2020高考数学一轮复习第10章概率统计和统计案例第2讲几何概型分层演练文

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2020高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例章末总结分层演练文-精装版

教学资料范本2020高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例章末总结分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例章末总结分层演练文章末总结知识点考纲展示随机事件的概率❶了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．❷了解两个互斥事件的概率加法公式．古典概型❶理解古典概型及其概率计算公式．❷会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．随机数与几何概型❶了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．❷了解几何概型的意义．随机抽样❶理解随机抽样的必要性和重要性．❷会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法．用样本估计总体❶了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．❷理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．❸能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．❹会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．❺会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．统计案例❶会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．❷了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．❸通过典型案例了解回归分析的思想、方法，并能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实际问题．❹通过典型案例了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法，并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单的实际问题．一、点在纲上，源在本里考点考题考源样本估计总体的数字特征(20xx·高考全国卷Ⅰ，T2，5分)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A．x1，x2，…，x n的平均数 B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值 D．x1，x2，…，x n的中位数必修3 P79练习T1用样本估计总计(20xx·高考全国卷Ⅰ，T19，12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得x－＝116∑i＝116xi＝9．97，s＝116∑i＝116（xi－x－）2＝116⎝⎛⎭⎪⎫∑i＝116x2i－16x－2≈0．212, ∑i＝116x(xi－x－)(i－8．5)＝－2．78，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．必修3 P79练习T2(1)求(x i ，i )(i ＝1，2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |<0．25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？(ii)在(x －－3s ，x －＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0．01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )的相关系数r ＝．0.008≈0．09．变量间的相关关系 (20xx·高考全国卷Ⅲ，T 18，12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－20xx(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：i ＝17t i y i ＝40．17，必修3 P 90例题、P 95B 组T 1＝0．55，7≈2．646．参考公式：相关系数r＝，回归方程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝，a^＝y－－b^t－．考点考题考源样本估计总体与独立性检验思想(20xx·高考全国卷Ⅱ，T19，12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：P(K2≥k)0．0500．0100．001选修12P15练习k 3．8416．63510．828K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）．二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修3 P64A组T5改编)某校高一、高二、高三学生共有1 290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为( )A．84 B．78C．81 D．96解析：选B．因为高一480人，高二比高三多30人，所以设高三有x人，则x＋x＋30＋480＝1 290，解得x＝390，故高二420人，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为×390＝78(人)．2．(选修12 P6例2改编)一只红铃虫的产卵y和温度x有关，根据收集的数据散点分布在曲线y＝c1ec2x的周围，若用线性回归模型建立回归关系，则应作下列哪个变换( )A．t＝ln x B．t＝x2C．t＝ln y D．t＝ey解析：选C．由y＝c1ec2x得c2x＝ln＝ln y－ln c1，令t＝ln y，得t＝c2x＋ln c1，故选C．3．(必修3 P70内文改编)如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x ，y 的值分别为( )A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，8解析：选C ．由于甲组数据的中位数为15＝10＋x ，所以x ＝5．又乙组数据的平均数为9＋15＋（10＋y ）＋18＋245＝16．8，所以y ＝8．所以x ，y 的值分别为5，8．4．(必修3 P79练习T3改编)在一段时间内有2 000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90～120 km/h ，试估计这2 000辆车中，以正常速度通过该处的汽车有( )A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1 700辆解析：选D ．直方图中速度为90～120 km/h 的频率为0．03×10＋0．035×10＋0．02×10＝0．85．用样本估计总体，可知2 000辆车中，以正常速度通过该处的汽车约有0．85×2 000＝1 700(辆)．故选D ．二、填空题5．(必修3 P95B 组T1改编)某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得如下统计数据．单价x (元) 8 8．2 8．4 8．8 8．6 9 销量y (件)908483758068回归方程为＝x ＋(其中已算出＝－20)；该产品的成本为4．5元/件，为使科研所获利最大，该产品的定价应为________元/件．解析：依题意：x －＝(8＋8．2＋8．4＋8．8＋8．6＋9)＝8．5， y －＝(90＋84＋83＋75＋80＋68)＝80．又＝－20，所以＝－＝80＋20×8．5＝250，所以回归直线方程为＝－20x ＋250．设科研所所得利润为W ，定价为x ，所以W ＝(x －4．5)(－20x ＋250)＝－20x2＋340x －1 125，所以当x ＝＝8．5时，Wmax ＝320．故当该产品定价为8．5元/件时，W 取得最大值．答案：8．56．(选修12 P15练习改编)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好4020 60 不爱好 20 30 50 总计6050110则有________以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．附：K2＝，P (K 2≥k 0)0．0500．0100．001k 03．8416．63510．828解析：K2＝≈7．8>6．635．可知我们在犯错误的概率不超过0．01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案：99%三、解答题7．(必修3 P94A组T3改编)经调查得出，某型号的轿车使用年限x和所支出的维修保养费y(万元)的统计资料如下表(注：第一年该型号的轿车的维修保养费由商家负责，消费者不承担)．x(年)2345 6y(万元)2．23．85．56．57．(1)求y关于x的线性回归方程，并说明该型号轿车维修保养费的变化情况；(2)若每年维修保养费超过10万元，该型号轿车就作报废处理，问该型号轿车最多使用年限为多少年？附：解：(1)列表如下于是＝＝1．23．a^＝－＝5－1．23×4＝0．08．所以线性回归方程为＝x＋＝1．23x＋0．08．由回归直线方程＝1．23x＋0．08知，回归直线的斜率＝1．23>0，所以x与y是正相关，即轿车使用年限越多，维修保养费越多．(2)若每年维修保养费超过10万元，该型号轿车就作报废处理，则该型号轿车最多使用年限x应满足1．23x＋0．08≤10，解得x≤8．07，故该型号轿车最多使用8年就应作报废处理．8．(必修3 P39练习T3、选修12 P19B组T2改编)某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求直方图中a的值；(2)设生产成本为y，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系y＝，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．解：(1)由已知，得(0．002＋0．009＋0．022＋a＋0．024＋0．008＋0．002)×10＝1，解得a＝0．033．(2)由题设条件及食品的质量指标值的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：组号1234567分组[66，70](70，74](74，78](78，82](82，92](92，100](100，108]频率0．020．090．220．330．240．080．02 根据题意，生产该食品的平均成本为70×0．02＋74×0．09＋78×0．22＋82×0．33＋92×0．24＋100×0．08＋108×0．02＝84．52．11 / 11。

2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第十章统计与统计案例(附解析)

