2019-2020学年高中数学 函数的概念教案2 新人教版必修1.doc
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版必修第一册
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3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准:借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1,x 2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x 1,x 2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x 1<x 2; (3)属于同一个单调区间. 知识点二 单调性与单调区间如果函数y =f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减,那么就说函数y =f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间.状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”连接. 如函数y =1x 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减. [教材解难]1.教材P 77思考f (x )=|x |在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增; f (x )=-x 2在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减.2.教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )=-1x,在(-∞,0),(0,+∞)上是单调递增的,在整个定义域上不是单调递增的.(2)函数f (x )=x 在(-∞,+∞)上是单调递增的.f (x )=x 2在(-∞,0]上是单调递减,在[0,+∞)上是单调递增的.[基础自测]1.下列说法中正确的有( )①若x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时,f (x 1)<f (x 2),则y =f (x )在I 上是增函数; ②函数y =x 2在R 上是增函数; ③函数y =-1x在定义域上是增函数;④y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).A .0个B .1个C .2个D .3个解析:由于①中的x 1,x 2不是任意的,因此①不正确;②③④显然不正确. 答案:A2.函数y =(2m -1)x +b 在R 上是减函数,则( ) A .m >12 B .m <12C .m >-12D .m <-12解析:使y =(2m -1)x +b 在R 上是减函数,则2m -1<0,即m <12.答案:B3.函数y =-2x 2+3x 的单调减区间是( ) A .[0,+∞) B.(-∞,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞ 解析:借助图象得y =-2x 2+3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞,故选D.答案:D4.若f(x)在R上是增函数,且f(x1)>f(x2),则x1,x2的大小关系为________.解析:∵f(x)在R上是增函数,且f(x1)>f(x2),∴x1>x2.答案:x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的减区间为( )A.(-3,1)∪(1,4) B.(-5,-3)∪(-1,1)C.(-3,-1),(1,4) D.(-5,-3),(-1,1)【解析】在某个区间上,若函数y=f(x)的图象是上升的,则该区间为增区间,若是下降的,则该区间为减区间,故该函数的减区间为(-3,-1),(1,4).【答案】 C观察图象,若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数,对应的区间是增(减)区间.跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示,则( )A.函数f(x)在[-1,2]上是增函数B.函数f(x)在[-1,2]上是减函数C.函数f(x)在[-1,4]上是减函数D.函数f(x)在[2,4]上是增函数解析:函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数,图象下降对应减函数,故选A.答案:A根据图象上升或下降趋势判断.题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y =x +1x在区间(1,+∞)上单调递增.【证明】 ∀x 1,x 2∈(1,+∞), 且x 1<x 2,有y 1-y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+1x 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 2=(x 1-x 2)+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1-1x 2=(x 1-x 2)+x 2-x 1x 1x 2=x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-1). 由x 1,x 2∈(1,+∞),得x 1>1,x 2>1. 所以x 1x 2>1,x 1x 2-1>0. 又由x 1<x 2,得x 1-x 2<0. 于是x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-1)<0, 即y 1<y 2.所以,函数y =x +1x在区间(1,+∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2,再判断f(x 1)-f(x 2)的符号. 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注:作差变形是解题关键.跟踪训练2 利用单调性的定义,证明函数y =x +2x +1在(-1,+∞)上是减函数. 证明:设x 1,x 2是区间(-1,+∞)上任意两个实数且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+2x 1+1-x 2+2x 2+1=x 2-x 1(x 1+1)(x 2+1), ∵-1<x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 1+1>0,x 2+1>0. ∴x 2-x 1(x 1+1)(x 2+1)>0.即f (x 1)-f (x 2)>0,f (x 1)>f (x 2).∴y =x +2x +1在(-1,+∞)上是减函数. 利用四步证明函数的单调性.题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a 的取值范围.【解析】 ∵f (x )=x 2-2(1-a )x +2=[x -(1-a )]2+2-(1-a )2, ∴f (x )的减区间是(-∞,1-a ]. ∵f (x )在(-∞,4]上是减函数,∴对称轴x =1-a 必须在直线x =4的右侧或与其重合. ∴1-a ≥4,解得a ≤-3. 故a 的取值范围为(-∞,-3].状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间,求出f(x)的对称轴为x =1-a ,利用对称轴应在直线x =4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念,说函数的单调递减区间是I ,指的是函数递减的最大范围为区间I ,而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件含义.跟踪训练3 例3中,若将“函数在区间(-∞,4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(-∞,4]”,则a 为何值?解析:由例3知函数f (x )的单调递减区间为(-∞,1-a ], ∴1-a =4,a =-3.求出函数的减区间,用端点值相等求出a.一、选择题1.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ,b ,总有f (a )-f (b )a -b>0,则必有( )A .函数f (x )先增后减B .f (x )是R 上的增函数C .函数f (x )先减后增D .函数f (x )是R 上的减函数 解析:由f (a )-f (b )a -b>0知,当a >b 时,f (a )>f (b );当a <b 时,f (a )<f (b ),所以函数f (x )是R 上的增函数.答案:B2.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ) A .y =-3x +2 B .y =3xC .y =x 2-4x +5D .y =3x 2+8x -10解析:显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数,排除;对C 项,函数在(-∞,2)上为减函数,也不符合题意;对D 项,函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫-43,+∞上为增函数,所以在(0,2)上也为增函数,故选D.答案:D3.函数f (x )=x |x -2|的增区间是( ) A .(-∞,1] B .[2,+∞) C .(-∞,1],[2,+∞) D.(-∞,+∞)解析:f (x )=x |x -2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥2,2x -x 2,x <2,作出f (x )简图如下:由图象可知f (x )的增区间是(-∞,1],[2,+∞). 答案:C4.函数y =f (x )在R 上为增函数,且f (2m )>f (-m +9),则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,-3) B .(0,+∞)C .(3,+∞)D .(-∞,-3)∪(3,+∞)解析:因为函数y =f (x )在R 上为增函数,且f (2m )>f (-m +9),所以2m >-m +9,即m >3.答案:C 二、填空题5.如图所示为函数y =f (x ),x ∈[-4,7]的图象,则函数f (x )的单调递增区间是____________.解析:由图象知单调递增区间为[-1.5,3]和[5,6]. 答案:[-1.5,3]和[5,6]6.若f (x )在R 上是单调递减的,且f (x -2)<f (3),则x 的取值范围是________. 解析:函数的定义域为R .由条件可知,x -2>3,解得x >5. 答案:(5,+∞)7.函数y =|x 2-4x |的单调减区间为________.解析:画出函数y =|x 2-4x |的图象,由图象得单调减区间为:(-∞,0],[2,4].答案:(-∞,0],[2,4] 三、解答题8.判断并证明函数f (x )=-1x+1在(0,+∞)上的单调性.解析:函数f (x )=-1x+1在(0,+∞)上是增函数.证明如下:设x 1,x 2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x 1+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x 2+1=x 1-x 2x 1x 2,由x 1,x 2∈(0,+∞),得x 1x 2>0, 又由x 1<x 2,得x 1-x 2<0, 于是f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2),∴f (x )=-1x+1在(0,+∞)上是增函数.9.作出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -3,x ≤1,(x -2)2+3,x >1的图象,并指出函数的单调区间.解析:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -3,x ≤1,(x -2)2+3,x >1的图象如图所示.由图象可知:函数的单调减区间为(-∞,1]和(1,2];单调递增区间为(2,+∞).[尖子生题库]10.已知f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,且f (x -2)<f (1-x ),求x 的取值范围. 解析:∵f (x )是定义在[-1,1]上的增函数, 且f (x -2)<f (1-x ), ∴⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x -2≤1,-1≤1-x ≤1,x -2<1-x ,解得1≤x <32,所以x 的取值范围为1≤x <32.。
【课件】函数的概念(2)课件人教A版(2019)高中数学必修第一册
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(3)已知f (2x+3)的定义域为(2 ,4),求f (x-1)的定义域.
解:(1) (1 ,9 ) (2) [7, 11] (3) , 12)
二.求函数值域 1.观察法
例3.求下列函数的值域:
(1)y 2x 3 ( x 1,2,3,4,5 )
课堂小结:
一.求函数的定义域
1.已知原函数的定义域,求复合函数的定义域 2.已知复合函数的定义域,求原函数的定义域
二.求函数值域
1.观察法 2.配方法 3. 换元法 4.分离常数法
y
ax b cx d
ac
0,
ad
bc
的函数
(1)求函数 y 3x 2 的值域.
x 1
解: y 3x 2 3(x 1) 1 3 1 ,
x 1
x 1
x 1
1 0, x 1
所以 y 3
函数的值域为y | y 3 ,3 3,
(2)求函数 y 3x 2 , x 1,2 的值域.
x 1
求f(x)的值域.
(1)解:f(x)=x2-4x-2=(x-2)2-6
当x [1,4]时,
由图可得, x=2,f(X)取到最小值-6; x=4, f(X)取到最大值-2
所以f(x)的值域为 y | 6 y 2
(2) y | 5 y 3
3. 换元法——形如 y ax b cx d a 0的函数
解:(1)因为函数 f(x+2)的定义域为[0,3], 所以由 0≤x≤3,得到 2≤x+2≤5. 所以函数 f(x)的定义域是[2,5].
解:(2)因为函数 f(3-2x)的定义域为[0,3], 所以由 0≤x≤3,得到-3≤3-2x≤3. 所以函数 f(x)的定义域是[-3,3].
高中数学函数概论教案模板
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高中数学函数概论教案模板
一、教学目标
1. 理解函数的概念及其特点;
2. 掌握函数的定义、性质和基本性质;
3. 熟练运用函数的相关知识解决实际问题。
二、教学内容及安排
1. 函数的概念
- 什么是函数?
