2015年广东省广州市中考数学试卷及解析
广东省2015年中考数学试卷
2015年广东省中考数学试卷解析（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1. （2015年广东3分）2-=【 】A.2B.2-C.12 D.12- 2. （2015年广东3分）据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为【 】A. 61.357310⨯B. 71.357310⨯C. 81.357310⨯D. 91.357310⨯ 3. （2015年广东3分）一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是【 】A.2B. 4C. 5D. 64（2015年广东3分）如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是【 】A. 75°B. 55°C. 40°D. 35°5. （2015年广东3分）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是【 】A. 矩形B. 平行四边形C. 正五边形D. 正三角形 6. （2015年广东3分）2(4)x -=【 】A. 28x -B. 28xC. 216x -D. 216x 7. （2015年广东3分）在0，2，0(3)-，5-这四个数中，最大的数是【 】A. 0B. 2C. 0(3)-D. 5- 8. （2015年广东3分）若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是【 】A. 2a ≥B. 2a ≤C. 2a ＞D. 2a ＜9. （2015年广东3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为【 】A.6B.7C. 8D. 910. （2015年广东3分）如图，已知正△ABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE =BF =CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是【 】A. B. C. D.二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11. （2015年广东4分）正五边形的外角和等于 ▲ （度）.12. （2015年广东4分）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =60°，则对角线AC 的长是 ▲ .13. （2015年广东4分）分式方程321=+x x的解是 ▲ . 14. （2015年广东4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ▲ .15. （2015年广东4分）观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 ▲ .16. （2015年广东4分）如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABC S =△，则图中阴影部分面积是 ▲ .三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17. （2015年广东6分）解方程：2320x x -+=.18. （2015年广东6分）先化简，再求值：21(1)11x x x ÷+--，其中21x =-.19. （2015年广东6分）如图，已知锐角△AB C.（1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）条件下，若BC =5，AD =4，tan ∠BAD =34，求DC 的长.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20.（2015年广东7分）老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，图是小明同学所画的正确树状图的一部分.（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.21.（2015年广东7分）如题图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长.22.（2015年广东7分）某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5 台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.（1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23.（2015年广东9分）如图，反比例函数kyx=(0k≠，0x＞)的图象与直线3y x=相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3B D. （1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.»BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC 24.（2015年广东9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过于点D，连接AG，CP，P B.（1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥A B.25.（2015年广东9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm.（1）填空：AD= ▲ (cm)，DC= ▲ (cm)；（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B 的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值.(参考数据：sin75°=624+，sin15°=624-)。
2015年广东省中考数学试题(附答案)
2015年广东省初中毕业考试试题数学一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分）1. 2-=( ）A. 2 B。
2- C。
12D.12-2。
据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息,2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000 用科学记数法表示为（ )A。
61.357310⨯ B。
71.357310⨯ C. 81.357310⨯ D. 91.357310⨯3。
一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是( )A。
2 B. 4 C。
5 D. 64. 如题4图,直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是( )A. 75° B。
55° C.40° D.35°5。
下列所述的图形中，既是中心对称图形，有时轴对称图形的是( )A. 矩形B.平行四边形C. 正五边形D. 正三角形6. ()24x-=（）A. 28x- B. 28x C。
216x- D。
216x7. 在0，2，()03-,5-这四个数中,最大的数是（ )A. 0 B。
2 C. ()03- D。
5-8。
若关于x的方程290 4x x a+-+=有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A. 2a≥ B. 2a≤ C。
2a> D. 2a<9。
如图9题，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ )A. 6 B。
7 C。
8 D. 910。
如题10图，已知正△ABC的边长为2，E,F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG 的面积为y,AE的长为x,则y关于x的函数图像大致是（）二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11。
正五边形的外角和等于 （度）. 12.如题12图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC 的长为 . 13。
2015年广州市数学中考真题(含答案)
18． （本小题满分 9 分） 如图所示，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、CD 上，且 AE＝DF，连接 BE、AF。求证：BE＝AF。
A
E
D
F B C
3
19． （本小题满分 10 分）
已知
A
x2 2 x 1 x 。 2 x 1 x 1
（1）化简 A； （2）当 A 满足不等式组
22． （本小题满分 12 分） 4 件同型号的产品中，有 1 件不合格品和 3 件合格品。 （1）从这 4 件产品中随机抽取 1 件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； （2）从这 4 件产品中随机抽取 2 件进行检测，求抽到的都是合格品的概率； （3）在这 4 件产品中加入 x 件合格品后，进行如下试验：随机抽取 1 件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通 过大量重复试验后发现：抽到合格品的频率稳定在 0.95，则可以推算出 x 的值大约是多少？
y 米与时间 x 小时（ 0 x 5 ）的函数关系式为
。
15、如图 5， ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 交 AC 于点 E，连接 BE，若 BE＝9，BC＝12， 则 cos C
。
16、如图 6，四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AB＝ 3
3 ，AD＝3，点 M、N 分别线段 BC、AB 上的动点（含端点，但点 M
y A
O B
x
4
21． （本小题满分 12 分） 某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元，2015 年投入教育经费 3025 万元。 （1）求 2013 年到 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元。
2015年广州市中考数学真题及答案
2015年广州市初中毕业生学业考试数学时间120分钟，满分150分第一部分 选择题(共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.四个数－3.14，0,1，2中为负数的是( ） (A) －3。
14(B ） 0(C ） 1（D ） 22.将图1所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是( )3。
已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是（ ） (A ） 2。
5（B) 3(C) 5(D ） 104。
两名同学生进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定,通常还需要比较他们成绩的（ ） (A) 众数 (B) 中位数 （C) 方差 （D) 以上都不对5。
下列计算正确的是（ ） (A) ab ⋅ab ＝2ab(B ）(2a)4＝2a 4（C ） 3错误!－错误!＝3(a≥0)（D ） 错误!⋅错误!＝错误!(a ≥0,b ≥0）6。
如图2是一个几何体的三视图,则该几何体的展开图可以是 （ )(A)(B)(C) (D) 图1主视图 左视图俯视图7。
已知a、b满足方程组错误!，则a＋b＝( ）（A）－4 (B) 4 （C）－2 （D） 28。
下列命题中，真命题的个数有( )①对角线互相平分的四边形是平行四边形，②两组对角线分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.(A） 3个（B) 2个（C) 1个（D） 0个9. 已知圆的半径是23,则该圆的内接正六边形的面积是（）(A) 3，3 (B) 9错误!(C） 18错误!(D) 36错误! 10．已知2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）（A） 10 （B） 14 （C) 10或14 (D） 8或10第二部分非选择题（共120分）二、填空题(本大题共6小题，每小题3分,满分18分.)11.如图3,AB∥CD,直线l分别与AB、CD相交,若∠1＝50°,则∠2的度数为。
2015年广东省中考数学试题(Word版,含答案解析),推荐文档
2015年广东省初中毕业生学业考试数学一、选择题 1.21 1 A.2B. 2C.D.-22【答案】A.【解析】由绝对值的意义可得，答案为 A 。
2.据国家统计局网站 2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573000用科学记数法表示为A. 1.3573 106B.1.3573 107C. 1.3573 108D.1.3573 109【答案】B.【解析】科学记数法的表示形式为 aX10n 的形式，其中1W |齐10, n 为整数•确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.13 573 000=1.3573 107 ； 3.一组数据2, 6, 5, 2, 4，则这组数据的中位数是 A.2B.4C.5D.6【答案】B.【解析】由小到大排列，得：2, 2, 4, 5, 6,所以，中位数为 4,选B 。
4.如图，直线 a // b ，/仁75 °，/ 2=35°，则/ 3的度数是 A.75 ° B.55 ° C.40 °D.35 ° 【答案】C.【解析】两直线平行，同位角相等，三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角之和，所以，75°=/ 2+Z 3,所以，/ 3 = 40°，选 G 5.下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 A.矩形 B.平行四边形 C.正五边形【答案】A.【解析】平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。
6.( 4x)2【答案】D.【解析】原式=(-4)2x 2 = 16x 2 7.在0, 2, ( 3)0 , 5这四个数中，最大的数是D.正三角形A. 8x 22 2 2B.8xC. 16xD.16xA.0B.2C. ( 3)0D. 5【答案】B.【解析】(—3) 0= 1,所以，最大的数为2，选B。
广东省2015年中考数学试卷(含参考答案)
2015年广东省初中毕业生学业考试数学满分120分，考试时间100分钟一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1．2-= ( )A．2 B．－2 C．12D．12-【答案】A2．据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为( )A．1.3573×106B．1.3573×107C．1.3573×108D．1.3573×109【答案】B3．一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是( )A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答过程】解：先将所给的一组数据按从小到大的顺序排列，得：2，2，4，5，6，∵处在最中间的数是4，∴这5个数据的中位数是4，因此，本题选B．4．如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是( )A．75°B．55°C．40°D．35°【答案】C【解答过程】解：∵直线a∥b，∴∠1=∠4．∵∠4=∠2+∠3，∴∠1=∠2+∠3．∵∠1=75°，∠2=35°，∴∠3=40°，故选择C．5．下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A．矩形B．平行四边形C．正五边形D．正三角形【答案】A【解答过程】解：对各个支项逐一加以分析、讨论．显然，平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合，故选择A．6．(－4x)2= ( )A．－8x2B．8x2C．－16x2D．16x2【答案】D【解答过程】解：原式=(－4x)2=（－4）2x2=16x2，故选择D．7．在0，2，(－3)0，－5这四个数中，最大的数是( )A．0 B．2 C．(－3)0D．－5 【答案】B【解答过程】解：∵(－3)0=1，∴在0，2，(－3)0，－5这四个数中，最大的数为2，故选择B．8．若关于x的方程290 4x x a+-+=有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2【答案】C【解答过程】解：由题意得：b2－4ac=12－4×1×(94a-+)＞0，即1+4a－9＞0，解得a＞2，故选择C．9．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为( )A．6 B．7 C．8 D．9【解答过程】解：由条件可知：扇形的弧DCB的长就是正方形的BC与CD长的和为6，半径为3，则16392S=⨯⨯=扇形，故选择D．10．如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是( )【答案】D【解答过程】解：由题意知：AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，则BE=CF=AG=2－x，所以可得△AEG、△BEF、△CFG这三个三角形都是全等的．在△AEG中，AE=x，AG=2－x，则S△AEG =12AE×AG×sin A3(2－x)，所以y=S△ABC－3S△AEG=34×22－3⨯3x(2－x3(3x2－6x+4)，故可得其图象为二次函数，且开口向上，故选择D ．二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分) 11．正五边形的外角和等于 度 ． 【答案】36012．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =60°，则对角线AC 的长是．【答案】6【解答过程】解：由菱形的性质可知AB =BC ，并根据“∠ABC =60°”可得△ABC 为等边三角形，从而知道AC =BC =6，故答案为6．13．分式方程321x x =+的解是． 【答案】x =2【解答过程】解：去分母，得：3x =2x +2，解得：x =2．经检验：当x =2时，x (x +1)≠0，所以原分式方程的解为x =2，故答案为x =2．14．若两个相似三角形的周长比为2:3，则它们的面积比是 ． 【答案】4:9【解答过程】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，所以这两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积比是4：9，故答案为4：9．15．观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是． 【答案】1021【解答过程】解：分母为奇数，分子为自然数，所以，它的规律用含n 的代数式表示为21nn +，则n =10时可得结果为1021，故答案为1021．16．如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若S △ABC =12，则图中阴影部分面积是．【答案】4【解答过程】解：由三角形的重心性质，可得AG =2GD ，则S △BGF =11212111222232326ABG ABD ABC S S S =⨯=⨯⨯=⨯=△△△，同理，S △CGE 11212111222232326ACG ACD ABC S S S =⨯=⨯⨯=⨯=△△△，∴阴影部分的面积为4，故答案为4．三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分) 17．解方程：2320x x -+=．【解答过程】方法1：原方程可化为（x －1）（x －2）=0，∴x －1=0或x －2=0，因此x 1=1，x 2=2；方法2：将a =1，b =－3，c =2代入24b b ac x -±-=得：x 1=1，x 2=2；方法3：由方程x 2－3x +2=0，得：x 2－3x =－2， 则x 2－3x +49=－2+49， (x －23)2=41，开方得，x －23=±21， ∴ x 1=1，x 2=2，【易错点津】此类问题容易出错的地方是方法不当、公式记忆不清．18．先化简，再求值：21(1)11x x x ÷+--，其中21x =-． 【解答过程】原式=1(1)(1)x x x x x -⋅+-=11x +当21x =+时，原式=2211=-+． 【易错点津】此类问题容易出错的地方是分式运算顺序出错或结果未化简或二次根式化简错误．19．如图，已知锐角△ABC ．(1) 过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D (用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2) 在(1)条件下，若BC =5，AD =4，tan ∠BAD =34，求DC 的长．【解答过程】(1)如图所示，MN 为所作；(2)在Rt △ABD 中，tan ∠BAD =34AD BD =， ∴344BD =， ∴BD =3，∴DC =BC －BD =5－3=2．【易错点津】此类问题容易出错的地方是不会应用基本的尺规作图进行画图．四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)20．老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．(1)补全小明同学所画的树状图；(2)求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．【解答过程】(1) 如图，补全树状图；(2) 从树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为奇数的有4种结果，∴P(积为奇数)=49．【易错点津】此类问题容易出错的地方是误认为是不放回式试验．21．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．(1)求证：△ABG≌△AFG；(2) 求BG的长．【解答过程】(1) ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB，由折叠的性质可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF，∴∠AFG=∠B，又AG=AG，∴△ABG≌△AFG（HL）；(2) ∵△ABG ≌△AFG ，∴BG =FG ，设BG =FG =x ，则GC =6－x ， ∵E 为CD 的中点， ∴CF =EF =DE =3， ∴EG =x +3，∴32+(6－x )2=(x +3)2， 解得x =2， ∴BG =2．【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能从图形折叠前后寻找相等的边或角．22．某电器商场销售A ，B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元． 商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元．(1)求商场销售A ，B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格) (2)商场准备用不多于2500元的资金购进A ，B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？【解答过程】(1) 设A ，B 型号的计算器的销售价格分别是x 元，y 元，得：5(30)(40)766(30)3(40)120x y x y -+-=⎧⎨-+-=⎩，，解得4256x y =⎧⎨=⎩，， 答：A ，B 两种型号计算器的销售价格分别为42元、56元； (2) 设需要购进A 型号的计算a 台，得：30a +40(70－a )≤2500，解得a ≥30．答：最少需要购进A 型号的计算器30台．【易错点津】此类问题容易出错的地方是审题不清，找错不等关系．五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23．如图，反比例函数ky x=(0k ≠，x ＞0)的图象与直线y =3x 相交于点C ，过直线上点A (1，3)作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB =3BD ． (1) 求k 的值；(2) 求点C 的坐标；(3) 在y 轴上确定一点M ，使点M 到C ，D 两点距离之和d =MC +MD 最小，求点M 的坐标．【解答过程】(1) ∵A (1，3)，∴OB =1，AB =3， 又AB =3BD ，∴BD =1， ∴D (1，1)， ∴k =1×1=1；(2) 由(1)知反比例函数的解析式为1y x=， 解方程组31y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，，得33x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或33x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，(舍去)， ∴点C 的坐标为(3，3)； (3) 如图，作点D 关于y 轴对称点E ，则E (－1，1)，连接CE 交y 轴于点M ，即为所求．设直线CE 的解析式为y kx b =+，则331k b k b ⎧+=⎪⎪-+=⎩，，解得233k =-，232b =-， ∴直线CE 的解析式为(233)232y x =-+-， 当x =0时，y =232-， ∴点M 的坐标为(0，232-)．【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能探求某条直线上一个点到直线同旁的两点距离和最小24．⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过BC 的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接AG ，CP ，PB ．(1)如图①，若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；(2)如图②，在DG 上取一点k ，使DK =DP ，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形； (3)如图③，取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥AB ．① ② ③【解答过程】(1) 连接OC ．∵AB 为⊙O 直径， ⌒BP =⌒PC ， ∴∠COP =∠BOP ．∵在⊙O 中，OC =OB ，∴PG ⊥BC ，即∠ODB =90°， ∵D 为OP 的中点，∴OD =1122OP OB =，∴cos ∠BOD =12OD OB =，∴∠BOD=60°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ODB，∴AC∥PG，∴∠BAC=∠BOD=60°；(2) 由(1)知，CD=BD，∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK，∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP，∴AG=CK∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，又∠G=∠OBP，∴AG∥CK，∴四边形AGCK是平行四边形；(3) ∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG，∴DH∥AG，∴∠OAG=∠OHD，∵OA=OG，∴∠OAG=∠G，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH，又∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP，∴∠OHP=∠ODB=90°，∴PH⊥AB．【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能综合应用图形中所涉基本图形的相关性质25．如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm．(1) 填空：AD= (cm)，DC= (cm)；(2) 点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；(3) 在(2)的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值．(参考数据：sin75°62+sin15°62-【解答过程】(1) 在Rt △ABC 中， AB =BC =4cm ， AC =22AB BC +=2244+=42，在Rt △ADC中，cos ∠CAD =AD AC ，AD =AC ·cos ∠CAD =42×32=26；在Rt △ADC 中，sin ∠CAD =CD AC，CD =AC ·sin ∠CAD =42×12=22，故答案为26，22；(2)如图，过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC 延长线于F ，则NE =DF ．∵∠ACD =60°，∠ACB =45°， ∴∠NCF =75°，∠FNC =15°，∴sin15°=FCNC，又NC =x ，∴62FC -=， ∴NE =DF 6222-+． ∴点N 到AD 6222-+cm ； (3) ∵sin75°=FNNC，∴62FN +=， ∵PD =CP 2， ∴PF 622- ∴162621162(26)(22)(26)2(2)222y x x +--=++-·62()+ 即226732223y ---=+∵2－68＜0，当73224262x --=-⨯=732262---时，y 有最大值为6673102304246+---=83+236+92－1616.【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能灵活应用三角函数和二次函数的数学模型进行解答．。