第十章统计与统计案例第一节随机抽样一、基础知识1．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本 (n≤ N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．(2)常用方法：抽签法和随机数法．2．分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．3．系统抽样 (1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．(2)系统抽样的步骤假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n的样本．①先将总体的 N 个个体编号；②确定分段间隔 k，对编号进行分段．当N(n 是样本容量 )是整数时，取 k＝N； nn当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的可能性仍然相等.③在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；④按照一定的规则抽取样本．通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 l ＋ k，再加 k 得到第 3 个个体编号 l ＋ 2k，依次进行下去，直到获取整个样本．、常用结论(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．(2)系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k 的整数倍．(3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．(4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围考点一简单随机抽样[典例 ] 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有 ( )①从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本；②盒子里共有 80个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③用抽签方法从 10件产品中选取 3 件进行质量检验；④某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛．A．0 个B．1个C．2个D．3 个[解析 ] ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③明显为简单随机抽样；④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．[答案 ] B[ 解题技法 ] 应用简单随机抽样应注意的问题 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．[ 题组训练 ]1．总体由编号为 01,02，⋯， 19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 ()7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481B ．07C ．02考点二系统抽样[典例] (1)某校为了解 1 000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法 (按等距的规则 )抽取 40名同学进行检查，将学生从 1～1 000进行编号，现已知第 18组抽取的号码为 443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为 ( )A ．16B ． 17C ．18D ．19(2) 中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从 502 名现场观众中抽取 10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除 __________________ 个个体，抽样间隔为 ___________________________________________ ．[解析 ] (1)因为从 1 000 名学生中抽取一个容量为 40的样本，所以系统抽样的分段间隔为 140000＝25，设第一组随机抽取的号码为 x ，则抽取的第 18 组编号为 x ＋17×25＝443，所以 x ＝ 18.(2)把 502 名观众平均分成 50组，由于 502除以 50的商是 10，余数是 2，所以每组有 10 名A.08 D ．01解析：选 D 由随机数法的随机抽样的过程可知选出的 5个个体是 08,02,14,07,01，所以第 5 个个体的编号是 01.2．利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()1 A.4 1 B.13 5 C.14 10 D.27解析：选C 根据题意， n －91＝31，解得 n ＝ 28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为10＝ 5. 28＝14.观众，还剩 2 名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从 502 名观众中抽取 2名观众，这 2 名观众不参加座谈；再将剩下的 500名观众编号为 1,2,3，⋯，500，并均匀分成 50段，每段含500＝10个个体．所50 以需剔除 2 个个体，抽样间隔为 10.[答案 ] (1)C (2)2 10[ 变透练清 ]1. 变结论若本例 (1) 的条件不变，则编号落入区间 [501,750] 的人数为．解析：从 1 000名学生中抽取一个容量为 40的样本，系统抽样分 40组，每组140000＝25 个号码，每组抽取一个，从 501 到 750 恰好是第 21 组到第 30 组，共抽取 10 人．答案： 102．(2018 ·南昌摸底调研 )某校高三 (2)班现有 64 名学生，随机编号为 0,1,2，⋯， 63，依编号顺序平均分成 8 组，组号依次为 1,2,3 ，⋯， 8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8 的样本，若在第 1 组中随机抽取的号码为 5，则在第 6 组中抽取的号码为．解析：由题知分组间隔为64＝8，又第 1 组中抽取的号码为 5，所以第 6组中抽取的号码为5× 8＋ 5＝ 45. 8答案： 45[ 解题技法 ] 系统抽样中所抽取编号的特点系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第 1 组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．[提醒 ] 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．考点三分层抽样[典例] 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有 20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取 100 人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为 ( )A ．25,25,25,25B ． 48,72,64,16C．20,40,30,10 D ．24,36,32,8100 1 1[解析 ] 法一：因为抽样比为201 00000＝2010，所以每类人中应抽取的人数分别为 4 800× 2100＝24,750A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为2 019D ．都相等，且为140[答案 ] D[ 解题技法 ] 分层抽样问题的类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量＝各层样本数量”总体容量＝各层个体数量 ”[ 题组训练 ]1． (2019 ·山西五校联考 )某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一人、高三 n 人中抽取 81 人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则 n ＝ ( )A ．860B ． 720C ．1 020答案： 85[课时跟踪检测 ]1．从 2 019 名学生中选取 50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从 2200×1 200 36， 6 400 × 1 200 32,1 600× 12008. 法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为 4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为 ×100＝ 6＋9＋ 8＋224， 9 6＋9＋8＋× 100＝ 36， 8 6＋9＋8＋×100＝32，26＋9＋8＋×100＝8.1 000 人、高二 1 200 D ．1 040解析：选 D 由已知条件知抽样比为 30 1 410，从而 81 1 000＋1 20041，解得 n ＝1 040 ，故选D.2.(2018 广·州高中综合测试 )已知某地区中小学学生人数如图所示．为参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为 ____________________________________________ ．20x ＋20 解得 x ＝85. 019 名学生中剔除 19 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率 () 了解该区学生中需抽取20 错误 ! ＝解析：选 C 从 N个个体中抽取 M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于M N，故每名学生入选的概率都相等，且为50.22．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，⋯， 32,33 这 33 个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1行第 9 列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为 ( )A.12 B ． 33C．06 D ．16解析：选 C 被选中的红色球的号码依次为 17,12,33,06,32,22，所以第四个被选中的红色球的号码为06.3．某班共有学生 52人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知 5 号、 18号、44 号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是 ( )A ．23B ． 27C．31 D ．3352解析：选 C 分段间隔为542＝ 13，故样本中还有一个同学的座号为 18＋13＝ 31.4．某工厂在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b， c，且 a，b，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为 ( )A．800 双B．1 000 双C．1 200双D．1 500 双解析：选 C 因为 a，b，c 成等差数列，所以 2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占 12 月份生产总数的三分之一，即为 1 200 双皮靴．5．(2018 南·宁摸底联考 )已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ( )A ．100,20B ． 200,20C．200,10 D ．100,10解析：选 B 由题图甲可知学生总人数是 10 000，样本容量为 10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是 2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取高中生的近视人数为40× 50%＝20，故选 B.6．一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0,1,2，⋯， 99.依编号顺序平均分成 10 个小组，组号依次为 1,2,3，⋯， 10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10 的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第 k组中抽取的号码个位数字与 m＋k 的个位数字相同．若 m＝ 6，则在第 7 组中抽取的号码是（）A ．63B ． 64C．65 D ．66解析：选 A 若 m＝6，则在第 7 组中抽取的号码个位数字与 13的个位数字相同，而第 7 组中的编号依次为 60,61,62,63，⋯，69，故在第 7 组中抽取的号码是 63.7．采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2，⋯，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的 32人中，编号落入区间 [1,450] 的人做问卷 A，编号落入区间（450,750]的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到的人中，做问卷 B 的人数为（）A ．7 B．9C．10 D ．15解析：选 C 960÷32＝30，故由题意可得抽到的号码构成以9 为首项，以 30 为公差的等差数列，其通项公式为 a n＝9＋30（n－1）＝30n－21.由 450<30n－21≤750，解得 15.7<n≤25.7.又 n为正整数，所以 16≤n≤25，故做问卷 B 的人数为 25－ 16＋ 1＝ 10.故选 C.8．某企业三月中旬生产 A，B，C 三种产品共 3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中 A， C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A 产品的样本容量比C产品的样本容量多 10，根据以上信息，可得 C 的产品数量是件．x 解析：设样本容量为 x，则 3 000×1 300＝130，∴x＝300.∴A 产品和 C 产品在样本中共有 300－130＝170（件）．设 C产品的样本容量为 y，则 y＋ y＋10＝ 170，∴ y＝80.∴C 产品的数量为3300000×80＝800（件）．答案：8009．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取 100 件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为_ ；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为 1 020 小时、 980 小时、 1 030 小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为 1 020×0.5＋ 980×0.2＋1030×0.3＝1 015.答案： 50 1 01510．将参加冬季越野跑的 600 名选手编号为： 001,002，⋯， 600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50 的样本，把编号分为 50 组后，在第一组的 001 到 012这 12 个编号中随机抽得的号码为 004，这600 名选手穿着三种颜色的衣服，从 001 到 301 穿红色衣服，从 302 到 496 穿白色衣服，从 497 到 600 穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为．解由题意及系统抽样的定义可知，将这 600 名学生按编号依次分成 50 组，每一组各有 12 第 k（k∈N *）组抽中的号码是 4＋12（k－1）．令 302≤4＋12（k－1）≤496，得 2556≤k≤42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为 42－ 25＝17（人）．答案：1711．某初级中学共有学生 2 000 名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19.(1)求 x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？x解： (1)∵＝0.19，∴ x＝ 380.2 000(2)初三年级人数为 y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在48 名学全校抽取生，应在初三年级抽取的人数为240800×500＝12(名 )．第二节用样本估计总体、基础知识1．频率分布直方图频率频率(1)纵轴表示组距，即小长方形的高＝组距；频率(2)小长方形的面积＝组距× 组距＝频率；(3)各个小方形的面积总和等于 1 .2．频率分布表的画法（3）方差 s 2＝n ［（ x 1－ x ）2＋（x 2－ x ）2＋⋯＋（x n － x ）2］．