计算几何
计算几何-多边形重心公式
计算⼏何-多边形重⼼公式计算⼏何-多边形的重⼼1. 1 累加和求重⼼设平⾯上有N 个离散数据点( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) , 其多边形重⼼G( . x1, . y1) 为:这是求多边形最简单直观的⽅法。
可以直接利⽤离散数据点的x, y坐标就能求图形重⼼。
但是缺陷在于没有对离散数据点所围图形做任何处理和分析,精度不够。
1. 2算法⼀：在讲该算法时，先要明⽩下⾯⼏个定理。
定理1已知三⾓形△A1A2A3的顶点坐标Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3) 。
它的重⼼坐标为: xg = (x1+x2+x3) / 3 ;yg = (y1+y2+y3) / 3 ;定理2已知三⾓形△A1A2A3的顶点坐标Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3) 。
该三⾓形的⾯积为: S = ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 -y1) ) / 2 ;△A1A2A3 边界构成逆时针回路时取+ , 顺时针时取-。
另外在求解的过程中，不需要考虑点的输⼊顺序是顺时针还是逆时针，相除后就抵消了。
原理:将多边形划分成n个⼩区域, 每个⼩区域⾯积为σi ,重⼼为Gi ( xi , yi ) ,利⽤求平⾯薄板重⼼公式把积分变成累加和:由前⾯所提出的原理和数学定理可以得出求离散数据点所围多边形的⼀般重⼼公式:以Ai ( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) 为顶点的任意N 边形A1A2 .An ,将它划分成N - 2个三⾓形(如图1) 。
每个三⾓形的重⼼为Gi (xi , . yi ) ,⾯积为σi。
那么多边形的重⼼坐标G( x2, .y2) 为:图1 多边形分解例题：HDU 1115 Lifting the Stone代码：如下。
1 #include2 #include3 #include4struct centre5 {6double x , y ;7 };8int cas , n ;9double Area( centre p0 , centre p1 , centre p2 )10 {11double area = 0 ;12 area = p0.x * p1.y + p1.x * p2.y + p2.x * p0.y - p1.x * p0.y - p2.x * p1.y - p0.x * p2.y;13return area / 2 ; // 另外在求解的过程中，不需要考虑点的输⼊顺序是顺时针还是逆时针，相除后就抵消了。
计算机科学中的计算几何学
计算机科学中的计算几何学计算几何学是计算机科学中一个重要的领域，它涵盖了许多与图形和几何有关的问题，例如计算多边形的面积和周长、求解几何元素之间的关系和位置、以及生成三维图形等等。
计算几何学在许多应用领域中都有广泛的应用，例如计算机辅助设计、虚拟现实、机器人技术等等。
在计算几何学中，最基本的问题是如何表示和存储几何对象。
传统的方式是使用点、线和面等基本元素来描述几何对象。
对于平面几何问题，经典的数据结构是平面直角坐标系（Cartesian coordinates）和极坐标系（polar coordinates）。
在三维几何问题中，一般使用欧几里得空间（Euclidean space）或齐次坐标系（homogeneous coordinates）来表示和计算。
此外，还可以使用参数曲线和曲面等高级数据结构来描述更复杂的几何对象。
计算几何学中的许多问题都涉及到了求解几何元素之间的关系和位置。
其中最常见的问题之一是交点问题（intersection problem），即求解两条或多条直线或曲线在二维或三维空间中的交点。
还有一类常见问题是求解点与线、点与面之间的位置关系。
例如，如何判断一个点是否在一个多边形内部？如何判断两个三角形是否相交？这些问题的解决方法涉及到了许多经典的算法，例如扫描线算法（scanline algorithm）、凸包算法（convex hull algorithm）和线性规划算法（linear programming algorithm）等等。
计算几何学的另一个重要领域是计算几何优化。
它涉及在给定约束条件下求解几何问题的最优解。
例如，在给定的几何对象中，如何找到包含最大面积的矩形？如何找到通过给定点的最短路径？这些问题需要一些经典的数学工具和算法，例如拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier method）、离散化技术（discretization）和动态规划算法（dynamic programming algorithm）等等。
计算几何学复习
设f为p2在中垂线的方位标志；d为凸多 边形顶点在中垂线的方位标志
1 f 1 回答" hotter"时p2在中垂线上方或者回答 " colder"时p2在中垂线下方 回答" hotter"时p2在中垂线下方或者回答 " colder"时p2在中垂线上方
1 d [i] 1 0
f (n) f (n 1) t (n) 1 f (n 2) t (n 1) 1 t (n) 1 f (1) t (i ) n 1 t (i ) n 1
i 2 i 2 n n
u［1.. L］为线段序列，其中u[i]为第i条线段。计算 过程如下 T←0；｛交点数初始化｝ for i←1 to L do｛统计L条线段之间的交点个数｝ for j←i+1 to L do if u[i]与u[j]相交 then T←T+1； 输出T+L+1；
逆时针S
1 x2 2 x3
x1
y1 1 y2 1 y3 1
1 ( x1 y2 x2 y3 x3 y1 x1 y3 x2 y1 x3 y2 ) 2