2015 广东中考数学试题及答案
2015年广东省初中毕业生学业考试数 学一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 2-= A.2B.2-C.12D.12-2. 据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为（ ）A.61.357310⨯B.71.357310⨯C.81.357310⨯D.91.357310⨯3. 一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ）A.2B.4C.5D.64. 如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）A.75°B.55°C.40°D.35°5. 下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形6. 2(4)x -=A.28x -B.28xC.216x -D.216x7. 在0，2，0(3)-，5-这四个数中，最大的数是（ ）A.0B.2C.0(3)-D.5-8. 若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A.2a ≥B.2a ≤C.2a ＞D.2a ＜9. 如题9图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A.6B.7C.8D.910. 如题10图，已知正△ABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE =BF =CG ，设 △EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.11. 正五边形的外角和等于（度）.12. 如题12图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =60°，则对角线AC 的长是.13. 分式方程321x x=+的解是 .14. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是.15. 观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是.16. 如题16图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABC S =△，则图中阴影部分面积是.三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）. 17. 解方程：2320x x -+=.18. 先化简，再求值：21(1)11x x x ÷+--，其中21x =-.19. 如题19图，已知锐角△AB C.(1) 过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；(2) 在(1)条件下，若BC =5，AD =4，tan ∠BAD =34，求DC 的长.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的 卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上 的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，题20图是小明同学所画的正确树状图的一部分.(1) 补全小明同学所画的树状图；(2) 求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.21. 如题21图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.(1) 求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长.22. 某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5 台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.(1) 求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格）(2) 商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23. 如题23图，反比例函数ky x=(0k ≠，0x ＞)的图象与直线3y x =相交于点C ，过直线上点A (1，3)作 AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB =3B D. (1) 求k 的值； (2) 求点C 的坐标；(3) 在y 轴上确实一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d =MC +MD ，求点M 的坐标.24. ⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过 BC的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接AG ，CP ，P B.(1) 如题24﹣1图；若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；(2) 如题24﹣2图，在DG 上取一点k ，使DK =DP ，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形； (3) 如题24﹣3图；取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥A B.25. 如题25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt △ABC 与Rt △ADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，∠ABC =∠ADC =90°，∠CAD =30°，AB =BC =4cm . (1) 填空：AD =(cm )，DC =(cm )；(2) 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发，且分别在AD ，CB 上沿A →D ，C →B 的方向运动，当N 点运动 到B 点时，M ，N 两点同时停止运动，连结MN ，求当M ，N 点运动了x 秒时，点N 到AD 的距离(用含x 的式子表示)；(3) 在(2)的条件下，取DC 中点P ，连结MP ，NP ，设△PMN 的面积为y (cm 2)，在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出这个最大值. (参考数据：sin 75°=624+，sin 15°=624-)参考答案一、选择题1、A2、B3、B4、C5、A6、D7、B8、C9、D 10、D二、填空题11、360° 12、6 13、x=2 14、4：9 15、211016、4 三、解答题（一）17.解：(x-1)(x-2)=0 x 1=1,x 2=2 18.解：原式=111)1)(1(112+=-⋅-+=-÷-x x x x x x x x x x 把12-=x 代入得：原式=2219.（1）（2）解：∵43tan ==∠AD BD BAD 且 AD=4,∴BD=3 ∴CD=5-3=2 四、解答题（二） 20.（1）（2）9421.（1）证明：∵AB=AD=AF,AG=AG ,∠ABG=∠AFG=90° ∴△ABG 和△AFG 全等（HL ） （2）设BG=x,GC=6-x ,GF=x ,GE=3+x,EC=3 在Rt △GCE 中，（x+3）2=32+(6-x)2 解得：x=2 22. (1)设A 型号每台的价格为x ，B 型号的为y,由题意得： ⎩⎨⎧=-+-=-+-120)40(3)30(67640)30(5y x y x 解得：⎩⎨⎧==5642y x(2)设A 型号的购进x 台，则B 型号的为（70-x ）台，由题意得： 2500)70(4030≤-+x x 解得：x ≥30 ∴A 型号的最少要30台 五、解答题（三）23.(1)∵AB=3BD,AB=3 ∴BD=1 ∴D 点坐标为（1,1） 代入xk y =得：k=1(2)联立y=3x 与xy 1=解得：C 点坐标为（3,33） (3)作D 点关于y 轴的对称点E （-1，1），连接CE ，则CE 与y 轴的交点就是所求的点M设CE 的直线解析式为y=kx+b ，代入E,C 两点坐标解得： k=332- ， b=232- ∴M 点坐标为（0，232-）24.(1).∵P 点为弧BC 的中点，且OP 为半径 ∴OP ⊥BC又∵AB 为直径，∴∠ACB=90° ∴AC//OP∴∠BAC=∠BOD 又∵21cos ===∠OP OD OB OD BOD ,∴∠BOD=60° ∴∠BAC=60°(2) 由（1）得：AC//GK, DC=DB又∵DK=DP ∴用SAS 易证明：△CDK 与△BDP 全等 ∴∠CKD=∠BPD 又∵∠G=2-180AOG ∠︒ ∠BPD=2-180BOD∠︒ ∴∠G=∠BPD=∠CKD∴AG//CK 又AC//GK （已证） ∴四边形AGKC 为平行四边形 (3) 连接OC∵点E 为CP 的中点，点D 为BC 的中点 ∴DE//BP∴△OHD 与△OBP 相似 ∵OP=OB ∴OH=OD 又OC=OP ∠COD=∠POH ∴△COD 与△POH 全等 ∴∠PHO=∠CDO=90°25.（1）AD=62 CD=22（2）过N 点作NE ⊥AD 于E ，过C 点作CF ⊥NE 于F ∴NF=x x NCF NC 42-615sin sin =︒⋅=∠⋅ 又EF=CD=22 ∴x NE 42622-+= )40(≤≤x （3）设NE 与PM 相交于点H 则MD NH S PMN ⋅⋅=21△ ∵DE=CF=x NC 42675sin +=︒⋅ ∴x x x DE AM AD ME 42646242662++-=+--=--= 由△MEH 与△MDP 相似得：MD ME PD HE =,∴MDMEHE ⋅=2 ∴NH=MD ME NE HE NE ⋅-=-2 ∴MD NH S PMN ⋅⋅=21△=ME NE MD MD ME NE MD 2(21)2(21-⋅=⋅-⋅) =)]42662(2)42622)(62[(21x x x x +----+- =32422378262+--+--x x 当2622372---=-=a b x 时，面积有最大值, S 最大值=16162962338442-++=-a b ac PS ：答案仅供参考，最后一题最后一问的答案，没有绝对把握算对了，毕竟只算了一遍，也真心不想算第二遍！。
广东省2015年中考数学真题试题(含答案)
2015年广东省初中毕业生学业考试数 学一、选择题 1. 2-=A.2B.2-C.12D.12-【答案】A.2. 据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为A.61.357310⨯B.71.357310⨯C.81.357310⨯D.91.357310⨯ 【答案】B.3. 一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是A.2B.4C.5D.6 【答案】B.4. 如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是A.75°B.55°C.40°D.35° 【答案】C.5. 下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形【答案】A. 6. 2(4)x -= A.28x -B.28xC.216x -D.216x【答案】D.7. 在0，2，0(3)-，5-这四个数中，最大的数是A.0B.2C.0(3)-D.5-【答案】B.8. 若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A.2a ≥ B.2a ≤ C.2a ＞ D.2a ＜ 【答案】C.9. 如题9图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为A.6B.7C.8D.9【答案】D.【略析】显然弧长为6，半径为3，则16392S =⨯⨯=扇形.10. 如题10图，已知正△ABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE =BF =CG ，设 △EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是【答案】D. 二、填空题11. 正五边形的外角和等于 （度）. 【答案】360.12. 如题12图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =60°，则对角线AC 的长是 .【答案】6.13. 分式方程321x x=+的解是 .【答案】2x =.14. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 . 【答案】4：9.15. 观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是.【答案】1021. 16. 如题16图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABC S =△，则图中阴影部分面积是.【答案】4. 【略析】由中线性质，可得AG =2GD ，则11212111222232326B G FCGE AB GA B D A B CS S SS S ===⨯=⨯⨯=⨯=△△△△△，∴阴影部分的面积为4；其实图中各个单独小三角形面积都相等本题虽然超纲，但学生容易蒙对的.三、解答题（一）17. 解方程：2320x x -+=. 【答案】解：(1)(2)0x x --=∴10x -=或20x -= ∴11x =，22x =18. 先化简，再求值：21(1)11x x x ÷+--，其中21x =-. 【答案】解：原式=1(1)(1)x x x x x -⋅+-=11x + 当21x =+时，原式=122211=-+.19. 如题19图，已知锐角△AB C.(1) 过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；(2) 在(1)条件下，若BC =5，AD =4，tan ∠BAD =34，求DC 的长.【答案】(1) 如图所示，MN 为所作；(2) 在Rt △ABD 中，tan ∠BAD =34AD BD =， ∴344BD =， ∴BD =3，∴DC =AD ﹣BD =5﹣3=2.四、解答题（二）20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的 卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上 的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，题 20图是小明同学所画的正确树状图的一部分.(1) 补全小明同学所画的树状图；(2) 求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.【答案】(1) 如图，补全树状图；(2) 从树状图可知，共有9种可能结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为奇数的有4种结果，∴P (积为奇数)=4921. 如题21图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延 长交BC 于点G ，连接AG .(1) 求证：△ABG ≌△AFG ； (2) 求BG 的长.【答案】(1) ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠D =90°，AD =AB ， 由折叠的性质可知AD =AF ，∠AFE =∠D =90°， ∴∠AFG =90°，AB =AF ， ∴∠AFG =∠B ， 又AG =AG ，∴△ABG ≌△AFG ； (2) ∵△ABG ≌△AFG ，∴BG =FG ，设BG =FG =x ，则GC =6x -, ∵E 为CD 的中点， ∴CF =EF =DE =3， ∴EG =3x +，∴2223(6)(3)x x +-=+，解得2x =， ∴BG =2.22. 某电器商场销售A ，B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5 台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润 120元.(1) 求商场销售A ，B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格） (2) 商场准备用不多于2500元的资金购进A ，B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的 计算器多少台？【答案】(1) 设A ，B 型号的计算器的销售价格分别是x 元，y 元，得：5(30)(40)766(30)3(40)120x y x y -+-=⎧⎨-+-=⎩，解得x=42,y=56， 答：A ，B 两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元； (2) 设最少需要购进A 型号的计算a 台，得3040(70)2500a a +-≥解得30x ≥答：最少需要购进A 型号的计算器30台.五、解答题（三）23. 如题23图，反比例函数ky x =(0k ≠，0x ＞)的图象与直线3y x =相交于点C ，过直线上点A (1，3)作 AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB =3B D.(1) 求k 的值； (2) 求点C 的坐标；(3) 在y 轴上确实一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d =MC +MD ，求点M 的坐标.【答案】(1) ∵A (1，3)，∴OB =1，AB =3， 又AB =3BD ， ∴BD =1， ∴B (1，1)， ∴111k =⨯=；(2) 由(1)知反比例函数的解析式为1y x=， 解方程组31y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得333x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或333x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩（舍去）， ∴点C 的坐标为(33，3)； (3) 如图，作点D 关于y 轴对称点E ，则E (1-,1)，连接CE 交y 轴于点M ，即为所求.设直线CE 的解析式为y kx b =+，则3331k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得233k =-，232b =-， ∴直线CE 的解析式为(233)232y x =-+-， 当x =0时，y =232-， ∴点M 的坐标为(0，232-).24. ⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过BC 的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接AG ，CP ，P B.(1) 如题24﹣1图；若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；(2) 如题24﹣2图，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；(3) 如题24﹣3图；取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥A B.【答案】(1) ∵AB为⊙O直径，BP PC=，∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，∵D为OP的中点，∴OD=1122OP OB=，∴cos∠BOD=12 ODOB=，∴∠BOD=60°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ODB，∴AC∥PG，∴∠BAC=∠BOD=60°；(2) 由（1）知，CD=BD，∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK，∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP，∴AG=CK∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，又∠G=∠OBP，∴AG∥CK，∴四边形AGCK是平行四边形；(3) ∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG，∴DH∥AG，∴∠OAG=∠OHD，∵OA=OG，∴∠OAG=∠G，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH，又∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP，∴∠OHP=∠ODB=90°，∴PH⊥A B.25. 如题25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm.(1) 填空：AD= (cm)，DC= (cm)；(2) 点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；(3) 在(2)的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值.(参考数据：sin75°=624+，sin15°=624-)【答案】(1) 26；22；(2) 如图，过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF.∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，∴∠NCF=75°，∠FNC=15°，∴sin15°=FCNC，又NC=x，∴624FC x-=，∴NE=DF=62224x-+.∴点N到AD的距离为62224x-+cm；(3) ∵sin75°=FNNC，∴624FN x+=，∵PD=CP=2，∴PF=6224x-+，∴162621162(26)(22)(26)2(2)244224y x x x x x +--=+-+--⨯-+·62()4x + 即22673222384y x x ---=++， 当732242628x --=--⨯=732262---时，y 有最大值为6673102304246+---.。