第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差；组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．3．茎叶图茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．4．中位数、众数、平均数的定义(1) 中位数将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据 (或最中间两个数据的平均数位数．)叫做这组数据的中 (2) 众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．(3)平均数一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数， n 个数据 x 1，x 2，⋯，x n 的平均数 x 1 ＝ n （x 1＋ x 2＋⋯＋5．样本的数字特征如果有 n 个数据 x 1，x 2，⋯， x n ，那么这 n个数的 1 (1) 平均数 x ＝ n (x 1＋ x 2＋⋯(2) 标准差s ＝、常用结论1．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．2．平均数、方差的公式推广(1)若数据 x1，x2，⋯，x n的平均数为 x，则 mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，⋯，mx n＋a 的平均数是 mx ＋ a.(2)若数据 x1，x2，⋯， x n的方差为 s2，则数据 ax1＋b，ax2＋b，⋯， ax n＋b 的方差为 a2s2.考点一茎叶图[典例 ] (2017 山·东高考 )如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各产量数据 (单位：件 )．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，5名工人某日的则 x 和 y 的值分别为 ( )A ．3,5B ． 5,5C．3,7 D ．5,7[解析 ] 由两组数据的中位数相等可得 65＝ 60＋ y，解得 y＝ 5，又它们的平均值相等，所以1×[56＋62＋65＋74＋(70＋x)]＝1×(59＋61＋67＋ 65＋78)，解得 x＝3.55[答案 ] A[ 解题技法 ] 茎叶图的应用(1)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．(2)给定两组数据的茎叶图，比较数字特征时，“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．[ 题组训练 ]1.在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，数据的极差与中位数之和为 61，则被污染的数字为 ( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选 B 由图可知该组数据的极差为48－ 20＝28，则该组数据的中位数为 61－28＝33，易得被污染的数字为 2.2.甲、乙两名篮球运动员 5 场比赛得分的原始记录如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，则下列结论正确的是 ( )A. x 甲< x 乙；乙比甲得分稳定B. x甲> x 乙；甲比乙得分稳定C. x甲 > x 乙；乙比甲得分稳定D. x 甲< x 乙；甲比乙得分稳定2＋7＋8＋ 16＋22 8＋12＋18＋21＋ 25解析：选 A 因为 x 甲＝＝ 11， x 乙＝＝ 16.8，所以 x 甲＜ x 乙且乙比55甲成绩稳定．考点二频率分布直方图［典例］某城市 100 户居民的月平均用电量 (单位：千瓦时 )，以［160,180) ，［180,200) ，［200,220) ，［220,240) ，［240,260) ，［260,280) ，［280,300］分组的频率分布直方图如图．(1) 求直方图中 x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数．［解］ (1)由(0.002 ＋ 0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得 x＝0.0075. 即直方图中 x 的值为 0.007 5.220＋ 240(2)月平均用电量的众数是＝ 230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7>0.5，∴月平均用电量的中位数在 [220,240) 内．设中位数为 a，则 0.45＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得 a＝ 224，即中位数为 224.[ 变透练清 ]1．某校随机抽取 20 个班，调查各班有出国意向的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以 5 为组距将数据分组为 [0,5)，[5,10)，⋯，[30,35) ， [35,40] ，所作的频率分布直方图是 ( )解析：选 A 以 5 为组距将数据分组为 [0,5) ，[5,10) ，⋯，[30,35) ，[35,40] ，各组的频数依次为 1,1,4,2,4,3,3,2，可知画出的频率分布直方图为选项 A 中的图．2. 变结论在本例条件下，在月平均电量为 [220,240) ，[240,260) ，[260,280) ，[280,300] 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 [220,240) 的用户中应抽取 _____________________________________________________________________ 户．解析：月平均用电量在 [220,240) 的用户有 0.012 5 ×20×100 ＝25(户)．同理可得月平均用电量在 [240,260) 的用户有 15 户，月平均用电量在 [260,280] 的用户有 10 户，月平均用电量在[280,300] 的用户有 5 户，故抽取比例为1125＋ 15＋ 101.5.答案： 53．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量 (单位：吨 )，将数据按照 [0，0.5)，[0.5,1)，⋯，[4,4.5]分成 9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1) 求直方图中 a 的值；(2)设该市有 30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由．解： (1)由频率分布直方图可知，月均用水量在 [0，0.5)的频率为 0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1) ，[1.5,2) ，[2,2.5) ，[3,3.5) ， [3.5,4) ， [4,4.5] 6 组的频率分别为 0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由 1－ (0.04＋ 0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋ 0.04＋ 0.02) ＝ 0.5× a＋ 0.5×a，解得 a＝ 0.30.(2)估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数为 3.6 万．理由如下：由(1)知， 100位居民中月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30 万居民中月均用水量不低于3 吨的人数为300 000×0.12＝36 000＝3.6(万)．考点三样本的数字特征考法 (一 ) 样本的数字特征与频率分布直方图交汇[典例 ] (2019 辽·宁师范大学附属中学模拟 )某校初三年级有 400 名学生，随机抽查了 40 名学生测试 1 分钟仰卧起坐的成绩 (单位：次 )，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是 ( )A ．该校初三学生1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 25B．该校初三学生1 分钟仰卧起坐的次数的众数为 24C．该校初三学生1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的人数约有 80D．该校初三学生1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数约为 8[解析 ] 第一组数据的频率为 0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则 x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴ x ＝1.25，∴中位数为 26.25 ，故 A 错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故 B错误； 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的频率为 0.2，∴超过 30 次的人数为 400×0.2＝80，故 C 正确； 1分钟仰卧起坐的次数少于 20 的频率为 0.1，∴1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数为400×0.1＝ 40，故 D 错误．故选 C.[答案 ] C[ 解题技法 ]频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．考法 (二) 样本的数字特征与茎叶图交汇[典例 ] 将某选手的 9个得分去掉 1个最高分，去掉 1个最低分， 7 个剩余分数的平均分为91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以________________ x表示，则 7 个剩余分数的方差为.[解析 ] 由茎叶图可知去掉的两个数是 87,99，所以 87＋90× 2＋91× 2＋94＋90＋x＝91×7，解得 x＝4.1 36故 s2＝7[（87－91）2＋（90－91）2×2＋（91－91）2×2＋（94－91）2×2]＝7.[答案 ] 376[ 解题技法 ]样本的数字特征与茎叶图综合问题的注意点（1）在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．（2）茎叶图既可以表示两组数据，也可以表示一组数据，用它表示的数据是完整的数据，因此可以从茎叶图中看出数据的众数（数据中出现次数最多的数）、中位数（中间位置的一个数，或中间两个数的平均数）等．考法（三）样本的数字特征与优化决策问题交汇[典例 ] （2018 周·口调研）甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，每次中靶环数情况如图所示．（1）请填写下表（写出计算过程）：（2）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；②从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．[解 ] 由题图，知甲射击 10 次中靶环数分别为 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大排列为 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击 10 次中靶环数分别为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.将它们由小到大排列为 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.1（1） x 甲＝10× （5＋6×2＋7×4＋ 8×2＋9）＝7（环），1x 乙＝10×（2＋4＋6＋7× 2＋8×2＋9×2＋10）＝7（环），s2甲＝110×［（5－7）2＋（6－ 7）2×2＋（7－ 7）2×4＋（8－7）2×2＋（9－7）2］＝110×（4＋2＋0＋2＋4）＝1.2，1s2乙＝10×［（2－7）2＋（4－ 7）2＋（6－7）2＋（7－7）2×2＋（8－7）2×2＋（9－7）2×2＋（10－7）2］＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋ 9)＝ 5.4.填表如下：(2)①∵平均数相同， s2甲＜ s2乙，∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，命中 9 环及 9 环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些．③∵甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，∴乙更有潜力．［解题技法］利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．［题组训练］1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示 )，则该样本中的中位数、众数、极差分别是 ( )C ．47,45,56极差为 68－ 12＝56，故选 A.2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是 ( )A ．甲 C ．丙解析：选 C 由表格中数据可知，乙、丙平均环数最高，但丙方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选 C.3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取 40 个进行检测，如图是根据抽样检测得到的零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据按照［80,82) ，［82,84) ，［84,86) ，［86,88) ，［88,90) ，［90,92) ，［92,94) ，［94,96］分成 8 组，将其按从左到右的顺序分别记为第一组，第二组，⋯⋯，第八组．则样本数据的中位数在第组．解析：由题图可得，前四组的频率为 (0.037 5＋ 0.062 5＋0.075 0＋ 0.100 0)× 2＝ 0.55，则其频数为 40×0.55 ＝22，且第四组的频数为 40×0.100 0×2＝8，故中位数在第四组．答案：四D ．45,47,53 解析：选 A 样本共 30 个，中位数为 45＋47＝ 46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为 45； B ．乙 D ．丁［课时跟踪检测］A级1．一个频数分布表 (样本容量为则估计样本在 [40,60) 内的数据30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60) 上的频率为 0.8，()A ．14B ． 15C．16 D ．17解析：选 B 由题意，样本中数据在 [20,60) 上的频数为 30×0.8＝24，所以估计样本在[40,60)内的数据个数为 24－4－ 5＝15.2．(2019 ·长春质检 )如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号 x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为 ( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选 D ①由图可知一班每次考试的平均成绩都在年级平均成绩之上，故①正确．②由图可知二班平均成绩的图象高低变化明显，可知成绩不稳定，波动程度较大，故②正确．③由图可知三班平均成绩的图象呈上升趋势，并且图象的大部分都在年级平均成绩图象的下方，故③正确．故选 D.3．（2018 ·贵阳检测）在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是 40，则成绩在 80～100 分的学生人数是（）A ．15 B．18C．20 D．25解析：选 A 根据频率分布直方图，得第二小组的频率是 0.04×10＝0.4，∵频数是 40，∴样本容量是400.4 ＝100，又成绩在 80～ 100 分的频率是（0.01＋0.005）×10＝0.15，∴成绩在 80～100 分的学生人数是 100×0.15 ＝ 15.故选 A.4.2017 年 4 月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要湿地名录，其中 A，B 两地选择一处进行实地考察．因此，他通过网站了解上周去过的人对它们的综合评分，并将评分数据记录为右图的茎叶图，记A，数据的均值分别为 x A， x B，方差分别为 s A2， s2B.若以备受好评为依据，某B两同学决定从这两个地方地综合评分则下述判断较合理的是（A ．因为 x A> x B， s2A>s B2，所以应该去 A地 B．因为 x A> x B， s2A < s2B，所以应该去 A 地 C．因为 x A< x B， s2A > s2B，所以应该去B 地D ．因为x A< x B，s2A<s B2，所以应该去 B 地11解析：选 B 因为 x A＝×（72＋86＋87＋89＋ 92＋94）≈86.67， x B＝×（74＋73＋88＋86＋95＋94）＝。

