完整版2019年考研数学学霸手抄笔记
考研高数精品笔记
(二)性质：1.∫aaf (x )dx =02.∫ba f (x )dx =‒∫ab f (x )dx 3.∫ba kf (x )dx =k ∫ba f (x )dx4.∫ba [f 1(x )±f 2(x )]=∫ba f 1(x )dx ±∫ba f 2(x )dx 5.∫ba f (x )dx =∫ca f (x )dx +∫bc f (x )dx6.若f(x)≥0，x [a,b]，则∈∫ba f (x )dx ≥07.若f(x)≥g(x) ，x [a,b]，则∈∫ba f (x )dx ≥∫ba g (x )dx8.m ≤f(x)≤M ，x [a,b]，则m(b-a)≤≤M(b-a)∈ ∫ba f (x )dx (三)基本定理1.积分中值定理：f(x)在[a,b]连续，则在[a,b]中存在一点，使得ξ∫ba f (x )dx =f (ξ)(b ‒a)常把f(称为积分平均值。
ξ) 2.变限积分：函数变上限φ(x )=∫xa f (t )dt φ'(x)=f(x)变下限φ(x )=∫b x f (t )dtφ'(x)=‒f(x)φ(x )=∫u(x)af (t )dtφ'(x)=f[u (x )]∙u'(x)φ(x )=∫bv(x)f (t )dt φ'(x)=‒f[v (x )]∙v'(x)φ(x )=∫u(x)v (x)f (t )dt φ'(x)=f [u (x )]∙u '(x )‒f[v (x )]∙v'(x )3.牛顿-莱布尼茨公式:F’(x)=f(x)则∫ba f (x )dx =F (x )|ba =F (b )‒F(a)第3节反常积分（广义积分）定积分：（1）有限区间。
（2）区间内有界。
(一)无穷区间上的广义积分，若极限存在，称广义积分是收敛的。
若极限不∫+∞a f (x )dx =lim b→+∞∫ba f (x )dx存在，称广义积分是发散的。
2019年考研数学各个科目的考点详解-范文word版 (6页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==考研数学各个科目的考点详解我们在准备考研数学的考试准备时，需要把各个科目的考点了解清楚。
小编为大家精心准备了考研数学各个科目的考点指南，欢迎大家前来阅读。
考研数学三大科目考点解析一、高等数学高数是考研数学的重中之重。
高数真题体现出以下规律：侧重对数学(一)、(二)、(三)独有知识的考查。
多元积分部分的曲线积分、曲面积分及几大公式(格林、高斯和斯托克斯)是数学(一)的独有内容，也是必考内容。
今年有一道考查三重积分计算的填空题和考查曲线积分的解答题;曲率、形心质心和其他物理应用是数学(二)常考内容，今年就考了一道关于温度变化的解答题;数三的特色是经济应用——建立收益、成本、销量、价格等经济变量的函数关系、边际收益和边际成本、弹性问题，今年考了经济应用的解答题。
考查考生运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
上文提到的几何应用、物理应用和经济应用即为证明。
考点覆盖较全。
上表列出的数学(三)的高数考点即为例证。
提醒考生不要心存侥幸心理，要全面复习。
二、线性代数线代的规律若用两个关键字概括，为“综合”和“灵活”。
线代这门学科的知识结构是一个网状结构，知识点之间的联系非常多。
请思考一个问题：矩阵可逆有哪些等价条件?从行列式的角度，为矩阵的行列式不等于零;从向量组的角度，是矩阵的行向量组或列向量组线性无关;从线性方程组的角度，是以矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组仅有零解或矩阵为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解;从秩的角度，是矩阵满秩;从特征值的角度，是矩阵的特征值不含零;从二次型的角度，为矩阵的转置乘矩阵这个新矩阵正定。
不难看到，从一个核心概念“矩阵可逆”出发，可以把整个线性代数的五章全串起来。
既然知识点的联系如此之多，那么一道题联系多个考点或需考生从不同角度考虑就很自然了。
人教版八下数学 学霸笔记整理19.2.3 一次函数与方程、不等式
人教版八下数学学霸笔记整理19.2.3 一次函数与方程、不等式1.因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.2.因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0 (a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于当某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.3.一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.这样直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.4.由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少;从“形”的角度看,解这样方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.1.解关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)可以转化为:已知函数y=kx+b的函数值为0,求相应的自变量x的值.从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴的交点的横坐标.2.用图象法求解问题,作图要准确.1.规律方法:(1)根据图象求关于x的不等式kx+b>mx+n的解的方法:①求当自变量x取何值时,直线y=(k-m)x+b-n上的点在x轴的上方;②求当x取何值时,直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方.特别说明:不等号为“<”时,道理类似.(2)用图象法解二元一次方程组的一般步骤:①先把方程组中的两个二元一次方程转化成一次函数的形式;②建立平面直角坐标系,画出这两个一次函数的图象;③写出这两条直线的交点的横、纵坐标,从而得出二元一次方程组的近似解(横坐标为x,纵坐标为y).2.解题技巧:(1)在直角坐标系中,以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点的集合组成的图象就是一次函数y=kx+b 的图象.(2)由于两条直线的交点坐标是由这两条直线的解析式所组成的二元一次方程组的解,所以求两条直线的交点坐标时,通常把两个一次函数的解析式联立成二元一次方程组,通过解方程组求得.