2015年广东省广州市中考数学试卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前广东省2015年初中毕业生学业考试数 学本试卷满分120分,考试时间100分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.|2|=-( ) A .2B .2-C .12D .12-2.据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息,2014年广东省粮食总产量约为13573000吨,将13573000用科学记数法表示为 ( ) A .61.357310⨯ B .71.357310⨯ C .81.357310⨯D .91.357310⨯3.一组数据2,6,5,2,4,则这组数据的中位数是( ) A .2 B .4 C .5D .64.如图,直线a b ∥,175∠=,235∠=,则3∠的度数是 ( )A .75 B .55 C .40 D .35 5.下列所述图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )A .矩形B .平行四边形C .正五边形D .正三角形 6.2(4)=x -( )A .28x - B .28x C .216x - D .216x 7.在0,02,(3)-,5-这四个数中,最大的数是( ) A .0B.2C .0(3)-D . 5-8.若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是( ) A .2a ≥B .2a ≤C .2a >D .2a <9.如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝网ABCD 变形为以A 为圆心,AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形DAB 的面积为 ( )A .6B .7C .8D .910.如图,已知正ABC △的边长为2.E ,F ,G 分别是,,AB BC CA 上的点,且AE BF CG ==,设EFG △的面积为y , AE 的长为x ,则y 关于x 的函数图像大致是()ABCD第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中的横线上) 11.正五边形的外角和等于 度.12.如图,菱形ABCD 的边长为6,60ABC ∠=,则对角线AC 的长是 .13.分式方程321x x=+的解是 . 14.若两个相似三角形的周长比为2:3,则它们的面积比是 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）15.观察下列一组数：13,25,37,49,511,……,根据该组数的排列规律,可推出第10个数是 .16.如图, ABC △三边的中线,,AD BF CF ,的公共点为G ,若12ABC S =△,则图中阴影部分的面积是.三、解答题(本大题共9小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分6分)解方程：2320x x -+=.18.(本小题满分6分) 先化简,再求值：21111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭,其中1x .19.(本小题满分6分)如图,已知锐角ABC △.(1)过点A 作BC 边的垂线MN ,交BC 于点D (用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法)(2)在(1)的条件下,若5BC =,4AD =,3tan =4BAD ∠,求DC 的长.20.(本小题满分7分)老师和小明同学玩数学游戏,老师取出一个不透明的口袋,口袋中装有三张分别标 有数字1,2,3,的卡片,卡片除数字外其余都相同.老师要求小明同学两次随机抽取 一张卡片,并计算两次抽到卡片上数字之积是奇数的概率.于是小明同学用画树枝 图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果.如图是小明同学所画的正确树状图的一部分.(1)补全小明同学所画的树状图；(2)求小明同学两次抽到卡片上数字之积是奇数的概率.21.(本小题满分7分)如图,在边长为6的正方形ABCD 中E 是边CD 的中点,将ADE △沿AE 对折至 AFE △,延长EF 交边BC 于点G ,连接AG . (1)求证：ABG AFG ≌△△； (2)求BG 的长.22.(本小题满分7)某电器商场销售A ,B 两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30元,40元.商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器,可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器,可获利润120元.(1)求商场销售A ,B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格-进货价格)(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A ,B 两种型号计算器共70台,问最少需要购进A 型号的计算器多少台？23.(本小题满分9分)如图,反比例函数ky x=(0k ≠,0x >)的图像与直线3y x =相交与点C ,过直线上点(1,3)A 作AB x ⊥轴于点B ,交反比例函数图像于点D ,且3AB BD =.(1)求k 的值；(2)求点C 的坐标；(3)在y 轴确定一点M ,使点M 到C ,D 两点距离之和d MC MD =+最小,求点M 的坐标.数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）24.(本小题满分9分)O 是ABC △的外接圆,AB 是直径.过BC 的中点P 作O 的直径PG 交弦BC 于点D ,连接AG ,CP ,PB .(1)如图1,若D 是线段OP 的中点,求BAC ∠的度数；(2)如图2,在DG 上取一点K ,使D K D P =,连接CK ,求证：四边形AGKC 是平行四边形；(3)如图3,取CP 得中点E ,连接ED 并延长ED 交AB 于点H ,连接PH ,求证：PH AB ⊥.25.(本小题满分9分)如图,在同一平面上,两块斜边相等的直角三角板Rt ABC △和Rt ADC △拼在一起,使斜边AC 完全重合,且顶点,B D 分别在AC 的两旁,90ABC ADC ==∠∠,30CAD =∠,4cm AB BC ==.(1)填空：AD = cm ,DC = cm ；(2)点M ,N 分别从A 点,C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发,且分别在AD ,CB 上沿A D →,C B →方向运动,当N 点运动到B 点时,M ,N 两点同时停止运动,连接MN .求当M ,N 点运动了x 秒时,点N 到AD 的距离(用含x 的式子表示)；(3)在(2)的条件下,取DC 的中点P ,连接MP ,NP ,设PMN △的面积为y (2cm )在整个运动过程中,PMN △的面积y 存在最大值,请求出y 的最大值. (参考数据6sin 75=,6sin15=)-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共20页）数学试卷 第8页（共20页）广东省2015年初中毕业生学业考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】|2|2-=，故选A 。
2015年广东省中考数学试卷(解析版)
2015年广东省中考数学试卷解析（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1. （2015年广东3分）2-=【 】A.2B.2-C.12D.12- 【答案】A. 【考点】绝对值.【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣错误！未找到引用源。
到原点的距离是2错误！未找到引用源。
，所以，22-=.故选A.2. （2015年广东3分）据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为【 】A. 61.357310⨯B. 71.357310⨯C. 81.357310⨯D. 91.357310⨯ 【答案】B.【考点】科学记数法.【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a ×10n，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值. 在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1. 当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）. 因此，∵13 573 000一共8位，∴713573000 1.357310=⨯. 故选B.3. （2015年广东3分）一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是【 】A.2B. 4C. 5D. 6 【答案】B. 【考点】中位数.【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.因此，∵将这组数据重新排序为2，2，4，5，6，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：4.故选B.4（2015年广东3分）如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是【 】A. 75°B. 55°C. 40°D. 35° 【答案】C.【考点】平行线的性质；三角形外角性质.【分析】如答图，∵a ∥b ，∴∠1=∠4.∵∠1=75°，∴∠4=75°.根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”得∠4＝∠2＋∠3，∵∠2=35°，∴∠3=40°. 故选C.5. （2015年广东3分）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是【 】A. 矩形B. 平行四边形C. 正五边形D. 正三角形 【答案】A.【考点】轴对称图形和中心对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是矩形. 故选A.6. （2015年广东3分）2(4)x -=【 】A. 28x -B. 28xC. 216x -D. 216x 【答案】D.【考点】幂的乘方和积的乘方.【分析】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则和“积的乘方等于每一个因数乘方的积” 的积的乘方法则得()()22224416-=-=x x x .故选D.7. （2015年广东3分）在0，2，0(3)-，5-这四个数中，最大的数是【 】A. 0B. 2C. 0(3)-D. 5- 【答案】B.【考点】零指数幂；有理数的大小比较. 【分析】∵()031-=，∴根据有理数“正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小”的大小比较法则，得()053-<0<-<2.∴最大的数是2. 故选B.8. （2015年广东3分）若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是【 】A. 2a ≥B. 2a ≤C. 2a ＞D. 2a ＜ 【答案】C.【考点】一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式. 【分析】∵关于x 的方程2904+-+=x x a 有两个不相等的实数根， ∴291404⎛⎫∆=-+> ⎪⎝⎭－a ，即1＋4a －9＞0，解得2＞a .故选C.9. （2015年广东3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为【 】A.6B.7C. 8D. 9 【答案】D.【考点】正方形的性质；扇形的计算.【分析】∵扇形DAB 的弧长»DB等于正方形两边长的和6+=BC CD ，扇形DAB 的半径为正方形的边长3，∴16392=⋅⋅=扇形DAB S . 或由变形前后面积不变得：339==⨯=正方形扇形ABCD DAB S S . 故选D.10. （2015年广东3分）如图，已知正△ABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE =BF =CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是【 】A. B. C. D.【答案】D.【考点】由实际问题列函数关系式（几何问题）；二次函数的性质和图象. 【分析】根据题意，有AE =BF =CG ，且正三角形ABC 的边长为2，∴2===-BE CF AG x . ∴△AEG 、△BEF 、△CFG 三个三角形全等． 在△AEG 中，2==-，AE x AG x ，∴()13224=⋅⋅⋅=-V AEG S AE AG sinA x x . ∴()2333333323442=-=-⋅-=-+V V ABC AEG y S S x x x x ． ∴其图象为开口向上的二次函数. 故选D.二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11. （2015年广东4分）正五边形的外角和等于 ▲ （度）.【答案】360.【考点】多边形外角性质.【分析】根据“n边形的外角和都等于360度”的性质，正五边形的外角和等于360度.12.（2015年广东4分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是▲ .【答案】6.【考点】菱形的性质；等边三角形的判定和性质.【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=B C=6.∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=B C=6.13.（2015年广东4分）分式方程321=+x x的解是▲ .【答案】2=x.【考点】解分式方程【分析】去分母，得：()321=+x x，解得：2=x，经检验，2=x是原方程的解，∴原方程的解是2=x.14.（2015年广东4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是▲ .【答案】4：9.【考点】相似三角形的性质.【分析】∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比2：3.又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴这两个相似三角形的它们的面积比是4：9.15.（2015年广东4分）观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是▲ .【答案】12 21.【考点】探索规律题（数字的变化类）.【分析】观察得该组数的排列规律为：分母为奇数，分子为自然数，第n 个数为21+nn ，所以，第10个数是1012210121=⨯+.16. （2015年广东4分）如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABC S =△，则图中阴影部分面积是 ▲ .【答案】4.【考点】等底同高三角形面积的性质；转换思想和数形结合思想的应用.【分析】如答图，各三角形面积分别记为①②③④⑤⑥，∵△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，∴AG =2GD . ∴①=②，③=⑥，④=⑤，①+②=2③，④+⑤=2⑥. ∵12=△ABC S ，∴12=①+②+③+④+⑤+⑥. ∴1222=①+②④+⑤①+②++④+⑤+， ∴()12312422=⇒+=⇒+=2②2⑤2②++2⑤+②⑤②⑤，即图中阴影部分面积是4. 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17. （2015年广东6分）解方程：2320x x -+=. 【答案】解：(1)(2)0--=x x ，∴10-=x 或20-=x . ∴11=x ，22=x .【考点】因式分解法解一元二次方程.【分析】因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）. 18. （2015年广东6分）先化简，再求值：21(1)11x x x ÷+--，其中21x =-.【答案】解：原式=11(1)(1)1-⋅=+-+x x x x x x .当21=+x 时，原式=1112122112===+-+x . 【考点】分式的化简；二次根式化简.【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代x 的值，进行二次根式化简. 19. （2015年广东6分）如图，已知锐角△AB C.（1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）条件下，若BC =5，AD =4，tan ∠BAD =34，求DC 的长.【答案】解：（1）作图如答图所示，AD 为所作.（2）在Rt △ABD 中，AD =4，tan ∠BAD =34=BD AD ， ∴344=BD ，解得BD =3. ∵BC =5，∴DC =AD ﹣BD =5﹣3=2.【考点】尺规作图（基本作图）；解直角三角形的应用；锐角三角函数定义. 【分析】（1）①以点A 为圆心画弧交BC 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 长为半径画弧，两交于点G ； ③连接AG ，即为BC 边的垂线MN ，交BC 于点D .（2）在Rt△ABD中，根据正切函数定义求出BD的长，从而由BC的长，根据等量减等量差相等求出DC的长.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20.（2015年广东7分）老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，图是小明同学所画的正确树状图的一部分.（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.【答案】解：（1）补全树状图如答图：（2）∵由（1）树状图可知，小明同学两次抽到卡片上的数字之积的情况有9种：1，2，3，2，4，6，3，6，9，数字之积是奇数的情况有4种：1，3，3，9，∵小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率是4 9 .【考点】画树状图法；概率.【分析】（1）根据题意补全树状图.（2）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.21.（2015年广东7分）如题图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG ≌△AFG ； （2）求BG 的长.【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠D =90°，AD =AB .由折叠的性质可知，AD =AF ，∠AFE =∠D =90°，∴∠AFG =90°，AB =AF . ∴∠AFG =∠B .又∵AG =AG ，∴△ABG ≌△AFG （HL ）. （2）∵△ABG ≌△AFG ，∴BG =FG .设BG =FG =x ，则GC =6-x ,∵E 为CD 的中点，∴CF =EF =DE =3，∴EG =3+x ，在∆Rt CEG 中，由勾股定理，得2223(6)(3)+-=+x x ，解得2=x ， ∴BG =2.【考点】折叠问题；正方形的性质；折叠对称的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）根据正方形和折叠对称的性质，应用HL 即可证明△ABG ≌△AFG （HL ）.（2）根据全等三角形的性质，得到BG =FG ，设BG =FG =x ，将GC 和EG 用x 的代数式表示，从而在∆Rt CEG 中应用勾股定理列方程求解即可.22. （2015年广东7分）某电器商场销售A ，B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5 台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元.（1）求商场销售A ，B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A ，B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？【答案】解：（1）设A ，B 型号的计算器的销售价格分别是x 元，y 元，得：5(30)(40)766(30)3(40)120-+-=⎧⎨-+-=⎩x y x y ，解得4256=⎧⎨=⎩x y . 答：A ，B 两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元. （2）设最少需要购进A 型号的计算a 台，得3040(70)2500+-≥a a ，解得30≥a .答：最少需要购进A 型号的计算器30台.【考点】二元一次方程组和一元一次不等式的应用（销售问题）.【分析】（1）要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系，本题设A ，B 型号的计算器的销售价格分别是x 元，y 元，等量关系为：“销售5 台A 型号和1台B 型号计算器的利润76元”和“销售6台A 型号和3台B 型号计算器的利润120元”.（2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解. 本题设最少需要购进A 型号的计算a 台，不等量关系为：“购进A ，B 两种型号计算器共70台的资金不多于2500元”.五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23. （2015年广东9分）如图，反比例函数ky x=(0k ≠，0x ＞)的图象与直线3y x =相交于点C ，过直线上点A (1，3)作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB =3B D. （1）求k 的值； （2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d =MC +MD 最小，求点M 的坐标.【答案】解：（1）∵A (1，3)，∴OB =1，AB =3.又∵AB =3BD ，∴BD =1. ∴D (1，1). ∵反比例函数=ky x(0≠k ，0＞x )的图象经过点D ，∴111=⨯=k . （2）由（1）知反比例函数的解析式为1=y x，解方程组31=⎧⎪⎨=⎪⎩y x y x ，得333⎧=⎪⎨⎪=⎩x y 或333⎧=-⎪⎨⎪=-⎩x y （舍去）， ∴点C 的坐标为(33，3). （3）如答图，作点D 关于y 轴对称点E ，则E (1-,1)，连接CE 交y 轴于点M ，即为所求.设直线CE 的解析式为=+y kx b ，则3331⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩k b k b ，解得233232⎧=-⎪⎨=-⎪⎩k b ， ∴直线CE 的解析式为(233)232=-+-y x .当x =0时，y =232-，∴点M 的坐标为(0，232-).【考点】反比例函数和一次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；轴对称的应用（最短距离问题）；方程思想的应用.【分析】（1）求出点D 的坐标，即可根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出k 的值.（2）由于点C 是反比例函数1=y x的图象和直线3=y x 的交点，二者联立即可求得点C 的坐标. （3）根据轴对称的应用，作点D 关于y 轴对称点E ，则E (1-,1)，连接CE 交y 轴于点M ，即为所求.24. （2015年广东9分）⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过»BC的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接AG ， CP ，P B.（1）如题图1；若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；（2）如题图2，在DG 上取一点k ，使DK =DP ，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形；（3）如题图3，取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥AB.【答案】解：（1）∵AB为⊙O直径，点P是»BC的中点，∴PG⊥BC，即∠ODB=90°.∵D为OP的中点，∴OD=1122=OP OB.∴cos∠BOD=12=ODOB. ∴∠BOD=60°.∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°. ∴∠ACB=∠ODB.∴AC∥PG. ∴∠BAC=∠BOD=60°.（2）证明：由（1）知，CD=BD，∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK（SAS）.∴CK=BP，∠OPB=∠CKD.∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP. ∴AG=CK.∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP.又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK.∴四边形AGCK是平行四边形.（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB.∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG. ∴DH∥AG. ∴∠OAG=∠OHD.∵OA=OG，∴∠OAG=∠G. ∴∠ODH=∠OHD. ∴OD=OH.又∵∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP（SAS）.∴∠OHP=∠ODB=90°. ∴PH⊥A B.【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定.【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出∠BOD=60°；另一方面，由证明∠ACB=∠ODB=90°得到AC∥PG，根据平行线的同位角相等的性质得到∠BAC=∠BOD=60°.（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到AG=CK；另一方面，证明AG∥CK，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.（3）通过应用SAS证明△OBD≌△HOP而得到∠OHP=∠ODB=90°，即PH⊥A B.25.（2015年广东9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm. （1）填空：AD= ▲ (cm)，DC= ▲ (cm)；（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B 的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值.(参考数据：sin75°=624+，sin15°=624-)【答案】解：（1）26；22.（2）如答图，过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF.∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，∴∠NCF=75°，∠FNC=15°.∴sin15°=FC NC.又∵NC=x，sin15°=624-，∴624-=FC x.∴NE=DF=6222 4-+x.∴点N到AD的距离为62224-+x cm.（3）∵NC =x ，sin 75°=FN NC，且sin 75°=624+∴624+=FN x ， ∵PD =CP =2，∴PF =6224-+x . ∴16262116262(26)(22)(26)2(2)()2442244+--+=+-+--⨯-+y x x x x x x · 即22673222384---=++y x x . ∴当732273224266228----=-=--⨯x 时，y 有最大值为6673102304246+---. 【考点】双动点问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；由实际问题列函数关系式；二次函数的最值；转换思想的应用.【分析】（1）∵∠ABC =90°，AB =BC =4，∴42=AC .∵∠ADC =90°，∠CAD =30°， ∴31cos 4226,sin 422222=⋅∠=⋅==⋅∠=⋅= AD AC CAD DC AC CAD . （2）作辅助线“过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC 延长线于F ”构造直角三角形CNF ，求出FC 的长，即可由NE =DF =FC +CD 求解.（3）由∆∆=--梯形PNF NDP MDFN y S S S 列式，根据二次函数的最值原理求解.。
2015广州市中考数学试卷
2015年广东省广州市中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1. （ 3分）（2015?广州）四个数-3.14, 0, 1, 2中为负数的是（）A - 3.14B 0C 1D 2考点： 正数和负数.分析： 根据负数是小于0的数，可得答案.解答：解：四个数-3.14, 0, 1 , 2中为负数的是-3.14, 故选：A .点评： 本题考查了正数和负数，解决本题的关键是小于0的数是负数.2. （ 3分）（2015?广州）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180。
后得到的图案是（）考点：生活中的旋转现象.此题主要考查了旋转中，中心旋转180。