2020版高考数学一轮复习随机事件的概率、古典概型与几何概型课件理

(2)利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用．
(1)(2019·武汉模拟)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个
不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率
为( )
3 A.10
B．25
3 C.20
D．14
(2)(2018·石家庄一模)用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2， a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1＜a2
2．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数
8
19
44
92
178
455
这个射手射击一次，击中靶心的概率约是( )
A．0.80
B．0.85
C．0.90
D．0.99
C [由题意，该射手击中靶心的频率大约在0.9附近上下波动，故其概率约为0.90.故选C.]
4．古典概型与几何概型
பைடு நூலகம்名称
古典概型
相同点
基本事件发生的可能性相等
不同点
基本事件有有限个
几何概型基本事件有无限个
计算公式
P(A)＝________________ P(A)＝__________________
[常用结论] 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如
下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
5．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．

2020高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第2节二项式定理及其应用高考AB卷理

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第2节二项式定理及其应用高考AB卷理二项展开式中项的系数1.(2015·全国Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.60解析Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C(x2＋x)3y2的第r＋1项为CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为CC＝30.答案C2.(2013·全国Ⅱ，5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A.－4B.－3C.－2D.－1解析已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为C＋a·C＝5，解得a＝－1，故选D.答案D3.(2016·全国Ⅰ，14)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是______________(用数字填写答案).解析(2x＋)5展开式的通项公式Tk＋1＝C(2x)5－k()k＝C25－kx5－，k∈{0，1，2，3，4，5}，令5－＝3解得k＝4，得T5＝C25－4x5－＝10x3，∴x3的系数是10.答案104.(2014·全国Ⅰ，13)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字填写答案).解析由二项展开式公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x ＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝C－C＝8－28＝－20.答案－205.(2014·全国Ⅱ，13)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________(用数字作答).解析Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，得r＝3，∴Ca3＝15，即a3＝15，∴a3＝，∴a＝.答案12二项式定理的综合应用6.(2014·大纲全国，13)的展开式中x2y2的系数为________(用数字作答).解析Tr＋1＝C··＝(－1)r·C·x·y，令得r＝4.所以展开式中x2y2的系数为(－1)4·C＝70.答案70二项展开式中项的系数1.(2016·四川，2)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A.－15x4B.15x4C.－20ix4D.20ix4解析由题可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.选A.答案A2.(2014·湖南，4)的展开式中x2y3的系数是( )A.－20B.－5C.5D.20解析展开式的通项为Tk＋1＝C(x)5－k·(－2y)k＝(－1)k·22k－5Cx5－k·yk，令5－k＝2，得k＝3.则展开式中x2y3的系数为(－1)3·22×3－5C＝－20，故选A.答案A3.(2012·湖北，5)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )A.0B.1C.11D.12解析由于51＝52－1，(52－1)2 012＝C522 012－C522 011＋…－C521＋1，所以只需1＋a 能被13整除，0≤a<13，所以a ＝12，选D.答案 D4.(2016·北京，10)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________.解析展开式的通项Tr ＋1＝C·16－r·(－2x)r ＝C(－2x)r.令r ＝2得T3＝C·4x2＝60x2，即x2的系数为60.答案 605.(2015·北京，9)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答). 解析展开式通项为：Tr ＋1＝C25－rxr ，∴当r ＝3时，系数为C ·25－3＝40.答案 406.(2015·天津，12)在的展开式中，x2的系数为________.解析的展开式的通项Tr ＋1＝Cx6－r ＝Crx6－2r ；当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x2的系数为C ＝.答案 15167.(2012·浙江，14)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.解析由等式两边对应项系数相等，即⎩⎨⎧a5＝1，C45a5＋a4＝0，Ca5＋Ca4＋a3＝0⇒a3＝10. 答案 10二项展开式中的常数项8.(2015·湖南，6)已知的展开式中含x 的项的系数为30，则a ＝( )A. B.－C.6D.－6解析的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，令－r＝，则r＝1，∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.答案D9.(2013·辽宁，7)使得(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )A.4B.5C.6D.7解析展开式的通项公式为Tk＋1＝C(3x)n－kk＝C3n－kxn－.由n－＝0得n＝，所以当k＝2时，n有最小值5，选B.答案B10.(2012·重庆，4)的展开式中常数项为( )A. B.C. D.105解析二项展开式的通项为Tk＋1＝C()8－kk＝Cx4－k，令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝C＝，故选B.答案B二项式定理的综合应用11.(2015·陕西，4)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝( )A.4B.5C.6D.7解析由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.答案C12.(2014·湖北，2)若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝( )A.2B.解析Tr＋1＝C·(2x)7－r·＝27－rCar·.令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1，故选C.答案C13.(2014·浙江，5)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( )A.45B.60C.120D.210解析在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.从而f(3，0)＝C＝20，f(2，1)＝C·C＝60，f(1，2)＝C·C＝36，f(0，3)＝C＝4，故选C.答案C14.(2016·山东，12)若的展开式中x5的系数－80，则实数a＝________.解析∵Tr＋1＝C(ax2)5－r＝a5－rCx10－r，∴10－r＝5，解得r＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.答案－215.(2014·安徽，13)设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________.解析根据题意知a0＝1，a1＝3，a2＝4，结合二项式定理得·\f(1,a)＝3，,C·\f(1,a2)＝4，))即解得a＝3.答案316.(2014·山东，14)若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________.解析Tr＋1＝C(ax2)6－r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，则r＝3.∴Ca3b3＝20，即ab＝1.∴a2＋b2≥2ab＝2，即a2＋b2的最小值为2.答案2。

近年高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例第2讲几何概型演练文(2021年整理)

2019高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例第2讲几何概型分层演练文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例第2讲几何概型分层演练文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例第2讲几何概型分层演练文的全部内容。

第2讲几何概型一、选择题1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分,则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ）解析：选A．如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A）＝错误!，P(B)＝错误!，P(C）＝错误!，P（D）＝错误!，所以P(A)>P（C)＝P（D）>P(B)．2．设a∈［0，10］，则函数g(x)＝错误!在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为（）A．错误!B．错误!C．16D．18解析：选B．因为函数g(x）＝错误!在区间（0，＋∞）内为增函数，所以a－2＜0，解得a＜2,所以函数g（x）＝错误!在区间（0，＋∞）内为增函数的概率为错误!＝错误!．3．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为错误!,若在圆内随机取一点,则此点取自树叶（即图中阴影部分)的概率是( )A．2－错误!B．4－错误!C．错误!－错误!D．错误!解析：选B．设圆的半径为r,根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24错误!＝4πr2－6错误!r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分）的概率为错误!＝4－错误!,故选B．4．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体F。

2020高考全国一轮数学理科第十章计数原理、概率

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【名师整理】2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第十章统计与统计案例

