初中几何做辅助线知识点

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初中几何辅助线大全(很详细哦)

初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形1、作底边上的高,构成两个全等的直角三角形,这就是用得最多的一种方法;2、作一腰上的高;3 、过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形。

梯形1、垂直于平行边2、垂直于下底,延长上底作一腰的平行线3、平行于两条斜边4、作两条垂直于下底的垂线5、延长两条斜边做成一个三角形菱形1、连接两对角2、做高平行四边形1、垂直于平行边2、作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3、做高——形内形外都要注意矩形1、对角线2、作垂线很简单。

无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD、、、、这类的就就是想办法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。

还有一些关于平方的考虑勾股,A字形等。

三角形图中有角平分线,可向两边作垂线(垂线段相等)。

也可将图对折瞧,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试瞧。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线,见中线延长一倍在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中,常作平行线。

作平行线时往往就是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

③对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点与一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形里面作高线,平移一腰试试瞧。

平行移动对角线,补成三角形常见。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

人教版八年级上册几何常用辅助线秘籍

几何常用辅助线秘籍一、知识要点关于全等的辅助线有以下常见的作法(1) 有角平分线时，常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形(2) 在三角形中有中线时，常采取延长中线变为原来的两倍，构造全等三角形来解决(3) 截长补短法：当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况：①a＞b；②a±b＝c；③a±b＝c±d中的其中一种情况时采用二、例题解析【例1】如图，点P为△AEF外一点，P A平分∠EAF，PE＝PF，PB⊥AE于B，求证：AF－AB ＝BE【例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE ＋CD【例3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．若直线l过顶点A，BM⊥l于M，若l平分∠BAC，求证：(1) AD＝2BM；(2) ∠CMA＝45°【例4】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点，连结CE、CD，求证：CD＝2EC【例6】如图，△ABC中，∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F(1) 求证：点F是ED的中点(2) 求证：S△AB C＝2S△BEF【例7】如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为△ABC的一个外角∠ABF 的平分线上一点，且∠ADC＝45°，CD交AB于E(1) 求证：AD＝CD(2) 求AE的长三、课堂练习如图，△ABC中，CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，求证：CN＋EN＝AE四、反馈练习1．如图，四边形ABCD中，AB＞AD，AC平分∠BAD，CE⊥AD于E点，若∠B＋∠ADC＝180°，求证；CD＝CB2．(1) 如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC，求：∠C∶∠B (2) 如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC。

初中几何三角形画辅助线口决记忆

初中几何三角形画辅助线口诀
图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

初中几何辅助线技巧

初中几何辅助线技巧
一、画圆
1、通过一点和半径弧线
(1)以其中一个点O为圆心，使用一个圆规将点O的坐标锁定，之后以笔触拉出半径的弧线来作圆。

(2)通过拉出2条切线，使圆的圆心两边都有正确的半径。

2、通过三点画圆
(1)首先准备三个点A、B、C，遵循“连AB及BC的中点与圆的圆心重合”的原则，先将A、B、C三点连线，找出AB和BC两条线段的中点，这两个中点就是圆的圆心O了。

(2)圆心O锁定后，再分别用圆规拉出离圆心O有正确半径的弧线。

二、画直线
1、用规则
(1)使用直尺保持直线的整洁程度，把两个点的坐标连起来，使用反射法实现直线两端的平行。

(2)用圆规拉出两点的中点，再以这个中点连接两点的坐标，画成一条直线。

(3)使用两点式的方法，输入两个点的横纵坐标，然后根据y=kx+b的方程式，连接两个点的坐标，得到一条直线。

2、使用辅助线
(1)画等边三角形，两个点通过等边三角形垂线来画出一条直线。

(2)画正方形，两个点通过正方形的对角线画出一条直线。

(3)圆内外六种角，两个点通过圆内外六种角画出一条直线。

三、画角
1、用圆规
(1)将圆规放置在锐角处，拉出一条线，此线段的角度就是锐角的角度了。

(2)如果需要画出钝角。

初中几何辅助线(全面)

三角形辅助线一、补全图形1. 把残缺图形补全为我们熟悉的图形例1、如图，在四边形ABCD 中，//,45,120,5,10,AB CD A B AB BC ∠=︒∠=︒==则CD 的长为。