后图形的性质，此题应注意图形的旋转变换.3. （3分）（2015?广州）已知O O 的半径为5,直线I 是O O 的切线，则点 O 到直线I 的距离 是（ ）A 2.5B 3C 5D 10考点： 切线的性质.分析： 根据直线与圆的位置关系可直接得到点 O 到直线1的距离是5.解答：解：•••直线1与半径为r 的O O 相切，分析: 解答:根据旋转的性质，旋转前后图形不发生任何变化，绕中心旋转 180°即可得出所要图形.对应点绕旋转中心旋转180°即是以圆心为中心，旋转 180°后得到的图案点评: 解：将图中所示的图案•••点0到直线I 的距离等于圆的半径， 即点0到直线I 的距离为5. 故选C .本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设O0的半径为r ，圆心0到直线I 的距离为d ，直线I 和O 0相交？ d v r ;直线I 和O 0相切 ? d=r ;当直线I 和O 0相离？d > r .4. （ 3分）（2015?广州）两名同学进行了 10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相 同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）A 众数B 中位数C 方差D 以上都不对考点： 统计量的选择.分析：根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大, 表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立•故要判断哪 一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩 的方差.解答：解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生三级蛙跳成绩 的方差. 故选：C .点评：本题考查方差的意义以及对其他统计量的意义的理解•它是反映一组数 据波动大小，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大， 反之也成立.5. （ 3分）（2015?广州）下列计算正确的是A ab?ab=2ab B（2a ） 3=2a 3考点：二次根式的加减法；幕的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；二次根式的 乘除法.分析： 分别利用积的乘方以及二次根式的乘法运算法则化简求出即可.解答：解：A 、ab?ab=aV ,故此选项错误；B 、 （2a ） 3=8a 3,故此选项错误；C 、 强呂=刃7 （ a >0,故此选项错误；D >（a >0 b >0 ,正确.故选：D .点评：此题主要考查了二次根式的加减运算以及积的乘方运算等知识，正确掌握 相关性质是解题关键.6. （ 3分）（2015?广州）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（点评:C-需=3.(a >0D . i ?J -.:上. (a >Q b >0故选：A .此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱 体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状.同时考查了几何体的 展开图.7. （ 3分）（2015?广州）已知a , b 满足方程组■口 ■，“，则a+b 的值为（）A - 4B 4C - 2D 2考点： 解二兀一次方程组. 专题： 计算题.分析： 求出方程组的解得到 a 与b 的值，即可确定出 a+b 的值.解答：解虑驾,0 - □②① + ② 0 得：16a=32，即 a=2, 把a=2代入①得：b=2 , 则 a+b=4, 故选B .点评：此题考查了解二兀一次方程组，利用了消兀的思想，消兀的方法有：代入 消元法与加减消元法.& （ 3分）（2015?广州）下列命题中，真命题的个数有（考点： 分析：解答:由三视图判断几何体；几何体的展开图.由主视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据左视图是圆可判断出此几何 体为圆柱，再根据圆柱展开图的特点即可求解.解：•••主视图和左视图是长方形， •••该几何体是柱体， •••俯视图是圆， •该几何体是圆柱，点评:主视图左视厘 俯视图①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.A 3个B 2个C 1个DO个考点：命题与定理；平行四边形的判定.分析：分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可.解答：解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等.故选：B.点评：此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键.9. （3分）（2015?广州）已知圆的半径是2 I ；，则该圆的内接正六边形的面积是（）A 3 .「；B 9 .二C 18D 36考点：正多边形和圆.分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形.解答：解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2翻，高为3, 因而等边三角形的面积是3二•••正六边形的面积=18.：；,故选C.点评：本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容.10. （3分）（2015?广州）已知2是关于x的方程X2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A 10B 14C 10 或14D 8 或10考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质.分析：先将x=2代入x2- 2mx+3m=0 ,求出m=4,则方程即为x2- 8x+12=0 ,利用因式分解法求出方程的根x仁2, x2=6,分两种情况：①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论.注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验.解答：解：T 2是关于x的方程x2- 2mx+3m=0的一个根，2• 22—4m+3m=0 , m=4,2••• x - 8x+12=0 , 解得 x i =2 , X 2=6.① 当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14 ;② 当6是底边时，2是腰，2+2< 6，不能构成三角形. 所以它的周长是14. 故选B .点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后， 要用三边关系定理检验.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11. （ 3分）（2015?广州）如图，AB // CD ，直线I 分别与AB , CD 相交，若/ 仁50 °则/ 2 的度数为50° .考点： 平行线的性质.分析： 根据平行线的性质得出/ 仁/ 2,代入求出即可. 解答：解：••• AB // CD ,•••/ 1 = / 2, •••/ 1=50° ,•••/ 2=50° , 故答案为：50°点评：本题考查了平行线的性质的应用，能求出/ 1 = /2是解此题的关键，注意两直线平行，内错角相等.12. （ 3分）（2015?广州）根据环保局公布的广州市 2013年至2014年PM2.5的主要来源的 数据，制成扇形统计图，其中所占百分比最大的主要来源是机动车尾气 .（填主要来源的名称）扇形统计图.根据扇形统计图即可直接作出解答.解：所占百分比最大的主要来源是：机动车尾气. 故答案是：机动车尾气.考点： 分析： 解答:点评：本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键•扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.13. (3 分)(2015?广州)分解因式：2mx - 6my= 2m (x - 3y)考点：因式分解-提公因式法.专题：计算题.分析：原式提取公因式即可得到结果.解答：解：原式=2m ( x- 3y). 故答案为：2m (x - 3y).点评：此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.14. （3分）（2015?广州）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0w x w）5的函数关系式为y=6+0.3x考点：根据实际问题列一次函数关系式.分析：根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可.解答：解：根据题意可得：y=6+0.3x （0< xw）5,故答案为：y=6+0.3x .0.3米的速度匀速上点评：此题考查函数关系式，关键是根据题中水位以每小时升列出关系式.15. （3分）（2015?广州）如图，△ ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E, 连接BE. 若B E=9, BC=12，则cosC==-考点：线段垂直平分线的性质；解直角三角形.分析：根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出CD : CE,即为cosC.解答：解：I DE是BC的垂直平分线，••• CE=BE ,••• CD=BD ,•/ BE=9 , BC=12 ,• CD=6 , CE=9,••• EF 的最大值为3.故答案为3.本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的 关键. 三、解答题（本大题共 9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （9 分）点评:本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质•此题难度不 大，注意掌握数形结合思想的应用.16. （3 分） 分别为线段MN 的中点，贝U EF 长度的最大值为（2015?广州）如图，四边形 ABCDBC , AB 上的动点（含端点，但点3 .中，/ A=90° AB=W3 , AD=3，点 M , NM 不与点B 重合），点E , F 分别为DM ,考点： 专题： 分析：三角形中位线定理；勾股定理. 动点型.根据三角形的中位线定理得出 解答:因为N 与B 重合时DN 最大， 得EF 的最大值为3.解：••• ED=EM , MF=FN ,EF =-L DN ,2• DN 最大时，EF 最大， •/ N 与B 重合时DN 最大， 此时 DN=DB= • |•; =6,E 』N ，从而可知D N 最大时，EF 最大,此时根据勾股定理求得 DN=DB=6，从而求点评:（2015?广州）解方程：5x=3 （x - 4）cD考点：解一兀一次方程.专题：计算题.1,即可求出解. 分析：方程去括号，移项合并，把x系数化为解答：解：方程去括号得：5x=3x 12,移项合并得：2x=- 12,解得：x= - 6.点评： 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.ABCD 中，点E , F 分别在AD , CD 上，且AE=DF ,考点： 全等二角形的判定与性质；正方形的性质. 专题： 证明题.分析：根据正方形的四条边都相等可得AB-AD ，每一个角都是直角可得/ BAE- / D-90，然后利用 边角边”证明△ ABE 和厶ADF 全等，根据 全等三角形对应边相等证明即可.解答：证明：在正方形 ABCD 中，AB-AD ，/ BAE- / D-9C ° , 在厶ABE 和厶ADF 中，fAB=AD二DF•••△ ABE ◎△ ADF ( SAS ),••• BE -AF .点评：本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质， 以及垂直的定义,求出两三角形全等，从而得到BE-AF 是解题的关键.(1) 化简A ;分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解. (1)根据分式四则混合运算的运算法则，把 A 式进行化简即可.(2)首先求出不等式组的解集，然后根据 xx"+2x+l 亠x 2 -1铝1 (2015?广州)已知A=18.(9分)(2015?广州)如图，正方形19. (10 分) (2 )当x 满足不等式组-3<0，且x 为整数时，求A 的值.考点： 分析： 解答:BE=AF .为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可. 解：(1) A=［葢Ws1 WxV 3, •/ x 为整数， x=1 或 x=2 ,①当x=1时， •/ X — 1MQ••• A= ------ 中 x Ml,X-l•••当 x=1 时，A= -------- 无意义.(1)此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤.(2)此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解 决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件， 再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可.m 一 T20. (10分)(2015?广州)已知反比例函数 y="的图象的一支位于第一象限.(1 )判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m 的取值范围；(2)如图，O 为坐标原点，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 B 与点A 关于x 轴对称，若△ OAB 的面积为6，求m 的值.点评: X-l ②当x=2时,A=考点：反比例函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标.分析：(1)根据反比例函数的图象是双曲线•当k >0时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；(2)由对称性得到△ OAC的面积为3.设A (x、卬_ 丁),则利用三I角形的面积公式得到关于m的方程，借助于方程来求m的值.解答：解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m - 7>0，则m>7;(2)v点B与点A关于x轴对称，若△ OAB的面积为6,•••△ OAC的面积为3.设A (x，匚I),则丄x7 =3,2 x解得m=13 .点评：本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点•根据题意得到△ OAC的面积是解题的关键.21. (12分)(2015?广州)某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.(1 )求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.考点：一元二次方程的应用.专题：增长率问题.分析：(1) 一般用增长后的量=增长前的量X( 1+增长率)，2014年要投入教育经费是2500 (1+x)万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解.(2)利用(1)中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费.解答：解：设增长率为X，根据题意2014年为2500 (1+x)万元，2015年为2500(1+x) (1+x)万元.则2500 (1+x) (1+x) =3025，解得x=0.仁10%，或x= - 2.1 (不合题意舍去).答：这两年投入教育经费的平均增长率为10% .(2) 3025X (1+10%) =3327.5 (万兀).故根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5点评：本题考查了一兀二次方程中增长率的知识. 增长前的量(1 +年平均增长率)年数年数=增长后的量.22. (12分)(2015?广州)4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；(3)在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？考点：利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法.分析：(1)用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；(2)利用独立事件冋时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；(3)根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；解答：解：(1)：4件同型号的产品中，有1件不合格品，••• P (不合格品)=丄；4(2)这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率3 2 1 =——=—-；(3)v大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95,•••抽到合格品的概率等于0.95,-0.95,解得：x-16.点评：本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解23. (12分)(2015?广州)如图，AC是O O的直径，点B在O O上，/ ACB=30°(1)利用尺规作/ ABC的平分线BD，交AC于点E,交O O于点D，连接CD (保留作图痕迹，不写作法)作图一复杂作图；圆周角定理. (1)①以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角ABC 两边于点 M ，N ;②分别以点 M , N 为圆心，以大于占MN 的长度为半径画弧，两 弧交于一点；③作射线BE 交AC 与E,交O O 于点D ，则线段BD ABC 的角平分线；(2) 连接0D ，设O O 的半径为r ，证得△ ABE DCE ,在R t △ ACB 中，/ ABC=90，/ACB=30，得到AB=」AC=r ，推出△ ADC 是等腰直2角三角形，在R t △ ODC 中，求得DC=…,工 于是问题可得.(1)如图所示；(2)如图2，连接0D ，设O O 的半径为r ,•••/ BAE= / CDE,/ AEB= / DEC ,在 R t A ACB 中，/ ABC=90°，/ ACB=30° ,D本题主要考查基本作图，圆周角定理，勾股定理，作一个角的平分线，牢 记一些基本作图是解答本题的关键.考点： 分析：解答:AB=lAC=r2•••/ ABD= / ACD=45 ,•/ OD=OC ,•••/ ABD= / ACD=45 , •••/ DOC=90 ,点评: 在 R t A ODC 中，DC=詬护 +0C 2^^ r ,24. (14分)(2015?广州)如图，四边形 OMTN 中，OM=ON , TM=TN ，我们把这种两组邻 边分别相等的四边形叫做筝形.(1) 试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；(2) 在筝形 ABCD 中，已知 AB=AD=5 , BC=CD , BC > AB , BD 、AC 为对角线，BD=8① 是否存在一个圆使得 A , B , C , D 四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不 存在，请说明理由； ② 过点B 作BF 丄CD ，垂足为F , BF 交AC 于点E ,连接DE ，当四边形 ABED 为菱形时,考点： 四边形综合题.分析：(1)证明△ OMP ONP ，即可证得 MN 丄OT ,且OT 平分MN ;(2)①若经过 A , B , C , D 四个点的圆存在，则圆心一定是 AC 和BD 的中垂线的交点，即 AC 和BD 互相平分，据此即可判断；②已知FM 丄AB ,作EG 丄AB 于G ,根据菱形的面积公式求得 GE 的长，然 后根据△ BNEBFD 求得BF 的长，再根据△ BEG BFM 求得FM 的长.解答：解：(1) MN 丄OT ,且OT 平分MN . 理由是：连接MN 、OT 相交于点P . 在厶OMT 和厶ONT 中，OM=ON0T 二 0T , TH=TN•••△ OMT ◎△ ONT , •••/ MOT= / NPT , •在△ OMP 和厶ONP 中，0M=0N Znorr=ZNPT ,OP 二 OF•••△ OMP ◎△ ONP ,• MP=NP ，/ OPM= / OPN=90 ，即 MN 丄 OT ; (2)①经过A , B , C , D 四个点的圆不一定存在，理由是：若经过 A , B , C , D 四个点的圆存在，则圆心一定是 AC 和BD 的 中垂线的交点，根据(1)可得AC 垂直平分BD ，而垂足不一定是 AC 的中 占； 八、、\②作FM 丄AB ，作EG 丄AB 于G . •••四边形ABED 是菱形， • AE 丄 BD ，且 BN=-BD=4 ,([••• AN=NE='=!- 「=3, AE=6.二S 菱形ABED =L A E?BD=-L X6>8=24,:: -：又:S菱形ABED =AB?EG ,••• EG=5•••/ DBF= / DBF，/ BNE= / BFD ,•△ BNE BFD ,•BF二ED即理」…一| ，】一〕•/ GE 丄AB , FM 丄AB ,• GE// FM ,•••△ BEGBFM ,32 •匹型即旦巨.，一［|一，解得：刊十.点评:本题考查了菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键，在初中范围内求线段长的基本方法是解直角三角形和利用三角形相似求解.25. (14分)(2015?广州)已知O为坐标原点，抛物线y i=ax2+bx+c (a^0与x轴相交于点A (x1, 0),B (x2, 0),与y 轴交于点C,且O,C 两点间的距离为3, x1?x2V 0, |x1|+|x2|=4,点A , C在直线y2= - 3x+t上.()将抛物线i向左平移(>)个单位，记平移后随着的增大而增大的部分为,2直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n - 5n的最小值.考点：二次函数综合题.分析：(1)利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用0, C两点间的距离为3求出即可；(2)分别利用①若C (0, 3),即c=3，以及②若C (0,- 3),即c=-3,得出A , B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；2 2(3)利用①若c=3，则y i = - x - 2x+3= -( x+1 ) +4, y2= - 3x+3，得出y i 向左平移n个单位后，则解析式为：y3=-(x+1+n) 2+4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c= - 3,则y1=x2- 2x - 3= (x- 1) 224, y2= 3x 3, y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3= (x 1+n) 4,P n解答：解：(1) 令x=0 ,则y=c,故C (0, c),•/ OC的距离为3,••• |c|=3, 即卩c=±3,••• C (0, 3)或(0, - 3);(2)v X1x2< 0,•- X1, x2 异号，①若C (0, 3),即c=3,把C (0, 3)代入y2= —3x+t，则0+t=3，即t=3 ,•- y2= —3x+3,把A (X1, 0)代入y2=- 3x+3，则-3x1+3=0 , 即X1 = 1 ,•- A (1, 0),-X1, x2 异号，x1=1 > 0 , • X2V 0,T |X1|+|X2|=4 ,• 1 —X2=4,解得：X2=- 3，贝y B (- 3 , 0),八、2fa+b+3=0代入y仁ax +bx+3得，“化屮—门，少-猫3=0fa= - 1解得：［一，•- y1= —x2- 2x+3= -(x+1) 2+4 ,则当x<- 1时，y随x增大而增大.②若C (0, - 3),即c= - 3 ,把C (0, - 3)代入y2= -3x+t ,则0+t= - 3,即t= - 3 ,•- y2= - 3x- 3 ,把 A ( X I , 0),代入 y 2= - 3x - 3, 则-3X 1 - 3=0 , 即 x i = — 1 , 二 A (— 1 , 0), T X i , X 2 异号，X 1= — 1 V 0，二 X 2> 0 •••|x i |+|x 2|=4, 1+X 2=4, 解得：X 2=3 ,贝y B (3 , 0), 解得：产1 , lb^-2 2 2 ••• y 仁x — 2x — 3= (x — 1) — 4 , 则当x 》l 时，y 随x 增大而增大， 综上所述，若c=3，当y 随x 增大而增大时，x <— 1; 若c= — 3,当y 随x 增大而增大时，x >1; (3) ①若 c=3,则 y 1= — x 2— 2x+3= —( x+1) 2+4 , y 2= — 3x+3 , y 1向左平移n 个单位后，则解析式为：y 3= —( x+1+n ) 2+4 , 则当x<- 1 — n 时，y 随x 增大而增大， y 2向下平移n 个单位后，则解析式为：y 4= — 3x+3 — n , 要使平移后直线与 P 有公共点，则当x= — 1 — n , y 3>y 即-(-1 — n+1+ n ) 2+4> 3 (— 1 — n ) +3 — n , 解得：nw- 1, •••n > 0,「. n w- 1不符合条件，应舍去； ②若 c= — 3,则 y 1= X 2— 2x — 3= (x — 1) 2— 4, y 2= — 3x — 3, 2 y 1向左平移n 个单位后，则解析式为：y 3= (x — 1+n ) — 4, 则当x >1- n 时，y 随x 增大而增大， y 2向下平移n 个单位后，则解析式为：y 4= — 3x — 3 — n , 要使平移后直线与 P 有公共点，则当x=1 — n , y 3wy 即(1 — n -1+n ) 2 — 4W- 3 (1 — n )- 3— n , 解得：n >1, 综上所述：n >1, 2n2— 5n =2 (n —-) 2 —m 此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及二次函数增减性等知 识，利用分类讨论得出 n 的取值范围是解题关键. 代入y 仁ax 2+bx+3得, f a-b - 3=0 [9a+3b - 3=0 点评: 2n 2— 5n 的最小值为:。
2015年广州中考数学试题(含解析与答案)