1、某个均质物体（即物体的面积与质量成正比）的形状 为平面三角形的话，则物体的质量就是三角形面积，该 物体的重心位置为物体的质点。 2、利用系统内各物体间的质点关系计算系统的质心位置 （也是系统重心位置）和质量。假设平面上有两个质点， 坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，质量分别为m1,m2，则它们 组成的系统的质量m和质心位置（x,y）满足
机器蛇
在未来的某次战争中，我军计划了一次军事行动，目的 是劫持敌人的航母。由于这个计划高度保密，你只知道 你所负责的一部分：机器蛇的通信网络。计划中要将数 百条机器蛇投放到航母的各个角落里。由于航母内部舱 室、管线错综复杂，且大部分由金属构成，因此屏蔽效 应十分强烈，况且还要考虑敌人的大强度电子干扰，如 何保持机器蛇间的联系，成了一大难题。每条机器蛇的 战斗位置由作战计划部门制定，将会及时通知你。每条 机器蛇上都带有接收、发射系统，可以同时与多条机器 蛇通讯。由于整个系统承载的数据量庞大，需要一个固 定的通讯网络。情报部门提供了极其详尽的敌方航母图 纸，使你对什么地方有屏蔽了如指掌。 请你设计一个程序，根据以上信息构造通讯网络， 要求信息可以在任意两条机器蛇间传递，同时为了避免 干扰，通讯网络的总长度要尽可能的短。
计算几何 算法与应用 第3版
计算几何算法与应用第3版（原创实用版）目录1.计算几何学概述2.计算几何：算法与应用第三版的主要内容3.计算几何的应用领域4.计算几何算法的设计与分析5.计算几何的未来发展趋势正文一、计算几何学概述计算几何学是计算机科学与几何学相结合的一门学科，它主要研究如何使用算法来解决几何问题。
计算几何学的产生可以追溯到 20 世纪 70 年代末，它从算法设计与分析中孕育而生，并逐渐形成了自己的学术刊物和学术会议。
二、计算几何：算法与应用第三版的主要内容《计算几何：算法与应用》第三版是由 Mark de Berg、Otfried Cheong、Marc van Kreveld 和 Mark Overmars 等人编写的一本关于计算几何的经典教材。
全书共分 11 章，内容包括预备知识、几何查找（检索）、多边形、凸壳及其应用、Voronoi 图、三角剖分及其应用、交与并及其应用、多边形的获取及相关问题、几何体的划分与等分、算法的运动规划、几何拓扑网络设计、随机几何算法与并行几何算法等。
三、计算几何的应用领域计算几何在许多领域都有广泛的应用，如计算机图形学、图像处理、计算机辅助设计、虚拟现实、地理信息系统、机器人学等。
在这些领域中，计算几何算法可以用来解决诸如几何形状的建模、几何关系的计算、几何图形的裁剪和划分等问题。
四、计算几何算法的设计与分析计算几何算法的设计与分析是计算几何学的核心内容。
设计一个好的计算几何算法，需要对几何问题进行深入的理解，并运用计算机科学的知识来巧妙地解决问题。
在算法的分析方面，主要涉及到算法的正确性、时间复杂度和空间复杂度等方面的研究。
五、计算几何的未来发展趋势随着计算机技术的不断发展，计算几何也在不断地拓展新的领域和应用。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形的性质和空间关系，并通过数学方法进行计算和推导。
在现代社会中，计算几何不仅在数学领域有着广泛的应用，还在计算机图形学、计算机辅助设计、地理信息系统等领域发挥着重要作用。
本文将介绍计算几何的基本概念和常见应用，帮助读者了解和掌握这一领域的知识。
一、基本概念1. 点、线、面：在计算几何中，点是最基本的几何对象，用来表示位置；线由两个点确定，是一维的几何对象；面由三个或三个以上的点确定，是二维的几何对象。
2. 向量：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，常用来表示位移、速度等物理量。
在计算几何中，向量可以用来表示线段、直线等几何对象。
3. 坐标系：坐标系是用来描述空间位置的工具，常见的有直角坐标系、极坐标系等。
在二维空间中，直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴构成；在三维空间中，直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成。
4. 向量运算：向量的加法、减法、数量积、向量积等运算是计算几何中常见的操作，可以用来求解几何问题。
5. 几何变换：平移、旋转、缩放等几何变换是计算几何中常用的操作，可以改变几何对象的位置、方向和大小。
二、常见应用1. 点、线、面的位置关系：计算几何可以用来判断点是否在直线、线段、射线、多边形内部，以及线段、直线、射线的相交关系等。
2. 几何问题求解：计算几何可以用来求解距离、角度、面积等几何问题，如求两点之间的距离、判断三角形的形状、计算多边形的面积等。
3. 几何构图：计算几何可以用来进行几何构图，如画出两点之间的直线、作出与已知直线垂直的直线、求两圆的交点等。
4. 几何优化：计算几何可以用来进行几何优化，如求解最短路径、最大面积、最小包围矩形等问题，对于一些实际应用具有重要意义。
5. 计算机图形学：计算几何在计算机图形学中有着广泛的应用，可以用来表示和处理图形对象，实现图形的绘制、变换、渲染等功能。
6. 地理信息系统：计算几何在地理信息系统中也有着重要的应用，可以用来处理地理数据、分析地理空间关系，实现地图的绘制、导航、遥感等功能。
数学的离散数学与计算几何
数学的离散数学与计算几何离散数学是数学中的一个重要分支，它研究离散对象和离散结构之间的关系。
计算几何则是数学中研究几何图形的性质和计算方法的学科。
本文将讨论离散数学和计算几何的概念、应用以及它们之间的联系与差异。
一、离散数学的定义与应用离散数学是研究离散性质的数学学科，具体包括集合论、逻辑学、图论、代数学等。
它与连续数学相对应，连续数学主要研究无限可分性质的对象，如实数、函数等。
而离散数学研究有限或离散性质的对象，如整数、有限集合等。
离散数学在计算机科学、密码学、人工智能等领域具有广泛的应用。
在计算机科学中，离散数学的集合论和图论等概念被应用于算法设计、数据库管理等方面。
在密码学中，离散数学的数论知识被用于加密算法的设计。