图12. 我们熟悉的图形（1）等腰三角形性质：等边对等角：两底角相等，两腰的边长相等三线合一：底边的垂线=顶角的角平分线=底边的中线（2）直角三角形性质：勾股定理：两直角边平方的和等于斜边的平方斜边的中线：斜边的中线等于斜边的一半两个特殊的直角三角形：等腰直角三角形；有一个角为30度的直角三角形；面积：两直角边的乘积的一半=底边与底边的高的乘积的一半二、构造全等三角形1. 全等三角形的性质与判定全等三角形的性质：全等三角形的证明：2. 倍长中线/平行（涉及中点）例1、如图1，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。

例2、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，且AF=EF，求证：AC=BE。

3.截长补短（两边之和等于一条边）例1、如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，,∠=∠∠=∠ADE CDE DCE ECB 求证：CD=AD+BC。

例3、如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。

求证：AB＝AC＋CD（截长法与补短法）⊥于点G，将△ABG 例3、在正方形ABCD中，点E和F分别在BC和CD上，AE BF∠交BF的延长线于点N，连接CN。

沿AG对称至△AMG,AM平分DAM∆≅∆；（1）求证：ABE BCF（2）求证：AG=NG；（3）试探究线段AG，BN和CN之间的数量关系。

4.折叠（作角平分线，题目中出现二倍角）例1、如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。

求证：AB＋BD＝AC。

例2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。

求证：AB＞AC。

5.旋转例1、如图11，正方形ABCD中，∠1＝∠2，Q在DC上，P在BC上。

初中几何做辅助线知识点

初中几何做辅助线知识点中点问题：说明：当考试题目中出现了“中点”两个字的时候，同学们可以构造：中位线、倍长中线、斜边中线、三线合一这四种辅助线。

当然如果题目非常难，很有可能同时构造这四种辅助线当中的两种甚至三种。

梯形构造辅助线的8种方法：说明：平移一腰:当梯形的两个底角互余时，可以选择平移一腰，把一个梯形分割成一个平行四边形和一个直角三角形。

做双高：当梯形的底角出现特殊角时，可以构造高。

构造底边中点：目的构造三个全等等边三角形。

平移对角线：当已知出现“上底加下底”，并且题目中出现对角线时，可选择平移对角线。

取一腰中点：当已知出现“上底加下底”，并且题目中无对角线时，可取一腰中点。

过上底中点平移两腰：目的构造直角三角形。

过腰中点：可构造平行四边形延长两腰：构造三角形（可能出现三线合一）三大变换：说明：三大变换是初中几何的精华所在，在初三的上学期期末，一模考试以及中考中都占有很重要的位置，初二的期末考试开始逐渐向初三过度，同学们在平常的联系中也会感觉到运用三大变换进行解题的方便，故而在此次期末考试复习中，一定要尽快熟悉起三大变换。

1、平移：平移模型有三种。

a)“相等线段相交模型”我们需要通过平移将两条线段构造成共顶点的图形，进而构造出三角形去凸显条件。

b)“相等线段不相交模型”此类模型的辅助线构造方法与第一种类似，都是通过平移线段使得两条线段共顶点，进而解决问题。

实际上平移线段就是构造平行四边形，而我们初二的学习重点就是平行四边形，所以在复习过程中有关平移的题目一定不能马马虎虎。

c)当题当中出现了两条相等的线段并且相等线段共线或平行时，可选择平移。

2、旋转：一般来说旋转的模型都有着“共顶点的等长线短”这个特点，当然有些很难的题目没有这种特点那么我们则需要去将此特点构造出来，例如费马点的证明。

当同学们做了很多有关旋转的题目之后可以总结出来哪些题目比较“像”能有旋转做出来的题，要多总结一些模型，例如半角模型，构造等边三角形的模型等等。

初中几何辅助线大全及口诀

初中几何辅助线大全及口诀
以下是初中几何常用的辅助线和口诀：
1. 中线：连接三角形任意两个顶点，并且过第三个顶点的线段叫做中线。

中线的特点是相等，即三条中线交于一个点，这个点叫做三角形的重心。

2. 高线：从三角形一个顶点向对边所在直线引垂线，垂足到对边的线段叫做高线。

三角形的高线有三条，交于一个点，这个点叫做三角形的垂心。

3. 角平分线：从三角形一个顶点出发，把相邻的两个角平分成两个相等的角的线段叫做角平分线。

三角形内的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。

4. 中垂线：从三角形一个角的顶点作对边中点的垂线叫做中垂线。

三角形内的三条中垂线交于一点，这个点叫做三角形的外心。

常用口诀：
1. 重心定位，中线相等。

2. 垂心急行，高线相等。

3. 角平分线，内心定位。

4. 中垂线汇集，外心得位。

希望这些辅助线和口诀对你有所帮助！。

初中几何辅助线大全及口诀

作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180 度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心，因题而异，有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。