2015年广东省广州市中考数学试卷(含解析与答案)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2015•广州）四个数﹣3.14，0，1，2中为负数的是（）A ﹣3.14B 0C 1D 2考点：正数和负数．分析：根据负数是小于0的数，可得答案．解答：解：四个数﹣3.14，0，1，2中为负数的是﹣3.14，故选：A．点评：本题考查了正数和负数，解决本题的关键是小于0的数是负数．2．（3分）（2015•广州）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（）A. B. C. D.考点：生活中的旋转现象．分析：根据旋转的性质，旋转前后图形不发生任何变化，绕中心旋转180°，即是对应点绕旋转中心旋转180°，即可得出所要图形．解答：解：将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是．故选：D．点评：此题主要考查了旋转中，中心旋转180°后图形的性质，此题应注意图形的旋转变换．3．（3分）（2015•广州）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（）A ．2.5 B．3 C．5 D．10考点：切线的性质．分析：根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．解答：解：∵直线l与半径为r的⊙O相切，∴点O到直线l的距离等于圆的半径，即点O到直线l的距离为5．故选C．点评：本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．4．（3分）（2015•广州）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）A ．众数B．中位数C．方差D．以上都不对考点：统计量的选择．分析：根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．解答：解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．故选：C．点评：本题考查方差的意义以及对其他统计量的意义的理解．它是反映一组数据波动大小，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．5．（3分）（2015•广州）下列计算正确的是（）A ．ab•ab=2ab B．（2a）3=2a3C ．3﹣=3（a≥0）D．•=（a≥0，b≥0）考点：二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；二次根式的乘除法．分析：分别利用积的乘方以及二次根式的乘法运算法则化简求出即可．解答：解：A、ab•ab=a2b2，故此选项错误；B、（2a）3=8a3，故此选项错误；C、3﹣=2（a≥0），故此选项错误；D、•=（a≥0，b≥0），正确．故选：D．点评：此题主要考查了二次根式的加减运算以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．6．（3分）（2015•广州）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）A ．B．C．D．考点：由三视图判断几何体；几何体的展开图．分析：由主视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据左视图是圆可判断出此几何体为圆柱，再根据圆柱展开图的特点即可求解．解答：解：∵主视图和左视图是长方形，∴该几何体是柱体，∵俯视图是圆，∴该几何体是圆柱，∴该几何体的展开图可以是．故选：A．点评：此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状．同时考查了几何体的展开图．7．（3分）（2015•广州）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（）A ．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．解答：解：，①+②×5得：16a=32，即a=2，把a=2代入①得：b=2，则a+b=4，故选B．点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．（3分）（2015•广州）下列命题中，真命题的个数有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A ．3个B．2个C．1个D．0个考点：命题与定理；平行四边形的判定．分析：分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可．解答：解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．故选：B．点评：此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．9．（3分）（2015•广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A ．3B．9C．18D．36考点：正多边形和圆．分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．解答：解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．点评：本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．10．（3分）（2015•广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A ．10 B．14 C．10或14 D．8或10考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．分析：先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．解答：解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6．①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．故选B．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2015•广州）如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1=50°，则∠2的度数为50°．考点：平行线的性质．分析：根据平行线的性质得出∠1=∠2，代入求出即可．解答：解：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=50°，∴∠2=50°，故答案为：50°．点评：本题考查了平行线的性质的应用，能求出∠1=∠2是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．12．（3分）（2015•广州）根据环保局公布的广州市2013年至2014年PM2.5的主要来源的数据，制成扇形统计图，其中所占百分比最大的主要来源是机动车尾气．（填主要来源的名称）考点：扇形统计图．分析：根据扇形统计图即可直接作出解答．解答：解：所占百分比最大的主要来源是：机动车尾气．故答案是：机动车尾气．点评：本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．13．（3分）（2015•广州）分解因式：2mx﹣6my=2m（x﹣3y）．考点：因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：原式提取公因式即可得到结果．解答：解：原式=2m（x﹣3y）．故答案为：2m（x﹣3y）．点评：此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）（2015•广州）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为y=6+0.3x．考点：根据实际问题列一次函数关系式．分析：根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可．解答：解：根据题意可得：y=6+0.3x（0≤x≤5），故答案为：y=6+0.3x．点评：此题考查函数关系式，关键是根据题中水位以每小时0.3米的速度匀速上升列出关系式．15．（3分）（2015•广州）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=．考点：线段垂直平分线的性质；解直角三角形．分析：根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出CD：CE，即为cosC．解答：解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴CD=BD，∵BE=9，BC=12，∴CD=6，CE=9，∴cosC===，故答案为．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．（3分）（2015•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N 分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：动点型．分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．解答：解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）（2015•广州）解方程：5x=3（x﹣4）考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．解答：解：方程去括号得：5x=3x﹣12，移项合并得：2x=﹣12，解得：x=﹣6．点评：此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（9分）（2015•广州）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．解答：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=AF．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全等，从而得到BE=AF是解题的关键．19．（10分）（2015•广州）已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．分析：（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．解答：解：（1）A=﹣=﹣=﹣=（2）∵∴∴1≤x＜3，∵x为整数，∴x=1或x=2，①当x=1时，∵x﹣1≠0，∴A=中x≠1，∴当x=1时，A=无意义．②当x=2时，A==．点评：（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．20．（10分）（2015•广州）已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．考点：反比例函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当k＞0时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；（2）由对称性得到△OAC的面积为3．设A（x、），则利用三角形的面积公式得到关于m的方程，借助于方程来求m的值．解答：解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7；（2）∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，∴△OAC的面积为3．设A（x，），则x•=3，解得m=13．点评：本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据题意得到△OAC的面积是解题的关键．21．（12分）（2015•广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．解答：解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）（1+x）万元．则2500（1+x）（1+x）=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．点评：本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．22．（12分）（2015•广州）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？考点：利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．分析：（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；解答：解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=；（2）这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率=×=；（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴=0.95，解得：x=16．点评：本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．23．（12分）（2015•广州）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．考点：作图—复杂作图；圆周角定理．分析：（1）①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角ABC两边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于一点；③作射线BE交AC与E，交⊙O于点D，则线段BD为△ABC的角平分线；（2）连接OD，设⊙O的半径为r，证得△ABE∽△DCE，在R t△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，得到AB=AC=r，推出△ADC是等腰直角三角形，在R t△ODC中，求得DC==r，于是问题可得．解答：（1）如图所示；（2）如图2，连接OD，设⊙O的半径为r，∵∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE，在R t△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB=AC=r，∵∠ABD=∠ACD=45°，∵OD=OC，∴∠ABD=∠ACD=45°，∴∠DOC=90°，在R t△ODC中，DC==r，∴===．点评：本题主要考查基本作图，圆周角定理，勾股定理，作一个角的平分线，牢记一些基本作图是解答本题的关键．24．（14分）（2015•广州）如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8 ①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．考点：四边形综合题．分析：（1）证明△OMP≌△ONP，即可证得MN⊥OT，且OT平分MN；（2）①若经过A，B，C，D四个点的圆存在，则圆心一定是AC和BD的中垂线的交点，即AC和BD互相平分，据此即可判断；②已知FM⊥AB，作EG⊥AB于G，根据菱形的面积公式求得GE的长，然后根据△BNE∽△BFD求得BF的长，再根据△BEG∽△BFM求得FM的长．解答：解：（1）MN⊥OT，且OT平分MN．理由是：连接MN、OT相交于点P．在△OMT和△ONT中，，∴△OMT≌△ONT，∴∠MOT=∠NPT，∴在△OMP和△ONP中，，∴△OMP≌△ONP，∴MP=NP，∠OPM=∠OPN=90°，即MN⊥OT；（2）①经过A，B，C，D四个点的圆不一定存在，理由是：若经过A，B，C，D四个点的圆存在，则圆心一定是AC和BD的中垂线的交点，根据（1）可得AC垂直平分BD，而垂足不一定是AC的中点；②作FM⊥AB，作EG⊥AB于G．∵四边形ABED是菱形，∴AE⊥BD，且BN=BD=4，∴AN=NE===3，AE=6．∴S菱形ABED=AE•BD=×6×8=24，又∵S菱形ABED=AB•EG，∴EG=．∵∠DBF=∠DBF，∠BNE=∠BFD，∴△BNE∽△BFD，∴，即，∴BF=．∵GE⊥AB，FM⊥AB，∴GE∥FM，∴△BEG∽△BFM，∴，即，解得：FM=．点评：本题考查了菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键，在初中范围内求线段长的基本方法是解直角三角形和利用三角形相似求解．25．（14分）（2015•广州）已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，﹣3），即c=﹣3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；（3）利用①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．解答：解：（1）令x=0，则y=c，故C（0，c），∵OC的距离为3，∴|c|=3，即c=±3，∴C（0，3）或（0，﹣3）；（2）∵x1x2＜0，∴x1，x2异号，①若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，∴y2=﹣3x+3，把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，即x1=1，∴A（1，0），∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，∵|x1|+|x2|=4，∴1﹣x2=4，解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．②若C（0，﹣3），即c=﹣3，把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，∴y2=﹣3x﹣3，把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，则﹣3x1﹣3=0，即x1=﹣1，∴A（﹣1，0），∵x1，x2异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0∵|x1|+|x2|=4，∴1+x2=4，解得：x2=3，则B（3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则当x≥1时，y随x增大而增大，综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤﹣1；若c=﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；（3）①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，则当x≤﹣1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，解得：n≤﹣1，∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1，综上所述：n≥1，2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，∴当n=时，2n2﹣5n的最小值为：﹣．点评：此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键．。
2015年广东省中考数学试卷及答案
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前广东省2015年初中毕业生学业考试数学 .............................................................................. 1 广东省2015年初中毕业生学业考试数学答案解析 .. (4)广东省2015年初中毕业生学业考试数学本试卷满分120分,考试时间100分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.|2|=-( ) A .2B .2-C .12D .12-2.据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息,2014年广东省粮食总产量约为13573000吨,将13573000用科学记数法表示为 ( ) A .61.357310⨯ B .71.357310⨯ C .81.357310⨯D .91.357310⨯3.一组数据2,6,5,2,4,则这组数据的中位数是( ) A .2 B .4 C .5D .64.如图,直线a b ∥,175∠=,235∠=,则3∠的度数是 ( )A .75B .55C .40D .35 5.下列所述图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( ) A .矩形B .平行四边形C .正五边形D .正三角形 6.2(4)=x -( )A .28x -B .28xC .216x -D .216x 7.在0,02,(3)-,5-这四个数中,最大的数是( ) A .0B.2C .0(3)-D . 5-8.若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是( ) A .2a ≥B .2a ≤C .2a >D .2a <9.如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝网ABCD 变形为以A 为圆心,AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形DAB 的面积为 ( )A .6B .7C .8D .910.如图,已知正ABC △的边长为2.E ,F ,G 分别是,,AB BC CA 上的点,且AE BF CG ==,设EFG △的面积为y , AE 的长为x ,则y 关于x 的函数图像大致是( )ABCD第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中的横线上) 11.正五边形的外角和等于 度.12.如图,菱形ABCD 的边长为6,60ABC ∠=,则对角线AC 的长是 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）13.分式方程321x x=+的解是 . 14.若两个相似三角形的周长比为2:3,则它们的面积比是 .15.观察下列一组数：13,25,37,49,511,……,根据该组数的排列规律,可推出第10个数是 .16.如图, ABC △三边的中线,,AD BF CF ,的公共点为G ,若12ABC S =△,则图中阴影部分的面积是 .三、解答题(本大题共9小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分6分) 解方程：2320x x -+=.18.(本小题满分6分) 先化简,再求值：21111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭,其中1x .19.(本小题满分6分) 如图,已知锐角ABC △.(1)过点A 作BC 边的垂线MN ,交BC 于点D (用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法)(2)在(1)的条件下,若5BC =,4AD =,3tan =4BAD ∠,求DC 的长.20.(本小题满分7分)老师和小明同学玩数学游戏,老师取出一个不透明的口袋,口袋中装有三张分别标 有数字1,2,3,的卡片,卡片除数字外其余都相同.老师要求小明同学两次随机抽取 一张卡片,并计算两次抽到卡片上数字之积是奇数的概率.于是小明同学用画树枝 图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果.如图是小明同学所画的正确树状 图的一部分.(1)补全小明同学所画的树状图；(2)求小明同学两次抽到卡片上数字之积是奇数的概率.21.(本小题满分7分)如图,在边长为6的正方形ABCD 中E 是边CD 的中点,将ADE △沿AE 对折至AFE △,延长EF 交边BC 于点G ,连接AG . (1)求证：ABG AFG ≌△△； (2)求BG 的长.22.(本小题满分7)某电器商场销售A ,B 两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30元,40元.商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器,可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器,可获利润120元.(1)求商场销售A ,B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格-进货价格)(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A ,B 两种型号计算器共70台,问最少需要购进A 型号的计算器多少台？数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）23.(本小题满分9分)如图,反比例函数ky x=(0k ≠,0x >)的图像与直线3y x =相交与点C ,过直线上点(1,3)A 作AB x ⊥轴于点B ,交反比例函数图像于点D ,且3AB BD =.(1)求k 的值；(2)求点C 的坐标；(3)在y 轴确定一点M ,使点M 到C ,D 两点距离之和d MC MD =+最小,求点M 的坐标.24.(本小题满分9分)O 是ABC △的外接圆,AB 是直径.过BC 的中点P 作O 的直径PG 交弦BC 于点D ,连接AG ,CP ,PB .(1)如图1,若D 是线段OP 的中点,求BAC ∠的度数；(2)如图2,在DG 上取一点K ,使DK DP =,连接CK ,求证：四边形AGKC 是平行四边形；(3)如图3,取CP 得中点E ,连接ED 并延长ED 交AB 于点H ,连接PH ,求证：PH AB ⊥.25.(本小题满分9分)如图,在同一平面上,两块斜边相等的直角三角板Rt ABC △和Rt ADC △拼在一起,使斜边AC 完全重合,且顶点,B D 分别在AC 的两旁,90ABC ADC ==∠∠,30CAD =∠,4cm AB BC ==.(1)填空：AD = cm ,DC = cm ；(2)点M ,N 分别从A 点,C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发,且分别在AD ,CB 上沿A D →,C B →方向运动,当N 点运动到B 点时,M ,N 两点同时停止运动,连接MN .求当M ,N 点运动了x 秒时,点N 到AD 的距离(用含x 的式子表示)；(3)在(2)的条件下,取DC 的中点P ,连接MP ,NP ,设PMN △的面积为y (2cm )在整个运动过程中,PMN △的面积y 存在最大值,请求出y 的最大值. (参考数据6sin 75=6sin15=)-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________。
广东广州中考数学真题测试卷有答案