第十章统计与统计案例第一节随机抽样一、基础知识1．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．(2)常用方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 3．系统抽样(1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．(2)系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． ①先将总体的N 个个体编号；②确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝Nn ；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的可能性仍然相等.③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ，再加k 得到第3个个体编号l ＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本．二、常用结论(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．(2)系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．(3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．(4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围考点一简单随机抽样[典例]下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有()①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③明显为简单随机抽样；④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．[答案] B[解题技法] 应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．[题组训练]1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 C ．02D ．01解析：选D 由随机数法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.2．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )A.14B.13 C.514D.1027解析：选C 根据题意，9n －1＝13，解得n ＝28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028＝514.考点二系统抽样[典例] (1)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )A ．16B ．17C ．18D ．19 (2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．[解析] (1)因为从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间隔为1 00040＝25，设第一组随机抽取的号码为x ，则抽取的第18组编号为x ＋17×25＝443，所以x ＝18.(2)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含50050＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.[答案] (1)C (2)2 10[变透练清]1.(变结论)若本例(1)的条件不变，则编号落入区间[501,750]的人数为________．解析：从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，系统抽样分40组，每组1 00040＝25个号码，每组抽取一个，从501到750恰好是第21组到第30组，共抽取10人．答案：102．(2018·南昌摸底调研)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________．解析：由题知分组间隔为648＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝45.答案：45[解题技法] 系统抽样中所抽取编号的特点系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．[提醒] 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．考点三分层抽样[典例] 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( )A ．25,25,25,25B ．48,72,64,16C ．20,40,30,10D ．24,36,32,8[解析] 法一：因为抽样比为10020 000＝1200，所以每类人中应抽取的人数分别为 4 800×1200＝24,7 200×1200＝36，6 400×1200＝32,1 600×1200＝8.法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8.[答案] D[解题技法] 分层抽样问题的类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．[题组训练]1．(2019·山西五校联考)某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 040解析：选D 由已知条件知抽样比为301 200＝140，从而811 000＋1 200＋n ＝140，解得n ＝ 1 040，故选D.2.(2018·广州高中综合测试)已知某地区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为________．解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为x ，依题意可得 1 2002 700＋2 400＋1 200＝20x ＋20，解得x ＝85.答案：85[课时跟踪检测]1．从2 019名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 019名学生中剔除19名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为502 019D ．都相等，且为140解析：选C 从N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于MN ，故每名学生入选的概率都相等，且为502 019.2．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( )81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49C ．06D ．16解析：选C 被选中的红色球的号码依次为17,12,33,06,32,22，所以第四个被选中的红色球的号码为06.3．某班共有学生52人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、18号、44号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( )A ．23B ．27C ．31D ．33解析：选C 分段间隔为524＝13，故样本中还有一个同学的座号为18＋13＝31.4．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800双B ．1 000双C ．1 200双D ．1 500双解析：选C 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．5．(2018·南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,20B ．200,20C ．200,10D ．100,10解析：选B 由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B.6．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是( )A ．63B ．64C ．65D ．66解析：选A 若m ＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中的编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间(450,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：选C 960÷32＝30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项，以30为公差的等差数列，其通项公式为a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21.由450＜30n －21≤750，解得15.7＜n ≤25.7.又n 为正整数，所以16≤n ≤25，故做问卷B 的人数为25－16＋1＝10.故选C.8．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别 A B C 产品数量(件) 1 300 样本容量(件)130统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是________件．解析：设样本容量为x ，则x 3 000×1 300＝130，∴x ＝300.∴A 产品和C 产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C 产品的样本容量为y ，则y ＋y ＋10＝170，∴y ＝80. ∴C 产品的数量为3 000300×80＝800(件)．答案：8009．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.答案：50 1 01510．将参加冬季越野跑的600名选手编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，把编号分为50组后，在第一组的001到012这12个编号中随机抽得的号码为004，这600名选手穿着三种颜色的衣服，从001到301穿红色衣服，从302到496穿白色衣服，从497到600穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为________．解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是4＋12(k －1)．令302≤4＋12(k －1)≤496，得2556≤k ≤42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为42－25＝17(人)．答案：1711．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？解：(1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380.(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12(名)．第二节用样本估计总体一、基础知识1．频率分布直方图(1)纵轴表示频率组距，即小长方形的高＝频率组距；(2)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； (3)各个小方形的面积总和等于1 . 2．频率分布表的画法第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 3．茎叶图茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．4．中位数、众数、平均数的定义 (1)中位数将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(2)众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． (3)平均数一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n 个数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )． 5．样本的数字特征如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么这n 个数的 (1)平均数x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．(2)标准差s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].(3)方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．二、常用结论1．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 2．平均数、方差的公式推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)若数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，则数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2.考点一茎叶图[典例] (2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7[解析] 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.[答案] A[解题技法] 茎叶图的应用(1)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．(2)给定两组数据的茎叶图，比较数字特征时，“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．[题组训练]1.在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图可知该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的中位数为61－28＝33，易得被污染的数字为2.2.甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲＜x 乙；乙比甲得分稳定B.x 甲＞x 乙；甲比乙得分稳定C.x 甲＞x 乙；乙比甲得分稳定D.x 甲＜x 乙；甲比乙得分稳定解析：选A 因为x 甲＝2＋7＋8＋16＋225＝11，x 乙＝8＋12＋18＋21＋255＝16.8，所以x 甲＜x 乙且乙比甲成绩稳定．考点二频率分布直方图[典例] 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数．[解] (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得x ＝0.007 5.即直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5， (0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5， ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内．设中位数为a ，则0.45＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224. [变透练清]1．某校随机抽取20个班，调查各班有出国意向的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以5为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，所作的频率分布直方图是( )解析：选A 以5为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，各组的频数依次为1,1,4,2,4,3,3,2，可知画出的频率分布直方图为选项A 中的图．2.(变结论)在本例条件下，在月平均电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取________户．解析：月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)．同理可得月平均用电量在[240,260)的用户有15户，月平均用电量在[260,280]的用户有10户，月平均用电量在[280,300]的用户有5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15.所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．答案：53．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]6组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000＝3.6(万)．考点三样本的数字特征考法(一)样本的数字特征与频率分布直方图交汇[典例](2019·辽宁师范大学附属中学模拟)某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是()A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8[解析]第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x ＝1.25，∴中位数为26.25，故A 错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B 错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C 正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D 错误．故选C.[答案] C [解题技法]频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．考法(二) 样本的数字特征与茎叶图交汇[典例] 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为________.[解析] 由茎叶图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.[答案] 367[解题技法]样本的数字特征与茎叶图综合问题的注意点(1)在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．(2)茎叶图既可以表示两组数据，也可以表示一组数据，用它表示的数据是完整的数据，因此可以从茎叶图中看出数据的众数(数据中出现次数最多的数)、中位数(中间位置的一个数，或中间两个数的平均数)等．考法(三) 样本的数字特征与优化决策问题交汇[典例] (2018·周口调研)甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示．(1)请填写下表(写出计算过程)：平均数方差命中9环及9环以上的次数甲乙(2)①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．[解]由题图，知甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.将它们由小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)x甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)，x乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，s2甲＝110×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝110×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，s2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.填表如下：平均数方差命中9环及9环以上的次数甲7 1.2 1乙7 5.4 3(2)①∵平均数相同，s 2甲＜s 2乙，∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少， ∴乙成绩比甲好些．③∵甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，∴乙更有潜力．[解题技法]利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．[题组训练]1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53解析：选A 样本共30个，中位数为45＋472＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A.2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数x 8.3 8.8 8.8 8.7 方差s 23.53.62.25.4从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选C由表格中数据可知，乙、丙平均环数最高，但丙方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个进行检测，如图是根据抽样检测得到的零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据按照[80,82)，[82,84)，[84,86)，[86,88)，[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96]分成8组，将其按从左到右的顺序分别记为第一组，第二组，……，第八组．则样本数据的中位数在第________组．解析：由题图可得，前四组的频率为(0.037 5＋0.062 5＋0.075 0＋0.100 0)×2＝0.55，则其频数为40×0.55＝22，且第四组的频数为40×0.100 0×2＝8，故中位数在第四组．答案：四[课时跟踪检测]A级1．一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,60)内的数据个数为()A．14B．15C．16 D．17解析：选B由题意，样本中数据在[20,60)上的频数为30×0.8＝24，所以估计样本在[40,60)内的数据个数为24－4－5＝15.2．(2019·长春质检)如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D①由图可知一班每次考试的平均成绩都在年级平均成绩之上，故①正确．②由图可知二班平均成绩的图象高低变化明显，可知成绩不稳定，波动程度较大，故②正确．③由图可知三班平均成绩的图象呈上升趋势，并且图象的大部分都在年级平均成绩图象的下方，故③正确．故选D.3．(2018·贵阳检测)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是()A．15 B．18C．20 D．25解析：选A根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.4.2017年4月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要湿地名录，某同学决定从其中A，B两地选择一处进行实地考察．因此，他通过网站了解上周去过这两个地方的人对它们的综合评分，并将评分数据记录为右图的茎叶图，记A，B两地综合评分数据的均值分别为x A，x B，方差分别为s2A，s2B.若以备受好评为依据，则下述判断较合理的是()。