- 函数的符号表示:y = f(x)、f: x → y
- 自变量和因变量的概念
2. 函数的性质
- 定义域和值域
- 函数的奇偶性
- 函数的增减性
3. 函数的基本性质
- 函数的连续性
- 函数的周期性
- 函数的单调性
4. 函数的运算
- 函数的相加、相减、相乘、相除
- 函数的复合
5. 实际问题的解决
- 利用函数解决实际问题
- 实际问题的函数建模
三、教学重点与难点
1. 函数的概念及其特点是本节课的重点,学生需要掌握清楚;
2. 函数的运算和实际问题的解决是本节课的难点,需要帮助学生理解和应用。
四、教学方法
1. 讲授与示范结合
2. 分组讨论与合作学习
3. 案例分析与实践应用
五、教学资源
1. 教材
2. 多媒体设备
六、教学评价
1. 课堂练习
2. 作业完成情况
3. 知识掌握程度
七、教学进度安排
第一课:函数的概念
第二课:函数的性质
第三课:函数的基本性质
第四课:函数的运算
第五课:实际问题的解决
八、教学反馈
1. 教师定期对学生学习情况进行诊断和反馈
2. 学生可以提出问题和建议,促进教学质量的提高。
以上为高中数学函数概论教案模板范本,可根据实际教学情况进行调整和修改。
2019-2020学年高中数学新教材必修一第3章 3.1.1 第2课时 函数的表示方法
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①当点F在BG上,即x∈[0,2]时,y=12x2; ②当点F在GH上,即x∈(2,5]时,y=x+2x-2×2=2x-2; ③当点F在HC上,即x∈(5,7]时,y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRt△CEF =12(7+3)×2-12(7-x)2 =-12(x-7)2+10.
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综合①②③,得函数的解析式为 12x2,x∈[0,2],
y=2x-2,x∈2,5], -12x-72+10,x∈5,7].
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图像如图所示.
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求函数解析式的常用方法 1待定系数法:若已知fx的解析式的类型,设出它的一般形 式,根据特殊值确定相关的系数即可. 2换元法:设t=gx,解出x,代入fgx,求ft的解析式即可. 3配凑法:对fgx的解析式进行配凑变形,使它能用gx表示 出来,再用x代替两边所有的“gx”即可.
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[解] (1)法一(换元法):令t= x +1,则t≥1,x=(t-1)2,代入 原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,f(x)=x2-4x+3(x≥1).
法二(配凑法):f( x +1)=x+2 x +1-4 x -4+3=( x +1)2- 4( x+1)+3,
因为 x+1≥1, 所以f(x)=x2-4x+3(x≥1).
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(2)设f(x)=ax+b(a≠0), 则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 又f(f(x))=4x+8, 所以a2x+ab+b=4x+8,
a2=4,
a=2, a=-2,
即ab+b=8, 解得b=83
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当堂达标 固双基
2019-2020新课程同步人教A版高中数学必修第一册新学案课件:3.1 3.1.1 函数的概念
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第十五页,编辑于星期日:点 二十九分。
[方法技巧] 1.判断对应关系是否为函数的 2 个条件 (1)A,B 必须是非空数集. (2)A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与之对应. 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系, “一对多”的不是函数关系. 2.根据图形判断对应是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于 x 轴的直线 l. (2)在定义域内平行移动直线 l. (3)若 l 与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内 没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
x+10
所以函数 y=
的定义域为{x|x>-2 且 x≠-1}.
x+2
5-x≥0, (3)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
|x|-3≠0,
5-x
解得 x≤5,且 x≠±3,所以函数 y=
的定义域为{x|x≤5 且 x≠±3}.
|x|-3
x+1≥0, (4)要使函数 f(x)有意义,则
-x2-3x+4>0,
④A={(x,y)|x∈R ,y∈R },B=R ,对应关系 f:(x,y)→s=
x+y;
⑤A={x|-1≤x≤1,x∈R },B={0},对应关系 f:x→y=0.
A.①④⑤ C.②③⑤
B.②③④ D.①②④
第十四页,编辑于星期日:点 二十九分。
[解析] ①中,在对应关系 f 下,A 中不能被 3 整除的数在 B 中没有元素与之对应,故①不是;②中,在对应关系 f 下,A 中的数在 B 中有两个数与之对应,所以②不是;④中,A 不是 数集,所以④不是,③⑤显然满足函数的特征,故③⑤是.
{x|x≤b}
_(_-__∞__,__b_]_
{x|x<b}
2019-2020年人教版高中数学必修一说课稿:2-2对数函数及其性质
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2019-2020年人教版高中数学必修一说课稿:2-2对数函数及其性质一、教材分析本节课选自人教版高一数学(必修一)第二单元2.2.2《对数函数及其性质》第一课时。
对数函数是重要的基本初等函数之一,是指数函数知识的拓展和延伸. 它的教学过程,体现了“数形结合”的思想,同时蕴涵丰富的解题技巧,这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨论证的思维能力有重要作用.本节课也为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。
二、学情分析学生前面已经学习了指数函数,用研究指数函数的方法,进一步研究和学习对数函数的概念、图像和性质以及初步应用,启发引导学生进一步完善初等函数的知识的系统性,加深对函数的思想方法的理解。
教学过程中,发挥大多数学生动手能力较强的特点,让学生自己通过列表、描点、连线画对数函数图像。
这样也利于对对数函数性质的理解。
三、教学目标1.知识目标:让学生掌握对数函数的概念,能正确描绘对数函数的图象,掌握对数函数的性质.2.能力目标:通过对对数函数的学习,培养学生观察,思考,分析,归纳的思维能力.3.情感目标:培养学生勇于探索的精神,让学生主动融入学习.四、教学重点和难点重点:在理解对数函数定义的基础上,掌握对数函数的图象和性质。
难点:对数函数性质的应用。
五、教法与学法说教法教学过程是教师和学生共同参与的过程,启发学生自主性学习,教师主导,学生为主体,根据这样的原则和所要完成的教学目标,我采用如下的教学方法:(1)启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳。
(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法。
(3)体现“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法。
(4)多媒体演示法。
说学法教给学生方法比教给学生知识更重要,本节课注重调动学生积极思考、主动探索,尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间,我进行了以下学法指导:(1)对照比较学习法:学习对数函数,处处与指数函数相对照。
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书:第1章 1.3.1 第2课时 函数的最大(小)值 Word版含解析
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第2课时 函数的最大(小)值1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.(重点)2.了解函数的最大(小)值与定义区间有关,会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 函数的最大(小)值阅读教材P 30至“例3”以上部分,完成下列问题.1.函数f (x )=1x ,x ∈[-1,0)∪(0,2]( ) A .有最大值12,最小值-1 B .有最大值12,无最小值 C .无最大值,有最小值-1D .无最大值,也无最小值【解析】 函数f (x )=1x 在[-1,0)上单调递减,在(0,2]上也单调递减,所以无最大值,也无最小值,故选D.【答案】 D2.函数f (x )=x 2-2x +2,x ∈[-1,2]的最小值为________;最大值为________.【解析】 因为f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[-1,2],所以f (x )的最小值为f (1)=1,最大值为f (-1)=5.【答案】 1 5[小组合作型]【精彩点拨】 先把y =x -|x -1|化成分段函数的形式,再画出其图象,并由图象求值域. 【自主解答】 y =x -|x -1|=⎩⎨⎧1,x≥12x -1,x<1,画出该函数的图象如图所示.由图可知,函数y =x -|x -1|的值域为(-∞,1].1.函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标.对于图象较容易画出来的函数,可借助于图象直观的求出其最值,但画图时要求尽量精确.2.利用图象法求函数最值的一般步骤作图象→找图象的最高点和最低点→确定最高点和最低点的纵坐标→确定最值[再练一题]1.已知函数f (x )=错误!(1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f (x )的图象; (2)写出f (x )的单调递增区间及值域. 【导学号:97030053】图1-3-2【解】 (1)图象如图所示:(2)由图可知f (x )的单调递增区间为[-1,0),(2,5],值域为[-1,3].求函数f (x )=x +4x 在[1,4]上的最值.【精彩点拨】 先利用单调性的定义判断函数的单调性,再根据单调性求最值即可. 【自主解答】 设1≤x 1<x 2≤2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+4x1-x 2-4x2=x 1-x 2+错误!=(x 1-x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1-4x1x2=(x 1-x 2)x1x2-4x1x2=错误!. ∵1≤x 1<x 2≤2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2-4<0,x 1x 2>0,∴f (x 1)>f (x 2),∴f (x )是减函数. 同理f (x )在(2,4]上是增函数.∴当x =2时,f (x )取得最小值4,当x =1或x =4时,f (x )取得最大值5.函数的单调性与其最值的关系1.若函数f(x)在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)在闭区间[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b).2.若函数f(x)在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在闭区间[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).3.求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间,若是开区间,则不一定有最大值或最小值.[再练一题]2.已知函数f(x)=1x-2,(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性,并证明;【导学号:97030054】(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值.【解】(1)f(x)在[3,5]上为减函数.证明:任取x1,x2∈[3,5],有x1<x2,∴f(x1)-f(x2)=1x1-2-1x2-2=错误!.∵x1<x2,∴x2-x1>0.又∵x1,x2∈[3,5],∴(x1-2)(x2-2)>0,∴错误!>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在[3,5]上是减函数.(2)∵f(x)在[3,5]上是减函数,∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)=1,f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)=1 3.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.规定:每辆自行车的日租金不超过20元,每辆自行车的日租金x 元只取整数,并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用y 表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得).(1)求函数y =f (x )的解析式及定义域;(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元? 【精彩点拨】 (1)函数y =f (x )=出租自行车的总收入-管理费;当x ≤6时,全部租出;当6<x ≤20时,每提高1元,租不出去的就增加3辆,所以要分段求出解析式;(2)由函数解析式是分段函数,在每一段内求出函数最大值,比较得出函数的最大值. 【自主解答】 (1)当x ≤6时,y =50x -115,令50x -115>0,解得x >2.3. ∵x ∈N ,∴3≤x ≤6,且x ∈N .当6<x ≤20时,y =[50-3(x -6)]x -115=-3x 2+68x -115, 综上可知y =⎩⎨⎧50x -115,3≤x≤6,x ∈N-3x2+68x -115,6<x≤20,x ∈N.