2015年广东省广州市中考数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．四个数﹣3.14，0，1，2中为负数的是 …………………………．（ ）A ． ﹣3.14B ．0C ．1D ．22.将图1所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 图1 3.已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，在点O 到直线l 的距离是（ ）A ．2．5B ．3C ．5D ．104.两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们的成绩的（ ）A ． 众数B ．中位数C ．方差D ．以上都不对5.下列计算正确的是（ ）A ． 2ab ab ab ⋅=B ． 33(2)2a a =C ． 33(0)a a a -=≥D ． (0,0)a b ab a b ⋅=≥≥6.如图2是一个几何体的三视图，则这几何体的展开图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知a ，b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩，则a+b 的值为（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣2 D ．28.下列命题中，真命题的个数有（ ）①对角线互相平分的四边形是平行四边形②两组对角分别相等的四边形是平行四边形③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A ． 3个B ．2个C ．1个D ．0个9.已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）A ． 33B ．93C ．183D ．36310.已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）A ． 10B ．14C ．10或14D ．8或10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．如图3，AB ∥CD ，直线l 分别与AB ，CD 相交， 若∠1=50°，则∠2的度数为______________．12.根据环保局公布的广州市2013年至2014年PM 2．5的主要来源的数据，制成扇形统计图（如图4），其中所占百分比最大的主要来源是___________________（填主要来源的名称）．13分解因式：26mx my -=_______________°．14.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0．3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y 米与时间x 小时（0≤x ≤5）的函数关系式为_________________．15.如图5， 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ，若BE =9，BC =12，则cosC ＝_________________．16.如图6，四边形ABCD 中，∠A =90°，AB =33，AD =3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为_________________．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解方程：53(4)x x =-．18.如图7，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AD ，CD 上，且AE=DF ，连接BE ，AF ． 求证：BE=AF ．19.已知222111x x x A x x ++=---．[ （1）化简A ；（2）当x满足不等式组1030xx-≥⎧⎨-<⎩，且x为整数时，求A的值．20.已知反比例函数7myx-=的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；（2）如图8，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A 关于x轴对称，若OAB∆的面积为6，求m的值．21.某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．22.4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？23.如图9，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°．（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．24.如图10，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD，AC为对角线，BD=8．①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE．当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．25.已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=-3x+t 上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2-5n的最小值．．参考答案一、选择题1．A解析：根据正负数意义识别即可．﹣3．14是负数，0既不是正数也不是负数，1和2都是正数，故选择A ．点评：本题考查了正负数的识别，解题的关键是掌握有理数的分类．2. D解析：根据旋转的概念分别判断出图1分别旋转多少度才能得到各选项中的图形．将图1以圆心为中心，顺时针旋转90°，270°，360°，180°分别得到A，B，C，D中的图案．，故选择D ．点评：本题考查了图形的旋转，解题的关键是理解旋转的概念．3.C解析：根据“直线与圆相切时，圆心到直线距离d等于圆的半径”求解．∵直线l是圆O的切线，∴点O到直线l的距离等于圆的半径5，故选择C ．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是知道“直线与圆的位置关系和圆心到直线距离d 与圆半径的大小关系”之间的关系．4.C解析：对于两名同学的成绩，谁的方差越小谁的成绩越稳定，故选择C ．点评：本题考查了方差的应用，解题的关键是理解方差与数据稳定性的关系．5.D解析：ab·ab ＝（a·a ）·（b·b ）＝a 2b 2，故选项A 不正确；（2a ）3＝23×a 3＝8a 3，故选项B 不正确；3a －a ＝（3－1）a ＝2a ，故C 不正确；()==00a b a b ab a b ≥≥，，故选择D ．点评：本题考查了整式的运算和二次根式的运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．6.A解析：由三视图可知该几何体是圆柱，它的侧面展开图是矩形，两个底面的展开图是圆，故选择A ．点评：本题考查了几何体的三视图和展开图，解题的关键是由三视图确定出几何体的形状．7.B解析：对于方程组5=123=4a b a b +⎧⎨-⎩①②，②×5，得15a －5b ＝20③，①+③，得16a ＝32，解得a＝2．将a ＝2代入①，得2+5b ＝12，解得b ＝2．∴a +b ＝2+2＝4．故选择B ．点评：本题考查了二元一次方程组和求代数式的值，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．8.B解析：根据平行四边形的判定方法对各个命题的真假作出判断．：①②是真命题；如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，但这个四边形不是平行四边形，故③是假命题． 故选择B ．点评：本题考查了平行四边形的判定方法，解题的关键是知道平行四边形的判定方法．9.C解析：正六边形的六条半径把正六边形分成六个全等的等边三角形，故根据已知条件求出其中一个等边三角形的面积即可．如图，圆O 的内接正六边形为ABCDEF ，圆O 的半径为23．连接OA ，OB ，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为点G ．∵OA ＝OB ＝23，∠AOB ＝3606︒＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝23．∵OG ⊥AB ，∴AG ＝12AB ＝3．在Rt △AOG 中，根据勾股定理，得OG ＝()()2222=233=9AO AG --＝3，∴S △AOB ＝12AB ×OG ＝12×23×3＝33．∴S 六边形ABCDEF ＝ 6 S △AOB ＝6×33＝183．故选择C ．点评：本题考查了圆内接正多边形面积的计算，解题的关键是掌握圆与正多边形的关系．10.B解析：先将x＝2代入原方程求得m的值，再解一元二次方程求得它的根，最后分类讨论等腰三角形的边的可能情形，从而求出三角形的周长．解：将x＝2代入方程x2－2mx+3m＝0，得4－4m＋3m＝0，解得m＝4．将m＝4代入原方程，得x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6．∵6＋6＞2，∴当等腰三角形ABC的三边长可以是2,6,6，此时△ABC的周长为2＋6＋6＝14；∵2＋2＜6，∴等腰三角形ABC的三边长不可以是2,2,6．故选择B．点评：本题考查了一元二次方程的根及其解法、三角形的三边关系及分类讨论思想，解题的关键是正确求出一元二次方程的根．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．50解析：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝50°，∴∠2＝50°，故答案为50．点评：本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确应用平行线的性质．12.机动车尾气解析：从统计图中获取各个来源所占的百分比，并进行比较即可．在扇形统计图中，因为“机动车尾气”所占百分比最大，故答案为“机动车尾气”．点评：本题考查了扇形统计图，解题的关键是观察统计图并从中获取有用的信息．13.2m（x－3y）解析：先找出两项的公因式，再提取公因式即可．：2mx－6my＝2m·x+2m·（﹣3y）＝2m（x －3y），故答案为2m（x－3y）．点评：本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．14.y＝0.3x＋6解析：根据题意，得x小时水位上升的高度为0.3x米，再加上初始的水位高度6米，故水库的水位高度y＝0.3x＋6，故答案为y＝0.3x＋6．点评：本题考查了列函数关系式，解题的关键是弄清题目中的数量关系．15.2 3解析：先根据垂直平分线的性质和定义求出EC和CD的长度，再在Rt△EDC中根据余弦的定义求出cos C．解：∵DE是BC的的垂直平分线, BE＝9，BC＝12，∴∠EDC＝90°，EC＝9，DC＝6．在Rt△EDC中，cos C＝62==93CDEC，故答案为23．点评：本题考查了垂直平分线的性质和锐角三角函数的求法，解题的关键是掌握余弦的求法．16. 3解析：根据三角形的中位线定理可知EF ＝12DN ，故当DN 长度最大时，EF 长度有最大值．容易知道，当点N 运动到点B 时，DN 的长度最大，故求出此时DN 的长度即可求解．解：如图，连接DN ．∵E ,F 分别是DM 和MN 的中点，∴EF 是△DMN 的中位线，∴EF ＝12DN ，故当DN 长度最大时，EF 长度有最大值．当点N 运动到点B 时，DN 的长度最大．在Rt △ABD 中，∠A ＝90°，AD ＝3，AB ＝33，根据勾股定理，得BD ＝22(33)36+=，∴EF 最大值＝12DN ＝12BD ＝3．故答案为3． 点评：本题考查了勾股定理、三角形的中位线定理，解题的关键是线段最值问题的转化．三、解答题17．解析：按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解．解：去括号，得5x ＝3x －12移项，得5x －3x ＝﹣12合并同类项，得2x ＝﹣12系数化为1，得x ＝﹣6．点评：本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．18．解析：根据正方形的性质得到判定△EAB 与△FDA 全等的条件，进而根据全等三角形的性质得到BE ＝AF ．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠D ＝∠EAB ＝90°．在△EAB 和△FDA 中，∵AE ＝DF ，∠EAB ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ，∴△EAB ≌△FDA （SAS ）．∴BE ＝AF ．点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．19.解析：先化简分式，再解不等式组得到整数x ，最后代入求值．解：（1）A ＝()()()2+1111=+1111111x x x x x x x x x x x x x ++---==------； （2）解不等式组，得1≤x ＜3．∵x 为整数，∴x ＝1或2．∵A ＝11x -，∴x ≠1．当x＝2时，A＝11==1.121x--点评：本题考查了分式的化简与求值及不等式组的解法，解题的关键是掌握分式的加减运算．20．解析：（1）由反比例函数的图像位置与k的关系可知m－7＞0，解不等式组即可求得m 的取值范围；（2）设点A的坐标为（x，y），根据S△OAB＝6可求得xy的值，进而求得m的值．解：（1）该函数图像的另一支在第三象限．∵图像位于第一、三象限，∴m－7＞0，解得m＞7．即m的取值范围为m＞7．（2）设A的坐标为（x，y）．∵点B和点A关于x轴对称，∴点B的坐标为（x，﹣y）．∴AB的距离为2y．∵S△OAB＝6，∴12×2y×x＝6，∴xy＝6．∵y＝7mx-，∴m－7＝6，解得m＝13．即m的值为13．点评：本题考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像的性质与k的几何意义．21．解析：（1）根据“2013年投入的教育经费×（1+平均增长率）2＝2015投入的教育经费”列方程求解；（2）根据“2015年投入的教育经费×（1+平均增长率）＝2016投入的教育经费”计算．解：（1）设2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，得2500（1+x）2＝3025．解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去）．答：2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．（2）3025（1+10%）＝3327.5（万元）．答：预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．点评：本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解增长率问题中的数量关系．22．解析：（1）根据概率计算公式“P(A)=A事件包含的可能结果数所有可能结果数”计算；（2）先列表或画树形图列举出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算；（3）根据“在大量重复实验中频率稳定到概率”可知抽到合格品的概率约为0.95，从而得到3+0.954xx=+，解之即可．解：（1）P（抽到的是不合格品）＝111+34=．（2）列树形图表示所有可能的结果：由树形图可知共有12种等可能的结果，其中抽到的都是合格品的情况有6种，∴P （抽到的都是不合格品）＝61122=． （3）由题意，得3+0.954x x =+，解得x ＝16． 答：x 的值大约是16．点评：本题考查了概率的计算，列表或画树形图，列举出所有可能的结果是解题的关键．23．解析：（1）按照用尺规作角的平分线的步骤作图即可；（2）易证△ABE ∽△DCE ，故只需求出这两个三角形的相似比即可．设⊙O 的半径为r ，在Rt △ABE 中，根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可知AB ＝12r ；连接OD ，可推出△ODC 是直角三角形，根据勾股定理可求得CD ＝22=2OD OC r +，从而得到△ABE 与△DCE 的相似比为1==22AB r CD r ，问题得解． 解：（1）如图所示：（2）如图，连接OD ，设⊙O 的半径为r ．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°．又∵∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ＝12r ． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝12×90°＝45°． ∴∠ACD ＝45°．∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝45°．∴∠DOC ＝90°．在Rt △ODC 中，CD ＝22=2OD OC r +．在△ABE 和△DCE 中，∵∠BAE ＝∠CDE ，∠AEB ＝DEC ，∴△ABE ∽△DCE ． ∴22211222ABE CDE S AB r S CD r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．点评：本题考查了尺规作图、圆的有关性质和相似三角形的性质，解题的关键是掌握圆的有关性质．24．解析：（1）根据线段垂直平分线的判定定理或全等三角形的判定判定和性质进行证明；（2）①若A ，B ，C ，D 四个点共圆，则AC 为所求圆的直径，易证△ABM ∽△ACB ，进而得到AB AM AC AB=，由此解得AC 的长度即可；②由△BME ∽△BFD 求得DF 的长，进而求得EF 和BF 的长；作FG ⊥AB ，交AB 于点G ，由△BGF ∽△EFD 求得FG 的长（点F 到AB 的距离）．解：（1）猜想：筝形对角线互相垂直，即OT ⊥MN ．证明一：如图，∵OM=ON ，TM=TN ，∴点O 和T 都在MN 的垂直平分线上，∴OT 是MN 的垂直平分线，即OT ⊥MN ．证明二：在MOT 和ONT 中，∵OM ＝ON ，MT ＝NT ，OT ＝OT ，∴△OMT ≌△ONT ，∴∠MOT ＝NOT ．又∵OM ＝ON ，∴OT ⊥MN ．（2）①存在．设AC 与BD 交于点M ，由（1）可知AC ⊥BD ，AM ＝BM ．在Rt △AMB 中，AB ＝5，BM ＝12BD ＝12×8＝4． ∴AM ＝2253=4.-∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠ABC +∠ADC ＝180°．又∵△ABC ≌△ADC ，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°．∴AC 为所求圆的直径．∵∠BAM ＝∠BAC ，∠ABC ＝∠AMB ＝90°，∴△ABM ∽△ACB ．∴AB AMAC AB=，即535AC=，解得AC＝253．∴圆的半径为112525= 2236 AC⨯＝．②如图，∵四边形ABED是菱形，∴AB＝AD＝BE＝DE＝5．∴BM＝MD＝4，AM＝ME＝3，BD⊥AE，∠BME＝90°．又∵BF⊥CD，∠BFD＝90°，∴△BME∽△BFD．∴BE EMBD DF=，即538DF=，解得DF＝245．在Rt△DEF中，根据勾股定理，得EF ＝2222247555 DE DF⎛⎫-=-=⎪⎝⎭．∴BF＝BE+EF＝5+75＝325．∵AB∥DE，∴∠ABF＝∠DEF．作FG⊥AB，交AB于点G，∴∠BGF＝∠EFD＝90°．∴△BGF∽△EFD．∴BF FGDE DF=，即3252455FG=，解得FG＝768125．即点F到AB的距离为768 125．点评：本题考查了线段垂直平分线的判定，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是掌握相关性质和正确作出辅助线．25.解析：（1）由O，C两点间的距离为3求出点C的坐标；（2）将点C的坐标代入y2=-3x+t 求出t，进而求出点A的坐标，再根据x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4求出x1，x2，进而求得二次函数的表达式，最后根据二次函数的性质求出自变量x的取值范围；（3）由平移情况表示出平移后抛物线和直线的表达式，由平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而根据二次函数的性质求出2n2-5n的最小值．解：（1）当x=0时，y=c，∴C（0，c）．∵OC的距离为3，∴|c|=3，即c=±3，∴C（0，3）或（0，-3）．（2）∵x1·x2＜0，∴x1，x2异号．①当c＝3时，将C（0，3）代入y2=-3x+t，得0+t=3，即t=3，∴y2=-3x+3．将A（x1，0）代入y2=-3x+3，得-3x1+3=0，即x1=1，∴A（1，0），∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，∵|x1|+|x2|=4，∴1-x2=4，解得x2=-3，∴B（-3，0）．将A(1，0)，B（﹣3,0）代入y1=ax2+bx+3，得+30, 9330 a ba b+=⎧⎨-+=⎩，解得1,2. ab=-⎧⎨=-⎩∴y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴二次函数的图像开口向下，对称轴为x＝﹣1．∴当x≤-1时，y随x增大而增大．②当c=-3时，将C（0，-3）代入y2=-3x+t，得0+t=-3，即t=-3，∴y2=-3x-3，把A（x1，0），代入y2=-3x-3，得-3x1-3=0，即x1=-1，∴A（-1，0），∵x1，x2异号，x1=-1＜0，∴x2＞0，∵|x1|+|x2|=4，∴1+x2=4，解得x2=3，∴B（3，0），将A(﹣1，0)，B（3,0）代入y1=ax2+bx+3，得30, 9330 a ba b--=⎧⎨+-=⎩，解得1,2. ab=⎧⎨=-⎩∴y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴二次函数的图像开口向上，对称轴为x＝1．∴当x≥1时，y随x增大而增大．综上所述，当c=3时，当y随x增大而增大时，x≤-1；当c=-3，当y随x增大而增大时，x≥1．（3）①当c=3时，则y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，y2=-3x+3，y1向左平移n个单位后的解析式为y3=-（x+1+n）2+4，即当x≤-1-n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后的解析式为y4=-3x+3-n．要使平移后直线与P有公共点，则当x=-1-n，y3≥y4，即-（-1-n+1+n）2+4≥-3（-1-n）+3-n，解得n≤-1，∵n＞0，∴n≤-1不符合条件，应舍去；②当c=-3时，y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，y2=-3x-3，y1向左平移n个单位后的解析式为y3=（x-1+n）2-4，即当x≥1-n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后的解析式为y4=-3x-3-n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1-n，y3≤y4，即（1-n-1+n）2-4≤-3（1-n）-3-n，解得n≥1．综上所述n≥1．∵2n2-5n=2（n-54）2-258，∴当n=54时，2n2-5n的最小值为：-258．点评：本题考查了二次函数的表达式及性质，解题的关键是根据二次函数的性质求出其表达式．。
广州市中考数学试题解析.doc
2015年广东省广州市中考数学试卷(解析版)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2015•广州）四个数﹣3.14，0，1，2中为负数的是（）A ．﹣3.14 B．0 C．1 D．2考点：正数和负数．分析：根据负数是小于0的数，可得答案．解答：解：四个数﹣3.14，0，1，2中为负数的是﹣3.14，故选：A．点评：本题考查了正数和负数，解决本题的关键是小于0的数是负数．2．（3分）（2015•广州）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（）A. B. C. D.考点：生活中的旋转现象．分析：根据旋转的性质，旋转前后图形不发生任何变化，绕中心旋转180°，即是对应点绕旋转中心旋转180°，即可得出所要图形．解答：解：将图中所以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是．故选：D．点评：此题主要考查了旋转中，中心旋转180°后图形的性质，此题应注意图形的旋转变换．3．（3分）（2015•广州）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（）A ．2.5 B．3 C．5 D．10考点：切线的性质．分析：根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．解答：解：∵直线l与半径为r的⊙O相切，∴点O到直线l的距离等于圆的半径，即点O到直线l的距离为5．点评：本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．4．（3分）（2015•广州）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）A ．众数B．中位数C．方差D．以上都不对考点：统计量的选择．分析：根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．解答：解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．故选：C．点评：本题考查方差的意义以及对其他统计量的意义的理解．它是反映一组数据波动大小，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．5．（3分）（2015•广州）下列计算正确的是（）A ．ab•ab=2ab B．（2a）3=2a3C ．3﹣=3（a≥0）D．•=（a≥0，b≥0）考点：二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；二次根式的乘除法．分析：分别利用积的乘方以及二次根式的乘法运算法则化简求出即可．解答：解：A、ab•ab=a2b2，故此选项错误；B、（2a）3=8a 3，故此选项错误；C 、3﹣=2（a≥0），故此选项错误； D 、•=（a≥0，b≥0），正确． 故选：D ．点评： 此题主要考查了二次根式的加减运算以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．6．（3分）（2015•广州）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）A ．B ．C ．D．考点： 由三视图判断几何体；几何体的展开图．分析： 由主视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据左视图是圆可判断出此几何体为圆柱，再根据圆柱展开图的特点即可求解．解答：解：∵主视图和左视图是长方形，∴该几何体是柱体，∵俯视图是圆，∴该几何体是圆柱，∴该几何体的展开图可以是．故选：A．点评：此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状．同时考查了几何体的展开图．7．（3分）（2015•广州）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（）A ．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．解答：解：，①+②×5得：16a=32，即a=2，把a=2代入①得：b=2，则a+b=4，故选B．点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．（3分）（2015•广州）下列命题中，真命题的个数有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A ．3个B．2个C．1个D．0个考点：命题与定理；平行四边形的判定．分析：分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可．解答：解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．故选：B．点评：此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．9．（3分）（2015•广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A ．3B．9C．18D．36考点：正多边形和圆．分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．解答：解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．点评：本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．10．（3分）（2015•广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A ．10 B．14 C．10或14 D．8或10考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．分析：先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．解答：解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6．①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．故选B．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2015•广州）如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1=50°，则∠2的度数为50°．考点：平行线的性质．分析：根据平行线的性质得出∠1=∠2，代入求出即可．解答：解：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=50°，∴∠2=50°，故答案为：50°．点评：本题考查了平行线的性质的应用，能求出∠1=∠2是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．12．（3分）（2015•广州）根据环保局公布的广州市2013年至2014年PM2.5的主要来源的数据，制成扇形统计图，其中所占百分比最大的主要来源是机动车尾气．（填主要来源的名称）考点：扇形统计图．分析：根据扇形统计图即可直接作出解答．解答：解：所占百分比最大的主要来源是：机动车尾气．