在人工智能领域，离散数学的逻辑学和图论等理论为知识表示与推理提供了理论基础。
二、计算几何的定义与应用计算几何是研究几何图形的性质和计算方法的学科，它利用数学方法来解决几何问题。
计算几何主要研究包括点、直线、平面等几何知识在计算机科学和工程学中的应用。
计算几何主要应用于计算机图形学、计算机辅助设计等领域。
在计算机图形学中，计算几何的几何变换、投影算法等被应用于图形渲染、三维建模等方面。
在计算机辅助设计中，计算几何的曲线设计、体素建模等方法被用于工程设计、产品设计等。
三、离散数学与计算几何的联系与差异离散数学与计算几何在一定程度上是相互关联的。
在计算几何中，离散数学的概念和方法常常被用于描述和解决问题。
比如，利用离散数学的图论概念可以表示和计算几何中的网络结构和路径问题。
然而，离散数学和计算几何也存在一定的差异。
离散数学主要关注离散对象的性质和结构，而计算几何则更加注重几何图形的计算方法和应用。
离散数学的理论通常更加抽象和一般化，而计算几何则更加注重实际问题的求解和应用。
总的来说，离散数学与计算几何在数学中都扮演着重要的角色，并在计算机科学和工程学等领域得到广泛的应用。
离散数学和计算几何的联合研究将有助于理论的深入和应用的拓展，促进数学与实际问题的结合与发展。
计算机中的计算机科学中的计算几何和论有哪些应用
计算机中的计算机科学中的计算几何和论有哪些应用计算机科学中的计算几何和论有着广泛的应用，从图像处理到机器学习，都离不开这两个领域的技术。
在本文中，我们将探讨计算机科学中计算几何和论的几个主要应用。
1. 计算几何在计算机图形学中的应用计算几何是计算机图形学领域的重要组成部分，它研究如何在计算机中表示和操作图形对象。
通过计算几何的技术，计算机可以实现图像的生成、变形、渲染等功能。
例如，计算几何可以用于计算线段的交点，从而实现线段的裁剪和相交判断，为计算机图形学提供了基本的数学工具。
2. 计算几何在计算机辅助设计中的应用计算几何在计算机辅助设计（CAD）中发挥着重要的作用。
CAD 系统可以帮助工程师和设计师进行设计、模拟和优化工作。
在CAD系统中，计算几何可以用于描述和计算几何形状，如曲线、曲面等。
通过计算几何的技术，CAD系统可以进行几何建模、曲面平滑和曲线拟合等操作，提高设计效率和准确性。
3. 计算几何在计算机视觉中的应用计算几何在计算机视觉领域有着广泛的应用。
计算几何的技术可以帮助计算机识别和理解图像中的几何结构。
例如，通过计算几何的算法，计算机可以在图像中检测和跟踪目标对象的形状和位置，实现目标跟踪和识别。
计算几何还可以用于图像重建、立体视觉等领域，为计算机视觉提供了基础的数学方法和工具。
4. 计算论在机器学习中的应用计算论是研究问题可计算性和计算方法的数学分支，它在机器学习领域有着重要的应用。
机器学习是一种利用计算机算法来实现自动学习和模式识别的技术。
计算论的技术可以用于分析和设计机器学习算法的性能和复杂性。
例如，计算论可以帮助分析机器学习算法的收敛性和泛化能力，为算法的改进提供理论保证。
5. 计算论在密码学中的应用计算论在密码学领域有着广泛的应用。
密码学是研究信息安全和加密技术的学科，它利用计算论的方法来设计和分析加密算法和协议。
计算论可以用于分析密码算法的安全性和抵抗性，设计具有强安全性的密码方案。
计算几何
2.2.1 点积的定义
两个向量为： A x1 , x 2 ,..., x n B x1 , x 2 ,..., x n 定义两个向量的点积为：
AB
x
i 1
n
i
x i
2.2.2 点积的性质
两个向量的点积是标量 点积的变化与向量模的变化成正比。也 就是说，可以把向量标准化后再求点积， 然后再乘上某个系数，就可以得到原来向 量的点积
猜想由n个点(x1,y1), (x2,y2), ……, (xn,yn)构成 的多边形的重心的坐标是：
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
P1 P6
2.6.3 n边形的重心
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
xa xb
ya yb
b a
叉积的本质是一个向量，这个向量垂直于求叉积的 两个向量所在平面，大小是叉积的绝对值 二维情况的叉积向量平行于z轴，因此可以用正负号 表示方向
2.2 点积
2.2.1 点积的定义 2.2.2 点积的性质 2.2.3 点积的几何解释 2.2.4 点积与余弦函数的关系
可以用arctan2函数求得各个点的极角，然后排 序。但这样做会有浮点误差，且计算极角的运算 量大，没有用到几何特性，也没有深入使用排序 算法 满足全序关系，就能排序，无需算值
3.2.2.4 共线问题解决
Graham-Scan算法执行过程中会碰到多 点共线的情况 此时的一个解决办法是每次取三个点， 如果三者共线，则去掉中间的点
2.4.2 多边形分类
如果多边形任意两条不相邻的边没有公共交点，则称这个多边 形为简单多边形；否则称为复杂多边形 但一类特殊的复杂多边形称为临界多边形，在性质上更接近于 简单多边形
计算几何算法简介
计算几何算法简介运算机的显现使得很多本来十分繁琐的工作得以大幅度简化，可是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并非简单的通用解决方案，比如几何问题。
作为运算机科学的一个分支，计算几何要紧研究解决几何问题的算法。
在现代工程和数学领域，计算几安在图形学、机械人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。
在本文中，咱们将对计算几何经常使用的大体算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮忙。
算法1矢量的概念：若是一条线段的端点是有顺序之分的，咱们把这种线段成为有向线段(directed segment)。
若是有向线段p1p2的起点p1在座标原点，咱们能够把它称为矢量(vector)p2。