(2)当3≤x ≤6,且x ∈N 时,∵y =50x -115是增函数,∴当x =6时,y m ax =185元. 当6<x ≤20,x ∈N 时,y =-3x 2+68x -115=-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -3432+8113,∴当x =11时,y m ax =270元.综上所述,当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多,为270元.1.本题建立的是分段函数模型,分段求出各段的最大值,两段中的最大值即为所求,其中求一次函数的最值应用单调性,求二次函数的最值则应用配方法.2.解决实际应用问题,首先要理解题意,然后建立数学模型转化成数学模型解决;分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键.[再练一题]3.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x (百台),其总成本为G (x )(万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入R (x )(万元)满足R (x )=错误!假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:(1)写出利润函数y =f (x )的解析式(利润=销售收入-总成本); (2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多? 【解】 (1)由题意得G (x )=2.8+x . ∵R (x )=错误! ∴f (x )=R (x )-G (x ) =错误!(2)当x >5时,函数f (x )递减, ∴f (x )<f (5)=3.2(万元).当0≤x ≤5时,函数f (x )=-0.4(x -4)2+3.6, 当x =4时,f (x )有最大值为3.6(万元).所以当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.[探究共研型]探究1 函数f (x )=x 1,0],[-1,2],[2,3]上的最大值和最小值分别是什么?【提示】 函数f (x )=x 2-2x +2的图象开口向上,对称轴为x =1.(1)因为f (x )在区间[-1,0]上单调递减,所以f (x )在区间[-1,0]上的最大值为f (-1)=5,最小值为f (0)=2.(2)因为f (x )在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,则f (x )在区间[-1,2]上的最小值为f (1)=1,又因为f (-1)=5,f (2)=2,f (-1)>f (2),所以f (x )在区间[-1,2]上的最大值为f (-1)=5.(3)因为f (x )在区间[2,3]上单调递增,所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)=2,最大值为f (3)=5.探究2 你能说明二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的单调性吗?若求该函数f (x )在[m ,n ]上的最值,应考虑哪些因素?【提示】 当a >0时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-b 2a 上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a ,+∞上单调递增;当a <0时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a ,+∞上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-b 2a 上单调递增.若求二次函数f (x )在[m ,n ]上的最值,应考虑其开口方向及对称轴x =-b2a 与区间[m ,n ]的关系.已知函数f (x )=x 2-ax +1, (1)求f (x )在[0,1]上的最大值;(2)当a =1时,求f (x )在闭区间[t ,t +1](t ∈R )上的最小值. 【精彩点拨】 (1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值.(2)根据函数在区间[t ,t +1]上的单调性分三种情况讨论,分别求出f (x )的最小值. 【自主解答】 (1)因为函数f (x )=x 2-ax +1的图象开口向上,其对称轴为x =a2,所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远,则在哪个端点取到最大值,当a 2≤12,即a ≤1时,f (x )的最大值为f (1)=2-a ; 当a 2>12,即a >1时,f (x )的最大值为f (0)=1.(2)当a =1时,f (x )=x 2-x +1,其图象的对称轴为x =12, ①当t ≥12时,f (x )在其上是增函数,∴f (x )min =f (t )=t 2-t +1; ②当t +1≤12,即t ≤-12时,f (x )在其上是减函数, ∴f (x )min =f (t +1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫t +122+34=t 2+t +1;③当t <12<t +1,即-12<t <12时,函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ,12上单调递减,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,t +1上单调递增,所以f (x )min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=34.探求二次函数的最值问题,要根据函数在已知区间上的单调性求解,特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,如果二者的位置关系不确定,那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.[再练一题]4.求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【导学号:97030055】【解】f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.(1)当a<0时,由图①可知,f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)min=f(0)=-1,f(x)m ax=f(2)=3-4a.(2)当0≤a≤1时,由图②可知,对称轴在区间[0,2]内,所以f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)m ax =f(2)=3-4a.(3)当1<a≤2时,由图③可知,对称轴在区间[0,2]内,所以f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)m ax =f(0)=-1.(4)当a>2时,由图④可知,f(x)在[0,2]上为减函数,所以f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)m ax=f(0)=-1.1.函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])的最小、最大值分别为( )A.3,5 B.-3,5C.1,5 D.5,-3【解析】因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是单调递减函数,所以当x=2时,函数的最小值为-3.当x=-2时,函数的最大值为5.【答案】 B2.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( )A.[0,3] B.[-1,0]C.[-1,+∞) D.[-1,3]【解析】∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1,3],故选D.【答案】 D3.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )【导学号:97030056】A.2 B.-2C.2或-2 D.0【解析】由题意,a≠0,当a>0时,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,有(a +1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知a=±2.【答案】 C4.函数f(x)=6-x-3x在区间[2,4]上的最大值为________.【解析】∵6-x在区间上是减函数,-3x在区间上是减函数,∴函数f(x)=6-x-3x在区间上是减函数,∴f(x)m ax=f(2)=6-2-3×2=-4.【答案】-45.已知函数f(x)=2x-1(x∈[2,6]).(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数的最大值和最小值.【解】(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是增函数.证明:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2-1=错误!=错误!.由2≤x1<x2≤6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=2x-1是区间[2,6]上的减函数.(2)由(1)可知,函数f(x)=2x-1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值,即在x=2时取得最大值,最大值是2,在x=6时取得最小值,最小值是0.4.。
人教A版(2019)高中数学必修第一册第三章3.1函数的基本概念教案
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函数的基本概念教学目标:1.理解函数的概念,掌握函数三要素及求法.2.掌握函数解析式的求法,以及同一函数的判断标准.3.学会转化与化归、数形结合思想.问题导入:1.函数的定义:一般地,设A,B 是非空的实数集,如果对于A 中的任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f ,在集合B 中都有唯一确定的数y 与之对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作)(x f y =,A x ∈.注:判断对应关系是否为函数,主要从以下三个方面去判断:(1)A ,B 必须是非空实数集;(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应;(3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一.2.函数三要素:定义域、值域、对应关系 .定义域:x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域.值域:函数值的集合{}f (x )|x ∈A 叫做函数的值域同一函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数. 注:函数定义域及值域的求法总结(1)常见函数求定义域:①分式函数中分母不为0;①偶次根式函数被开方式大于等于0;①对数函数的定义域大于0.(2)抽象函数求定义域:①已知原函数)(x f 的定义域为()b a ,,求复合函数()[]x g f 的定义域:只需解不等式b x g a <<)(,不等式的解集即为所求函数定义域.①已知复合函数()[]x g f 的定义域为()b a ,,求原函数)(x f 的定义域:只需根据b x a <<求出)(x g 的值域,即得原函数)(x f 的定义域.(3)求值域的常规方法ⓐ观察法:一些简单函数,通过观察法求值域.ⓑ配方法:“二次函数类”用配方法求值域.ⓒ换元法:形如y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数,且ac ≠0)的函数常用换元法求值域,形如y =ax +a -bx 2的函数也可以用换元法代换求值域.ⓓ分离常数法:形如y =cx +dax +b (a ≠0)的函数可用此法求值域.ⓔ单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.ⓕ数形结合法:画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围. 3. 求函数解析式的方法(1)待定系数法:当函数的类型已知时,可设出函数解析式,根据条件列出方程(组),进而求得函数的解析式.(2)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式.(3)换元法:已知)]([x g f y =,求)(x f 的解析式:令)(x g t =,并写出t 的取值范围,用t 表示x ,再将用t 表示的x 回代入原式,求出解析式.(4)方程组法:已知关于f (x )与)(xf 1或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).4.分段函数的概念:若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数被称为分段函数. 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是同一个函数.注:(1)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.(2) 分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先确定自变量的取值属于哪个区间,再选取相应的对应关系,离开定义域讨论分段函数是毫无意义的.知识点1:函数定义[例1] 下列图象中,可作为函数图象的是________.(填序号)[对点演练1]下列对应关系式中是A 到B 的函数的是( )A .A ⊆R ,B ⊆R ,x 2+y 2=1B .A ={-1,0,1},B ={1,2},f :x →y =|x |+1C .A =R ,B =R ,f :x →y =1x -2D .A =Z ,B =Z ,f :x →y =2x -1知识点2:求函数的定义域和值域[例2] 下列选项中能表示同一个函数的是( )A .y =x +1与y =x 2-1x -1B .y =x 2+1与s =t 2+1C .y =2x 与y =2x (x ≥0)D .y =(x +1)2与y =x 2[例3] 求下列函数的定义域.(1) y =2x -1-7x ;(2) y =(x +1)0x +2;(3) y =4-x 2+1x.