故答案是：机动车尾气．点评：本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．13．（3分）（2015•广州）分解因式：2mx﹣6my=2m（x﹣3y）．考点：因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：原式提取公因式即可得到结果．解答：解：原式=2m（x﹣3y）．故答案为：2m（x﹣3y）．点评：此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）（2015•广州）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为y=6+0.3x．考点：根据实际问题列一次函数关系式．分析：根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可．解答：解：根据题意可得：y=6+0.3x（0≤x≤5），故答案为：y=6+0.3x．点评：此题考查函数关系式，关键是根据题中水位以每小时0.3米的速度匀速上升列出关系式．15．（3分）（2015•广州）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=．考点：线段垂直平分线的性质；解直角三角形．分析：根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出CD：CE，即为cosC．解答：解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴CD=BD，∵BE=9，BC=12，∴CD=6，CE=9，∴cosC===，故答案为．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．（3分）（2015•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N 分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：动点型．分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．解答：解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）（2015•广州）解方程：5x=3（x﹣4）考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．解答：解：方程去括号得：5x=3x﹣12，移项合并得：2x=﹣12，解得：x=﹣6．点评：此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（9分）（2015•广州）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．解答：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=AF．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全等，从而得到BE=AF是解题的关键．19．（10分）（2015•广州）已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．分析：（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．解答：解：（1）A=﹣=﹣=﹣=（2）∵∴∴1≤x＜3，∵x为整数，∴x=1或x=2，①当x=1时，∵x﹣1≠0，∴A=中x≠1，∴当x=1时，A=无意义．②当x=2时，A==．点评：（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．20．（10分）（2015•广州）已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．考点：反比例函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当k＞0时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；（2）由对称性得到△OAC的面积为3．设A（x、），则利用三角形的面积公式得到关于m的方程，借助于方程来求m的值．解答：解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7；（2）∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，∴△OAC的面积为3．设A（x，），则x•=3，解得m=13．点评：本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据题意得到△OAC的面积是解题的关键．21．（12分）（2015•广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用（1）长率来求2016年该地区将投入教育经费．解答：解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）（1+x）万元．则2500（1+x）（1+x）=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．点评：本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长22．（12分）（2015•广州）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？考点：利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．分析：（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；解答：解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=；（2）这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率=×=；（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴=0.95，解得：x=16．点评：本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．23．（12分）（2015•广州）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．考点：作图—复杂作图；圆周角定理．分析：（1）①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角ABC两边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于一点；③作射线BE交AC与E，交⊙O于点D，则线段BD为△ABC的角平分线；（2）连接OD，设⊙O的半径为r，证得△ABE∽△DCE，在R t△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，得到AB=AC=r，推出△ADC是等腰直角三角形，在R t△ODC中，求得DC==r，于是问题可得．解答：（1）如图所示；（2）如图2，连接OD，设⊙O的半径为r，∵∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠D EC，∴△ABE∽△DCE，在R t△ACB 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB=AC=r，∵∠ABD=∠ACD=45°，∵OD=OC，∴∠ABD=∠ACD=45°，∴∠DOC=90°，在R t△ODC 中，DC==r，∴== =．点评：本题主要考查基本作图，圆周角定理，勾股定理，作一个角的平分线，牢记一些基本作图是解答本题的关键．24．（14分）（2015•广州）如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8 ①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．考点：四边形综合题．分析：（1）证明△OMP≌△ONP，即可证得MN⊥OT，且OT平分MN；（2）①若经过A，B，C，D四个点的圆存在，则圆心一定是AC和BD的中垂线的交点，即AC和BD互相平分，据此即可判断；②已知FM⊥AB，作EG⊥AB于G，根据菱形的面积公式求得GE的长，然后根据△BNE∽△BFD求得BF的长，再根据△BEG∽△BFM求得FM的长．解答：解：（1）MN⊥OT，且OT平分MN．理由是：连接MN、OT相交于点P．在△OMT和△ONT中，，∴△OMT≌△ONT，∴∠MOT=∠NPT，∴在△OMP和△ONP中，，∴△OMP≌△ONP，∴MP=NP，∠OPM=∠O PN=90°，即MN⊥OT；（2）①经过A，B，C，D 四个点的圆不一定存在，理由是：若经过A，B，C，D四个点的圆存在，则圆心一定是AC 和BD的中垂线的交点，根据（1）可得AC垂直平分BD，而垂足不一定是AC 的中点；②作FM⊥AB，作EG⊥AB于G．∵四边形ABED是菱形，∴AE⊥BD，且BN=BD=4，∴AN=NE===3，AE=6．∴S菱形ABED=AE•B D=×6×8=24，又∵S菱形ABED=AB•EG ，∴EG=．∵∠DBF=∠DBF，∠BNE=∠BF D，∴△BNE∽△BFD，∴，即，∴BF=．∵GE⊥AB，FM⊥AB，∴GE∥FM，∴△BEG∽△BFM，∴，即，解得：FM=．点评：本题考查了菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键，在初中范围内求线段长的基本方法是解直角三角形和利用三角形相似求解．25．（14分）（2015•广州）已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C即c=﹣3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；（3）利用①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．解答：解：（1）令x=0，则y=c，故C（0，c），∵OC的距离为3，c=±3，∴C（0，3）或（0，﹣3）；（2）∵x1x2＜0，∴x1，x2异号，①若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，∴y2=﹣3x+3，把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，即x1=1，∴A（1，0），∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，∵|x1|+|x2|=4，∴1﹣x2=4，解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．②若C（0，﹣3），即c=﹣3，把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，∴y2=﹣3x﹣3，把A（x1，0），代入y2=﹣3x ﹣3，则﹣3x1﹣3=0，即x1=﹣1，∴A（﹣1，0），∵x1，x2异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0 ∵|x1|+|x2|=4，∴1+x2=4，解得：x2=3，则B（3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=x2﹣2x ﹣3=（x﹣1）2﹣4，则当x≥1时，y随x增大而增大，综上所述，若c=3，当y随x 增大而增大时，x≤﹣1；若c=﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；（3）①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，y1向左平移n 个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，则当x≤﹣1﹣n时，y随x 增大而增大，y2向下平移n 个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，解得：n≤﹣1，∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x ﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1，综上所述：n≥1，2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，∴当n=时，2n2﹣5n的最小值为：﹣．点评：此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键．。
2015年广州市中考数学试题
2015 年广东省广州市中考数学试卷(分析版 )一、选择题 (本大题共 10 小题，每题 3 分，满分 30 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．（ 3 分）（ 2015?广州）四个数﹣ 3.14， 0， 1， 2 中为负数的是（）A ﹣3.14B 0C 1D 2 ．．．．2．（ 3 分）（ 2015?广州）将图中所示的图案以圆心为中心， 旋转 180 °后获得的图案是 （ ）A. B.C. D.3．（ 3 分）（ 2015?广州）已知⊙ O 的半径为 5，直线 l 是⊙ O 的切线，则点 O 到直线 l 的距离是（）A 2.5B 3C 5D 10 ．．． ．4．（ 3 分）（ 2015?广州）两名同学进行了 10 次三级蛙跳测试，经计算，他们的均匀成绩相 同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳固，往常还需要比较他们成绩的（ ）A 众数B 中位数C 方差D 以上都不对 ．．．．5．（ 3 分）（ 2015?广州）以下计算正确的选项是（）A ab?ab=2abB （ 2a ）3=2a 3． ．C 3 ﹣=3 D ? =． （ a ≥0） ． （ a ≥0， b ≥0）6．（ 3 分）（ 2015?广州）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的睁开图能够是（ ）AB CD．．．．7．（ 3 分）（ 2015?广州）已知 a ， b 知足方程组，则 a+b 的值为（）A ﹣ 4B 4C ﹣ 2D 2 ．．．．8．（ 3 分）（ 2015?广州）以下命题中，真命题的个数有（ ）①对角线相互均分的四边形是平行四边形； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A 3 个B 2 个C 1 个D 0 个 ．．．．9．（ 3 分）（ 2015?广州）已知圆的半径是 2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A 3B 9C 18D 36 ．． ．．10．（ 3 分）（ 2015?广州）已知2 是对于 x 的方程 x 2﹣ 2mx+3m=0 的一个根，而且这个方程 的两个根恰巧是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（ ）A 10B 14C 10或14D 8或10 ．．．．二、填空题（本大题共6 小题，每题3 分，满分 18 分）11．（ 3 分）（2015?广州）如图， AB ∥CD ，直线 l 分别与 AB ，CD 订交，若∠ 1=50 °，则∠ 2的度数为 ．12．（ 3 分）（ 2015?广州）依据环保局宣布的广州市 2013 年至 2014 年 PM2.5 的主要根源的 数据，制成扇形统计图，此中所占百分比最大的主要根源是 ．（填主要根源的名称）13．（ 3 分）（ 2015?广州）分解因式： 2mx ﹣ 6my= ．14．（ 3 分）（ 2015?广州）某水库的水位在5 小时内连续上升，初始的水位高度为 6 米，水位以每小时0.3 米的速度匀速上升，则水库的水位高度y 米与时间x 小时（ 0≤x≤5）的函数关系式为．15．（ 3 分）（ 2015?广州）如图，△ ABC 中， DE 是 BC 的垂直均分线，DE 交 AC 于点 E，连结 BE．若 BE=9 ，BC=12 ，则 cosC=．16．（ 3 分）（ 2015?广州）如图，四边形 ABCD 分别为线段 BC ， AB 上的动点（含端点，但点中，∠ A=90°， AB=3M 不与点 B 重合），点， AD=3 ，点E， F 分别为M ， NDM ，MN的中点，则EF 长度的最大值为．三、解答题（本大题共9 小题，满分102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（ 9 分）（ 2015?广州）解方程：5x=3（ x﹣4）18．（ 9 分）（2015?广州）如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD ，CD 上，且 AE=DF ，连结 BE， AF ．求证： BE=AF ．19．（ 10 分）（ 2015?广州）已知A=﹣（1）化简 A ；（2）当 x 知足不等式组，且x为整数时，求 A 的值．20．（ 10分）（ 2015?广州）已知反比率函数y=的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m 的取值范围；B 与点 A 关（2）如图， O 为坐标原点，点 A 在该反比率函数位于第一象限的图象上，点于 x 轴对称，若△ OAB 的面积为6，求 m 的值．21．（ 12 分）（ 2015?广州）某地域2013 年投入教育经费2500 万元， 2015 年投入教育经费3025 万元．（1）求 2013 年至 2015 年该地域投入教育经费的年均匀增加率；（2）依据（ 1）所得的年均匀增加率，估计2016 年该地域将投入教育经费多少万元．22．（ 12 分）（ 2015?广州） 4 件同型号的产品中，有1 件不合格品和 3 件合格品．（1）从这 4 件产品中随机抽取 1 件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这 4 件产品中随机抽取 2 件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这 4 件产品中加入 x 件合格品后，进行以下试验：随机抽取 1 件进行检测，而后放回，多次重复这个试验，经过大批重复试验后发现，抽到合格品的频次稳固在 0.95，则能够计算出 x 的值大概是多少？23．（ 12 分）（ 2015?广州）如图，AC 是⊙ O 的直径，点 B 在⊙ O 上，∠ACB=30°（1）利用尺规作∠ ABC 的均分线 BD ，交 AC 于点 E，交⊙ O 于点 D，连结 CD（保存作图印迹，不写作法）（2）在（ 1）所作的图形中，求△ ABE 与△ CDE 的面积之比．24．（ 14 分）（ 2015?广州）如图，四边形 OMTN 中， OM=ON ，TM=TN ，我们把这类两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．（1）尝试究筝形对角线之间的地点关系，并证明你的结论；（2）在筝形 ABCD 中，已知 AB=AD=5 ， BC=CD ，BC ＞ AB ， BD 、 AC 为对角线， BD=8①能否存在一个圆使得 A ， B ，C， D 四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明原因；②过点 B 作 BF⊥ CD ，垂足为 F， BF 交 AC 于点 E，连结 DE ，当四边形 ABED 为菱形时，求点F 到 AB 的距离．25．（ 14 分）（2015?广州）已知O 为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（ a≠0）与x 轴订交于点A（ x1，0），B（ x2，0），与 y 轴交于点C，且 O，C 两点间的距离为3，x1?x2＜ 0，|x1|+|x2|=4，点 A ，C 在直线 y2=﹣ 3x+t上．（1）求点 C 的坐标；（2）当 y1跟着 x的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；（3）将抛物线 y1向左平移 n（ n＞ 0）个单位，记平移后 y 跟着 x 的增大而增大的部分为P，直线 y2向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求2n 2﹣ 5n 的最小值．。
广东省中考数学真题带解析
广东省2015年中考数学真题（带解析）广东省2015年中考数学真题（带解析）一、选择题1.A.2B.C.D.【答案】A.【解析】由绝对值的意义可得，答案为A。
2.据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13573000吨，将13573000用科学记数法表示为A.B.C.D.【答案】B.【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．13573000=；3.一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是A.2B.4C.5D.6【答案】B.【解析】由小到大排列，得：2，2，4，5，6，所以，中位数为4，选B。
4.如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是A.75°B.55°C.40°D.35°【答案】C.【解析】两直线平行，同位角相等，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以，75°＝∠2＋∠3，所以，∠3＝40°，选C。
5.下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形【答案】A.【解析】平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。
6.A.B.C.D.【答案】D.【解析】原式＝＝7.在0，2，，这四个数中，最大的数是A.0B.2C.D.【答案】B.【解析】（－3）0＝1，所以，最大的数为2，选B。
8.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是A.B.C.D.【答案】C.【解析】△＝1－4（）＞0，即1＋4－9＞0，所以，9.如题9图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为A.6B.7C.8D.9【答案】D.【解析】显然弧长为BC＋CD的长，即为6，半径为3，则.10.如题10图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是【答案】D.【解析】根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，故BE=CF=AG=2-x；故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．在△AEG中，AE=x，AG=2-x，则S△AEG=AE×AG×sinA=x（2-x）；故y=S△ABC-3S△AEG=－3x（2-x）＝（3x2-6x+4）．故可得其图象为二次函数，且开口向上，选D。
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2015年广东省广州市中考数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(3分)(2015•广州)四个数﹣3.14,0,1,2中为负数的是()A．﹣3.14 B．0C．1D．22．(3分)(2015•广州)将图中所示的图案以圆心为中心,旋转180°后得到的图案是()3．(3分)(2015•广州)已知⊙O的半径为5,直线l是⊙O的切线,则点O到直线l的距离是() A．2.5 B．3C．5D．104．(3分)(2015•广州)两名同学进行了10次三级蛙跳测试,经计算,他们的平均成绩相同,若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定,通常还需要比较他们成绩的()A．众数B．中位数C．方差D．以上都不对5．(3分)(2015•广州)下列计算正确的是()A．a b•ab=2ab B．(2a)3=2a3C．3﹣=3(a≥0) D．•=(a≥0,b≥0)6．(3分)(2015•广州)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的展开图可以是() A．B．C．D．7．(3分)(2015•广州)已知a,b满足方程组,则a+b的值为()A．﹣4 B．4C．﹣2 D．28．(3分)(2015•广州)下列命题中,真命题的个数有()①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．3个B．2个C．1个D．0个9．(3分)(2015•广州)已知圆的半径是2,则该圆的内接正六边形的面积是()A．3B．9C．18D．3610．(3分)(2015•广州)已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为()A．10 B．14 C．10或14 D．8或10二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)11．(3分)(2015•广州)如图,AB∥CD,直线l分别与AB,CD相交,若∠1=50°,则∠2的度数为．12．(3分)(2015•广州)根据环保局公布的广州市2013年至2014年PM2.5的主要来源的数据,制成扇形统计图,其中所占百分比最大的主要来源是．(填主要来源的名称)13．(3分)(2015•广州)分解因式:2mx﹣6my=．14．(3分)(2015•广州)某水库的水位在5小时内持续上涨,初始的水位高度为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升,则水库的水位高度y米与时间x小时(0≤x≤5)的函数关系式为．15．(3分)(2015•广州)如图,△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE．若BE=9,BC=12,则cosC=．16．(3分)(2015•广州)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为．三、解答题(本大题共9小题,满分102分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(9分)(2015•广州)解方程:5x=3(x﹣4)18．(9分)(2015•广州)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且AE=DF,连接BE,AF．求证:BE=AF．19．(10分)(2015•广州)已知A=﹣(1)化简A；(2)当x满足不等式组,且x为整数时,求A的值．20．(10分)(2015•广州)已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求m的取值范围；(2)如图,O为坐标原点,点A在该反比例函数位于第一象限的图象上,点B与点A关于x轴对称,若△OAB的面积为6,求m的值．21．(12分)(2015•广州)某地区2013年投入教育经费2500万元,2015年投入教育经费3025万元．(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．22．(12分)(2015•广州)4件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品．(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,求抽到的是不合格品的概率；(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测,求抽到的都是合格品的概率；(3)在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检测,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少？23．