故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。

”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六：两圆相切、离，连心，公切线。

如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。

七：切线连直径，直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。

即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。

即直角与半圆互为辅助线。

八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。

初中几何辅助线大全(最全版)

三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义）在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE （AAS ）∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。

（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。

）二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。

证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。

∵BE ⊥CF （已知）∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义）在△BEF 与△BEC 中，19-图DCBAEF 12ABCDE17-图O∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知）∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC在△ABD 与△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。

初中几何辅助线大全及口诀

作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心，因题而异，有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。

故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。

”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六：两圆相切、离，连心，公切线。

如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。

七：切线连直径，直角与半圆。

即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。

即直角与半圆互为辅助线。

八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。

初中几何辅助线口诀和秘籍

初中几何辅助线口诀和秘籍初中几何是数学学科中的一块重要内容，而几何辅助线是解决几何问题时常用的一种方法。

下面我将为大家介绍一些初中几何辅助线的口诀和秘籍。

一、角平分线角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。

在解决几何问题时，我们常常需要用到角平分线来帮助我们求解。

如何画角平分线呢？下面是一个简单的口诀：“角平分线，一刀两半，角分两相等，求解题简单。

”二、三角形的中线三角形的中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

在解决三角形相关问题时，中线也是一个常用的辅助线。

我们可以通过以下口诀来记忆中线的特点：“三角形中线，一条有三，中点连顶点，两边相等。

”三、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段垂直分割并且分成两个相等部分的线段。

垂直平分线在解决线段相关问题时非常有用。

下面是一个简洁的口诀来帮助我们记忆垂直平分线的画法：“垂直平分线，画在线上，两边相等，线段垂直。

”四、角的对称线角的对称线是指将一个角按照对称轴对折后，得到的两个相等角的辅助线。

在解决角相关问题时，角的对称线可以帮助我们找到一些相等角。

以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆角的对称线：“角的对称线，轴线中间，两边相等，角对称分。

”五、相似三角形的辅助线在解决相似三角形问题时，有一些特殊的辅助线可以帮助我们找到相似三角形之间的对应关系。

例如，高线可以帮助我们找到相似三角形的对应边的比例关系。

以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆相似三角形的辅助线：“相似三角形辅助线，高线找比例，边线对应比例，找答案简单。

”通过以上口诀和秘籍，我们可以更加方便地使用几何辅助线来解决初中几何问题。

当然，在实际解题的过程中，我们还需要根据具体问题的要求灵活运用这些辅助线，以达到解题的目的。

总结起来，初中几何辅助线是解决几何问题时的重要工具。

通过记忆和掌握一些几何辅助线的特点和画法，我们能够更加高效地解决几何问题，提高我们的数学水平。

希望以上口诀和秘籍能够帮助到大家，让我们在初中几何学习中取得更好的成绩！。

【最新】初中几何辅助线大全(很详细哦)

初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2. 作一腰上的高；3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。

梯形1. 垂直于平行边2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角2. 做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高——形内形外都要注意矩形1. 对角线2. 作垂线很简单。