[典例精析]【例1】 如图,已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P ,根据图象可得方程组{x -y =2,2x +y =1的解是( )A.{x =1,y =1B.{x =-1,y =-1C.{x =1,y =-1D.{x =-1,y =1解析:由y=x-2,得x-y=2;由y=-2x+1,得2x+y=1.由图象可知:函数y=x-2和y=-2x+1的图象的交点P 的坐标是(1,-1).∴方程组{x -y =2,2x +y =1的解是{x =1,y =-1.故选C . 答案:C 解题总结:二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解,即两条直线的交点坐标.【例2】 如图,直线y=kx+b 经过点A (-1,-2)和点B (-2,0),直线y=2x 经过点A ,则2x<kx+b<0的解集为( )A.x<-2B.-2<x<-1C.-2<x<0D.-1<x<0解析:2x<kx+b<0体现的几何意义就是直线y=kx+b上,位于直线y=2x上方,x轴下方的那部分点,显然,这些点在点A与点B之间.故选B.答案:B解题总结:解决此类问题关键是仔细观察图形,注意几个关键点(两直线的交点,直线与坐标轴的交点、原点等),数形结合求解即可.。
2019年自学考试《高等数学(一)》复习笔记精品文档12页
2019年自学考试《高等数学(一)》复习笔记一、函数1.知识范围(1)函数的概念函数的定义函数的表示法分段函数隐函数(2)函数的性质单调性奇偶性有界性周期性(3)反函数反函数的定义反函数的图像(4)基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数(5)函数的四则运算与复合运算(6)初等函数2.要求(1)理解函数的概念。
会求函数的表达式、定义域及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。
(2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
(3)了解函数与其反函数之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。
(4)熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
(5)掌握基本初等函数的性质及其图像。
(6)了解初等函数的概念。
(7)会建立简单实际问题的函数关系式。
二、极限1.知识范围(1)数列极限的概念数列数列极限的定义(2)数列极限的性质唯一性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理(3)函数极限的概念函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限函数极限的几何意义(4)函数极限的性质唯一性四则运算法则夹通定理(5)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的阶(6)两个重要极限2.要求(1)理解极限的概念(对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”等形式的描述不作要求)。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量代换求极限。
(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
-------------------------------------0114三、连续1.知识范围(1)函数连续的概念函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点及其分类(2)函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性(3)闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值与最小值定理介值定理(包括零点定理)(4)初等函数的连续性2.要求(1)理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法。
人教版八下数学 学霸笔记整理19.1.2 函数的图象
人教版八下数学学霸笔记整理19.1.2函数的图象1.一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.2.观察函数图象时,首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么,也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系,而且还要观察函数图象是怎样的变化发展趋势.3.描点法画函数图象的一般步骤如下:第一步,列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;第二步,描点——在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;第三步,连线——按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接起来.4.写出函数解析式,或者列表格,或者画函数图象,都可以表示具体的函数.这三种表示函数的方法,分别称为解析式法、列表法和图象法.1.函数图象可以是直线、射线、线段,也可以是折线、曲线等;不同的函数解析式所对应的函数的图象不同.2.三种表示函数的方法各有优缺点,应用时要视具体情况,选择适当的表示方法,或将三种方法结合使用.1.规律方法:(1)函数图象上任意一点P(x,y) 中的x,y都满足函数关系式;满足函数关系式的任意一对x,y的值所对应的点一定在函数图象上.(2)判断点Q(x,y)是否在函数图象上的方法是:将点Q(x,y)的坐标代入相应的函数关系式,如果满足函数关系式,则点Q就在函数图象上;否则,点Q就不在函数图象上.(3)画函数的图象:①列表:列表给出自变量与其对应函数值,通常把自变量x的值放在表的第一行,其对应函数值放在第二行,其中x的值从小到大;同时列表时,还应注意自变量的取值范围,取值时可以由小到大,也可以由中间向两边取,根据实际情况,灵活对待.选点应有代表性,不能太少,应尽量使画出的函数图象能反映函数的变化情况.②描点:描点时一般把关键的点准确地描出,取的点越多,画出的图象越准确.