[例4] 求下列函数的定义域:(1)已知函数的定义域为,求函数的定义域.(2)已知函数的定义域为,求函数的定义域. (3)已知函数的定义域为,求函数的定义域.[例5]求下列函数的值域.(1)y =x 2+2x (x ∈[0,3]);(2) y =1-x 21+x 2; (3)3254)(-+-=x x x f[对点演练2]1. 下列各组式子是否表示同一函数?为什么?(1) f (x )=|x |,φ(t )=t 2;(2) y =1+x ·1-x ,y =1-x 2;(3) y =(3-x )2,y =x -3.[2,2]-2(1)y f x =-(24)y f x =+[0,1]f (x)f (x)[1,2]-2(1)(1)y f x f x =+--2. 求下列函数的定义域.(1) y =(x +1)2x +1-1-x ;(2) y =2x 2-3x -2+14-x. 3.已知函数)(x f y =的定义域是]2,0[,那么)1lg(1)()(2++=x x f x g 的定义域是? 4. 求下列函数的值域(1)f(x)=x -3x +1;(2)f(x)=x 2-x x 2-x +1. (3)f(x)=x 2-1x 2+1;(4)f(x)=1x -x 2.知识点3:求函数解析式[例6]待定系数:若)(x f 是一次函数,[()]94f f x x =+,则)(x f = _________________.[例7].配凑:函数2(1)f x x -=,则函数()f x =[例8].换元:已知2(1)2f x x x +=+,求函数)(x f 的解析式为 .[例9] 方程组:已知函数()f x 满足()2()f x f x x --=-,则()f x =________.[对点演练3]1.若f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2,则f (x )的解析式为________.2.若,,则( )A .9B .17C .2D .3()43f x x =-()()21g x f x -=()2g =3.已知函数2)1(2-=x x f ,则f (x )=________. 4.已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=2)1(xf ·x -1,则f (x )=________.知识点4:分段函数[例10]. 已知函数f (x )=-x 2+2,g (x )=x ,令φ(x )=min{f (x ),g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者). (1)分别用图象法和解析式表示φ(x );(2)求函数φ(x )的定义域,值域.[对点演练4]2. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x +1,x ∈[-1,0],x 2+1,x ∈(0,1],则函数f (x )的图象是()习题演练:1.下列四种说法中,不正确的一个是( )A .在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应B .函数的定义域和值域一定是无限集合C .定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了D .若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素2. 下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .y =x -1和y =x 2-1x +1B .y =x 0和y =1C .f (x )=(x -1)2和g (x )=(x +1)2D .f (x )=(x )2x 和g (x )=x(x )23.下列函数中,与函数y =x 相等的是( )A .y =(x )2B .y =3x 3C .y =x 2D .y =x 2x3. 函数y =6-x|x |-4的定义域用区间表示为________.4. 若函数y =f (x )的定义域M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是()5.已知函数f (x )=x +3+1x +2.(1)求函数的定义域;(2)求f (-3),)32(f 的值; (3)当a >0时,求f (a ),f (a -1)的值.6.函数y =x +1+12-x 的定义域为________.7.已知函数()2y f x =-定义域是[]0,4,则()11f x y x +=-的定义域是 .8. 求下列函数的值域:(1)y =3x +1x -2; (2)y =52x 2-4x +3; (3)y =x +41-x9.已知)(x f 是一次函数且满足()())(,1721213x f x x f x f 求+=--+.10. 若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,则g (x )的解析式为( )A .g (x )=2x 2-3xB .g (x )=3x 2-2xC .g (x )=3x 2+2xD .g (x )=-3x 2-2x 11. 已知函数()f x 满足()2()f x f x x --=-,则()f x =________.12. 定义在)1,1(-内的函数)(x f 满足)1lg()()(2+=--x x f x f ,求函数)(x f 的解析式.13.已知f (x )满足2f (x )+)1(xf =3x ,则f (x )的解析式为 .14.已知1)f x =+,求函数)(x f 的解析式.15.已知f (2x +1)=3x -4,f (a )=4,则a =________.。
高中数学必修一教案§121函数的概念
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课题:函数的概念一.课题:1.2.1函数的概念.(人教版必修一).二.教学目标1.知识目标:理解函数的概念,明确函数是两个变量之间的一种依赖关系;掌握求定义域、函数值的方法;理解函数的三要素及符号)y .f(x2.能力目标:会求分式型和偶次根式型函数的定义域;通过给定的自变量x值,能求出函数值;能利用函数的思想辩证法考虑实际问题.3.情感目标:通过学习函数概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力;通过课堂活动培养学生团队意识,明确团队的力量依赖于每一个人的智慧,揭示函数之间的依赖关系;在函数概念深化的过程中,体会数学形成和发展的一般规律,由函数所揭示的因果关系,培养学生的辨证思想.三.教材分析1.教学重点:正确理解函数的概念.2.教学难点:函数定义域和值域的求法以及用区间表示.3.关键:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言来刻画函数,函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终.四.课型与教法1.课型:讲授课.2.教法:通过学生熟悉的函数知识引入课题,为概念学习创设情境,拉近未知与已知的距离,通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁,使学生心理上得到认同,建立新的认识结构.五.教学过程1.创设情景,揭示课题.在初中我们已经学习过函数的概念,并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系.初中学过的函数的传统定义是什么?初中学过哪些函数?设在一个变化过程中有两个变量x 和y ,如果对于每一个x 值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数.并将自变量x 取值范围的集合叫做函数的定义域,和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过的函数:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等. 2.互动交流,研讨新知.(1)一枚炮弹发射后,经过s 26落到地面击中目标.炮弹的射高(指斜抛运动中物 体飞行轨迹最高点的高度)为m 845,且炮弹距地面的高度h (单位m )随时间t (单位s )变化的规律是25130t t h -=.提出问题:你能得出炮弹飞行s 5、s 10、s 20时距地面多高吗?其中,时间t 的变化范围是什么?炮弹距离地面高度h 的变化范围是什么?s 5时距地面高度为m 525,s 10时距地面高度为m 800,s 20时距地面高度为m 600,根据题意可知炮弹飞行时间t 的变化范围是数集}260{≤≤=t t A ,炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集}8450{≤≤=h h B .从问题的实际意义可知,对于数集A 中的任意一个时间t ,按照对应关系25130t t h -=,在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应,满足函数定义,应为函数,发现解析式可以用来刻画函数.(2)近十几年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化情况.提出问题:观察分析图中曲线,时间t 的变化范围是多少?臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少?尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.根据图中曲线可知,时间t 的变化范围是数集}20011979{≤≤=t t A ,臭氧层空洞面积s 的变化范围是数集}260{≤≤=S S B .引导学生看图启发,从图中明显得知,对于数集A 中的每一个时刻t 在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s 与之对应,满足函数定义,也应为函数,发现图像也可以来刻画函数.(3)国际上常用恩格尔系数(食物支出金额/总支出金额)反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.表11-中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001城镇居民家庭 恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9表11-提出问题:恩格尔系数与时间(年)之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似?如何用集合与对应的语言来描述这个关系?请仿照(1)(2)描述表中恩格尔系数和时间(年)的关系.根据上表,可知时间t 的变化范围是数集},20011991{*∈≤≤=N t t t A ,恩格尔系数y 的变化范围是数集}8.539.37{≤≤=y y B .引导学生探讨交流发现,对于表格中的任意一个时间t 都有唯一确定的恩格尔系数与之对应,即在数集A 中的任意一个时间t 在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应,满足函数定义,应为函数,发现表格也可以用来刻画函数. 3.问题探讨,归纳概括.(1)以上三个实例有什么不同点和共同点?归纳以上三个实例,可看出其不同点是:实例(1)是用解析式刻画变量之间的对应关系,实例(2)是用图像刻画变量之间的对应关系,实例(3)是用表格刻画变量之间的对应关系.其共同点是:①都有两个非空数集A ,B ;②两个数集之间都有一种确定的对应关系;③对于数集A 中的每一个x ,按照某种对应关系f ,在数集B 中都有唯一确定的y 值和它对应. 记作B A f →:.引导学生思考:在三个实例中,大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系,其中一个变量都是另一个变量的函数,你能否用集合与对应的语言来刻画函数,抽象概括出函数的概念呢? (2)函数的概念.一般地,设A ,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作A x x f y ∈=),(.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集. (3)我们所熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么?①.一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R ; ②.反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; ③.二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R ,值域:当0>a 时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2;当0<a 时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2.(4)设a ,b 是两个实数,而且b a <.我们规定:①满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,表示为],[b a ; ②满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间,表示为),(b a ;③满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间,表示为),[b a ,],(b a .这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点.用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点. 实数集R 可以用区间表示为),(+∞-∞,“∞”读作“无穷大”,“∞-”读作“负无穷大”,“∞+”读作“正无穷大”.我们可以把满足a x ≥,a x >,b x ≤,b x <的实数集合分别表示为),[+∞a ,),(+∞a ,],(b -∞,),(b -∞.定义域和值域可以用集合表示,也可以用区间表示. 4.质疑答辩,排难解惑. 例1.已知函数213)(+++=x x x f , (1)求函数的定义域;(2)求)3(-f ,)32(f 的值;(3)当0>a 时,求)(a f ,)1(-a f 的值.解:(1)定义域:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.使根式3+x 有意义的实数x 的集合是}{3-≥x x ,使分式21+x 有意义的实数x 的集合是}{2-≠x x .所以,这个函数的定义域就是 }{}{23-≠-≥x x x x I {3-≥=x x ,且}2-≠x . (2)123133)3(-=+-++-=-f ; 333832321332)32(+=+++=f .