《弧度制课件(人教A版必修)》课件
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5.弧度制-【新】人教A版高中数学必修第一册精品教学PPT
根据题意: 1 l R 4 ② 2
由①得 l 10 2R ,
代入②得 R2 5R4 0
R1 1, R2 4
当R=1时,l=8cm时, l 8 2 舍去
R
当R=4时,l=2cm时, l 1
R2 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 1
2
例3:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
{ | 2k , k Z}
4
（2）第Ⅱ象限角的集合
{ | 2k 2k , k Z}
2
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
规定把周角的 1 作为1度的角，
360
用度做单位来度量角的单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题3：由C 们分析式子
C22r，得的到意义Cr。
2，请同学
探究：
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并 尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制： 弧长公式： 扇形面积公式：
由①得 l 10 2R ,
代入②得 R2 5R4 0
R1 1, R2 4
当R=1时,l=8cm时, l 8 2 舍去
R
当R=4时,l=2cm时, l 1
R2 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 1
2
例3:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
{ | 2k , k Z}
4
（2）第Ⅱ象限角的集合
{ | 2k 2k , k Z}
2
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
规定把周角的 1 作为1度的角，
360
用度做单位来度量角的单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题3：由C 们分析式子
C22r，得的到意义Cr。
2，请同学
探究：
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并 尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制： 弧长公式： 扇形面积公式：
弧度制(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
2 故该扇形的面积的最大值为245cm2，取得最大值时圆心角为 2 rad，弧长为 5 cm.
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
课件弧度制人教A版高中数学必修-册PPT课件_优秀版
，
（3）
．
135 （3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？
解：（1）由于67°30′＝ 解：（1）由于67°30′＝
，
（2）－240°；
2 证明：圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积长度为1的弧所对的圆心角就是1 rad（如图）；
角的 ；
（3）1 200°．
135 π 3π 类比角度制，α的正负由角α的终边的旋转方向决定． 所以67°30′＝ rad＝ rad． （1） ；
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
（3）
．
第五章 三角函数
解：（1）由于67°30′＝
，
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
（3）
．
答案：（1） ；
下面证明（2）（3）．
5.1.2 弧度制 其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积． （1）终边在 轴上的角的集合
（（（222）））－2（4；0°；；4）你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？
注意：今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad
证明：圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
，
（3）1 200°．
（3）
．
背景 （2） ；
2．金版 P115-P116．
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
数学人教A版必修第一册5.1任意角和弧度制课件
角的度量是否也能用不同的单位制？ 能否用十进制的实数来度量角？
角度制
角度(°)
换算
实数
探究：角度与弧长的关系
如图，对于同一圆心角α=60°， 若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.
α=60°
半径r
r=1
r=2
r=3
圆弧长l l
l 2
l
3
3
l
r
3
3
3
结果 : 若 60,则 l .
r3
弧长之比 所对圆心角之比
1 rad _(1_8_0_) 57.3
新知2：弧度与角度的换算P174
角度(°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度 (rad)
06
4
2 3 5
32 3 4 6
3
2
2
180 rad 1 rad 1rad (180)
180
(1)2230' 22.5 22.5 rad rad
y
B
与45°终边相同的角为__4_5_°__+_k_·_3_6_0_°__(_k_∈__Z_)_
45° 与角α终边相同的所有角组成的集合：
o
x S | k 360, k Z
巩固：终边相同的角
判定α为第几象限角:先将其化为终边相同且 在0°~360°内的角，再判断终边所在象限.
与 95012' 终边相同的角为 95012'k 360(k Z ) 取k 3,则 95012'3 360 12948', 它为第二象限角.
巩固：任意角的定义
[练习1]判断正误： ①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.( )
角度制
角度(°)
换算
实数
探究：角度与弧长的关系
如图，对于同一圆心角α=60°， 若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.