矢量加减法：设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，那么矢量加法概念为：P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，一样的，矢量减法概念为：P - Q = ( x 1 - x2 , y1 - y2 )。
显然有性质P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。
矢量叉积：计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部份。
设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y 2 )，那么矢量叉积概念为由(0,0)、p一、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P ×Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。
显然有性质P ×Q = - ( Q ×P ) 和P ×( - Q ) = - ( P ×Q )。
一样在不加说明的情形下，本文下述算法中所有的点都看做矢量，两点的加减法确实是矢量相加减，而点的乘法那么看做矢量叉积。
叉积的一个超级重要性质是能够通过它的符号判定两矢量彼此之间的顺逆时针关系：假设P ×Q > 0 , 那么P在Q的顺时针方向。
几何计算
计算几何的常用算法1. 矢量减法设二维矢量 P = （x1,y1），Q = (x2,y2)则矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )显然有性质 P - Q = - ( Q - P )如不加说明，下面所有的点都看作矢量，两点的减法就是矢量相减；2.矢量叉积设矢量P = （x1,y1），Q = (x2,y2)则矢量叉积定义为：P × Q = x1*y2 - x2*y1 得到的是一个标量显然有性质P × Q = - ( Q × P )P × ( - Q ) = - ( P × Q )如不加说明，下面所有的点都看作矢量，点的乘法看作矢量叉积；叉乘的重要性质：> 若P × Q > 0 , 则P 在Q的顺时针方向> 若P × Q < 0 , 则P 在Q的逆时针方向> 若P × Q = 0 , 则P 与Q共线，但可能同向也可能反向3.判断点在线段上设点为Q，线段为P1P2 ，判断点Q在该线段上的依据是：( Q - P1 ) × ( P2 - P1 ) = 0 且 Q 在以 P1，P2为对角顶点的矩形内4.判断两线段是否相交我们分两步确定两条线段是否相交：(1)．快速排斥试验设以线段 P1P2 为对角线的矩形为R，设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，显然两线段不会相交；(2)．跨立试验如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方，如图1所示。
在图1中，P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0上式可改写成( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0当 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明 ( P1 - Q1 ) 和( Q2 - Q1)共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以 P1 一定在线段 Q1Q2上；同理，( Q2 - Q1) ×(P2 - Q1 ) = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2上。
高考数学中的立体几何与计算几何分析总结
高考数学中的立体几何与计算几何分析总结高考是考生人生中非常重要的一次考试，而数学是高考中占比最高的科目之一。
数学题型繁多，其中涉及到了许多几何知识。
本文主要介绍高考数学中的立体几何与计算几何分析，帮助考生掌握这些知识点，提高考试分数。
一、立体几何1、空间直线与平面空间直线是指既不在同一平面上，又不相交的两条直线，即两条直线在空间中具有公共点。
而空间平面是指空间内的一个平面，该平面可以包括一条或多条直线。
在考试中，经常会考察到空间中直线与平面的交点问题，需要掌握这些内容的计算。
2、圆锥与圆台在立体几何中，经常会涉及到圆锥与圆台的计算。
圆锥是指一个有一个点作为顶点，围绕着这个点形成的所有直线交于其中一个固定的平面曲线上。
圆台是指一个圆周绕着一个直线旋转而成的立体图形。
这两种几何图形的计算方法包括：表面积、体积、高等等。
3、棱柱与棱锥棱柱是指一个由若干条平行线段与若干个相邻平行截面聚合而成的几何图形。
棱锥是指一个底面为多边形的锥体。
这两种几何图形的计算方法也包括：表面积、体积、高等等。
4、球体球体是一个具有对称性的完整曲面，由无数个等半径的圆一起组成。
在考试中，常常会考察球体的表面积和体积计算，需要掌握这些方法。
二、计算几何1、向量向量是计算几何中非常重要的一个概念。
它是指一个有大小和方向的量，用箭头表示。
在计算几何中，向量有许多应用，包括向量的加减乘除、平行向量、垂直向量等等。
2、直线与平面方程直线与平面方程也是计算几何中重要的概念。
其中，直线方程的表示方法有点斜式方程、一般式方程、斜截式方程等。
而平面方程的表示方法一般有点法式方程、截距式方程等。
3、空间几何体的投影空间几何体的投影是指几何体在三个互相垂直的方向上对应的平面上所呈现的图形。
在计算几何中，经常需要求出各种空间几何体的投影，需要掌握相关计算方法。
4、曲线方程曲线方程是指用函数的方程来表示一个点的坐标。
计算几何中常见的曲线方程包括：直线方程、圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程等。
计算几何经典问题
计算几何经典问题计算几何经典问题问题一：点到直线的距离•描述：给定平面上的一个点P和一条直线L，求点P到直线L的最短距离d。