(12分)(2015•广州)如图,AC是⊙O的直径,点B在⊙O上,∠ACB=30°(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD,交AC于点E,交⊙O于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)所作的图形中,求△ABE与△CDE的面积之比．24．(14分)(2015•广州)如图,四边形OMTN中,OM=ON,TM=TN,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)试探究筝形对角线之间的位置关系,并证明你的结论；(2)在筝形ABCD中,已知AB=AD=5,BC=CD,BC＞AB,BD、AC为对角线,BD=8,①是否存在一个圆使得A,B,C,D四个点都在这个圆上？若存在,求出圆的半径；若不存在,请说明理由；②过点B作BF⊥CD,垂足为F,BF交AC于点E,连接DE,当四边形ABED为菱形时,求点F 到AB的距离．25．(14分)(2015•广州)已知O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1•x2＜0,|x1|+|x2|=4,点A,C在直线y2=﹣3x+t上．(1)求点C的坐标；(2)当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围；(3)将抛物线y1向左平移n(n＞0)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求2n2﹣5n的最小值．2015年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(3分)(2015•广州)四个数﹣3.14,0,1,2中为负数的是()A．﹣3.14 B．0C．1D．2考点: 正数和负数．分析:根据负数是小于0的数,可得答案．解答:解:四个数﹣3.14,0,1,2中为负数的是﹣3.14,故选:A．点评:本题考查了正数和负数,解决本题的关键是小于0的数是负数．2．(3分)(2015•广州)将图中所示的图案以圆心为中心,旋转180°后得到的图案是()考点: 生活中的旋转现象．分析:根据旋转的性质,旋转前后图形不发生任何变化,绕中心旋转180°,即是对应点绕旋转中心旋转180°,即可得出所要图形．解答:解:将图中所示的图案以圆心为中心,旋转180°后得到的图案是．故选:D．点评:此题主要考查了旋转中,中心旋转180°后图形的性质,此题应注意图形的旋转变换．3．(3分)(2015•广州)已知⊙O的半径为5,直线l是⊙O的切线,则点O到直线l的距离是() A．2.5 B．3C．5D．10考点: 切线的性质．分析:根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．解答:解:∵直线l与半径为r的⊙O相切,∴点O到直线l的距离等于圆的半径,即点O到直线l的距离为5．故选C．点评:本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d ＞r．4．(3分)(2015•广州)两名同学进行了10次三级蛙跳测试,经计算,他们的平均成绩相同,若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定,通常还需要比较他们成绩的()A．众数B．中位数C．方差D．以上都不对考点: 统计量的选择．分析:根据方差的意义:是反映一组数据波动大小,稳定程度的量；方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定,通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．解答:解:由于方差能反映数据的稳定性,需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．故选:C．点评:本题考查方差的意义以及对其他统计量的意义的理解．它是反映一组数据波动大小,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,反之也成立．5．(3分)(2015•广州)下列计算正确的是()A．a b•ab=2ab B．(2a)3=2a3C．3﹣=3(a≥0) D．•=(a≥0,b≥0)考点: 二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；二次根式的乘除法．分析:分别利用积的乘方以及二次根式的乘法运算法则化简求出即可．解答:解:A、ab•ab=a2b2,故此选项错误；B、(2a)3=8a3,故此选项错误；C、3﹣=2(a≥0),故此选项错误；D、•=(a≥0,b≥0),正确．故选:D．点评:此题主要考查了二次根式的加减运算以及积的乘方运算等知识,正确掌握相关性质是解题关键．6．(3分)(2015•广州)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的展开图可以是() A．B．C．D．考点: 由三视图判断几何体；几何体的展开图．分析:由主视图和俯视图可得此几何体为柱体,根据左视图是圆可判断出此几何体为圆柱,再根据圆柱展开图的特点即可求解．解答:解:∵主视图和左视图是长方形,∴该几何体是柱体,∵俯视图是圆,∴该几何体是圆柱,∴该几何体的展开图可以是．故选:A．点评:此题考查由三视图判断几何体,三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体,锥体还是球体,由另一个试图确定其具体形状．同时考查了几何体的展开图．7．(3分)(2015•广州)已知a,b满足方程组,则a+b的值为()A．﹣4 B．4C．﹣2 D．2考点: 解二元一次方程组．专题: 计算题．分析:求出方程组的解得到a与b的值,即可确定出a+b的值．解答:解:,①+②×5得:16a=32,即a=2,把a=2代入①得:b=2,则a+b=4,故选B．点评:此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法．8．(3分)(2015•广州)下列命题中,真命题的个数有()①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．3个B．2个C．1个D．0个考点: 命题与定理；平行四边形的判定．分析:分别利用平行四边形的判定方法:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形,进而得出即可．解答:解:①对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确,符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形,正确,符合题意；③一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,说法错误,例如等腰梯形,也符合一组对边平行,另一组对边相等．故选:B．点评:此题主要考查了命题与定理,正确把握相关定理是解题关键．9．(3分)(2015•广州)已知圆的半径是2,则该圆的内接正六边形的面积是()A．3B．9C．18D．36考点: 正多边形和圆．分析:解题的关键要记住正六边形的特点,它被半径分成六个全等的等边三角形．解答:解:连接正六边形的中心与各个顶点,得到六个等边三角形,等边三角形的边长是2,高为3,因而等边三角形的面积是3,∴正六边形的面积=18,故选C．点评:本题考查了正多边形和圆,正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形,这是需要熟记的内容．10．(3分)(2015•广州)已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为()A．10 B．14 C．10或14 D．8或10考点: 解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．分析:先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0,求出m=4,则方程即为x2﹣8x+12=0,利用因式分解法求出方程的根x1=2,x2=6,分两种情况:①当6是腰时,2是等边；②当6是底边时,2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．解答:解:∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,∴22﹣4m+3m=0,m=4,∴x2﹣8x+12=0,解得x1=2,x2=6．①当6是腰时,2是底边,此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时,2是腰,2+2＜6,不能构成三角形．所以它的周长是14．故选B．点评:此题主要考查了一元二次方程的解,解一元二次方程﹣因式分解法,三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质,注意求出三角形的三边后,要用三边关系定理检验．二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)11．(3分)(2015•广州)如图,AB∥CD,直线l分别与AB,CD相交,若∠1=50°,则∠2的度数为50°．考点: 平行线的性质．分析:根据平行线的性质得出∠1=∠2,代入求出即可．解答:解:∵AB∥CD,∴∠1=∠2,∵∠1=50°,∴∠2=50°,故答案为:50°．点评:本题考查了平行线的性质的应用,能求出∠1=∠2是解此题的关键,注意:两直线平行,内错角相等．12．(3分)(2015•广州)根据环保局公布的广州市2013年至2014年PM2.5的主要来源的数据,制成扇形统计图,其中所占百分比最大的主要来源是机动车尾气．(填主要来源的名称)考点: 扇形统计图．分析:根据扇形统计图即可直接作出解答．解答:解:所占百分比最大的主要来源是:机动车尾气．故答案是:机动车尾气．点评:本题考查的是扇形统计图的运用,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．13．(3分)(2015•广州)分解因式:2mx﹣6my=2m(x﹣3y)．考点: 因式分解-提公因式法．专题: 计算题．分析:原式提取公因式即可得到结果．解答:解:原式=2m(x﹣3y)．故答案为:2m(x﹣3y)．点评:此题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．(3分)(2015•广州)某水库的水位在5小时内持续上涨,初始的水位高度为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升,则水库的水位高度y米与时间x小时(0≤x≤5)的函数关系式为y=6+0.3x．考点: 根据实际问题列一次函数关系式．分析:根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可．解答:解:根据题意可得:y=6+0.3x(0≤x≤5),故答案为:y=6+0.3x．点评:此题考查函数关系式,关键是根据题中水位以每小时0.3米的速度匀速上升列出关系式．15．(3分)(2015•广州)如图,△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE．若BE=9,BC=12,则cosC=．考点: 线段垂直平分线的性质；解直角三角形．分析:根据线段垂直平分线的性质,可得出CE=BE,再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD,从而得出CD:CE,即为cosC．解答:解:∵DE是BC的垂直平分线,∴CE=BE,∴CD=BD,∵BE=9,BC=12,∴CD=6,CE=9,∴cosC===,故答案为．点评:本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用．16．(3分)(2015•广州)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为3．考点: 三角形中位线定理；勾股定理．专题: 动点型．分析:根据三角形的中位线定理得出EF=DN,从而可知DN最大时,EF最大,因为N与B重合时DN最大,此时根据勾股定理求得DN=DB=6,从而求得EF的最大值为3．解答:解:∵ED=EM,MF=FN,∴EF=DN,∴DN最大时,EF最大,∵N与B重合时DN最大,此时DN=DB==6,∴EF的最大值为3．故答案为3．点评:本题考查了三角形中位线定理,勾股定理的应用,熟练掌握定理是解题的关键．三、解答题(本大题共9小题,满分102分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(9分)(2015•广州)解方程:5x=3(x﹣4)考点: 解一元一次方程．专题: 计算题．分析:方程去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解．解答:解:方程去括号得:5x=3x﹣12,移项合并得:2x=﹣12,解得:x=﹣6．点评:此题考查了解一元一次方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．(9分)(2015•广州)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且AE=DF,连接BE,AF．求证:BE=AF．考点: 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题: 证明题．分析:根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°,然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等,根据全等三角形对应边相等证明即可．解答:证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,在△ABE和△ADF中,,∴△ABE≌△ADF(SAS),∴BE=AF．点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,以及垂直的定义,求出两三角形全等,从而得到BE=AF是解题的关键．19．(10分)(2015•广州)已知A=﹣(1)化简A；(2)当x满足不等式组,且x为整数时,求A的值．考点: 分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．分析:(1)根据分式四则混合运算的运算法则,把A式进行化简即可．(2)首先求出不等式组的解集,然后根据x为整数求出x的值,再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．解答:解:(1)A=﹣=﹣=﹣=(2)∵∴∴1≤x＜3,∵x为整数,∴x=1或x=2,①当x=1时,∵x﹣1≠0,∴A=中x≠1,∴当x=1时,A=无意义．②当x=2时,A==．点评:(1)此题主要考查了分式的化简求值,注意化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤．(2)此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题,要熟练掌握,解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．20．(10分)(2015•广州)已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求m的取值范围；(2)如图,O为坐标原点,点A在该反比例函数位于第一象限的图象上,点B与点A关于x轴对称,若△OAB的面积为6,求m的值．考点: 反比例函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析:(1)根据反比例函数的图象是双曲线．当k＞0时,则图象在一、三象限,且双曲线是关于原点对称的；(2)由对称性得到△OAC的面积为3．设A(x、),则利用三角形的面积公式得到关于m的方程,借助于方程来求m的值．解答:解:(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知,该函数图象的另一支在第三象限,且m ﹣7＞0,则m＞7；(2)∵点B与点A关于x轴对称,若△OAB的面积为6,∴△OAC的面积为3．设A(x,),则x•=3,解得m=13．点评:本题考查了反比例函数的性质、图象,反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据题意得到△OAC的面积是解题的关键．21．(12分)(2015•广州)某地区2013年投入教育经费2500万元,2015年投入教育经费3025万元．(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．考点: 一元二次方程的应用．专题: 增长率问题．分析:(1)一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),2014年要投入教育经费是2500(1+x)万元,在2014年的基础上再增长x,就是2015年的教育经费数额,即可列出方程求解．(2)利用(1)中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．解答:解:设增长率为x,根据题意2014年为2500(1+x)万元,2015年为2500(1+x)(1+x)万元．则2500(1+x)(1+x)=3025,解得x=0.1=10%,或x=﹣2.1(不合题意舍去)．答:这两年投入教育经费的平均增长率为10%．(2)3025×(1+10%)=3327.5(万元)．故根据(1)所得的年平均增长率,预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．点评:本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量．22．(12分)(2015•广州)4件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品．(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,求抽到的是不合格品的概率；(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测,求抽到的都是合格品的概率；(3)在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检测,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少？考点: 利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．分析:(1)用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；(2)利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；(3)根据频率估计出概率,利用概率公式列式计算即可求得x的值；解答:解:(1)∵4件同型号的产品中,有1件不合格品,∴P(不合格品)=；(2)共有12种情况,抽到的都是合格品的情况有6种,P(抽到的都是合格品)==；(3)∵大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,∴抽到合格品的概率等于0.95,∴=0.95,解得:x=16．点评:本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识,解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．23．(12分)(2015•广州)如图,AC是⊙O的直径,点B在⊙O上,∠ACB=30°(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD,交AC于点E,交⊙O于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)所作的图形中,求△ABE与△CDE的面积之比．考点: 作图—复杂作图；圆周角定理．分析:(1)①以点B为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交角ABC两边于点M,N；②分别以点M,N为圆心,以大于MN的长度为半径画弧,两弧交于一点；③作射线BE交AC与E,交⊙O于点D,则线段BD为△ABC的角平分线；(2)连接OD,设⊙O的半径为r,证得△ABE∽△DCE,在R t△ACB中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,得到AB=AC=r,推出△ADC是等腰直角三角形,在R t△ODC中,求得DC==r,于是问题可得．解答:(1)如图所示；(2)如图2,连接OD,设⊙O的半径为r,∵∠BAE=∠CDE,∠AEB=∠DEC,∴△ABE∽△DCE,在R t△ACB中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,∴AB=AC=r,∵∠ABD=∠ACD=45°,∵OD=OC,∴∠ABD=∠ACD=45°,∴∠DOC=90°,在R t△ODC中,DC==r,∴===．点评:本题主要考查基本作图,圆周角定理,勾股定理,作一个角的平分线,牢记一些基本作图是解答本题的关键．24．(14分)(2015•广州)如图,四边形OMTN中,OM=ON,TM=TN,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)试探究筝形对角线之间的位置关系,并证明你的结论；(2)在筝形ABCD中,已知AB=AD=5,BC=CD,BC＞AB,BD、AC为对角线,BD=8,①是否存在一个圆使得A,B,C,D四个点都在这个圆上？若存在,求出圆的半径；若不存在,请说明理由；②过点B作BF⊥CD,垂足为F,BF交AC于点E,连接DE,当四边形ABED为菱形时,求点F 到AB的距离．考点: 四边形综合题．分析:(1)证明△OMP≌△ONP,即可证得MN⊥OT,且OT平分MN；(2)①若经过A,B,C,D四个点的圆存在,则圆心一定是AC和BD的中垂线的交点,即AC和BD互相平分,据此即可判断；②已知FM⊥AB,作EG⊥AB于G,根据菱形的面积公式求得GE的长,然后根据△BNE∽△BFD求得BF的长,再根据△BEG∽△BFM求得FM的长．解答:解:(1)猜想:筝形对角线之间的位置关系:垂直．即OT⊥MN．证明:连接OT,MN,在△OMT和△ONT中,,∴△OMT≌△ONT(SSS),∴∠MOT=∠NOT,∵OM=ON,∴OT⊥MN(等腰三角形三线合一)．(2)①存在．由(1)得AC⊥BD,设AC与BD交于点M,在Rt△AMB中,AB=5,BM=BD=4,∴AM==3,∵A、B、C、D四点共圆,∴∠ABC+∠ADC=180°,又∵△ABC≌△ADC,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴AC即为所求圆的直径∵∠BAM=∠BAC,∠ABC=∠AMB=90°,∴△ABM∽△ACB,∴=,即=,∴AC=∴圆的半径为:AC=．②作FM⊥AB,作EG⊥AB于G．∵四边形ABED是菱形,∴AE⊥BD,且BN=BD=4,∴AN=NE===3,AE=6．∴S菱形ABED=AE•BD=×6×8=24,又∵S菱形ABED=AB•EG,∴EG=．∵∠DBF=∠DBF,∠BNE=∠BFD,∴△BNE∽△BFD,∴,即,∴BF=．∵GE⊥AB,FM⊥AB,∴GE∥FM,∴△BEG∽△BFM,∴,即,解得:FM=．点评:本题考查了菱形的判定与性质,以及相似三角形的判定与性质,正确作出辅助线是关键,在初中范围内求线段长的基本方法是解直角三角形和利用三角形相似求解．25．(14分)(2015•广州)已知O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1•x2＜0,|x1|+|x2|=4,点A,C在直线y2=﹣3x+t上．(1)求点C的坐标；(2)当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围；(3)将抛物线y1向左平移n(n＞0)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求2n2﹣5n的最小值．考点: 二次函数综合题．分析:(1)利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标,再利用O,C两点间的距离为3求出即可；(2)分别利用①若C(0,3),即c=3,以及②若C(0,﹣3),即c=﹣3,得出A,B点坐标,进而求出函数解析式,进而得出答案；(3)利用①若c=3,则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,y2=﹣3x+3,得出y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=﹣(x+1+n)2+4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,②若c=﹣3,则y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,y2=﹣3x﹣3,y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=(x﹣1+n)2﹣4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,进而利用配方法求出函数最值．解答:解:(1)令x=0,则y=c,故C(0,c),∵OC的距离为3,∴|c|=3,即c=±3,∴C(0,3)或(0,﹣3)；(2)∵x1x2＜0,∴x1,x2异号,①若C(0,3),即c=3,把C(0,3)代入y2=﹣3x+t,则0+t=3,即t=3,∴y2=﹣3x+3,把A(x1,0)代入y2=﹣3x+3,则﹣3x1+3=0,即x1=1,∴A(1,0),∵x1,x2异号,x1=1＞0,∴x2＜0,∵|x1|+|x2|=4,∴1﹣x2=4,解得:x2=﹣3,则B(﹣3,0),代入y1=ax2+bx+3得,,解得:,∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,则当x≤﹣1时,y随x增大而增大．②若C(0,﹣3),即c=﹣3,把C(0,﹣3)代入y2=﹣3x+t,则0+t=﹣3,即t=﹣3,∴y2=﹣3x﹣3,把A(x1,0),代入y2=﹣3x﹣3,则﹣3x1﹣3=0,即x1=﹣1,∴A(﹣1,0),∵x1,x2异号,x1=﹣1＜0,∴x2＞0∵|x1|+|x2|=4,∴1+x2=4,解得:x2=3,则B(3,0),代入y1=ax2+bx+3得,,解得:,∴y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,则当x≥1时,y随x增大而增大,综上所述,若c=3,当y随x增大而增大时,x≤﹣1；若c=﹣3,当y随x增大而增大时,x≥1；(3)①若c=3,则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,y2=﹣3x+3,y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=﹣(x+1+n)2+4,则当x≤﹣1﹣n时,y随x增大而增大,y2向下平移n个单位后,则解析式为:y4=﹣3x+3﹣n,要使平移后直线与P有公共点,则当x=﹣1﹣n,y3≥y4,即﹣(﹣1﹣n+1+n)2+4≥﹣3(﹣1﹣n)+3﹣n,解得:n≤﹣1,∵n＞0,∴n≤﹣1不符合条件,应舍去；②若c=﹣3,则y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,y2=﹣3x﹣3,y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=(x﹣1+n)2﹣4,则当x≥1﹣n时,y随x增大而增大,y2向下平移n个单位后,则解析式为:y4=﹣3x﹣3﹣n,要使平移后直线与P有公共点,则当x=1﹣n,y 3≤y4,即(1﹣n﹣1+n)2﹣4≤﹣3(1﹣n)﹣3﹣n,解得:n≥1,综上所述:n≥1,2n2﹣5n=2(n﹣)2﹣,∴当n=时,2n2﹣5n的最小值为:﹣．点评:此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及二次函数增减性等知识,利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键．。