无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。

还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。

三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

初中几何辅助线大全

三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC,先证分别含有AD,BC 的三角形全等,有几种方案：△ADC 与△BCD,△AOD 与△BOC,△ABD 与△BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角;证明：分别延长DA,CB,它们的延长交于E 点, ∵AD ⊥AC BC ⊥BD 已知∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° 垂直的定义在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE AAS∴ED ＝EC EB ＝EA 全等三角形对应边相等 ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC;当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件;二、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决; 三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长;ABCDE17-图O分析：要证BD ＝2CE,想到要构造线段2CE,同时CE 与∠ABC 的平分线垂直,想到要将其延长; 证明：分别延长BA,CE 交于点F; ∵BE ⊥CF 已知∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° 垂直的定义在△BEF 与△BEC 中,∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BECASA ∴CE=FE=21CF 全等三角形对应边相等 ∵∠BAC=90° BE ⊥CF 已知∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC在△ABD 与△ACF 中∴△ABD ≌△ACF AAS ∴BD ＝CF 全等三角形对应边相等 ∴BD ＝2CE四、取线段中点构造全等三有形;分析：由AB ＝DC,∠A ＝∠D,想到如取AD 的中点N,连接NB,NC,再由SAS 公理有19-图DCBA E F12△ABN ≌△DCN,故BN ＝CN,∠ABN ＝∠DCN;下面只需证∠NBC ＝∠NCB,再取BC 的中点M,连接MN,则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM,所以∠NBC ＝∠NCB;问题得证;证明：取AD,BC 的中点N 、M,连接NB,NM,NC;则AN=DN,BM=CM,在△ABN 和△DCN 中 ∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN ∴△ABN ≌△DCN SAS∴∠ABN ＝∠DCN NB ＝NC 全等三角形对应边、角相等在△NBM 与△NCM 中∵⎪⎩⎪⎨⎧)()()(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NM NM CM BM NC NB∴△NMB ≌△NCM,SSS ∴∠NBC ＝∠NCB 全等三角形对应角相等∴∠NBC ＋∠ABN ＝∠NCB ＋∠DCN 即∠ABC ＝∠DCB;巧求三角形中线段的比值例1. 如图1,在△ABC 中,BD ：DC ＝1：3,AE ：ED ＝2：3,求AF ：FC;解：过点D 作DG 如图2,BC ＝CD,AF ＝FC,求EF ：FD解：过点C 作CG如图3,BD ：DC ＝1：3,AE ：EB ＝2：3,求AF ：FD;111-图DCBAM N解：过点B 作BG如图4,BD ：DC ＝1：3,AF ＝FD,求EF ：FC;解：过点D 作DG如图5,BD ＝DC,AE ：ED ＝1：5,求AF ：FB;2. 如图6,AD ：DB ＝1：3,AE ：EC ＝3：1,求BF ：FC;答案：1、1：10； 2. 9：1二由角平分线想到的辅助线图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试看;角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等;对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种;①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线,构造对称图形如作法是在一侧的长边上截取短边;通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形;至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件;与角有关的辅助线一、截取构全等例1．如图1-2,AB 21证：BD=2CE;分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形;图1-3ABCDE 图1-4A BC DE图2-1ABCD E F图2-2ABCDE 图2-3P AB CM ND F 图示3-1AB CDH E例3．已知：如图3-3在△ABC 中,AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线,过顶点B 作BFAD,交AD 的延长线于F,连结FC 并延长交AE 于M;求证：AM=ME;分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线,可得EA ⊥AF,从而有BF 212121∠∠21图,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是过A 的一条直线,且B,C 在AE 的异侧, BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E;求证：BD=DE+CE四由中点想到的辅助线三角形中两中点,连接则成中位线;三角形中有中线,延长中线等中线;一、由中点应想到利用三角形的中位线例2．如图3,在四边形ABCD 中,AB=CD,E 、F 分别是BC 、AD 的中点,BA 、CD 的延长线分别交EF 的延长线G 、H;求证：∠BGE=∠CHE;证明：连结BD,并取BD 的中点为M,连结ME 、MF, ∵ME 是ΔBCD 的中位线, ∴MECD,∴∠MEF=∠CHE,∵MF 是ΔABD 的中位线, ∴MFAB,∴∠MFE=∠BGE,∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE, 从而∠BGE=∠CHE;二、由中线应想到延长中线例3．图4,已知ΔABC 中,AB=5,AC=3,连BC 上的中线AD=2,求BC 的长; 解：延长AD 到E,使DE=AD,则AE=2AD=2×2=4; 在ΔACD 和ΔEBD 中,D AE C BD C BAMBD C AE D CB A图3-3DBEF N ACM图3-4nEBADCM FDCB AE D FCB A ∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD, ∴ΔACD≌ΔEBD ,∴AC=BE, 从而BE=AC=3;在ΔABE 中,因AE 2+BE 2=42+32=25=AB 2,故∠E=90°, ∴BD===,故BC=2BD=2;例4．如图5,已知ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 又是BC 边上的中线;求证：ΔABC 是等腰三角形;证明：延长AD 到E,使DE=AD; 仿例3可证： ΔBED≌ΔCAD , 故EB=AC,∠E=∠2, 又∠1=∠2, ∴∠1=∠E,∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC 是等腰三角形;三、直角三角形斜边中线的性质例5．如图6,已知梯形ABCD 中,AB 2：如图,△ABC 中,E 、F 分别在AB 、AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.3：如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 平分∠BAE.中考应用例题：以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE,M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．1如图① 当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是 , 线段AM 与DE 的数量关系是；DMCEA BB ECD AA BDC E FAD CBA2将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ0<θ<90后,如图②所示,1问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．二、截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 平分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC 2：如图,AC ∥BD,EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA,CD 过点E,求证;AB ＝AC+BD 3：如图,已知在ABC 内,60BAC ∠=分别在BC,CA 上,并且AP,BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠线;求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD 平分ABC ∠,求证：0180=∠+∠C A5三、借助角平分线造全等1：如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O,求证：OE=OD2：06郑州市中考题如图,△ABC 中,AD 平分∠且平分BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F. 1说明BE=CF AB=a ,AC=b ,求AE 、BE 的长.3.