高考数学一轮复习第10章概率统计和统计案例第2讲几何概型课件文

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解析：在平面直角坐标系中画出由小王(x)和小张(y)到校的时间对应的点(x，y)所构成的平面区域，再画出小张比小王至少早到 5 分钟对应的点(x，y)所构成的平面区域．设小王到校时间为 x，小张到校时间为 y，则小张比小王至少早到 5 分钟时满足 x－y≥5．如图，原点 O 表示 7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为 400，小张比小王至少早到 5 分钟对应的区域(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2225，故
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【对点通关】
1．(必修 3 P140 例 4 改编)从区间[0，1]内随机抽取 2n 个数 x1， x2，…，xn，y1，y2，…，yn．构成数对(x1，y1)，…，(xn，yn)，其中满足 y>x2 的数对共有 m 个，利用随机模拟的方法可得出
直线 y＝1 与曲线 y＝x2 围成的图形的面积为 ( )
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(1)与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件 A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合． (2)对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算．
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A．15
B．25
C．35
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．45
解析：选 C．f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1，4]．
所以 f(x)在[1，4]上是增函数．
所以 f(x)为增函数的概率为 P＝4－4（－－11）＝35．

高考数学一轮复习第十章概率与统计第2课时几何概型课时作业理新人教版x

高考数学一轮复习第十章概率与统计第2课时几何概型课时作业理新人教版x第2课时几何概型考纲索引几何概型的概念?几何概型的事件 A的概率计算公式.用随机数估计事件发生的概率 .课标要求了解几何概型的意义，会运用几何概型计算概率.了解随机数的意义，能运动模拟实验的方法估计概率.知识梳理几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的（或）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为.几何概型中,事件A的概率计算公式：RA）= .用随机数估计事件发生的概率：利用计算机或计算嚣产生一些满足一定条件的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些实验，可以替代我们进行大量的重复试验，从而估计得到事件的概率?基础自测（20xx ?陕西）如图,在矩形区域 ABC啲A C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE和扇形区域CBF该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）.11（第1题）左在氏为筍m的木棒上任取?点P?使点F到木榕两端点的距离都大T2 m的慨率是（）.B?D.乳设不等式组『益表示的平而区域为6在区域门内随机取一个点、则此点到坐标原点的距离大于2的概率是一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,则某人到达路口时看见的是红灯的概率是.指点迷津?几何概型与古典概型的区别几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个 ?它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与改区域的大小有关??约会问题几何概型的“约会问题”已经是程序化的方法与技巧，必须熟练掌握?考点透析考向一与长度有关的几何概型TOC \o “1-5” \h \z 例1 有一段为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率为 .…“一构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度【审题视点】利用公式解答.【方法总结】从该题可以看出，我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机取一点该区域中每一点被取到的机会都一样.而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解.变式训练1. （20xx ?福建）利用计算机产生 0?1之间的均匀随机数 a，则事件“ 3a-1>0”发生的概率为.考向二与面积有关的几何概型例2 如图所示，在边长为1的正方形OAB（中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）?【审题视点】求出阴影部分的面积是解题的关键【方法总结】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法?用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，及在图形中画出事件 A发生的区域，通过公式：H = 构成事件人的区域的长度（面积或体积）MA，—试验的全部给果所组成的区域的长度（面积或侬稠）?变式训练2. （20xx ?辽宁）正方形的四个顶点 A（-1,-1）, B（1, -1）, Q1,1）, D（-1,1）分别在抛物线y=-x2 和y=x2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中 ,则质点落在图中阴影区域的概率是（第2题）考向三与角度有关的几何概型例3 如图所示,在厶ABC中，/ B=60° , / C=45° ,高AD=在/ BAC内作射线 AM交BC于点M求BM＜的概率.11【审题视点】本题的关键是利用角度解题【方法总结】几何概型的关键是选择“测试”，如本例以角度为“测试” ?因为射线AD落在/ DA测的位置是等可能的,所以选择“角度”为“测试”是解决本题的关键变式训练3.如图,四边形ABC为矩形，八”=上八BC\h \z 随机取■点-则该点恰好在仏内的概率为（）■■\ —13 —入8 4I)—8,则它（20xx ?福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆落到阴影部分的概率为.,则它（第（第2题）参考答案与解析参考答案与解析知识梳理 1.长度面积体积几何概型2.构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）基础自测1. A2. B3.4.考点透析【例1】 0.4 解析：记“截得两段都不小于 3米”为事件A,从木棍的两端各度量出 3米, 这样中间就有 10-3-3=4（米）.在中间的 4米长的木棍任意外截都能满足条件，所以解新，题图中阴影部分面枳+ ?故点卩恰好取门阴影部分的概率为半解新，题图中阴影部分面枳+ ?故点卩恰好取门阴影部分的概率为半【例P落在ZCAB内，区域』为 ZCAB.所反射线AF与线般HC有公共点的概率为务畔=第 / iz-i D yu1=3经典考题真题体验 2L D 乙…e。

高考复习数学文一轮分层演练：第10章概率、统计和统计案例第1讲 Word版含解析

[学生用书P273(单独成册)]一、选择题1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件解析：选B ．因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．故选B ．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0．95B ．0．97C ．0．92D ．0．08解析：选C ．记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0．92．3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A ．110B ．310C ．710D ．35解析：选C ．“取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310．因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710．4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1．49元，1．31元，2．19 元，3．40元，0．61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )A ．12B ．25C ．34D ．56解析：选B ．设事件A 为“甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元”，甲、乙两人抢到红包的所有结果为{1．49，1．31}，{1．49，2．19}，{1．49，3．40}，{1．49，0．61}，{1．31，2．19}，{1．31，3．40}，{1．31，0．61}，{2．19，3．40}，{2．19，0．61}，{3．40，0．61}，共10种情况．其中事件A 的结果一共有4种情况，根据古典概型概率计算公式，得P (A )＝410＝25，即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是25．故选B ．5．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A ．15B ．25C ．16D ．18解析：选B ．如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25．6．已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．18解析：选C ．易知过点(0，0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14．二、填空题7．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35．答案：358．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0．42－0．28＝0．3．设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n＝15．答案：159．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率为________．解析：将2名男生记为A 1，A 2，2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1，A 2A 1共12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2这4种情况，则其发生的概率为412＝13．答案：1310．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N －表示“A 1和B 1全被选中”，由于N －＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N －)＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－16＝56．答案：56三、解答题11．如图，从A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0．44． (2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间 (分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L 1的频率 0．1 0．2 0．3 0．2 0．2 L 2的频率0．10．40．40．1(3)设A 1，A 2121，B 2选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0．1＋0．2＋0．3＝0．6，P (A 2)＝0．1＋0．4＝0．5，因为P (A 1)＞P (A 2)，所以甲应选择L 1 ．同理，P (B 1)＝0．1＋0．2＋0．3＋0．2＝0．8，P (B 2)＝0．1＋0．4＋0．4＝0．9，因为P (B 1)＜P (B 2)，所以乙应选择L 2．12．根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于等于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2017年10月上旬的空气质量指数情况：时间 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 AQI1491432512541385569102243269(2)一外地游客在10月上旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率．解：(1)该试验的基本事件空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，基本事件总数n ＝10．设事件A 为“市民不适合进行户外活动”，则A ＝{3，4，9，10}，包含基本事件数m ＝4．所以P (A )＝410＝25，即10月上旬市民不适合进行户外活动的概率为25．(2)该试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)}，基本事件总数n ＝9，设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”，则B ＝{(1，2)，(5，6)，(6，7)，(7，8)}，包含基本事件数m ＝4，所以P (B )＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49．1．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“”表示未购买．商品顾客人数甲乙丙丁100 √√√217√√200 √ √ √300 √ √85 √98√(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0．2．(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0．3．(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0．2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0．6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0．1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．2．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10个青蒿人工种植地，得到如下结果：种植地编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 (x ，y ，z ) (0，1，0)(1，2，1)(2，1，1)(2，2，2)(0，1，1) 种植地编号A 6A 7A 8A 9A 10(x，y，z)(1，1，2)(2，1，2)(2，0，1)(2，2，1)(0，2，1)(2)从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取2个，求这2个人工种植地的综合指标ω均为4的概率．解：(1)计算10个青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标1446245353由上表可知，长势等级为三级的种植地只有A1一个，其频率为110，用样本的频率估计总体的频率，可估计这些种植地中长势等级为三级的个数约为180×110＝18．(2)由(1)可知，长势等级是一级的青蒿人工种植地有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，从中随机抽取2个，所有的可能结果为(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A6)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A3，A4)，(A3，A6)，(A3，A7)，(A3，A9)，(A4，A6)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A6，A7)，(A6，A9)，(A7，A9)，共计15个，综合指标ω＝4的有A2，A3，A6，共3个，则符合题意的可能结果为(A2，A3)，(A2，A6)，(A3，A6)，共3个，故所求概率P＝315＝1 5．。