③连线:连线时,有时是用线段(直的),有时是用平滑的曲线,具体用哪种“线”,要看整个图象的发展趋势,让人感觉过渡自然.2.解题技巧:观察图象获取信息时,一定要注意图象上的特殊点,如与坐标轴的交点、图象的拐点、线段的端点等,这些特殊点的意义往往对问题解决有很大的帮助.同时,多思考和联想,结合生活中的实际例子去理解.[典例精析]【例1】判断点M(2,-1),N(-4,0),Q(1,2)是否在函数y=3x2-2x+1的图象上.分析:把点的坐标代入函数解析式,看是否满足函数解析式,如果左右两边相等,则该点在函数的图象上,否则就不在.解:将x=2代入y=3x2-2x+1,可得:3×22-2×2+1=9≠-1,∴点M(2,-1)不在函数的图象上;将x=-4代入y=3x2-2x+1,可得:3×(-4)2+8+1≠0,∴点N(-4,0)不在函数的图象上;将x=1代入y=3x2-2x+1,可得:3×12-2+1=2,∴点Q(1,2)在函数的图象上.解题总结:判断一个点是否在函数图象上(或函数图象是否通过这个点),一般是把点的横坐标代入函数的解析式求出对应的函数值,如果求出的函数值与所给的点的纵坐标相同,说明点在函数图象上,否则说明点不在函数图象上.【例2】画函数y=12x2的图象,并判断下列各点是否在该函数的图象上.A-1,12,B-12,14,C(0,-1),D(2,2).分析:根据描点法,可得函数图象,根据点的坐标是否满足函数解析式,可得点是否在函数图象上.解:列表:描点、连线,如图所示:当x=-1时,y=12,故A -1,12在函数图象上; 当x=-12时,y=18,故B -12,14不在函数图象上; 当x=0时,y=0,故C (0,-1)不在函数图象上;当x=2时,y=2,故D (2,2)在函数图象上.解题总结:在作图时,描的点不能太少,利用描点法画函数图象要用平滑曲线.。
150分考研学长精心整体总结的数学笔记(看了至少能提高80分)
150分考研学长自己进行总结整理的数学笔记——呕心沥血之作，对大家绝对有很大帮助！！！题记：得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中，大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。
真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。
我今年数学考得不够好的原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提醒自己时刻细心做题。
数学的辅导书我个人比较反感陈文登的，蛮支持李永乐的，蔡遂林的也不错。
我数学资料做了一大批。
要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！一、辅导书点评2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。
轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析，让你知道考研真正考什么？该准备什么。
强烈推荐。
2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题，很像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。
2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。
黄庆怀考研高数辅导书--北航出版社出版，这是我见过最好的高数辅导书，有条理有深度，值得买。
武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。
强烈推荐。
其实上面这么多书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。
线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。
2019-考研数学高数复习需要掌握的要点-优秀word范文 (6页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==考研数学高数复习需要掌握的要点近年来考研数学试题难度比较大，平均分比较低，而高等数学又是考研数学的重中之重。
小编为大家精心准备了考研数学高数复习的知识点，欢迎大家前来阅读。
考研数学高数复习的重点从大纲中拓实基础高等数学包括八章内容：1、函数、极限、连续;2、一元函数微分学;3、一元函数积分学;4、向量代数和空间解析几何;5、多元函数微分学;6、多元函数积分学;7、无穷级数;8、常微分方程。
每一章又有若干知识点，比如函数、极限与连续部分主要考查分段函数极限或已知极限原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根等。
考生在正式考纲出来前，可依据前一年的考纲内容进行复习。
等当年考纲出来后，再查补大纲更改后的知识点。
分析近几年考生的数学答卷可以发现，很多考生失分的重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，对数学中最基本的方法掌握不好，给解题带来思维上的困难。
由此我提醒考生，在复习过程中，一定要按照大纲对数学基本概念、基本方法、基本定理准确把握。
因为只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。
从训练中形成解题思路记牢基本概念、定理、公式和结论后，要加强针对性的训练。
“练”字当头说明了数学考试就是解题，像基本概念、基本公式、基本结论等也只有在反复练习中才会真正巩固。
因此，考研数学要拿高分，前后不做上千道题是不行的，除此以外没有什么“速成”之类的旁门左道。
题做多后，就会提高解题能力，尤其是解综合性试题和应用题能力。
复习时考生要注意搞清有关知识的纵向、横向联系，形成一个有机的体系。
例如，解应用题一般是在理解题意的基础上建立数学模型，这种题目现在每年都考，考生需要平时进行强化训练。
2019考研数学二高数线代笔记
如例3：设f(x)在x=x0处可导，g(x)在x=x0处连续但不可导，证明 在x=x0处可导的充要条件是f(x0)=0.
注：例3子题：
例3子题： 。2个
2.微分
设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。
如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。
五大方面的应用
1、涉及f(x)的定理的使用（有最介零）
2、罗尔定理的使用
3、拉格朗日定理的使用
（一般为等式证明）
2）给高阶条件推出低阶不等式