(3)因为0>a ,所以)(a f ,)1(-a f 有意义. 213)(+++=a a a f ; 11221131)1(+++=+-++-=-a a a a a f . 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域相同,对应关系完全一致,我们就称两个函数相等.例2.下列函数中哪个与函数x y =相等?(1)2)(x y =; (2)33x y =;(3)2x y =; (4)xx y 2=.解:(1))0()(2≥==x x x y ,这个函数与函数)(R x x y ∈=虽然对应关系相同,但是定义域不相同.所以,这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.(2))(33R x x x y ∈==,这个函数与函数)(R x x y ∈=不仅对应关系相同,而且定义域相同.所以,这个函数与函数)(R x x y ∈=相等.(3)⎩⎨⎧<-≥===.0,,0,2x x x x x x y 这个函数与函数)(R x x y ∈=的定义域都是实数集R ,但是当0<x 时,它的对应关系与函数)(R x x y ∈=不相同.所以,这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.(4)xx y 2=的定义域是}{0≠x x ,与函数)(R x x y ∈=的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.小结:函数的概念是一般地,设A ,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作A x x f y ∈=),(.定义域和值域是x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.区间是①满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,表示为],[b a ;②满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间,表示为),(b a ;③满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间,表示为),[b a ,],(b a .5.布置作业.(1)举出生活中函数的例子(三个以上),并用集合与对应的语言来描述函数,同时说出函数的定义域、对应关系和值域. (2)课本19P 习题1、2、3 六.板书设计。
高中数学第2讲 函数概念与表示(教案)新人教版必修1
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函数概念与表示教学目标:掌握函数的基本概念〔高考要求 B 〕教学重难点:了解函数的定义方法,掌握函数“三要素〞及其求法。
教学过程: 一、知识要点:1.函数的“三要素〞: 定义域、对应关系 、值域。
2.常用的函数表示法:〔1〕列表法:〔2〕图象法:〔3〕解析法〔分段函数〕:〔4〕复合函数: 〔1〕求函数定义域一般方法:①给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;②实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义; ③复合函数定义域:()f x 的定义域[],a b ,其复合函数[]()f g x 的定义域。
由()a g x b ≤≤解出。
[()]f g x 的定义域[],a b ,求()f x 的定义域。
是()g x 在[],a b 上的值域〔2〕求函数解析式的方法:①函数类型,求函数的解析式:待定系数法;②复合关系,求函数的解析式:换元法、配凑法; ③函数图像,求函数解析式;数形结合法; 〔3〕求函数值域的类型与求法:类型:①求常见函数值域;②复合函数的值域;③组合函数的值域。
求法:①直接法、②配方法、 ③离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥叛别式法、⑦数形结合。
二、基础练习:1、下各组函数中表示同一函数的有〔4〕〔1〕f 〔x 〕=2x ,g 〔x 〕=33x ; 〔2〕f 〔x 〕=x x ||,g 〔x 〕=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x〔3〕f 〔x 〕=x1+x ,g 〔x 〕=x x +2; 〔4〕f 〔x 〕=x 2-2x -1,g 〔t 〕=t 2-2t -1。
2、〔2008·全国Ⅰ理,1〕函数y=x x x +-)1(的定义域为 {x|x ≥1}∪{0}3、函数()f x 定义域为(0,2),求2()23f x +定义域;解:〔1〕由0<x 2<2,得4、函数2()42f x x x =-+,(0,3)x ∈的值域是[)2,2-5、〔07某某文13〕设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==,,那么123(((2007)))f f f =1/2007. 三、例题精讲:题型1:函数关系式 例1.〔1〕设函数).89(,)100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=解:〔1〕这是分段函数与复合函数式的变换问题,需要反复进行数值代换,)))101((())))104(((()))99((())94(()89(f f f f f f f f f f f f f =====)99())102(()97())100(()))103((())98((f f f f f f f f f f f ===== =.98)101())104((==f f f变式1:〔07文14〕函数()f x ,()g x 分别由下表给出[(1)]f g 的值为那么1当[()]2g f x =;时,x =1 .变式2:函数f(x)=2,0,1,0,1,0.x x x x x⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪-<⎩ 〔1〕画出函数的图象;〔2〕求f(1),f(-1),f [])1(-f 的值. 解 〔1〕分别作出f(x)在x >0,x=0,x <0段上的图象,如下图,作法略.〔2〕f(1)=12=1,f(-1)=-,111=-f [])1(-f =f(1)=1. 题型2:求函数解析式例2.〔1〕f(x +1)=x+2x ;求f(x)(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式. 〔3〕()f x 满足12()()3f x f x x+=,求()f x 。
3.1.1函数的概念教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
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主备人
备课成员
课程基本信息
1.课程名称:函数的概念
2.教学年级和班级:2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3.授课时间:1课时
4.教学时数:45分钟
二、教学目标
1.理解函数的概念,掌握函数的定义及其相关性质。
教学手段:
1. 多媒体课件:利用多媒体课件,以图文并茂的形式展示函数的性质和图象,直观地引导学生理解和掌握函数的概念。
2. 在线教学平台:利用在线教学平台,提供丰富的教学资源和互动工具,方便学生自主学习和交流讨论。
3. 数学软件:运用数学软件进行函数的图象演示和分析,让学生直观地观察和理解函数的性质,提高学习效果。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响,以及如何应用函数解决实际问题。
小组讨论:让学生分组讨论函数的未来发展或改进方向,并提出创新性的想法或建议。
4. 学生小组讨论(10分钟)
目标: 培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程:
将学生分成若干小组,每组选择一个与函数相关的主题进行深入讨论。
小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。
3.练习题:用于巩固所学内容。
七、教学策略
1.采用问题驱动的教学方法,引导学生思考函数的概念。
2.运用多媒体课件,直观地展示函数的性质。
3.通过案例分析,让学生理解函数的概念。
4.注重练习巩固,提高学生的解题能力。
5.鼓励学生提问,解答学生的疑问。
核心素养目标
本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养。通过函数的概念的学习,学生能够理解函数的本质,提升数学抽象能力;通过函数性质的探究,学生能够掌握函数的单调性、奇偶性、周期性等逻辑推理方法;通过案例分析和练习巩固,学生能够运用函数的概念解决实际问题,提高数学建模能力。
2019-2020学年高一数学人教A版(2019)必修一教案:第二章一元二次函数、方程和不等式等式性质与不等式性质
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第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质教学设计学过程二.知识探究【师】某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mum和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢?分析:假设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根.根据题意,应有如下的不等关系:归纳小结:数运算性质与大小顺序之间的关系2比较两个实数a,b大小的方法;(1)作差a-b-—变形—与0比较—得出结论,1.(2)作商ab———变形-一与1比较一得出结论(作商的前提是两个数同号)三、典例分析:试比较下列各组数的大小,其中x R∈(1)61x+与42x x+61x+42()x x-+6421x x x=--+422(1)(1)x x x=---24(1)(1)x x=--222(1)(1)x x=-+当1x=±时, 61x+42()x x=+;当1x≠±,61x+42()x x>+.(2) a ba b与b aa b(1)解得两种钢管的总长度不能超过4000mm;(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍;(3)解得两钟钢管的数量都不能为负.1.由以上不等关系,可得不等式组:学生分组讨论自主探究,教师巡视指导,作出评价。
培养学生分析,抽象能力、感受不等式发现和推导过程。
引导学生共同分析解决问题,熟悉并强化理解。
分析:设该班共有x 人,这笔开学费用共y 元,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x <.引导学生学会自己总结,让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.板书设计等式性质与不等式性质引入知识探究方法归纳不等式和基本性质典例分析小结课堂练习。
3.1.1 函数的概念(课时教学设计)-高中数学人教版(2019)必修第一册
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《3.1.1 函数的概念》教学设计教材内容:函数是现代数学中最基本的概念,是描述世界变化规律的最重要的数学工具,在解决实际问题中有着不可或缺的作用,函数是贯穿高中数学的主线,在高中的数学中有着重要的地位,本节课的学习有助于学生掌握函数思想,为后续数学的学习起着铺垫作用。
教学目标:1.通过具体实例,归纳、概括出函数的三个要素,建立用集合与对应语言刻画的函数概念,发展学生数学抽象素养.2.对简单具体的函数,能得出其定义域、值域与对应关系,会用函数的定义刻画函数。
3.用具体实例体会对应关系f 的真正含义,能将对应关系 f 与对应关系的具体表示、函数y=f(x),x ∈A 与函数的(解析式、图象与表格等)表示区分开来,在具体函数中体会“对应”观点下函数思想的本质。
教学重点与难点:1.重点:用实例归纳概括函数的三个要素,用集合与对应的语言建立函数的概念。
2.难点:如何在实例分析基础上让学生通过比较、归纳、概括不同案例中的共同特征,并由此建立函数概念.教学过程设计:引导语:同学们好!我们知道,客观世界中有各种各样的运动变化现象.例如,“天宫二号”在发射过程中,离发射点的距离随时间变化而变化;一个装满水的蓄水池在使用过程中,水面高度随时间的变化而不断降低;我国高速铁路运营里程逐年增加,已突破2万公里……所有这些现象,常常用函数模型来描述,并且通过研究函数模型我们就可以把握相应的运动变化规律.在初中我们已经接触过函数的概念,知道函数式刻画变量之间的对应关系的数学模型和工具.初中阶段函数的定义:如果有两个自变量x 与y ,并且对于x 的每个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,我们就说x 是自变量,y 是x 的函数.例如,正方形的周长l 与边长x 的对应关系是x l 4 ,而且对于每一个确定的x 都有唯一l 与之对应,所以l 是x 的函数.这个函数与正比例函数x y 4=相同吗?要解决这些问题,就需要进一步学习函数概念.问题1 某“复兴号”高速列车加速到h km /350后保持匀速运行半小时.(1)这段时间内,列车行进的路程S (单位:km )与运行时间t (单位:h )的关系如何表示?这是一个函数吗?(2)有人说“根据对应关系t S 350=,这趟列车加速到h km /350后,运行h 1就前进了km 350.”你认为这个说法正确吗?你能确定这趟列车运行多长时间前进km 210吗?(3)你认为应该如何刻画这个函数?师生活动:1 教师给出问题题干和第(1)问后,提醒学生先不要看教科书,在信息平台上提交自己的答案,教师点评答案,引导学生用初中函数的定义进行表述.2 教师给出第(2)问,学生判断后,教师给予点评,启发学生认识到函数应关注自变量的变化范围和函数值的变化范围.3 让学生思考如何表述S 与t 的对应关系,教师再与学生一起讨论的基础上给出表述的示范.设计意图:问题1的第(1)问是为了让学生回顾初中所学的函数概念,用“是否满足定义要求”来回答问题;第(2)问是要激发认知冲突,发现初中函数概念的不严谨;第(3)问是为了让学生关注到t 与S 的变化范围后,尝试用更精确的语言表述函数概念.问题2 某电气维修公司要求工人每周至少工作1天,至多不超过6天.公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资.(1)你认为该怎样确定一个工人每周的工资?(2)一个工人的工资w (单位:元)是他工作天数d 的函数吗?(3)你能仿照问题1刻画这个函数吗?师生活动:1教师给出问题后,让学生在在信息平台上上提交自己的答案,学生可能多数是得出d w 350=,视情况教师也可引导他们得出用表格表示的对应关系(表1): 表1 一个工人一周的工资列表123456工作时间(天)3507001050140017502100所的工资(元)2 教师提问启发学生思考后,还可以用以下追问帮助学生理解函数值的变化范围:你认为工人一周所获取的工资为2450元吗?学生在信息平台上书写并提交自己的答案,教师在点评学生答案的基础上给出规范的表述.3 教师追问(4):如果将问题2中工人每天的工资改为400元,而其它条件不变,你认为还可以用同样的函数来确定工人一周的工资吗?为什么?在学生思考与讨论的基础上,教师引导他们认识到:对应关系是影响函数的重要因素,对应关系不同函数就不同.4 教师追问(5):问题1和问题2中的函数对应关系相同,你认为它们是同一个函数吗?为什么?你认为影响函数的要素有哪些?让学生在信息平台上提交自己的答案,教师引导学生认识到不能只由对应关系是否相同判断两个函数是否相同,决定函数的三个要素是:自变量的变化范围、函数值的变化范围和对应关系.设计意图:问题2的第(1)问和第(2)问让学生在用初中函数定义认识到w是d的函数的基础上,尝试用不同方法表示函数,为认识函数对应关系做准备;第(3)问是让学生模仿问题1的表述方法去描述函数,既让他们熟悉表述方法,同时训练他们的抽象概括能力;追问(4)进一步帮助学生认识函数对应关系的重要性;追问(5)帮助学生理解怎样区别不同的函数,进一步认识函数三要素的不可或缺,引导学生总结函数的三要素.问题3 图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)变化图.图1(Ⅰ)你能根据该图确定这一天内12:00的空气质量指数(AQI )的值I 吗?是否可以确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数(AQI )的值I ?(Ⅱ)你认为这里的I 是t 的函数吗?如果是,你能仿照前面的说法刻画这个函数吗?师生活动:教师呈现问题3,给学生适当时间阅读思考.教师将第(Ⅰ)问中的前一问设计成填空题,让学生思考后在学案上提交. 学生提交的答案可能不一样,教师点评时要帮助学生理解其原因,并让学生在此基础上回答后一问,引导学生体会图象表示的对应关系的实质,明确由确定的t 值找出对应I 值的方法与步骤.对于第(Ⅱ)问,有些学生可能从初中函数认识的角度,会认为I 不是时间t 的函数(因为没有用解析式表示对应关系)。