•解释说明：通过计算点P到直线上的某个点的距离，可以得到点P到直线L的最短距离。
问题二：点到线段的距离•描述：给定平面上的一个点P和一条线段AB，求点P到线段AB 的最短距离d。
•解释说明：通过计算点P到线段AB所在直线上的某个点的距离，可以得到点P到线段AB的最短距离。
问题三：直线与直线的交点•描述：给定平面上两条直线L1和L2，判断它们是否相交，并找出它们的交点坐标。
•解释说明：通过比较两条直线的斜率和截距，可以判断它们是否相交。
如果相交，则可以计算出它们的交点坐标。
问题四：线段与线段的相交•描述：给定平面上两条线段AB和CD，判断它们是否相交，并找出它们的交点坐标。
•解释说明：通过比较两条线段所在直线的斜率和截距，可以判断它们是否相交。
如果相交，则可以计算出它们的交点坐标。
问题五：直线与圆的交点•描述：给定平面上的一条直线L和一个圆C，判断它们是否相交，并找出它们的交点坐标。
•解释说明：通过计算圆心到直线的距离，可以判断直线与圆是否相交。
如果相交，则可以计算出交点坐标。
问题六：两圆的相交•描述：给定平面上两个圆C1和C2，判断它们是否相交，并找出它们的交点坐标。
•解释说明：通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和，可以判断两个圆是否相交。
如果相交，则可以计算出交点坐标。
问题七：点在多边形内部•描述：给定平面上的一个点P和一个多边形，判断点P是否在多边形内部。
•解释说明：通过判断点P与多边形的边是否相交的次数，可以判断点P是否在多边形内部。
问题八：多边形的面积•描述：给定平面上的一个多边形，计算多边形的面积。
•解释说明：通过计算多边形上各个顶点与某一点的有向距离的和，可以计算出多边形的面积。
这些是计算几何的一些经典问题，通过不同的方法和公式，我们可以解决这些问题，并更深入地理解平面几何的性质。
计算几何算法设计
计算几何算法设计计算几何是数学和计算机科学的交叉领域，它研究如何在计算机上有效地解决几何问题。
在计算几何中，我们需要使用各种算法来处理几何对象，例如点、线、面和体等。
本文将介绍一些常见的计算几何算法和它们的设计思路。
1. 判断两个线段是否相交算法判断两个线段是否相交是计算几何中最基础的问题之一。
我们可以通过求解两个线段所组成的平面方程，然后比较两个方程是否相等来判断是否相交。
如果两个线段所在的平面方程相等，那么我们需要判断两个线段的端点是否在对方的线段上。
如果两个线段的端点都在对方的线段上，那么它们相交，否则它们不相交。
2. 求两条直线的交点算法在计算几何中，求两条直线的交点也是常见的问题。
我们可以先求出两个直线所组成的平面方程，然后通过高斯消元法求解两个方程，得到交点的坐标。
如果两个直线平行或共线，则交点不存在。
3. 求点到直线的距离算法求点到直线的距离也是计算几何中的一个重要问题。
我们可以通过计算点到直线投影点的距离来得到点到直线的距离。
投影点可以通过求解直线的垂线方程得到。
然后，我们可以使用向量计算公式来计算点到直线投影点的距离。
4. 求两个三角形的相交面积算法求两个三角形的相交面积也是计算几何中的一个重要问题。
我们可以通过求解两个三角形所在平面方程的交点，然后将交点构成新的三角形，计算新三角形的面积，再减去重叠部分的面积得到两个三角形的相交面积。
5. 求多边形的凸包算法在计算几何中，求多边形的凸包也是非常重要的问题。
凸包是指包含所有点的最小凸多边形，它可以用于空间遮挡剔除和图像识别等领域。
求多边形的凸包有多种算法，其中最著名的是Graham扫描算法。
这种算法基于极角排序和栈，它可以在线性时间内求解凸包。
综上所述，计算几何算法设计是非常关键的，它可以帮助我们有效地解决各种几何问题。
在实践中，我们需要灵活运用不同的算法来解决具体问题，以达到最优解的效果。
信息学竞赛中的计算几何解题技巧
信息学竞赛中的计算几何解题技巧计算几何是信息学竞赛中非常重要的一个知识点，它涉及到如何在平面或者空间中计算和解决几何问题。
在信息学竞赛中，经常会出现与计算几何相关的问题，因此掌握一些计算几何解题技巧是非常重要的。
本文将介绍一些在信息学竞赛中常用的计算几何解题技巧，以帮助读者更好地应对这类问题。
一、平面上的点和向量表示在计算几何中，我们常常需要使用点和向量来表达位置和方向。
平面上的一个点可以用坐标表示，也可以用向量表示。
如果给定一个点的坐标为(x, y)，那么对应的向量为⃗v = (x, y)。
同样地，如果给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以用向量AB = ⃗v = (x2 - x1, y2 - y1)来表示从点A到点B的向量。
二、交点和夹角的计算在计算几何中，经常会遇到求线段或直线的交点以及两个向量之间的夹角的问题。
对于线段AB和CD，我们可以通过求解线段AB和CD的方程来找到它们的交点。
同样地，对于直线AB和CD，我们可以通过求解直线AB和CD的方程来找到它们的交点。
在计算夹角时，我们可以使用向量的点积来计算。
对于两个向量⃗v1 = (x1, y1)和⃗v2 = (x2, y2)，它们的点积为x1x2 + y1y2。
通过求解两个向量的点积，我们可以得到它们之间的夹角。
特别地，如果两个向量的点积等于0，那么它们互相垂直；如果两个向量的点积大于0，那么它们的夹角为锐角；如果两个向量的点积小于0，那么它们的夹角为钝角。
三、凸包的计算凸包是指包含给定点集合的最小凸多边形。
在计算几何中，凸包经常会出现在一些与点有关的问题中。
为了计算凸包，我们可以使用著名的Graham算法或者Andrew算法。
Graham算法是一种流行的凸包算法，它基于下面的原理：找到一个最下方的点P，然后按照与该点的极角大小对其他所有点进行排序。
接下来，使用栈结构，将P和排好序的点逐个加入栈中。
当加入一个点使得栈中的三个点形成一个右旋时，我们需要将前一个点从栈中弹出，直到不形成右旋为止。
计算几何在计算机图形学中的应用
计算几何在计算机图形学中的应用计算机图形学是一门研究计算机系统如何处理和生成图像的学科，广泛应用于电影、游戏、建筑、医学等领域。