α=60°
半径r
r=1
r=2
r=3
圆弧长l l
l 2
l
3
3
l
r
3
3
3
结果 : 若 60,则 l .
r3
弧长之比 所对圆心角之比
1 rad _(1_8_0_) 57.3
新知2：弧度与角度的换算P174
角度(°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度 (rad)
06
4
2 3 5
32 3 4 6
3
2
2
180 rad 1 rad 1rad (180)
180
(1)2230' 22.5 22.5 rad rad
y
B
与45°终边相同的角为__4_5_°__+_k_·_3_6_0_°__(_k_∈__Z_)_
45° 与角α终边相同的所有角组成的集合：
o
x S | k 360, k Z
巩固：终边相同的角
判定α为第几象限角:先将其化为终边相同且 在0°~360°内的角，再判断终边所在象限.
与 95012' 终边相同的角为 95012'k 360(k Z ) 取k 3,则 95012'3 360 12948', 它为第二象限角.
巩固：任意角的定义
[练习1]判断正误： ①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.( )
人教A版高中数学必修四课件1.1.2《弧度制》
1.1.2 弧度制
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件
明目标、知重点
思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的
弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
A（B的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数
0
没旋转
0
∠AOB的度数 0°
顺时针方向
－90°
πr
逆时针方向
2πr 顺时针方向
π －2π
180° －360°
明目标、知重点
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 【完美 课件】
明目标、知重点
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解 ∵β 与 α 终边相同，∴β＝α＋2kπ＝196π＋2kπ(k∈Z).
又β∈[－4 π ，0]，
∴β1＝196π－2π＝－29π，β2＝196π－4π＝－290π. ∴β＝－29π 或 β＝－290π.
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
明目标、知重点
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思考3
角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，
请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
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思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的
弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
A（B的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数
0
没旋转
0
∠AOB的度数 0°
顺时针方向
－90°
πr
逆时针方向
2πr 顺时针方向
π －2π
180° －360°
明目标、知重点
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明目标、知重点
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解 ∵β 与 α 终边相同，∴β＝α＋2kπ＝196π＋2kπ(k∈Z).
又β∈[－4 π ，0]，
∴β1＝196π－2π＝－29π，β2＝196π－4π＝－290π. ∴β＝－29π 或 β＝－290π.
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
明目标、知重点
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思考3
角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，
请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
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人教A版必修 第一册 2 5.1.2 弧度制 课件
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 rad 的角比 1°的角要大．( √ ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( × ) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ ) (4)1°的角是周角的3610，1 rad 的角是周角的21π.(√ )
问题导学 预习教材 P172－P175，并思考以下问题： 1．1 弧度的角是如何定义的？ 2．如何进行弧度与角度的换算？ 3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
栏目 导引
第五章 三角函数
1．度量角的两种制度
定义
用度作为单位来度量角的单位制
角度
1度 制
1
的角 1 度的角等于周角的__3_6_0____，记作 1°
栏目 导引
第五章 三角函数
1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为 54°，半径 r＝20 cm，则 该扇形的周长为________cm. 解析：因为 1°＝1π80rad，所以 54°＝1π80×54＝31π0，则扇形的弧 长 l＝31π0×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm. 答案：(40＋6π)
第五章 三角函数
栏目 导引
第五章 三角函数
用弧度制表示终边相同的角 把－1 480°写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π，并判 断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π，其中 0≤169π<2π，因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
A.430π cm
B.230π cm
C.2030π cm
D.4300π cm
解析：选 A.根据弧长公式，得 l＝53π×8＝403π (cm)．
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 rad 的角比 1°的角要大．( √ ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( × ) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ ) (4)1°的角是周角的3610，1 rad 的角是周角的21π.(√ )