3）给低阶条件推出高阶不等式
4）具体化f，由a<ξ<b推出不等式
4、柯西中值定理的使用
可能是一个具体函数，一个抽象函数，在添加拉格朗日定理。
5、高阶导数的证明问题——
2）代数余子式：(-1)i+jMij=Aij、(-1)i+jAij=Mij、Aij为代数余子式
3）展开公式：
2、行列式的计算
1）具体型
（行和或列和相等）
注意：
如例题：
②消零降价法（）
如例题：
③加边法
如例题：
注：爪型行列式用斜爪消平爪
④递推法（高阶推低阶）
如例题：
⑤数学归纳法（低阶推高阶）
注意：第一数归法和第二数归法的区别，先找出关系，再确定用哪种方法
如例3：当 >0，证明
注：该结论证明x的正次幂趋向0比lnx趋向 的速度快，x的正次幂趋向+∞比e-δx趋向0的速度慢
2019年2020年考研管理类联考数学复习笔记
概念篇——整数1.0是自然数，最小的自然数是0；1既不是质数，也不是合数；2.偶数：2n；奇数2n+1或2n-1，其中n属于整数；3.奇数与偶数：相邻两整数必有一奇一偶，在一个加（减）算式中，判断其结果的奇偶性，只取决于奇数的个数（奇数个奇数为奇，其余均为偶）4.奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数；5. 最小的质数是2，（20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19）；6. 最小的合数是4，（20以内的合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20）；7.公倍数和公约数：对于两个整数，两数之积等于最小公倍数乘以最大公约数8. 因式定理：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。
反过来，多项式f(x)含有因式x-a，则立即推f(a)=0；可以进一步理解，当因式为0时，原表达式也为0。
9.10.整除的特点：能被2整除的数：个位为0、2、4、6、8能被3整除的数：各数位数字之和必能被3整除；能被5整除的数：个位为0或5能被9整除的数：各数位数字之和必能被9整除199习题篇20180117答案1. 已知3a2+2a+5是一个偶数，那么整数a一定是（）A.奇数B.偶数C.任意数D.0E.质数【解析】因为2a是偶数，所以3a2+5也是偶数，所以3a2是奇数，a一定是奇数。
【考点】奇数和偶数的概念和计算2. 2，5，7，11都是质数，如果把其中的三个数相乘，再减去第四个数，这样得到的数中，是质数的个数为（）A.1B.2C.3D.4E.0【解析】列举法进行依次计算即可。
3832-11751037-11521495-11725911-752=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯所得结果均为质数 【考点】质数的概念3. 已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，这两个自然数的乘积一定是（ ） A.9的倍数 B.7的倍数 C.45的倍数 D.75的倍数 E.18的倍数 【解析】设两个自然数分别为a,b 且a<b ，又因为二者的最大公约数是5，故可以令a=5a 1 b=5b 1 ，由题干可得5a 1+5b 1=50. 故a 1+b 1=10，结合a,b 的最大公约数为5，可知，a 1和b 1二者是互质的，所以取值有两组，1和9, 3和7。
2019年考研数学易错点分析【三篇】
2019年考研数学易错点分析【三篇】2.基本初等函数与初等函数的连续性：基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。
3.极值点，拐点。
驻点与极值点的关系：在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点，而函数的极值点必是函数的驻点或导数不存有的点。
注意极值点和拐点的定义一充、二充、和必要条件。
4.夹逼定理和用定积分定义求极限。
这两种方法都能够用来求和式极限，注意方法的选择。
还有夹逼定理的应用，特别是无穷小量与有界量之积仍是无穷小量。
5.可导是对定义域内的点来说的，处处可导则存有导函数，只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存有导函数，即使该函数在其它各处均可导。
6.泰勒中值定理的应用，可用于计算极限以及证明。
7.比较积分的大小。
定积分比较定理的应用(常用画图法)，多重积分的比较，特别注意第二类曲线积分，曲面积分不可直接比较大小。
8.抽象型的多元函数求导，反函数求导(高阶)，参数方程的二阶导，以及与变限积分函数结合的求导9.广义积分和级数的敛散性的判断。
10.介值定理和零点定理的应用。
关键在于观察和变换所要证明等式的形式，构造辅助函数。
11.保号性。
极限的性质中最重要的就是保号性，注意保号性的两种形式以及成立的条件。
12.第二类曲线积分和第二类曲面积分。
在求解的过程中一般会使用格林公式和高斯公式，绝大部分同学都会把精力注重在是否闭合，偏导是否连续上，而忘记了第三个条件——方向，要引起注意。
【第二篇：线性代数】1、行列式的计算。
行列式直接考察的概率不高，但行列式是线代的工具，判定系数矩阵为方阵的线性方程组解的情况及特征值的计算都会用到行列式的计算，故要引起重视。
2、矩阵的变换。
矩阵是线代的研究对象，线性方程组、特征值与特征向量、相似对角化，二次型，其实都是在研究矩阵。
一定要注意在化阶梯型时只能对矩阵做行变换，不可做列变换变换。
3、向量和秩。
向量和秩比较抽象，也是线代学习的重点和难点，研究线性方程组解的情况其实就是在研究系数矩阵的秩，也是在研究把系数矩阵按列分块得到的向量组的秩。
2013 【张宇】考研高数 高清手写版笔记(完整版)
目录第一讲极限一极限定义 (3)二极限性质 (4)三函数极限基本计算 (8)四综合计算 (11)五数列极限计算 (14)六函数连续与间断 (16)第二讲一元函数微积分一概念 (17)1. 导数 (18)2. 微分 (20)3. 不定积分 (21)4. 定积分 (23)5. 变限积分 (28)6. 反常积分 (29)二计算 (29)1. 求导 (29)2. 求积 (33)三应用 (40)1. 微分应用 (40)2. 积分应用 (43)四逻辑推理 (43)1. 中值定理 (49)2. 等式证明 (50)3. 不等式证明 (51)第三讲多元函数的微分学（公共部分）一概念 (51)1. 极限的存在性 (51)2. 极限的连续性 (52)3. 偏导数的存在性 (52)4. 可微性 (53)5. 偏导数的连续性 (54)二计算 (54)三应用 (56)第四讲二重积分（公共部分）一概念与性质 (59)二计算 (60)1. 基础题 (60)2. 技术题 (61)三综合计算 (62)第五讲微分方程一概念及其应用 (63)二一阶方程的求解 (64)三高阶方程的求解 (66)第六讲无穷级数一数项级数的判敛 (67)二幂级数求收敛域 (69)三展开与求和 (69)四傅里叶级数 (71)第七讲多元函数微分学一基础知识 (73)二应用 (75)第八讲多元函数积分学一三重积分 (76)二第一型曲线、曲面积分 (78)1. 一线 (78)2. 一面 (79)三第二型曲线、曲面积分 (80)1. 二线 (81)2. 二面 (83)。