新课标人教A版高中数学必修1第一章第2节《函数的概念》学案
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函数的概念※ 知识梳理 1.函数的概念:设A ,B 是非空的_____,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的________数x ,在集合B 中都有________的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =f (x ),x ∈A .其中x 叫做______,x 的取值范围A 叫做函数y =f (x )的______;与x 的值相对应的y 值叫做_____,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数y =f (x )的______,则值域是集合B 的____. 2.常见函数的定义域和值域函数关系式图象定义域值域反比例函数y =kx(k ≠0)一次函数y =kx +b (k ≠0)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)3.相等函数:一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,其中值域是由______和________决定的.如果两个函数的定义域相同,并且________完全一致,我们就称这两个函数相等.(1)只要两个函数的定义域相同,对应法则相同,其值域就________.故判断两个函数是否相等时,一看定义域,二看对应法则.如y =1与y =xx 不是相等函数,因为____________.y =3t +4与y =3x +4是相等函数.(2)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,注意定义域是一个集合,其结果必须用集合或区间来表示.4.区间与无穷大:(1)区间的几何表示定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ,b ] {x |a <x <b }开区间(a ,b ){x |a ≤x <b }半开半 闭区间 [a ,b ){x |a <x ≤b } 半开半 闭区间(a ,b ]这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点.(2)实数集R 的区间表示:实数集R 可以用区间表示为____________,“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.(3)无穷大的几何表示定义 符号 数轴表示{x |x ≥a } [a ,+∞) {x |x >a } (a ,+∞) {x |x ≤b } (-∞,b ]{x |x <b }(-∞,b )※ 典例分析【题型一】函数的基本概念【例1】1. 如图所示,能够作为函数y =f (x )的图象的有________.[答案] ①⑤ 解:根据函数的定义,一个函数图象与垂直于x 轴的直线最多有一个交点,这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法.2. 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A .A ∈R ,B ∈R ,x 2+y 2=1 B . A={(x ,y)|x ,y ∈R },对任意的(x ,y)∈A ,(x,y)→x+y.C .A =R ,B =R ,f :x →y =1x -2D .A ={1,2,3,4},B ={0,1},对应关系如图:答案:D3. 下列各对函数中,是相等函数的序号是________.① f (x )=x +1与g (x )=x +x 0 ② f (x )=22x 1)+(与g (x )=|2x +1| ③ f (n )=2n +1(n ∈Z )与g (n )=2n -1(n ∈Z ) ④ f (x )=3x +2与g (t )=3t +2 ⑤ y =x -1与y =x 2-1x +1[答案] ②④4. 已知一个函数的解析式为2)(x x f =2,它的值域为{1,4},这样的函数有 个.[答案]9[解析]列举法:定义域可能是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,1,-2,2}.【课堂练习1】1. 下列对应是否为A 到B 的函数:①A =R ,B ={x|x>0},f :x→y =|x|; ②A =Z ,B =Z ,f :x→y =x 2; ③A =Z ,B =Z ,f :x→y =x ; ④A =[-1,1],B ={0},f :x→y =0.答:(1)①③不是 ②④是2. 以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什么?(1)f 1:y =xx ;f 2:y =1.(2)f 1:y =⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2.f 2:x x ≤1 1<x <2 x ≥2 y123(3)f 1:y =2x ;f 2:如图所示.【解】(1)不同函数.f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0},f 2(x )的定义域为R .(2)同一函数,x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同一函数的不同表示方式. (3)同一函数.理由同(2).【题型二】 求函数定义域 【例2】1. 求下列函数的定义域:①y =4-x ; ②y =1|x |-x ; ③y =5-x +x -1-1x 2-9.[解析] (1)①4-x ≥0,即x ≤4,故函数的定义域为{x |x ≤4}.②分母|x |-x ≠0,即|x |≠x ,所以x <0.故函数的定义域为{x |x <0}.③解不等式组⎩⎨⎧ 5-x ≥0,x -1≥0,x 2-9≠0,得⎩⎨⎧x ≤5,x ≥1,x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5且x ≠3}.【课堂练习2】1. 将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的解析式,并写出此函数的定义域.解:设矩形一边长为x ,则另一边长为12(a -2x ),所以y =x ·12(a -2x )=-x 2+12ax ,定义域为(0,a2).2. (2016年高考江苏卷) 函数y =232x x --的定义域是 .【答案】[]3,1-3. 若函数86-)(2++=m mx mx x f 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 .4. 已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 .【题型三】复合函数的定义域【例3】1. 已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( )A. (-1,1)B. )21,1(--C. (-1,0)D. )1,21(解析:由题意知-1<2x +1<0,则-1<x <-12.答案:B2. 已知f (x 2-1)的定义域为[0,3],则函数y =f (x )的定义域为__________.解析:∵0≤x ≤3,∴0≤x 2≤9,∴-1≤x 2-1≤8,∴函数y =f (x )的定义域是[-1,8].【课堂练习3】1. 已知函数f (2x +1)的定义域为(0,1),则f (x )的定义域是______________.[解析]因为f (2x +1)的定义域为(0,1),即其中的函数自变量x 的取值范围是0<x <1,令t =2x +1,所以1<t <3,所以f (t )的定义域为{t |1<t <3},所以函数f (x )的定义域为{x |1<x <3}.2. 已知函数f (x )的定义域是[0,1],求g(x)=f (2x )+f (x +23)的定义域;解: 解不等式组0212013x x ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩,∴g(x) 的定义域是[0,13]. 【题型四】求函数的解析式 【例4】1. 已知f (x )=21xx+,求f (2x +1); 解析:f (2x +1)=244122+++x x x .2. f (x +1)=x +2x . 求f (x )的解析式;解:方法一:设u =x +1,则x =u -1(u ≥1),∴f (u )=(u -1)2+2(u -1)=u 2-1(u ≥1),即f (x )=x 2-1(x ≥1). 方法二:∵x +2x =(x +1)2-1,由于x ≥0,所以x +1≥1.∴ f (x )=x 2-1(x ≥1)3. y =f (x )是一次函数,且f (f (x ))=9x +8,求f (x )的解析式;解:由条件可设f (x )=ax +b (a ≠0),∵f [f (x )]=9x +8,∴有a (ax +b )+b =9x +8.比较系数可得⎩⎨⎧ a =3,b =2;或⎩⎨⎧a =-3,b =-4.故f (x )=3x +2或f (x )=-3x -4,4. f (x )=2f (1x)·x -1,求f (x )的解析式;解:在f (x )=2f (1x )x -1中,用1x 代替x ,得f (1x )=2f (x )1x -1,将f (1x )=2()f x x-1代入f (x )=2f (1x)x -1中,可求得f (x )=23x +13.(x>0) 5. f (0)=1,并且对任意实数x ,y ,有f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1),求f (x )的解析式.解:令x=0,y=-x,则f(x)=f(0)+x(0+x+1)=1+2xx +课堂小结:函数解析式的求法:(1)凑配法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式;(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;(3)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(4)方程思想:已知关于f (x )与f (1x )或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).(5)赋值法:赋x,y 特殊值,适用于解抽象函数。
2019-2020学年高中数学新教材必修一第3章 3.1.3 第1课时 奇偶性的概念
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关于y轴对称,其图像如图所示.
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利用函数的奇偶性求值
[探究问题] 1.对于定义域内的任意 x,若 f(-x)+f(x)=0,则函数 f(x)是否具 有奇偶性?若 f(-x)-f(x)=0 呢? 提示:由 f(-x)+f(x)=0 得 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 由 f(-x)-f(x)=0 得 f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
(1)画出在区间[-5,0]上的图像; (2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
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[解] (1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图像关 于原点对称.
由y=f(x)在[0,5]上的图像,可知它在[-5,0]上的图像,如图所 示.
(2)由图像知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
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3.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________. 4 [法一:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,f(-x)=(-x+ a)(-x-4)=x2-(a-4)x-4a,两式恒相等,则a-4=0,即a=4. 法二:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,要使函数为偶函 数,只需多项式的奇次项系数为0,即a-4=0,则a=4. 法三:根据二次函数的奇偶性可知,形如f(x)=ax2+c的都是偶 函数,因而本题只需将解析式看成是平方差公式,则a=4.]