问题导学 预习教材 P172－P175，并思考以下问题： 1．1 弧度的角是如何定义的？ 2．如何进行弧度与角度的换算？ 3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
栏目 导引
第五章 三角函数
1．度量角的两种制度
定义
用度作为单位来度量角的单位制
角度
1度 制
1
的角 1 度的角等于周角的__3_6_0____，记作 1°
栏目 导引
第五章 三角函数
1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为 54°，半径 r＝20 cm，则 该扇形的周长为________cm. 解析：因为 1°＝1π80rad，所以 54°＝1π80×54＝31π0，则扇形的弧 长 l＝31π0×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm. 答案：(40＋6π)
第五章 三角函数
栏目 导引
第五章 三角函数
用弧度制表示终边相同的角 把－1 480°写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π，并判 断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π，其中 0≤169π<2π，因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
A.430π cm
B.230π cm
C.2030π cm
D.4300π cm
解析：选 A.根据弧长公式，得 l＝53π×8＝403π (cm)．
《弧度制》课件(新人教A版)
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
AB AB =定值， r r
设α =nº， AB 弧长为l，半径OA为r，
2 r l 2 , n 则 l n ， 360 r 360 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 2 R 2 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
1 所以它的面积是 S lR 2
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π 表示）。
大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
1.1.2
弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，
1度的角是怎样定义的呢？
1 周角的 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
nr 比公式 l 简单. 180
高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制
(2)将下列各弧度角化为角度：①－51π2 rad；②139π.
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
【新教材】5.1.2 弧度制 课件-人教A版高中数学必修第一册(共31张PPT)
→
求扇形面积
→
转化为二次 函数求最值
解析： 设扇形的圆心角为 α，半径为 r，弧长为 l，则 l＝αr， 依题意 l＋2r＝20，即 αr＋2r＝20，∴α＝20－r 2r. 由 l＝20－2r>0 及 r>0 得 0<r<10， ∴S 扇形＝12αr2＝12·20－r 2r·r2＝(10－r)r ＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．
角度制与弧度制换算的要点：
提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．
[跟踪训练一]
1．将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. 解析： (1)20°＝2108π0 rad＝9π rad.
(2)－15°＝－1158π0 rad＝－1π2 rad.
2．(1)75π化为角度是________． (2)105°的弧度数是________．
解析：(1)75π＝75π×18π0°＝252°； (2)105°＝105×18π0 rad＝172π rad.
3．半径为 2，圆心角为π6的扇形的面积是________． 解析：由已知得 S 扇＝12×6π×22＝π3.
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
.
(2)如题图②，以 OA 为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；以 OB 为终边的角
人教A版高中数学必修四《1.1.2弧度制》ppt课件.ppt
• 20、No man is happy who does not think himself so.——Publilius Syrus认为自己不幸福的人就不会幸福。2020年8月5日星期三11时1分19秒11:01:195 August 2020
• 21、The emperor treats talent as tools, using their strongpoint to his advantage. 君子用人如器，各取所长。上午11时1分19秒上午11时1分11:01:1920.8.5
3
．
1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别； 3．弧长公式与扇形面积公式．
把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十 次中有十九次都会失望。
——大仲马
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• •
THE END 8、For man is man and master of his fate.----Tennyson人就是人，是自己命运的主人11:0311:03:108.5.2020Wednesday, August 5, 2020
9、When success comes in the door, it seems, love often goes out the window.-----Joyce Brothers成功来到门前时，爱情往往就走出了窗外。 11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
高中数学人教A版必修四弧度制课件
例 3 已知扇形的周长为 8cm，圆心角为 2rad，求该扇形的面积.
探究3:如何给出弧度制下扇形的弧长及面积公式？
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
（1）22°30′ （2）-210°
（3）1200°
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
度 探究3:如何给出弧Байду номын сангаас制下扇形的弧长及面积公式？
（1）22°30′ （2）-210°
（3）1200°
数 我们的研究思路是怎样的？
探究2:如何进行弧度与角度的换算？ 探究1:如何用一个新的单位（十进制）来度量角呢？
单位符号是rad，读作“弧度”.