如图①,OP 是∠MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：1如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE 相交于点F ;请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；E DGFCBAAFEDCBA2如图③,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其它条件不变,请问,你在1中所得结论是否仍然成立若成立,请证明；若不成立,请说明理由;四、旋转1：正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为C D 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.2：D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F;（1）当MDN ∠绕点D 转动时,求证（2）若AB=2,求四边形DECF 的面积;3.如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以D 为顶点做一个060使其两边分别交AB 于点M,交AC 于点N,连接MN,则AMN ∆4．已知四边形ABCD 中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点旋转,它的两边分别交AD DC ，或它们的延长线于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时如图1,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立若成立,请给予证明；若不成立,线段AE CF ，,EF 又有怎样的数量关系请写出你的猜想,不需证明．5.以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.1,求AB 及PD 的长;2且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.第23题图OP AMN EB C D F ACEF BD图① 图② 图③图1 图2 图36.在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3I 如图1,当点M 、N 边AB 、AC 上,且DM=DN 时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时=LQ； II 如图2,点M 、N 边AB 、AC 上,且当DM ≠DN 时,猜想I 问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；III 如图3,当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时, 若AN=x ,则Q= 用x 、L 表示．梯形中的辅助线1、平移一腰：例1. 如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠A ＝90°,AB ∥DC,AD ＝15,AB ＝16,BC ＝17. 求CD 的长.解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E. 又AB ∥CD,所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17,CD ＝BE. 在R t △DAE 中,由勾股定理,得 AE 2＝DE 2－AD 2,即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8.所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8.例2如图,梯形ABCD 的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC 的取值范围; 解：过点B作B M)(2121CH BG BC GH EF --==512=⨯=BE ED BD DH ABDCEH A BCDABCDE6251252DH BC)(AD ABCD =⨯=⨯+=∴梯形S 25252522222100)25()25(AE CE AC ==+=+DCEACD ABD S S S ∆∆∆==DBEABCDS S ∆=梯形2222DH AC DH DE EH -=-=9121522=-=1612202222=-=-=DH BD BH )(15012)169(21212cm DH BE S DBE =⨯+⨯=⋅=∆如图所示,四边形ABCD 中,AD 不平行于BC,AC ＝BD,AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状,并证明你的结论.解：四边形ABCD 是等腰梯形.证明：延长AD 、BC 相交于点E,如图所示. ∵AC ＝BD,AD ＝BC,AB ＝BA, ∴△DAB ≌△CBA. ∴∠DAB ＝∠CBA.∴EA ＝EB.又AD ＝BC,∴DE ＝CE,∠EDC ＝∠ECD.而∠E ＋∠EAB ＋∠EBA ＝∠E ＋∠EDC ＋∠ECD ＝180°, ∴∠EDC ＝∠EAB,∴DC ∥AB. 又AD 不平行于BC,∴四边形ABCD 是等腰梯形.三、作对角线即通过作对角线,使梯形转化为三角形; 例9如图6,在直角梯形ABCD中,ADcmBE AE 33==2342)(cmAE BC AD S ABCD=⨯+=梯形21AD OE 21=)(21AD BC EF -=A BCD ABCDEABCDE FBG EF 21=AD BC CG BC BG -=-=)(21AD BC -=如图所示,已知等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B ＝60°,AD ＝2,BC ＝8,则此等腰梯形的周长为A. 19B. 20C. 21D. 228. 如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,1若E 是AB 的中点,且AD ＋BC ＝CD,则DE 与CE 有何位置关系2E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点,则DE 与CE 有何位置关系 A B DC E FAB CD EF MN．圆中作辅助线的常用方法：例题1：如图2,在圆O 中,B 为的中点,BD 为AB 的延长线,∠OAB=500,求∠CBD 的度数; 解：如图,连结OB 、OC 的圆O 的半径,已知∠OAB=500∵B 是弧AC 的中点∴弧AB=弧BC∴AB==BC又∵OA=OB=OC∴△AOB ≌△BOC 图2∴∠OBC=∠ABO=500∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800∴∠CBD=1800 - 500- 500∴∠CBD=800答:∠CBD 的度数是800.例题2:如图3,在圆O 中,弦AB 、CD 相交于点P,求证：∠APD的度数=21弧AD+弧BC 的度数; 证明：连接AC,则∠DPA=∠C+∠A∴∠C 的度数=21弧AD 的度数 ∠A 的度数=21弧BC 的度数 ∴∠APD=21弧AD+弧BC 的度数; 图3 一、造直角三角形法1.构成Rt △,常连接半径例1. 过⊙O 内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM 长;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例2. AB 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于A,CB 交⊙O 于D,过D 作⊙O 的切线,交AC 于E.求证:CE = AE;3.遇有切线,常作过切点的半径例3 .割线AB 交⊙O 于C 、D,且AC=BD,AE 切⊙O 于E,BF 切⊙O 于F.求证:∠OAE = ∠OBF;4.遇有公切线,常构造Rt △斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长例4 .小 ⊙O 1与大⊙O 2外切于点A,外公切线BC 、DE 分别和⊙O 1、⊙O 2切于点B 、C和D 、E,并相交于P,∠P = 60°;求证：⊙O 1与⊙O 2的半径之比为1：3；5．正多边形相关计算常构造Rt △例5.⊙O 的半径为6,求其内接正方形ABCD 与内接正六边形AEFCGH 的公共部分的面积.二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例6. AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE ⊥CD 于E,BF ⊥CD 于F.1求证:EC = DF; 2若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O 的面积;三、转换割线与弦相交的角,常构成圆的内接四边形例7. AB 是⊙O 直径,弦CD ⊥AB,M 是AC 上一点,AM 延长线交DC 延长线于F. 求证: ∠F = ∠ACM;四、切线的综合运用 1．已知过圆上的点,常_________________例8.如图, 已知：⊙O 1与⊙O 2外切于P,AC 是过P 点的割线交⊙O 1于A,交⊙O 2于C,过点O 1的直线AB ⊥BC 于B.求证： BC 与⊙O 2相切. 六、开放性题目例17．已知：如图,以ABC △的边AB 为直径的O 交边AC 于点D ,且过点D 的切线DE 平分边BC ．1BC 与O 是否相切请说明理由；2当ABC △满足什么条件时,以点O ,B,E ,D 明理由．第23题。