初三数学学霸手写笔记
初三数学学霸手写笔记数学笔记一、正比例函数和反比例函数1.正比例函数如果两个变量x和y之间存在以下关系：当x的值增加k倍时，y的值也增加k倍，则称x和y的关系是正比例关系，这种关系在数学上可以表示为：y=kx其中k为比例系数，k大于0。
2.反比例函数如果两个变量x和y之间存在以下关系：当x的值增加k倍时，y的值减小k倍，则称x和y的关系是反比例关系，这种关系在数学上可以表示为：y=k/x其中k为比例系数，k大于0。
二、直线上的图像1.坐标系坐标系是一个平面直角坐标系，它由两条数轴组成，分别垂直于彼此。
其中横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
坐标系中任意点的位置都可以用一个(x,y)有序对来表示。
2.斜率在坐标系中，一条直线的斜率被定义为此直线水平距离和竖直距离的比率，它可以用以下公式来计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)其中(x1,y1)和(x2,y2)是该直线上的两点。
3.截距在坐标系中，如果一条直线与y轴相交，我们称这个交点的坐标为直线的y截距。
同理，如果直线与x轴相交，我们称这个交点的坐标为直线的x截距。
三、三角函数1.正弦、余弦和正切在任何直角三角形中，如果一个角的度数为θ，则定义如下：- 正弦：sinθ=对边/斜边- 余弦：cosθ=邻边/斜边- 正切：tanθ=对边/邻边2.辅助角公式我们可以根据不同角度之间的关系，推导出三角函数的辅助角公式：- sin(180-θ)=sinθ- cos(180-θ)=-cosθ- tan(180-θ)=-tanθ四、圆1.周长和面积如果一个圆的半径为r，则其周长可以用以下公式计算：C=2πr其中π是一个常数，约为3.14。
圆的面积可以用以下公式计算：A=πr²2.弧长和扇形面积如果一个圆的半径为r，角度为θ，则其弧长可以用以下公式计算：L=θ/360 * 2πr圆上某一扇形的面积可以用以下公式计算：A=θ/360 * πr²其中θ为扇形的圆心角度数。
(绝密)2019考研数学完整版及参考答案
2019考研数学完整版及参考答案一、选择题：1－8小题，每题4分，共32分. 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.〔1〕设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，假设0x ∆>，则〔 〕(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .〔2〕设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是〔A 〕连续的奇函数.〔B 〕连续的偶函数〔C 〕在0x =间断的奇函数〔D 〕在0x =间断的偶函数. 〔 〕〔3〕设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于〔 〕〔A 〕ln31-. 〔B 〕ln3 1.--〔C 〕ln 2 1.--〔D 〕ln 2 1.-〔4〕函数212e e e xx x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ]〔A 〕23e .xy y y x '''--= 〔B 〕23e .xy y y '''--=〔C 〕23e .x y y y x '''+-=〔D 〕23e .x y y y '''+-=〔5〕设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于〔〕〔Ａ〕0(,)d xx f x y y . 〔B 〕0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D) 0(,)d y f x y x .〔6〕设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，以下选项正确的选项是〔〕(A) 假设00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 假设00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 假设00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 假设00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.〔7〕设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，以下选项正确的选项是 [ ](A) 假设12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 假设12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 假设12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 假设12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.〔8〕设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则〔〕〔Ａ〕1C P AP -=. 〔Ｂ〕1C PAP -=.〔Ｃ〕T C P AP =. 〔Ｄ〕T C PAP =.一．填空题 〔9〕曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为〔10〕设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =〔11〕广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰. 