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
135º
150º
度数
度数
完成必修四课时作业《三》。
探究1:如何用一个新的单位（十进制）来度量角呢？
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
度数
探究1:如何用一个新的单位（十进制）来度量角呢？
我们的研究思路是怎样的？
怎样推导弧度制中的扇形面积公式呢？
探究3:如何给出弧度制下扇形的弧长及面积公式？
（1）22°30′
（2）-210°
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
角的集合
实数集R
探究3:如何给出弧度制下扇形的弧长及面积公式？
我们的研究思路是怎样的？
课后任务：
1. 完成必修四课时作业《三》。 2. 每日一题。
注：第4节晚自习前交科代表处。
（3）1200°
课堂小结
【1】把下列角度化成弧度.
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
人教高中数学A版必修一 (弧度制)三角函数教学课件
探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？
角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3,4时，
①圆心（角1不）变分别，计比算值相不对变应；的弧比长值l的（大l 小n与所r）取; 的圆的半径大小无关；
180
②圆心（角2改）变分别，计比算值对改应变弧；长与比半值径的之大比小. 只与圆心角的大小有关； （1）当n=300时 （2）当n=600时，请同学们自己计算一下
360°
弧度
角的概念推广后，在弧度制下，角的集 合与实数解R之间建立起一一对应关系。
正角 零角 负角
正实数 0
负实数
三、弧长公式与扇形面积公式 例2.若用R表示圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角， 是扇形弧长，S是扇 形面积，利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还 将进一步看到弧度制带来的便利.
半径r
弧长l
r1=1 r2=2
r3=3
弧长与半径的 比值
思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？
r4=4
一、弧度的概念 1.1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 用符号rad表示，读作弧度。
2.弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
AB
（
B
r
l =r
O 1rad A
常用数集
1、全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N；
形式为：{0，1，2，3，4......}
2、全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
形式为：{1，2，3，4......}
3、全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
高中数学(新人教A版)必修第一册：弧度制【精品课件】
【解析】 由－1 485°＝－5×360°＋315°， 所 【答 以案 －】1 485－°1可0π以＋表74示π为－10π＋74π.
5．一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.②
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
【解析】 B 中 k＝1 时为π，23π显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项 ）
弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2 和 S＝12 lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
[跟踪训练二] 1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终
5．一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.②
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
【解析】 B 中 k＝1 时为π，23π显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项 ）
弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2 和 S＝12 lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
[跟踪训练二] 1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终
弧度制课件(共20张PPT)高一数学(人教A版2019必修第一册)
(2)求圆心角 所在的扇形的弧长 及弧所在的弓形的面积 .
【解析】（1）半径为6的圆 中，弦 的长为6，
所以三角形 为正三角形，
π
所以弦 所对圆心角 为 3 ，
（2）由弧长公式得： = =
扇形的面积
又 △ =
1
2
扇形
=
1
2
=
×6×6×
3
2
1
2
° =
= (
)° ≈ . °
新知2：扇形的弧长和面积公式：
例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) = ；(2) =
1
2 ；(3)
2
=
1
.
2
其中是圆的半径，(0 < < 2)为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
1
2
× 10 × 10
= 25 − 50 cm 2 ；
2 + = 6
=1
=2
（2）由已知得 1 = 2 ，解得
或
，
=
4
=
2
2
∴ = 4或 = 1
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练3】已知一扇形的中心角是120°，所在圆的半径是 10cm，求：
（1）扇形的弧长；
（4） 6
（3）
= −
2π
3
11π
9
19π
6
×
=
=
×
π
6
×
2π
；
3
×
180
π
180
π
180
π
180
【解析】（1）半径为6的圆 中，弦 的长为6，
所以三角形 为正三角形，
π
所以弦 所对圆心角 为 3 ，
（2）由弧长公式得： = =
扇形的面积
又 △ =
1
2
扇形
=
1
2
=
×6×6×
3
2
1
2
° =
= (
)° ≈ . °
新知2：扇形的弧长和面积公式：
例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) = ；(2) =
1
2 ；(3)
2
=
1
.