(完整)初中数学几何辅助线技巧

几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为三角或平四。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径联。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

由角平分线想到的辅助线一、截取构全等：如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。

自己试一试。

二、角分线上点向两边作垂线构全等：如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。

近而证∠ADC与∠B之和为平角。

三、三线合一构造等腰三角形：如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。

初中几何辅助线大全(潜心整理)

初中几何辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线作辅助线的方法一、中点、中位线，延线，平行线。

二、垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转 180 度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三、边边若相等，旋转做实验。

初中几何辅助线大全及口诀

初中几何辅助线大全及口诀
初中几何辅助线大全及口诀可以帮助同学们在解题时更高效地添加辅助线，解决几何问题。

下面是一些常见的辅助线和口诀:
一、常见辅助线:
1. 过中点作中位线;
2. 见中线延长一倍;
3. 见中点，引中位线;
4. 遇比例线段，常作平行线;
5. 梯形问题，常作垂线;
6. 遇切线问题，常连结过切点的半径;
7. 遇弦的问题，常作弦心距。

二、常见定理:
1. 三角形内角和定理;
2. 平行线的性质定理;
3. 中位线定理;
4. 命题等价性定理;
5. 相似三角形判定定理;
6. 直角三角形判定定理。

三、口诀:
1. 直角三角形直角边平方等于斜边平方加直角边平方;
2. 三角形两边之和大于第三边;
3. 三角形三边长度比等于斜边夹角角度比;
4. 梯形问题，常作垂线;
5. 遇切线问题，常连结过切点的半径;
6. 遇弦的问题，常作弦心距。

这些辅助线和口诀可以帮助同学们更好地解决几何问题，提高解题效率。

同时，辅助线添加的技巧也需要同学们在实际解题中不断练习和总结，才能更好地掌握和应用。