2020版高考数学一轮复习第10章概率10.3几何概型学案文20200522112

10.3 几何概型[知识梳理]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). [诊断自测]1．概念思辨(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A3P 137例1)在区间[10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( )A.13B.17C.310D.710 答案 C解析因为a ∈[10,13)，所以P (a <13)＝13－1020－10＝310.故选C.(2)(必修A3P 142A 组T 2)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．故选A.3．小题热身(1)(2018·承德质检)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78 答案 C解析设通电x 秒后第一串彩灯闪亮，y 秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x ≤4,0≤y ≤4，其对应区域的面积为S ＝4×4＝16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x －y |≤2，如图，易知阴影区域的面积为S ′＝16－12×2×2－12×2×2＝12，∴P ＝S ′S ＝1216＝34.故选C.(2)(2017·贵阳质检)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18 解析由题意知，S 阴S 正＝1801000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.题型1 与长度(角度)有关的几何概型典例1 (2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34将时间长度转化为实数的区间长度代入几何概型概率公式．答案 B解析解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.故选B.解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.故选B.典例2(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．本题是属于不等式解区间长度的几何概型．首先由题意列出不等式组求解区间，然后代入公式．答案 23解析设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1·x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2，结合p ∈[0,5]得p ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1∪[2,5]，故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋(5－2)5＝23. [条件探究1] 若将典例2条件“两个负根”变为“无实根”，试求其概率．解由Δ＝4p 2－4(3p －2)<0，解得1<p <2.所以无实根的概率为p ＝15.[条件探究2] 若将典例2条件“两个负根”变为“一正一负两根”，试求其概率．解欲使该方程有一正一负两根，只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)>0，x 1x 2＝3p －2<0，解得p <23，所以有一正一负两根的概率为p ＝215.方法技巧1．与长度有关的几何概型(1)试验的结果构成的区域的几何度量可直接用长度表示，代入几何概型计算公式． (2)与时间、不等式及其解有关的概率问题与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．见典例1,2.2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．见冲关针对训练2.冲关针对训练1．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710 B.58 C.38 D.310答案 B解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.故选B.2．如图，四边形ABCD 为矩形，AB＝3，BC ＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．答案 13解析因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.题型2 与面积有关的几何概型角度1 与随机模拟相关的几何概型典例 (2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2n m C.4m n D.2m n答案 C解析如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C.角度2 与线性规划有关的几何概型典例 (2014·湖北高考)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78 答案 D解析区域Ω1为直角△AOB 及其内部，S △AOB ＝12×2×2＝2.区域Ω2是直线x ＋y ＝1和x ＋y ＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P ＝S 四边形AODCS △AOB ＝2－142＝78.故选D.方法技巧1．与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．见角度1典例．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．见角度2典例．冲关针对训练1．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132 答案 B解析 ∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，∴a >b >0，a <2b ，它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为P ＝S 阴影S 矩形＝1－12×(1＋3)×2＋12×12×12×4＝1532，故选B.2．欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．答案49π解析由题意易得P ＝12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝49π.题型3 与体积有关的几何概型典例1 (2018·兰州名校检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.4π81 B.81－4π81 C.127 D.827答案 C解析由已知条件，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.故选C.典例2 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是________．答案 78解析设三棱锥P －ABC 的高为h .由V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V三棱锥P －ABC<12V 三棱锥S －ABC的概率是P ＝1－13·14S △ABC ·3213S △ABC ·3＝78.方法技巧与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积．冲关针对训练1．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6答案 B解析正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.故选B.2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________．答案 12解析过M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M －ABCD 的高，显然M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M －ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M －ABCD 的体积等于16.只要M 在截面以下即可小于16，当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.2．(2015·陕西高考)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π 答案 B解析∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，如图：∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12.故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.故选B.3．(2018·湖北华师一附中联考)在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A.14B.316C.916D.34 答案 D解析如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4表示的平面区域为正方形OBCD 及其内部，x ＋2y ≤8(x ，y ∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P ＝4×4－12×4×24×4＝34，故选D.4．(2017·江西赣州十四县联考)已知定义在区间[－3,3]上的单调函数f (x )满足：对任意的x ∈[－3,3]，都有f [f (x )－2x]＝6，则在[－3,3]上随机取一个实数x ，使得f (x )的值不小于4的概率为( )A.16B.56C.13D.12 答案 C解析由题意设对任意的x ∈[－3,3]，都有f (x )－2x＝a ，其中a 为常数，且a ∈[－3,3]，则f (a )＝6，f (a )－2a＝a ，∴6－2a＝a ，得a ＝2，故f (x )＝2x＋2，由f (x )≥4得x ≥1，因此所求概率为3－13＋3＝13.故选C.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·陕西榆林二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( )A.1e B ．1－1e C.e 1＋e D.11＋e 答案 B解析当0≤x ＜1时，f (x )<e ，当1≤x ≤e 时，e≤f (x )≤1＋e ，∵f (x )的值不小于常数e ，∴1≤x ≤e，∴所求概率为e －1e ＝1－1e，故选B.2．(2018·绵阳模拟)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23 答案 C解析如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”，即P ⎝⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|PA ||BA |＝34.故选C.3．已知实数a 满足－3<a <4，函数f (x )＝lg (x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1，定义域为R 的概率为P 2，则( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定答案 C解析若f (x )的值域为R ，则Δ1＝a 2－4≥0，得a ≤－2或a ≥2. 故P 1＝－2－(－3)4－(－3)＋4－24－(－3)＝37.若f (x )的定义域为R ，则Δ2＝a 2－4<0，得－2<a <2.故P 2＝47.∴P 1<P 2.故选C.4．(2017·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4 B.π12 C.π4 D ．1－π12答案 A解析鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.5．(2017·铁岭模拟)已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23 答案 C解析如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.故选C.6．(2018·沧州七校联考)用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9π的概率是( )A.45B.15C.13D.12 答案 B解析如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9π的概率为P (A )＝810＝45.∴所截得圆的面积小于9π的概率为P (A －)＝1－45＝15.故选B.7．(2017·福建莆田3月质检)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( )A.π8 B.π4 C.12 D.34答案 B解析任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴)，故所求概率P ＝14π×121×1＝π4.故选B.8．(2017·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4答案 B解析函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，需Δ＝4a 2－4(－b 2＋π2)≥0，即a 2＋b 2≥π2成立．而a ，b ∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a 2＋b 2≥π2，点(a ，b )如图阴影部分所示，所求事件的概率为P ＝2π×2π－π32π×2π＝4π2－π34π2＝1－π4.故选B. 9．(2018·江西模拟)向面积为S 的平行四边形ABCD 中任投一点M ，则△MCD 的面积小于S3的概率为( )A.13B.35C.23D.34 答案 C解析设△MCD 的高为ME ，ME 的反向延长线交AB 于F ，当“△MCD 的面积等于S3”时，12CD ·ME ＝13CD ·EF ，即ME ＝23EF ，过M 作GH ∥AB ，则满足△MCD 的面积小于S3的点M 在▱CDGH 中，由几何概型的概率公式得到△MCD 的面积小于S3的概率为2S3S ＝23.故选C.10．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2 答案 D解析 (x ，y )构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x ＋y ≤12的区域如图1中阴影部分所示，所以p 1＝12×12×121×1＝18，满足xy ≤12的区域如图2中阴影部分所示，所以p 2＝S 1＋S 21×1＝12＋S 21>12，所以p 1<12<p 2，故选D.二、填空题11.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率是________．答案 25解析 ∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，BD ＝ADtan60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.12．一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案π120解析依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V 0＝18×4π3×13＝π6(立方米)，又空屋子的体积V ＝5×4×3＝60(立方米)，三个捕蝇器捕捉到的空间体积V ′＝3V 0＝π2(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.13．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．答案1316解析记“小波周末去看电影”为事件A ，则P (A )＝1－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π＝34，记“小波周末去打篮球”为事件B ，则P (B )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π＝116，点到圆心的距离大于12与点到圆心的距离小于14不可能同时发生，所以事件A 与事件B 互斥，则小波周末不在家看书为事件A ∪B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝34＋116＝1316.14．(2018·河南洛阳模拟)已知O (0,0)，A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2，则点P 到点C 的距离大于14的概率为________．答案 1－5π64解析 ∵O (0,0)，A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ＋y ≤2，0≤x －2y ≤2.如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ＋y ≤2，0≤x －2y ≤2对应的平面区域为正方形OEFG 及其内部，|CP |>14对应的平面区域为阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25， ∴|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255， ∴正方形OEFG 的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为45－π1645＝1－5π64.三、解答题15．(2018·广东深圳模拟)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M . (1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机抽取一个数作为x ，从集合Q 中随机抽取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解 (1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，0≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A (3,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.16．设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝bx.(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．解 (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有 x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x，共6种且每种情况被取到的可能性相同．又当a >0，b >0时ax ＋b x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， b a 上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增； x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增，文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

