对称有哪些性质?
【设计说明:连续不断的提问使问题不断的深化,促使学生不断的思考,点燃学生探究的热情,让学生感受教材、解决问题的过程中增加自信,合理的进行思考和讨论是解决这一串问题的关键。
】
(三) 例题示范,加速新知的领悟进程
例题1 用针扎重叠的纸得到下面关于成轴对称的两个图案: (1) 找出它的两对对称点,两条对称线段;
用测量的方法验证你找到的对称点所连线段被对称轴垂直平分。