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1.下列函数是偶函数的是( )
A.y=x
B.y=2x2-3
C.y=
1 x
D.y=x2,x∈[0,1]
B [选项 C、D 中函数的定义域不关于原点对称,选项 A 中的函
【新导学案】高中数学人教版必修一:121《函数的概念》(1)(2).doc
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1-2.1《函数的概念》(1)导学案【学习目标】1.通垃事富更例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;2.了解构成函数的要素;3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.【重点难点】重点:体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,正确理解函数的概念;难点:对函数概念及符号y于(兀)的理解。
【知识链接】(预习教材PQ Pm找出疑惑之处)复习1:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系?复习2:(初中对函数的定义)在一个变化过程中,有两个变量兀和y,对于兀的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之对应,此时y是兀的函数,x是自变量,y是因变量.表示方法有:解析法、列表法、图象法.【学习过程】探学习探究探究任务一:函数模型思想及函数概念问题:研处下面三个实例:A.一枚炮弹发射,经26秒后落地击屮目标,射高为845米, 且炮弹距地面高度h(米)与吋间t(秒)的变化规律是/? = 130r-5r2.B.近儿十年,大气层屮臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.C.国际上常用恩格尔系数(食物支出金额三总支出金额)反映一个国家人民生活质量的高低.“八五”计划以來我们城镇居民的恩格尔系数如下表.年份19911992199319941995• • •恩格尔系53.852.950. 149.949.9• • •数%讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存在着这样的对应关系?三个实例有什么共同点?归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为,对于数集力屮的每一个x,按照某种对应关系在数集〃屮都与唯一确定的y和它对应,记作:£A T B.新知:函数定义.设儿〃是非空数集,如果按照某种确定的对应关系使对于集合/中的任意一个数兀,在集合B中都有唯一确定的数/(x)和它对应,那么称f A T B为从集合A到集合B的一个函数(/unction),记作:y = /'(x), XG A.其中,x叫自变量,无的取值范围力叫作定义域(domain),与兀的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{/(X)\XE A}叫值域(range).试试:(1)已知/(X)= X2-2X +3,求/(0)、/(I)、/⑵、/(-I)的值.(2)函数尸兀$ 一?兀+ 3, {-1,0,1,2}值域是,反思:(1)值域与〃的关系是__________ ;构成函数的三要素是________________(2)常见函数的定义域与值域.探究任务二:区间及写法新知:设e?、b是两个实数,且曰〈力,贝】J:{x\a<x<b} = [a9b]叫闭区间;{x\a<x<b} = (a,b)叫开区间;{x\a<x<b} = [a,b) , {x\a<x<b} = (a,b]都叫半开半闭区间.实数集R用区间(-OO,+OO)表示,其中“8”读“无穷大”;“一8”读“负无穷大”;“+8”读“正无穷大”・试试:用区间表示.(1){x\x^a\ -_____________ 、{x\x>a} = __________{兀 | xW份二________ 、{x | x< b} = _________(2){无|兀vO弧>1}= __________ .(3)函数y=旅的定义域_____________ ,值域是 ___________ .(观察法)探典型例题例1已知函数f(X)= Vx + 1 .(1)求于⑶的值;(2)求函数的定义域(用区间表示);(3)求f(a2-})的值.变式: 己知函数f(x)=(1)求/⑶的值;(2)求函数的定义域(用区间表示);(3)求的值.探动手试试练].已知函数f(x) = 3x2+5x-29求/⑶、/(-血)、f(a +1)的值.练2.求函数/心治的定义域.【学习反思】探学习小结①函数模型应用思想;②函数概念;③二次函数的值域;④区间表示. 探知识拓展求函数定义域的规则:①分式:y 则&(兀)工0;• g(x)②偶次根式:y = 2V7w(«e/v4),贝Ij/(x)>o;③零次幕式:y = [/(x)]°,则/(x)^0.【基础达标】探自我评价你完成本节导学案的情况为( ).A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测(时量:5分钊|满分:10分)计分:1.已知函数g(/) = 2/2—l,贝ijg(l)=( ).A. 一1 ・・B. 0C. 1D. 22.函数f(x) = Vl-2x的定义域是( ).A- [g,+°°)丘(*,+°°)C.(-°°,*]D.(-汽*)3.已知函数/(x) = 2x + 3,若f(a) = i ,则沪().A. -2B. -1C. 1D. 24.函数y = x2,XG {-2,-1,0,1,2}的值域是__________ .25.函数y =--的定义域是__________________________ ,值域是 _______________ (用区间表示)心…丄拓展提升】1.求函数y =—的定义域与值域.x-12.已知y = f ⑴=&- 2 , t(x) = x2 +2x+ 3 .(1)求r(0)的值;(2)求/⑴的定义域;(3)试用x表示y.亲爱的同学:经过一番刻苦学习,大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧!成绩肯定会很理想的, 在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来,学以致用!在考试的过程中也要养成仔细阅读,认真审题,努力思考,以最好的状态考出好成绩!你有没有做到这些呢?是不是又忘了检查了?快去再检查一下刚完成的试卷吧!。
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A版必修第一册
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新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A 版必修第一册3.1.1 函数的概念(教师独具内容)课程标准:1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素,能求一些简单函数的定义域.教学重点:1.理解函数的定义,会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素,了解同一个函数的定义,会判定两个给定的函数是否是同一个函数.教学难点:1.对应关系f 的正确理解,函数符号y =f (x )的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一 函数的概念一般地,设A ,B 是非空的实数集,如果对于集合A 中的任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f ,在集合B 中都有□01唯一确定的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作□02y =f (x ),x ∈A .其中,x 叫做□03自变量,x 的取值范围A 叫做函数的□04定义域;与x 的值相对应的y 值叫做□05函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的□06值域.显然,□07值域是集合B 的子集. 注意:(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数,主要看是否满足三性:任意性、存在性、唯一性.这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)元素x ,在非空实数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应.这三性只要有一个不满足便不能构成函数.(2)集合A 是函数的定义域,因为给定A 中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应;集合B 不一定是函数的值域,因为B 中的元素可以在A 中没有与之对应的x ,也就是说,B 中的某些元素可以不是函数值,即{f (x )|x ∈A }⊆B .(3)在函数定义中,我们用符号y =f (x )表示函数,其中f (x )表示“x 对应的函数值”,而不是“f 乘x ”.知识点二 函数的两要素从函数的定义可以看出,函数有三个要素:□01定义域、□02对应关系、□03值域,由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以确定一个函数只需要两个要素:□04定义域和对应关系.即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系,只要检验:(1)定义域和对应关系是否给出;(2)根据给出的对应关系,自变量x 在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y 和它对应.知识点三 区间的概念(1)设a ,b 是两个实数,而且a <b .我们规定:①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做□01闭区间,表示为□02[a ,b ]; ②满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做□03开区间,表示为□04(a ,b ); ③满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做□05半开半闭区间,分别表示为□06[a ,b ),(a ,b ].这里的实数a 与b 都叫做相应区间的□07端点. 实数集R 可以用区间表示为□08(-∞,+∞),“∞”读作“□09无穷大”,“-∞”读作“□10负无穷大”,“+∞”读作“□11正无穷大”. 我们可以把满足x ≥a ,x >a ,x ≤b ,x <b 的实数x 的集合,用区间分别表示为□12[a ,+∞),□13(a ,+∞),□14(-∞,b ],□15(-∞,b ). (2)区间的几何表示在用数轴表示区间时,用实心点表示□16包括在区间内的端点,用空心点表示□17不包括在区间内的端点.(3)含“∞”的区间的几何表示注意:(1)无穷大“∞”只是一个符号,而不是一个数,因而它不具备数的一些性质和运算法则.(2)以“-∞”或“+∞”为区间一端时,这一端必须用小括号. 知识点四 同一个函数如果两个函数的□01定义域相同,并且□02对应关系完全一致,即相同的□03自变量对应的□04函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.【新知拓展】(1)函数符号“y =f (x )”是数学中抽象符号之一,“y =f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示,不表示y 等于f 与x 的乘积,f (x )也不一定是解析式,还可以是图表或图象.(2)函数的概念中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)数x ,在非空实数集B 中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y 和它对应,这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应.( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )(3)定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定了.( )(4)若函数的定义域中只有一个元素,则值域中也只有一个元素.( )(5)对于定义在集合A 到集合B 上的函数y =f (x ),x 1,x 2∈A ,若x 1≠x 2,则f (x 1)≠f (x 2).( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f ,不能确定从集合A 到集合B 的函数关系的是________. ①A ={1,4},B ={-1,1,-2,2},对应关系:开平方; ②A ={0,1,2},B ={1,2},对应关系:③A =[0,2],B =[0,1],对应关系:(2)下列函数中,与函数y =x 是同一个函数的是________. ①y =x 2;②y =3x 3;③y =(x )2;④s =t . 答案 (1)①③ (2)②④题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域: (1)y =2x +3;(2)f (x )=1x +1;(3)y =x -1+1-x ;(4)y =x +1x 2-1;(5)y =(1-2x )0. [解] (1)函数y =2x +3的定义域为{x |x ∈R }.(2)要使函数式有意义,即分式有意义,则x +1≠0,x ≠-1.故函数的定义域为{x |x ≠-1}.(3)要使函数式有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,1-x ≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,x ≤1,所以x =1,从而函数的定义域为{x |x =1}.(4)因为当x 2-1≠0,即x ≠±1时,x +1x 2-1有意义,所以函数的定义域是{x |x ≠±1}. (5)∵1-2x ≠0,即x ≠12,∴函数的定义域为{|x x ≠12}.例2 已知函数f (x )的定义域是[-1,4],求函数f (2x +1)的定义域. [解] 已知函数f (x )的定义域是[-1,4],即-1≤x ≤4. 故对于f (2x +1)应有-1≤2x +1≤4. ∴-2≤2x ≤3,∴-1≤x ≤32,∴函数f (2x +1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,32. 例3 如图所示,用长为1 m 的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完),若半圆的半径为x (单位:m),求此框架围成的面积y (单位:m 2)与x 的函数关系式.[解] 由题意可得,AB =2x ,CD ︵的长为πx , 于是AD =1-2x -πx2,∴y =2x ·1-2x -πx 2+πx 22,即y =-π+42x 2+x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0,1-2x -πx2>0,得0<x <1π+2,∴此函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1π+2. 故所求的函数关系式为y =-π+42x 2+x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1π+2.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式:若y =f (x )为整式,则函数的定义域是实数集R .(2)分式:若y =f (x )为分式,则函数的定义域为使分母不为0的实数集.(3)偶次根式:若y =f (x )为偶次根式,则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义).(4)几部分组成:若y =f (x )是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式,定义域是使各部分都有意义的集合的交集.(5)对于抽象函数的定义域:①若f (x )的定义域为[a ,b ],则f [g (x )]中,g (x )∈[a ,b ],从中解得x 的解集即f [g (x )]的定义域.②若f [g (x )]的定义域为[m ,n ],则由x ∈[m ,n ]可确定g (x )的范围,设u =g (x ),则f [g (x )]=f (u ),又f (u )与f (x )是同一个函数,所以g (x )的范围即f (x )的定义域.③已知f [φ(x )]的定义域,求f [h (x )]的定义域,先由f [φ(x )]中x 的取值范围,求出φ(x )的取值范围,即f (x )中的x 的取值范围,即h (x )的取值范围,再根据h (x )的取值范围便可以求出f [h (x )]中x 的取值范围.