2020版高考数学新增分大一轮讲义习题第十章算法、统计与概率 10.4 Word版含解析

§随机事件的概率考情考向分析以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，试题为简单题，题型为填空题．．概率和频率()在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例()＝为事件出现的频率．()对于给定的随机事件，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件的概率，记作()．．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件(或称事件包含于事件)⊇(或⊆)相等关系若⊇且⊇＝并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)∪(或＋)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)∩(或)互斥事件若∩为不可能事件(∩＝∅)，则称事件与事件互斥∩＝∅对立事件若∩为不可能事件，∪为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件∩＝∅，()＋()＝.概率的几个基本性质()概率的取值范围：≤()≤.()必然事件的概率()＝.()不可能事件的概率()＝.()概率的加法公式如果事件与事件互斥，则(∪)＝()＋()．()对立事件的概率若事件与事件互为对立事件，则()＝－()．概念方法微思考．随机事件发生的频率与概率有何区别与联系？提示随机事件发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近．．随机事件，互斥与对立有何区别与联系？提示当随机事件，互斥时，不一定对立，当随机事件，对立时，一定互斥．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()事件发生的频率与概率是相同的．(×)()在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)()两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)()两互斥事件的概率和为.(×)。

高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第2节二项式定理及其应用模拟创新题理

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第2节二项式定理及其应用模拟创新题理一、选择题1.(2016·湖北天门模拟)在的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝( )A.20B.15C.10D.5解析Tr＋1＝Ca4－rbrx24－7r，令24－7r＝3，得r＝3，则4ab3＝20，∴ab3＝5.答案D2.(2015·安徽江南十校模拟)在二项式n(n∈N*)的展开式中，常数项为28，则n的值为( )A.12B.8C.6D.4解析展开式中第r＋1项是C(x3)n－r·＝Cx3n－4r(－1)r＝28，则＝28，))∴n＝8，r＝6.答案B3.(2015·东北三省三校模拟)设二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，则＝( )A.2n－1＋3B.2(2n－1＋1)C.2n＋1D.1解析由题意知an＝2n成等比数列，令x＝1则bn＝也成等比数列，所以＝2n＋1，故选C.答案C4.(2014·衡水模拟)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于( )A.180B.90C.－5D.5解析(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，其通项公式为Tr＋1＝C210－r·(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数.∴a8＝C22(－1)8＝180.故选A.答案A二、填空题5.(2016·河南郑州模拟)已知(1＋ax)(1＋x)2的展开式中x2的系数为5，则a＝________.解析∵(1＋ax)(1＋x)2＝(1＋ax)(1＋2x＋x2)＝ax3＋(1＋2a)x2＋(a＋2)x＋1，∵展开式中x2的系数为5，∴1＋2a＝5，解得a＝2.答案26.(2014·湖北十堰3月)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.答案364创新导向题求二项展开式中的特定项问题7.若(－)n的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n＝________，展开式中的常数项为________(用数字作答).解析由题意知2n＝64，即n＝6.则＝，Tr＋1＝C()6－r＝(－1)rCx，令＝0，得r＝2.常数项为(－1)2C＝15.答案 6 15二项展开式中的系数问题8.若(1＋ax)7(a≠0)的展开式中x5与x6的系数相等，则a＝________.解析展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)r，∵x5与x6系数相等，∴Ca5＝Ca6，解得a＝3.答案3专项提升测试模拟精选题一、选择题9.(2016·南京模拟)在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )A.3项B.4项C.5项D.6项解析Tr＋1＝C()24－r＝Cx12－，故当r＝0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共5项.答案C二、填空题10.(2016·天津南开中学模拟)已知a＝，则二项式的展开式中，含x2项的系数是________.π2(sin cos)dx x x ＋解析a＝=2，则＝，展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·(－1)r()－r＝(－1)rC·26－r·x3－r，令3－r＝2，得r＝1.故含x2项的系数是(－1)1·C·26－1＝－192.ππ2 20 (sin cos)d(sin cos)x x x x x=⎰＋＋答案－19211.(2015·安徽皖南八校三联)的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________.解析由已知条件第五项和第六项的二项式系数最大，得n＝9，则的展开式中第四项T4＝C()6＝.答案21212.(2016·安徽安庆二模)将展开后，常数项是________.解析＝，展开后的通项为C()6－k＝(－2)kC()6－2k，令6－2k ＝0，得k＝3，故常数项为C(－2)3＝－160.答案－160三、解答题13.设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.解(1)由(2－x)100展开式中的常数项为C·2100，即a0＝2100，或令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－)100①令x＝－1.可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②联立①②得：a1＋a3＋…＋a99＝.(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1.创新导向题利用二项式定理求代数式值的问题14.若(1－3x)2 015＝a0＋a1x＋…＋a2 015x2 015(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )A.3B.0C.－1D.－3解析展开式的每一项系数ar＝C·(－3)r，∴＋＋…＋a2 01532 015＝－C＋C－C＋…＋C－C，∵C－C＋C－C＋…＋C－C2 0152 015＝(1－1)2 015＝0.∴＋＋…＋＝－C＝－1.答案C。

高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例第2讲几何概型分层演练文

第2讲几何概型一、选择题1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A ．如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )． 2．设a ∈[0，10]，则函数g (x )＝a －2x在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为( ) A ．12 B ．15 C ．16D ．18解析：选B ．因为函数g (x )＝a －2x在区间(0，＋∞)内为增函数，所以a －2＜0，解得a ＜2，所以函数g (x )＝a －2x 在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为210＝15． 3．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB ．4－63πC ．13－32πD ．23解析：选B ．设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B ． 4．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F AMCD 内的概率为( )A ．34 B ．23 C ．13D ．12解析：选D ．由题图可知V F AMCD ＝13×S AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F AMCD内的概率为14a 312a 3＝12．5．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14解析：选C ．当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C ．6．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23解析：选C ．如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C ．二、填空题 7．某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则正三角形的面积为34a 2．由正弦定理得2R ＝a sin 60°，即R ＝33a ，所以圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2．由几何概型的概率计算公式得概率P ＝34a 213πa 2＝334π．答案：334π8．如图所示，OA ＝1，在以O 为圆心，OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则△AOB 的面积小于14的概率为________．解析：因为OA ＝1，若△AOB 的面积小于14，则12×1×1×sin ∠AOB <14，所以sin ∠AOB <12，所以0<∠AOB <π6或5π6<∠AOB <π，所以△AOB 的面积小于14的概率为13．答案：139．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的概率为________．解析：如图，△ABC 为直角三角形，且BC ＝5，AC ＝12．图中阴影部分是三个分别以A ，B ，C 为圆心，2为半径的扇形，所以S 阴＝12π×22＝2π．所以昆虫到三角形顶点的距离小于2的概率P ＝S 阴S △ABC ＝2π12×12×5＝π15．答案：π1510．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是________．解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，3π4，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，得22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，故要求的概率为π2－0π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝34．答案：34三、解答题11．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ． (1)求四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率；(2)求M 落在三棱柱ABC A 1B 1C 1内的概率．解：(1)正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设M ABCD 的高为h ，令13×S 四边形ABCD ×h ＝16．因为S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12．若体积小于16，则h <12，即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12V 正方体V 正方体＝12．(2)因为V 三棱柱ABC A 1B 1C 1＝12×12×1＝12，所以所求概率P 1＝V 三棱柱ABC A 1B 1C 1V 正方体＝12．12．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8．因为x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8． (2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，故所求概率为P 2＝S 2S ＝12．1．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12．(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ．①记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．解：(1)依题意nn ＋2＝12，得n ＝2． (2)①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13．②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2>4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4．2．已知关于x 的二次函数f (x )＝b 2x 2－(a ＋1)x ＋1．(1)若a ，b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y ＝f (x )恰有一个零点的概率；(2)若a ，b ∈[1，6]，求满足y ＝f (x )有零点的概率．解：(1)设(a ，b )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36个．用A 表示事件“y ＝f (x )恰有一个零点”，即Δ＝[－(a ＋1)]2－4b 2＝0，则a ＋1＝2b ．则A 包含的基本事件有(1，1)，(3，2)，(5，3)，共3个，所以P (A )＝336＝112．即事件“y ＝f (x )恰有一个零点”的概率为112．(2)用B 表示事件“y ＝f (x )有零点”，即a ＋1≥2b ．试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6，1≤b ≤6}，构成事件B 的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6，1≤b ≤6，a －2b ＋1≥0}，如图所示：所以所求的概率为P (B )＝12×5×525×5＝14．即事件“y ＝f (x )有零点”的概率为14．。