保险经济学 第二章

消费者购买保险的效用比较
假设一个消费者具有 i 项风险资产A１，… ，Ai，面 临风险的概率分别为P１，… ，Pi，在购买保险的情况下 ，消费者期望效用为：
U (P 1A 1 ,..., PA i i ) U [ E ( A)]
未购买保险的情况下，消费者效用的期望为：
PU 1 (A 1 ) ...PU i (A i ) E[U ( A)]
E(U)=(1-p)*U(w0 -pA)+p*U(w0 -pA+A-L)
（2-1）
对（2-1）式求一阶导数，令其为零，可得：
E p(1 p)U ' ( w0 pA) p(1 p)U ' ( w0 L A pA) 0 A （2-2） U ' ( w0 pA) U ' ( w0 L A pA) A L
根( A)] ，即消
费者购买保险后得到了更大的效用。
2．个人的最优保险购买 假设一个消费者具有初始财富 w0 ，风险事故的损失额 是 L ，风险事故发生的概率是 p ，则该消费者购买保险 支付的保费为 pA ，A 为保险金额，在购买保险的情况下， 消费者的期望效用为：
立。
X p ) ，（2-10）符号同时改变，式（2-11）仍然成 L
即如果投保人的个人绝对风险厌恶函数递增，则最优保险 购买量随着其财富的增加而增加，保险是正常品。
（二）收入效应与替代效应的图形分析
有 损 失 发 生 时 的 财 富
l
I1
I2
45
L 总效应
收入效应 替代效应
E
B
O P
D
C
二、保险需求模型中的收入效应与替代效应
（一）保险的财富效应
保险的财富效应是指随着投保人的财富增加，其 最优保险购买量如何变化。 绝对风险厌恶系数：
U ''(Y ) Ra U '(Y )
其中，Y代表财富水平
经研究发现：
绝对风险厌恶函数递减，最优保险购买量随着财富增加而 减少； 绝对风险厌恶函数递增，最优保险购买量随着财富增加而 增加； 绝对风险厌恶函数不变，最优保险购买量不随财富增加而 变化。
即该消费者的最优选择为部分保险。
利用图２－２可以直观地说明为什么消费者会选择部分保险：
有 损 失 发 生 时 的 财 富 D O P M C
I1
I2
45
B
A N 无损失发生时的财富
图2-2
投保人最优保险购买
（二）企业的保险需求
企业购买保险的动机远比个人消费者复杂，除考虑风险 分散因素外，还考虑了税收效应、专业化优势及破产约束等 原因。
（一） 个人的保险需求
1.个人购买保险的原因 假设一个风险厌恶的消费者初始财富为200，其中房屋的 价值是150，若房屋遭遇火灾后被完全烧毁，则消费者灾后 的财富变为50。假设发生火灾的可能性为0.3，则损失的期 望值为45(0.3*150)。该消费者在没有购买保险的情况下，其 期望效用是：
E(U1 ) 0.3*U (50) 0.7*U (200)
证明：绝对风险厌恶函数递增时，投保人的最优保险购买量 随着财富的增加而增加，即保险为正常品（其他部分证明方 法类似）。
L ——风险资产 A ——无风险资产 C ——保险保额 p ——费率 X ——损失X C X ——实际赔付 L Y ——最终财富
则：
Y A L X
C X pC L
从图2-4看，当保费下降时，投保人的预算线CD
沿着无差异曲线 I1 转动，假设变为l ，此时消费者
的最优选择变为E点。从图 2-4看，E点的消费者
实际上购买了超额保险（位于45度线以上）。由C
点到E点保险购买量的变化即纵轴上OL的长度表
示替代效应。
2. 收入效应
由于补偿预算线 l 是为了剔除实际收入水平而将真实的 预算线AB进行平移的，现在将重新恢复到AB的水平，相应
该企业的价值可以用（2-4）式表示：
(1 Pt ) E ( F ) Pt ( B) E (V ) { (1 Pi )[ ]} t t (1 r ) (1 r ) t 1 i 1
t 1
（2-4）
企业购买保险后，Pi 是降低的，即企业通过购买保险降 低了破产概率，间接增大了企业的价值。
A M N
无损失发生时的财富
图2-4
保险的替代效用与收入效应
1.替代效应
保险商品的替代效应是指保险价格的变化所引起 的购买保险与不购买保险的相互替代引起的保险 购买量的变化。
当保险价格下降时，投保人的实际财富发生变化， 为单纯考察替代效应，引入在消费者理论中使用 的补偿预算线，使得投保人的实际财富保持不变。 也就是说，保险价格下降使得投保人的实际财富 增加时，假设可以取走一部分财富，使投保人的 实际财富保持不变，维持在原有的效用水平上。