〔12〕 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 〔13〕设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==〔14〕设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔15〕〔此题总分值10分〕 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x是当0x →时比3x 高阶的无穷小.〔16〕〔此题总分值10分〕求 arcsin e d exxx ⎰. 〔17〕〔此题总分值10分〕设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ 〔18〕〔此题总分值12分〕设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==〔Ⅰ〕证明lim n n x →∞存在，并求该极限；〔Ⅱ〕计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 〔19〕〔此题总分值10分〕 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.〔20〕〔此题总分值12分〕设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. 〔I 〕验证()()0f u f u u'''+=； 〔II 〕假设(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.〔21〕〔此题总分值12分〕已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩〔I 〕讨论L 的凹凸性；〔II 〕过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； 〔III 〕求此切线与L 〔对应于0x x ≤的部分〕及x 轴所围成的平面图形的面积. 〔22〕〔此题总分值9分〕 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.〔Ⅰ〕证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；〔Ⅱ〕求,a b 的值及方程组的通解. 〔23〕〔此题总分值9分〕设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解. (Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.数学答案1. A 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.此题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>，则0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》〔理工类〕P.165【例6.1】，P.193【１〔３〕】.2. B 【分析】由于题设条件含有抽象函数，此题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰，而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项〔Ｂ〕正确，故选〔Ｂ〕.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷〔数学三〕〔8〕.3. C 【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可.【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln 21g g h g g ++''===⇒=--，故选〔C 〕.【评注】此题考查复合函数求导，属基此题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】.4. D 【分析】此题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为 2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即.故对应的齐次微分方程为20y y y '''+-=. 又*e x y x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =〔C 为常数〕.所以综合比较四个选项，应选〔D 〕.【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P.156【例5.16】，《数学题型集粹与练习题集》〔理工类〕〔题型演练3〕，《考研数学过关基此题型》〔理工类〕P.126【例14】及练习.5. C 【分析】 此题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y型域，则原式2212d (,)d y yy f x y x -=⎰⎰.故选〔Ｃ〕.【评注】 此题为基此题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》〔理工类〕P.286【例10.6】，《考研数学过关基此题型》〔理工类〕P.93【例6】及练习.6. D 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ〔0λ是对应00,x y 的参数λ的值〕取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.〔因为(,)0y x y ϕ'≠〕， 假设00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选〔Ｄ〕.【评注】 此题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 相关定理见《数学复习指南》〔理工类〕Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A 【分析】 此题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，假设向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选〔Ｂ〕.【评注】〔１〕每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行〔列〕变换，相当于左〔右〕乘相应的初等矩阵.