(6)实际问题:若y =f (x )是由实际问题确定的,其定义域要受实际问题的约束.如:例3中,任何一条线段的长均大于零.[跟踪训练1] (1)若函数f (x +1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,2,则函数f (x -1)的定义域为________;(2)求下列函数的定义域:①y =(x +1)2x +1-1-x ;②y =x +1|x |-x ;(3)①求函数y =5-x +x -1-1x 2-9的定义域; ②将长为a m 的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完),求矩形的面积y (单位:m 2)关于一边长x (单位:m)的解析式,并写出此函数的定义域.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,4 (2)见解析 (3)见解析解析 (1)由题意知,-12≤x ≤2,则12≤x +1≤3,即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,3,∴12≤x -1≤3,解得32≤x ≤4.∴f (x -1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,4.(2)①要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠0,1-x ≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠-1,x ≤1,∴函数的定义域为{x |x ≤1,且x ≠-1}.②要使函数有意义,需满足|x |-x ≠0,即|x |≠x , ∴x <0.∴函数的定义域为{x |x <0}. (3)①解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5-x ≥0,x -1≥0,x 2-9≠0,得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5,x ≥1,x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5,且x ≠3}.②因为矩形的一边长为x ,则另一边长为12(a -2x ),所以y =x ·12(a -2x )=-x 2+12ax ,定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <a 2. 题型二 已知函数值求自变量的值例4 已知函数f (x )=2x 2-4,x ∈R ,若f (x 0)=2,求x 0的值. [解] 易知f (x 0)=2x 20-4, ∴2x 20-4=2,即x 20=3. 又∵x 0∈R ,∴x 0=± 3. 金版点睛就本例而言,已知函数值求自变量的值就是解方程,需要注意:所求的自变量的值必须在函数的定义域内.如果本例中加一个条件“x ∈[0,+∞)”,则x 0=3(-3不符合题意,舍去).[跟踪训练2] 已知函数f (x )=x 2-2x ,x ∈(-∞,0),若f (x 0)=3.求x 0的值. 解 由题意可得f (x 0)=x 20-2x 0. ∴x 20-2x 0=3,即x 20-2x 0-3=0. 解得x 0=3或x 0=-1.又∵x 0∈(-∞,0),∴x 0=-1. 题型三 已知自变量的值求函数值 例5 已知f (x )=x 2,x ∈R ,求: (1)f (0),f (1); (2)f (a ),f (a +1).[解] (1)f (0)=02=0,f (1)=12=1. (2)∵a ∈R ,a +1∈R , ∴f (a )=a 2,f (a +1)=(a +1)2. 金版点睛对于函数定义域内的每一个值,都可以求函数值(当然函数值唯一),本例可以直接应用公式:f (x )=x 2求解,实质上就是求代数式的值,例如f (1)就是当x =1时,代数式x 2的值,而f (a +1)就是当x =a +1时,代数式x 2的值.[跟踪训练3] 已知f (x )=x +1x +1,求: (1)f (2);(2)当a >0时,f (a +1)的值. 解 (1)f (2)=2+13.(2)易知f (x )的定义域A =[0,+∞), ∵a >0,∴a +1>1,则a +1∈A , ∴f (a +1)=a +1+1a +2. 题型四 求函数的值域 例6 求下列函数的值域: (1)y =x +1,x ∈{1,2,3,4,5}; (2)y =x 2-2x +3,x ∈[0,3); (3)y =2x +1x -3;(4)y =2x -x -1.[解] (1)(观察法)因为x ∈{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.(2)(配方法)y =x 2-2x +3=(x -1)2+2,由x ∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[2,6).(3)(分离常数法)y =2x +1x -3=2(x -3)+7x -3=2+7x -3,显然7x -3≠0,所以y ≠2. 故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).(4)(换元法)设t =x -1,则x =t 2+1,且t ≥0,所以y =2(t 2+1)-t=2⎝ ⎛⎭⎪⎫t -142+158,由t ≥0,再结合函数的图象(如右图),可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158,+∞. 金版点睛求函数值域的原则及常用方法(1)原则:①先确定相应的定义域;②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域. (2)常用方法①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察法得到. ②配方法:是求“二次函数”类值域的基本方法.③换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.对于f (x )=ax +b +cx +d (其中a ,b ,c ,d 为常数,且ac ≠0)型的函数常用换元法.④分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.[跟踪训练4] 求下列函数的值域: (1)y =xx +1;(2)y =x 2-4x +6,x ∈[1,5); (3)y =x +x +1. 解 (1)∵y =xx +1=(x +1)-1x +1=1-1x +1,且1x +1≠0,∴函数y =xx +1的值域为{y |y ≠1}.(2)配方,得y =(x -2)2+2. ∵x ∈[1,5),∴结合函数的图象可知,函数的值域为{y |2≤y <11}. (3)(换元法)设t =x +1,则x =t 2-1,且t ≥0,所以y =t 2+t -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫t +122-54,由t ≥0,再结合函数的图象可得函数的值域为[-1,+∞). 题型五 相同函数的判断例7 下列各组函数表示同一函数的是( ) A .f (x )=x ,g (x )=(x )2B .f (x )=x 2+1,g (t )=t 2+1 C .f (x )=1,g (x )=x xD .f (x )=x ,g (x )=|x |[解析] A 项中,由于f (x )=x 的定义域为R ,g (x )=(x )2的定义域为{x |x ≥0},它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数.B 项中,函数的定义域、值域和对应关系都相同,所以它们是同一函数.C 项中,由于f (x )=1的定义域为R ,g (x )=x x的定义域为{x |x ≠0},它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数.D 项中,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,所以它们不是同一函数. [答案] B 金版点睛判断两个函数为同一函数的条件(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同.定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是相同函数.(2)函数是两个实数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.另外,在化简解析式时,必须是等价变形.[跟踪训练5] 下列函数中哪个与函数y =x 相同?(1)y =(x )2;(2)y =3x 3;(3)y =x 2;(4)y =x 2x.解 (1)y =(x )2=x (x ≥0),y ≥0,定义域不同且值域不同,所以不相同. (2)y =3x 3=x (x ∈R ),y ∈R ,对应关系相同,定义域和值域都相同,所以相同. (3)y =x2=|x |=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,y ≥0;值域不同,且当x <0时,它的对应关系与函数y=x 不相同,所以不相同.(4)y =x 2x的定义域为{x |x ≠0},与函数y =x 的定义域不相同,所以不相同.1.下列各图中,可能是函数y =f (x )的图象的是( )答案 D解析 A ,B 中的图象与y 轴有两个交点,即有两个y 值与x =0对应,所以A ,B 不可能是函数y =f (x )的图象;对于C 中图象,过x =1作与x 轴垂直的直线,与图象有两个交点,所以C 不可能是函数y =f (x )的图象.故选D.2.函数f (x )=x +2-x 的定义域是( )A .{x |x ≥2} B.{x |x >2}C .{x |x ≤2} D.{x |x <2}答案 C解析 要使函数式有意义,则2-x ≥0,即x ≤2.所以函数的定义域为{x |x ≤2}.3.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( )A .(-1,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-12 C .(-1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1 答案 B解析 ∵原函数的定义域为(-1,0),∴-1<2x +1<0,解得-1<x <-12. ∴函数f (2x +1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫-1,-12. 4.已知函数f (x )=x 2-2ax +5的定义域和值域都是[1,a ],则a =________.答案 2解析 因为f (x )=(x -a )2+5-a 2,所以f (x )在[1,a ]上是减函数,又f (x )的定义域和值域均为[1,a ],所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)=a ,f (a )=1,即⎩⎪⎨⎪⎧ 1-2a +5=a ,a 2-2a 2+5=1,解得a =2. 5.已知函数f (x )=x 2+x -1.(1)求f (2),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ,f (a +1); (2)若f (x )=5,求x . 解 (1)f (2)=22+2-1=5,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x 2+1x -1=1+x -x 2x 2, f (a +1)=(a +1)2+(a +1)-1=a 2+3a +1.(2)∵f (x )=x 2+x -1=5,∴x 2+x -6=0,解得x =2或x =-3.。
2019年高中数学人教版必修1(全部教案).doc
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集合的含义与表示(第一课时)教学时间:2010年8月26日星期四教学班级:高一(11、12)班教学目标:1.理解集合的含义。
2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。
3.熟记有关数集的专用符号。
4.培养学生认识事物的能力。
教学重点:集合含义教学难点:集合含义的理解教学方法:尝试指导法教学过程:引入问题(I)提出问题问题1:班级有20名男生,16名女生,问班级一共多少人问题2:某次运动会上,班级有20人参加田赛,16人参加径赛,问一共多少人参加比赛讨论问题:按小组讨论。
归纳总结:问题2已无法用学过的知识加以解释,这是与集合有关的问题,因此需用集合的语言加以描述(板书标题)。
复习问题问题3:在小学和初中我们学过哪些集合(数集,点集)(如自然数的集合,有理x-<的解的集合,到一个定点的距离等于定长的点的集合,到一条数的集合,不等式73线段的两个端点距离相等的点的集合等等)。
(II)讲授新课(1)含义:一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)。
说明:在初中几何中,点,线,面都是原始的,不定义的概念,同样集合也是原始的,不定义的概念,只可描述,不可定义。
(2)表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示,而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
问题4:由此上述例中集合的元素分别是什么2. 集合元素的三个特征(1)确定性:设A是一个给定的集合,a是某一具体的对象,则a或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种而且只有一种成立。
如:“地球上的四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)“中国古代四大发明”(造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大的数”,“平面点P周围的点”一般不构成集合元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作a∈A;若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作a∉A。
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2019-2020学年高中数学 函数的概念教案2 新人教版必修1 课 型:新授课
教学目标:
(1)会求一些简单函数的定义域与值域,并能用“区间”的符号表示;
(2)掌握复合函数定义域的求法;
(3)掌握判别两个函数是否相同的方法。
教学重点:会求一些简单函数的定义域与值域。
教学难点:复合函数定义域的求法。
教学过程: 一、复习准备:
1. 提问:什么叫函数?其三要素是什么?函数y =x
x 2
3与y =3x 是不是同一个函数?为什么?
2. 用区间表示函数y =ax +b (a ≠0)、y =ax 2+bx +c (a ≠0)、y =x
k (k ≠0)的定义域与值域。
二、讲授新课:
(一)函数定义域的求法:
函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
例1:求下列函数的定义域(用区间表示)
⑴ f(x )=2
32--x x ; ⑵
; ⑶ f(x)=1+x -x x -2; 学生试求→订正→小结:定义域求法(分式、根式、组合式)
说明:求定义域步骤:列不等式(组) → 解不等式(组)
*复合函数的定义域求法:
(1)已知f(x)的定义域为(a,b ),求f(g(x))的定义域;
求法:由a<x<b ,知a<g(x)<b ,解得的x 的取值范围即是f(g(x))的定义域。
(2)已知f(g(x))的定义域为(a,b ),求f(x)的定义域;
求法:由a<x<b ,得g(x)的取值范围即是f(x)的定义域。
例2.已知f(x)的定义域为[0,1],求f(x +1)的定义域。
例3.已知f(x-1)的定义域为[-1,0],求f(x+1)的定义域。
巩固练习:
1.求下列函数定义域:
(1
)()f x = (2)1()11f x x
=+ 2.(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求2(1)f x +的定义域;
(2)已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1],求f(1-3x)的定义域。
(二)函数相同的判别方法: 函数是否相同,看定义域和对应法则。
例5.(课本P 18例2)下列函数中哪个与函数y=x 相等? (1
)2y =; (2
)y =
(3
)y = (4) 2
x y x
= 三)课堂练习:
1.课本 P19练习1,3;
2.求函数y=-x2+4x-1 ,x∈[-1,3) 的值域。
归纳小结:
本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。
作业布置:
习题1.2A组,第1,2;
课后记:。