其中，计算几何作为图形学的一个分支，主要关注点在于如何在计算机中对几何物体进行建模、表示、计算和变换，以及如何应用数学算法来解决这些问题。
在计算机图形学中，计算几何有着广泛的应用，涉及到了许多关键技术，例如三维建模、视觉计算、动画制作等等。
计算几何是一门研究平面和空间中几何对象的性质和算法的学科。
在计算机图形学中，计算几何主要关注如何在计算机中对几何物体进行建模、表示、计算和变换的过程。
这些几何物体可以是点、线、曲线、曲面或者立体物体等等。
具体来说，计算几何主要涉及以下几个方面的内容：1. 几何建模：在计算机中用数学方法表示和构造几何图形。
2. 几何推理：在计算机中进行几何问题的求解和判定。
3. 几何变换：在计算机中进行几何图形的变换和变形。
4. 几何优化：在计算机中进行几何问题的优化和最优化处理。
下面将介绍几个计算几何在计算机图形学中的典型应用。
三维建模三维建模是创建三维物体的过程。
在计算机图形学中，三维建模通常使用曲面建模技术，这种技术能够有效地描述复杂的曲面和形状。
为了表示和存储三维物体，计算几何在三维建模中扮演了非常重要的角色。
通过计算几何，可以计算出几何图形间的关系，实现三维物体的快速建模和编辑。
此外，在计算几何中也有很多用于三维图形操作的算法，例如合并多个三维物体、计算两个物体的交集、剖分三维物体等等。
视觉计算视觉计算指的是从图像或视频中提取信息。
在计算机图形学中，视觉计算通常应用于三维物体的感知和识别，例如通过摄像头获取三维物体的深度信息、对物体进行识别和跟踪等等。
在这些应用中，计算几何可以通过计算几何的算法来实现三维图形的几何表示和计算，从而达到实现视觉计算的目的。
动画制作动画制作是将二维或三维的静态图形进行动态处理，形成视频或动画的过程。
在计算机图形学中，动画制作通常使用三维建模技术来创建物体，同时使用动画合成技术将多个静态物体连续播放，产生动画的效果。
计算机科学中的网格化技术和计算几何
计算机科学中的网格化技术和计算几何随着计算机科学的不断发展，人们对于数据的处理和分析需求也越来越高。
而网格化技术和计算几何就是两个在这个领域中非常重要的概念。
一、网格化技术网格化技术是将空间或时间分割成一系列的网格单元，通过对这些单元进行建模、计算、分析等操作，以达到最终的数据呈现和分析的目的。
在计算机科学中，大家最为熟知的一个应用就是有限元法。
这是一种以网格化技术为基础的数值分析方法，广泛应用于结构分析、流体力学、热传递等领域。
除了有限元法，网格化技术也在计算机游戏、地理信息系统、医学成像、三维建模等方面得到了广泛的应用。
例如，在计算机游戏中常用的地图渲染技术，就是通过将虚拟地图分割成网格单元，以实现更加真实的画面效果。
二、计算几何计算几何是指利用计算机技术解决几何问题的一门学科，它的主要研究内容是几何对象的表示、处理和计算。
在实际应用中，计算几何的应用非常广泛。
例如，在计算机辅助设计领域，计算几何被用于处理图形数据；在机器人运动规划中，计算几何用于计算机器人的运动轨迹。
计算几何的一个重要分支是计算几何算法。
这些算法用于解决空间几何问题，例如计算两个几何对象之间的距离、判断一个点是否在一个多边形内等等。
计算几何的另一个重要应用是计算机视觉。
通过图像处理和模式识别技术，计算机可以将输入的图像转换为几何对象，并对这些对象进行计算和分析。
这使得计算机可以识别出图像中的物体、边界、曲线等，对图像进行更加精细的分析和处理。
网格化技术和计算几何的结合在实际应用中，网格化技术和计算几何经常被结合使用，以实现更加高效和准确的数据分析和处理。
例如，在三维建模中，网格化技术被用于将物体分割成网格单元，以实现更加精细的模型呈现。
而在计算机视觉中，计算几何技术被用于表示和计算三维物体的表面和边缘。
网格化技术和计算几何的结合还被广泛应用于数字化地球建模中。
数字化地球建模是将地球表面的各种地理对象，如山脉、河流、建筑物等，用计算机进行建模，并能够生成高精度的地球表面模型。
计算几何中的各种应用及其实例分析
计算几何中的各种应用及其实例分析计算几何是一门涉及计算机科学和数学的学科。
其本质是将数学原理应用于计算器设计和计算机科学的领域中，并使用算法研究在一个给定的二维或三维空间中的物理对象的基础几何形式。
计算几何涉及的主要领域包括计算机视觉、图形学、机器学习等领域。
这篇文章将探讨计算几何中的各种应用及其实例分析。
一、计算几何的应用1. 人脸识别在人脸识别中，一张图片中的脸部要与已知的人脸数据库中的脸部进行比较，从而确定它属于哪个人。
计算几何提供了一种可靠的方法来实现这一目标。
通过计算两个脸部之间的距离、角度和比例等因素，可以在现实世界中对人脸进行分类和识别。
2. 医学图像学医学图像学可以通过计算几何的方法进行三维分析，从而提高诊断结果的准确性。
在手术中，医生可以使用计算几何技术生成实时图像，以确定术中物体位置、形状和尺寸等信息，从而更好地执行手术操作。
3. 图像矫正在图像处理中，计算几何方法可以用于图像矫正，即纠正失真、变形或缩放过的图像。
计算几何技术可以分析一个图像和它的已知属性(如角度、边长等)，并重构出一个与原始图像几乎相同的新图像，从而使图像变得更加清晰。
4. 堆叠箱最优化在物流行业中，堆叠箱最优化的问题是重要的，因为货物必须被输送到正确的地点。
计算几何可以用来解决这个问题，通过计算物品的大小、形状和数量等因素，从而确定每个堆叠箱应该被放置的位置，使物品尽可能地占用最少的空间。
二、计算几何应用的实例1. 人脸识别应用人脸识别应用是一种使用计算几何技术的应用。
OpenCV是一种图像处理工具箱，它提供了许多用于人脸和眼睛检测的方法。
在这种应用中，计算几何用于检测人脸和眼睛，并将它们与保存在数据库中的人脸进行比较。
如果找到了相应的匹配项，则该图像被标记为已识别的人。
2. 医学图像学应用医学图像学应用是使用计算几何技术来处理医学图像的领域。
这些图像包括X光片、超声波图像和核磁共振成像。
这些图像需要被处理以提取有用的信息，例如检测肿瘤、血管和其他异常。
计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实、计算机辅助设计等领域的应用研究