〔２〕牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》〔理工类〕P.381【例2.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例12.9. 【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4sin 14sin 1lim lim 2cos 52cos 55x x xx x x x x x x →∞→∞++==--. 故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】此题为基此题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》〔理工类〕P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】此题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为2203200sin d sin 1lim ()lim lim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.此题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基此题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》〔理工类〕P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，此题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】2022222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b b b b b x x x x x x b +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰. 【评注】 此题属基此题型，对广义积分，假设奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》〔理工类〕P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可别离变量型，先别离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e x y Cx -=.〔1e CC =〕【评注】 此题属基此题型.完全类似公式见《数学复习指南》〔理工类〕P.139.13. 【分析】此题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导〔注意y 是x 的函数〕，一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x yy x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d y y y x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x yx==-.方法三：令(,)1e y F x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y F F x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】 此题属基此题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》〔理工类〕P.50【例2.12】.14. 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 ()2B A E E -= 于是有4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.【评注】 此题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》〔理工类〕P.378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x 的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x 的泰勒级数展开式233e 1()26xx xx o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B AB C BC ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得 132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P.124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－21e arcsin e d 1ex x xx -=-+-⎰.令21e xt=-，则221ln(1),d d 21t x t x t t=-=--， 所以2211111d d d 12111e xx t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭-⎰⎰⎰ 221111e 1ln ln 2121e 1x x t C t ---=+=+-+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.此题为基此题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.17. 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y =++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xy g x y x y=++是变量y 的奇函数. 则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xy x y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故 22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第1节例1和例2，《数学复习指南》〔理工类〕P.284【例10.1】18. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 〔Ⅱ〕的计算需利用〔Ⅰ〕的结果.【详解】 〔Ⅰ〕因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<.可推得10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是 1sin 1n nn nx x x x +=<，〔因当0sin x x x ><时，〕， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞=.〔Ⅱ〕 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由〔Ⅰ〕知该极限为1∞型， 令n tx =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. 〔利用了sin x 的麦克劳林展开式〕故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.19. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，〔0,sin 0x x x π<<>时〕，故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.20利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得〔I 〕.按常规方法解〔II 〕即可.【详解】 〔I 〕设u =((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂. 22()()z f u f u x ∂'''=∂()22322222()()x y f u f u x y x y '''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y x f u f u y x y xy ∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂得 ()()0f u f u u'''+=. 〔II 〕 令()f u p '=，则d d 0p p up u p u'+=⇒=-，两边积分得 1ln ln ln p u C =-+，即1C p u=，亦即1()C f u u'=. 由(1)1f '=可得11C =.所以有1()f u u'=，两边积分得 2()ln f u u C =+，由(1)0f =可得20C =，故()ln f u u =.【评注】 此题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》〔理工类〕P.336【例12.14】,P.337【例12.15】21. 【分析】 〔I 〕利用曲线凹凸的定义来判定；〔II 〕先写出切线方程，然后利用 (1,0)-在切线上 ； 〔III 〕利用定积分计算平面图形的面积.【详解】 〔I 〕因为d d d d 422d 2,421d d d d 2d yx y y t t t t x t t x t tt-==-⇒===-2223d d d 12110,(0)d d d d 2d y y t x x t x t tt t⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L 当0t ≥时是凸的.〔II 〕由〔I 〕知，切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+ 整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为〔2，3〕，故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.〔III 〕由题设可知，所求平面图形如以下图所示，其中各点坐标为 (1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -， 设L 的方程()x g y =，则()30()(1)d S g y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得24t y =±-，即()2241x y =±-+.由于〔2，3〕在L 上，则()2()241924x g y yy y ==--+=---.于是 ()30944(1)d S y y y y ⎡⎤=-----⎣⎦⎰3300(102)d 44d y y y y =---⎰⎰()()3233208710433y yy =-+-=. 【评注】 此题为基此题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》〔理工类〕P.187【例6.40】.22. 【分析】 〔I 〕根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；〔II 〕利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 〔I 〕 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.〔否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾〕.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤. 又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤.因此 ()2r A =. 〔II 〕 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解. 13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 此题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》〔理工类〕P.427【例4.5】，P.431【例4.11】. 23. 解： 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令[]123,,Qηηη=，则1TQ Q-=，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得T3Q AQ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。