1.税收效应
一个企业的边际税率一般随着收入的增加而增加，企
业为降低税率会用支出抵扣税前收入，例如保险费就属于可 以扣减的费用。下面的例子说明了企业购买保险后税收是降 低的。
若一家公司的收益面临风险，如果未投保且收益发生 损失的情况下，其收益为OA；未投保且没有发生损失的情况 下收益为OC。现假设损失发生的概率为50%，则该公司的 期望收益为OB（OB=0.5*OA+0.5*OC）。如果该公司购买 了保险，对发生概率为0.5的损失额AC提供保障，采用公平 保费，则保费为0.5AC=BC。在购买保险后，公司可以得到 确定性收益OB，则该公司应税额为T（OB）。如果不购买 保险，则期望纳税额为T（OA）与T（OC）的加权平均值， 即图中E（Tax）。显然，E(Tax)大于T(OB)，也就是说，购 买保险后，企业降低了应纳税额，从而减少税收。
这说明在不存在附加保费的条件下，一个风险 厌恶的消费者，购买保险的数量（以保额表示）和 其风险资产相等，即购买全额保险。
若存在风险附加保费，设其比例为 ，消费者需 要支付的保费增加额为 p(1 ) A ，则消费者在购买保 险后的期望效用为：
E(U)=(1-p)*U[w0 -p(1+ )A]+p*U[w0 -p(1+ )A+A-L] （2-3）
T(OC)
E(TAX)
T(OB) T(OA) O
A
B
C
图2-3
企业购买保险的税收效应
2.专业化优势
保险公司的优势在于理赔及防灾防损的专业性。保险公 司分布广泛的理赔网络及专业人才使其能够在企业出现损失 后较快地完成理赔，从而能够使企业尽早恢复生产。专业化 的防灾防损技术也可以帮助企业降低发生损失的概率，而从 间接提高了企业的生产效益。
根据最优条件，对（2-3）式求一阶导数，令其为零， 可得：
E p(1 p)(1 )U ' (w0 p(1 ) A) p[1 p(1 )]U ' (w0 p(1 ) A A L) A (1 )(1 p)U ' ( w0 p(1 ) A) [1 p(1 )]U ' ( w0 p(1 ) A A L) （2-4）
如果一家保险公司以公平保费提供保险，即收取的保费 为45，在发生火灾时进行全额赔付，消费者在购买保险后， 无论发生火灾还是不发生火灾，最终财富效用都为：
E(U2 ) 1.0*U (200 45) U (155)
效用
U(200)
E (U1 )
E
D
B
C
U(50)
A
50
155
200
财富
图2-1
由于 0 进一步可得：
，则
(1 p)(1 ) [1 p(1 )] ，
U ' (w0 p(1 ) A) U ' (w0 p(1 ) A A L)
由于效用函数为凹函数，得到
w0 p(1 ) A w0 p(1 ) A A L A L
3.破产的约束
由于在公司破产后，公司的剩余资产优先偿还债权人， 所以股东会千方百计降低公司破产的风险，购买保险就是方 式之一。
若一个企业的价值V，可以用未来资产F的贴现值减去破 产成本B的贴现值表示。假设某企业在第 i 年破产的概率 为 Pi ，则第 t 年后被清算的概率是：
(1 P 1 )(1 P 2 )...(1 P t 1 )
第二章 保险需求：基础理论
学习目的 通过本章学习，熟悉保险需求模型，学会分 析保险需求模型中的收入效应和替代效应，了解 保险需求模型的一些扩展形式；了解保险风险分 散的机制，掌握帕累托最优保单的分析方法，学 会分析再保险市场价格及保险市场的均衡。
第一节 保险需求模型
一、简单保险需求模型
保险作为一种商品， 可以给个人消费者带来效用， 但由于保险金的给付是不确定的， 因此保险消费 的效用是一种期望效用。 从期望效用角度探讨个人和企业的保险需求。
增加的保险购买量LK就是收入效应。
三、简单保险需求模型的扩展
本部分只介绍投保人如何选择最优免赔额。 设保险公司支付的金额是随机变量W，免赔为S，赔付 为X，有：
0, W X-S, 若X S 其他情况
假定保费是免赔额的一个函数，即 p(S ) (1 ) E(W )，E (W ) 为附加系数。 为保费， A 为当前财富，在保险合同下的最终财富为随机变量Y： Y A p( S ) X W （2-12） 假定随机变量X的密度函数为 f ( x) ,则：
由于 Y A L pL ，则
Ra (Y ) Ra ( A L pL)
（2-9）
U '' (Y ) Ra ( A L pL) U ' (Y )