计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实、计算机辅助设计等领域的应用研究摘要计算几何作为计算机科学的一个重要分支，在处理几何形状和空间关系方面发挥着至关重要的作用。
它广泛应用于机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实和计算机辅助设计等领域，为解决这些领域中的关键问题提供了强大的理论基础和算法工具。
本文将深入探讨计算几何在上述领域的应用，并重点分析其在不同场景下的具体应用案例，以及未来的发展趋势。
关键词：计算几何，机器人运动规划，计算机图形学，虚拟现实，计算机辅助设计1. 引言计算几何研究的是计算机处理几何形状、空间关系和几何算法的理论和方法。
它涵盖了多种几何问题，例如点集、线段、多边形、多面体等几何对象的表示、分析、处理和计算。
随着计算机技术的发展，计算几何在各个领域中得到了广泛应用，特别是与人类生活息息相关的机器人技术、图形图像、虚拟现实和计算机辅助设计等领域。
2. 计算几何在机器人运动规划中的应用机器人运动规划是机器人领域的核心问题之一，其目标是为机器人找到一条安全的、无碰撞的、高效的运动路径，使其能够完成特定的任务。
计算几何在机器人运动规划中扮演着至关重要的角色，主要应用于以下方面：2.1 碰撞检测碰撞检测是指判断机器人与环境中的障碍物之间是否存在碰撞，是机器人运动规划的核心问题之一。
计算几何中的几何形状表示方法，如多边形、多面体等，可以用来描述机器人和环境中的障碍物，并利用这些表示方法进行碰撞检测。
常用的碰撞检测算法包括：*空间划分算法：将工作空间划分成若干个单元格，每个单元格内只包含一个物体。
该方法可以快速判断两个物体是否在同一个单元格内，从而快速排除碰撞可能性。
*包围盒算法：使用包围盒来近似表示物体，并判断包围盒之间是否存在重叠。
该方法简单快速，但精度较低。
*几何扫描算法：通过扫描物体之间的边或面来判断是否存在碰撞。
该方法精度较高，但计算量较大。
2.2 路径规划路径规划是指在给定的环境中，为机器人找到一条从起点到终点的安全、无碰撞的路径。
计算几何算法及其应用研究
计算几何算法及其应用研究计算几何是计算机科学的一个分支，研究如何在计算机上进行几何问题的计算。
计算几何算法包括基础的几何算法和高级的几何算法。
基础的几何算法主要用于计算点、线和面的基本属性，而高级几何算法则处理更为复杂的几何结构，如曲面和曲线等。
本文将介绍计算几何算法的基本概念及其应用研究。
一、基础的几何算法1. 点的计算点是计算几何解决问题的基础，研究点的计算方法对于计算几何是至关重要的。
点可以表示为(x,y)的坐标，其中x和y分别是点在x轴和y轴的坐标值。
计算两个点之间的距离可以使用勾股定理，即d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
2. 直线的计算直线是由特定的两个点所确定的，计算两个点之间的斜率可以使用公式m=(y2-y1)/(x2-x1)。
同时，可以使用点斜式或一般式来表示一条直线。
3. 外向包裹和凸包外向包裹和凸包是计算几何中最常用的算法之一。
凸包是包含了给定点集中所有点的最小凸多边形。
外向包裹也是一个多边形，但不一定是凸多边形。
4. 多边形的计算多边形是由多个线段连接形成的封闭图形。
计算多边形的面积可以使用格林公式，即A=1/2*sum(xi*yi+1-xi+1*yi)。
二、高级几何算法1. 曲面的计算曲面是指在三维空间中的曲线图形。
计算曲面的属性需要研究曲线方程和曲线变形等技术。
2. 曲线的计算曲线是在二维或三维空间中的非直线图形。
计算曲线的属性需要使用曲线方程，如贝塞尔曲线和贝塞尔曲面等。
3. 计算几何在计算机图形学中的应用计算几何算法在计算机图形学中有着广泛的应用，如计算机辅助设计、计算机动画、虚拟现实等领域。
它可以用于对三维物体进行建模、渲染和动态仿真。
三、结语计算几何算法及其应用研究是一个不断发展的领域。
随着科技的不断进步，计算几何算法也在不断创新和改进。
在未来的研究中，计算几何算法将会有更加广泛和深入的应用，使得我们能够更好地理解和掌握几何问题。
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思考如下图形：
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先看最简单的多边形——三角形
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三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失
更好的方法？
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计算几何题的特点与做题要领
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙 2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠
。 3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上
两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱 ，那么会严重影响做题正确率。 4.注意精度控制。 5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方 法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮 点误差，而且运算比浮点快。
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形。
P3 P4
P2
P0
P1
P5 P6
设你种了很多树，想用一个篱笆把所有的
树都包在里面。出于经济考虑，这个篱笆应该是越 小越好。
夹角公式 设直线l1、l2的斜率存在，分别为k1、k2 l1到l2的转向角为θ,则 tanθ=(k2- k1）/(1+ k1k2） 1与2的夹角为θ，则tanθ=∣(k2- k1）/(1+ k1k2）∣。 直线的斜率公式：k=（y2-y1）/（x2-x1）
计算几何的方法：
在计算几何里，我们知道，△ABC的面积就是“向量AB”和“向量 AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在 右手系还是左手系。
B
C
A ABC成左手系，负面积
2020/2/6
C B
A ABC成右手系，正面积 13
凸多边形的三角形剖分
很自然地，我们会想到以 P1为扇面中心，连接P1Pi就得到N-2个三角形，由于凸性，保证这 些三角形全在多边形内，那么，这个凸多边形的有向面积： A=sigma(Ai) (i=1…N-2)
0<=a<360，也可以认为是两向量的夹角，0<=a<=180。一般用于求夹角，a = acos( (AB * CD) / (|AB| * |CD|) )。也可：|CD| * cos(a) = AB * CD / |AB|，即向 量CD在AB上的投影。
叉积，线段相交的判定
四、叉积。
叉积的结果为一个向量。
多边形的面积
另外有一个普遍的问题是计算一个给出各个顶点的 多边形的面积。我们考虑如下图所示的有五个顶点 的非凸多边形。要计算它的面积，我们可以将它分 割为一个个三角形。在这个五边形中，我们可以分 割为三个三角形：ABC，ACD和ADE。不过，等等 ....你可能会反对，并不是每个三角形都是这个五边 形的一部分。这里，叉积是有正负的优势就大大体 现出来了，它会让每件事情都变得很奇妙。首先， 我们计算ABxBC可以得到三角形ABC的面积，如果 你还记得右手法则的话，在本例中，AB到BC是顺 时针，那么我们就会得到一个负值。同样地，由 ACxAD的叉积我们可以得到三角形ACD的面积，这 也是一个负值。最后，我们计算ADxAE，由于ADE 三点是逆时针方向，我们知道那将得到一个正值。 我们将这三个面积（两负一正）相加，本例中，我 们就得到一个负值，那个绝对值就是这个多边形的 面积。
点，向量，点积
一、点。 点的坐标A(x1, y1)，B(x2, y2)
二、向量。 向量AB = (x2-x1, y2-y1) = (x3,y3) ，CD = (x4, y4)。 向量的模|AB| = sqrt(x3*x3 + y3*y3) 即向量的长度。
三、点积。 点积的结果为一个数值。 数值计算方法AB * CD ＝ x3*x4 + y3*y4。 几何意义AB * CD = |AB| * |CD| * cos(a)，a为向量AB逆时针转向CD的角度，
上图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样,相 加的次序对结果没有影响（满足交换律），减法也是一样的。
点-线距离
找出一个点和一条线间的距离是经常遇见的几何问题之一。假设 给出三个点，A，B和C，你想找出点C到点A、B定出的直线间距 离。第一步是找出A到B的向量AB和A到C的向量AC，现在我们用 该两向量的叉积除以|AB|，这就是我们要找的的距离了（下图中 的红线）。 d = (AB x AC)/|AB|
2、A在线段CD上的充要条件：
a) 。
AC×AD = 0，几何意义，AC和AD组成的平行四边形的面积为0，即A、C、D三点共线
b)
A点在CD之间，A.x处于C.x和D.x之间并且A.y处于C.y和D.y之间
向量加法
向量加法 向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个 向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有： V1（x1, y1）+V2（x2, y2）=V3(x1+x2, y1+y2)
2、如何判断点A在向量CD的左侧还是右侧：CA×CD的数值大于0则左侧，小于0则右侧。于 是CA×CD的数值和CB×CD的数值异号，点A和点B在CD的两侧，同理可判断点C和点D是否在 AB的两侧（注意，必须严格异号）。
不规范相交：交点为某个线段的端点，甚至两线段有一段重合。
1、充要条件，一条线段的一个端点在另一条线段上。即A在CD上或B在CD上或C在AB上或D在 AB上。
几何计算初步
主要内容
计算几何简介 1. 点，线，面，形基本关系，点积叉积 2. 多边形面积 3. 凸包
计算几何简介
由函数逼近论、微分几何、代数几何、计算数学等形 成的边缘学科，研究几何形体的计算机表示、分析和 综合。它是计算机辅助设计（即CAGD）的数学基础。 计算机辅助设计的研究工作始于1955年 ，20世纪60年 代进入实用阶段，到70年代已广泛应用于造船、航空 、汽车及众多工业产品的外形设计和制造领域。进行 此项工作的设计者首先要把一般的曲线或曲面表示在 计算机上，然后对这些曲线或曲面的几何性质进行分 析，比如看曲线上有无拐点、奇点、曲面的凹凸性等 等，最后采用有效的数值计算方法，经过程序运算或 人机对话等形式控制或修改这些曲线或曲面，使之符 合产品设计的要求。
习题
POJ 2318 TOYS（点，线，面，形基本关系） POJ 1113 Wall（凸包） POJ 1654 Area（面积问题）
P1
A1 P2
P6 A4
P5 A3
A2 P4
2020/2/6
P3
14
凹多边形的面积？
依然分割成三角形 计算方法不变
注意符号，最后取绝对值
2020/2/6
15
任意点为扇心的三角形剖分：
我们能把多边形分成N-2个三角形，为什么不能分成N个三角形呢？ 比如，以多边形内部的一个点为扇心，就可以把多边形剖分成 N个三角
AB×CD数值= x3*y4 – x4*y3。
方向由右手螺旋定则判定。
几何意义：AB×CD = |AB| * |CD| * sin(a)，取绝对值即是以AB和CD为边的平行四边形面积
五、线段相交的判定（判定线段AB和线段CD是否相交，属于哪种相交）。
规范相交：交点只有一个，且不是线段的端点。
1、充要条件：点A和点B在CD的两侧并且点C和点D在AB的两侧。