2
其中是圆的半径，(0 < < 2)为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
1
2
× 10 × 10
= 25 − 50 cm 2 ；
2 + = 6
=1
=2
（2）由已知得 1 = 2 ，解得
或
，
=
4
=
2
2
∴ = 4或 = 1
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练3】已知一扇形的中心角是120°，所在圆的半径是 10cm，求：
（1）扇形的弧长；
（4） 6
（3）
= −
2π
3
11π
9
19π
6
×
=
=
×
π
6
×
2π
；
3
×
180
π
180
π
180
π
180
高中数学 112弧度制课件 新人教A版必修4课件
3、任一正角的弧度数都是一个正实数；
任一负角的弧度数都是一个负实数；
零角的弧度数是 0. 这种用弧度为单位来度量角的 制度叫做弧度制
弧度制下的角与实数之间的关系是怎样的呢 ?
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集 R 之间建立一一对应的关系：
正角
正实数
对应角的 弧度数
零角
零
负角
负实数
角的集合
分析1 : 因为扇形为整个圆的 l ,
?1?l ? Rα;
所以扇形面积为 2?R
?2?S
?
12 αR ;
2
S扇形
?
l
2?R
?S圆
?3?S ? 1 lR;
2
? l ?? ?R2? 1 lR
2?R
2
分析2：S扇
?
S圆
α ? 2π
α ? πr 2 ?
?
1 α ?r 2 ?
1 l ?r（α
? 2π）
2π 2
2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧 长一一对应.
当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧 长不相等.
? 35036/ ? 44024/
? 800
练习: 当n=30 0时
n?r
可以计算弧长L= 180
半径r
弧长L 弧长与半径的比值
r1=1
?
6
?
6
r2=2
?
3
?
6
r3=3
r4=4
?
2?
2
3
?
?
6
6
360= ?
5
?
1200= 3
-1350= ? 3 ?
4
? ? 120 15
任一负角的弧度数都是一个负实数；
零角的弧度数是 0. 这种用弧度为单位来度量角的 制度叫做弧度制
弧度制下的角与实数之间的关系是怎样的呢 ?
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集 R 之间建立一一对应的关系：
正角
正实数
对应角的 弧度数
零角
零
负角
负实数
角的集合
分析1 : 因为扇形为整个圆的 l ,
?1?l ? Rα;
所以扇形面积为 2?R
?2?S
?
12 αR ;
2
S扇形
?
l
2?R
?S圆
?3?S ? 1 lR;
2
? l ?? ?R2? 1 lR
2?R
2
分析2：S扇
?
S圆
α ? 2π
α ? πr 2 ?
?
1 α ?r 2 ?
1 l ?r（α
? 2π）
2π 2
2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧 长一一对应.
当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧 长不相等.
? 35036/ ? 44024/
? 800
练习: 当n=30 0时
n?r
可以计算弧长L= 180
半径r
弧长L 弧长与半径的比值
r1=1
?
6
?
6
r2=2
?
3
?
6
r3=3
r4=4
?
2?
2
3
?
?
6
6
360= ?
5
?
1200= 3
-1350= ? 3 ?
4
? ? 120 15
课件_人教版数学必修弧度制PPT课件_优秀版
位）
每一等份的弧所对的圆心角就是它是一个定值,
以弧度为单位来度量角的
特别说明： 我们学习了角的概念的推广知道角可以分为哪几类？
个负数，零角的弧度数是0.
例1和例2都是角度和弧度的换算， 弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,α=2表示α要是2ra注d的角意. 度的单位和弧度的单位一定不能省略.
180
28
rad
（三）弧度与角度的换算
（2）利用计算器计算
运用新知
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？（类比长度的度量单
3 位） 例 2 把 π rad 换算成角度. 完成下列表格,你能得出哪些结论？ 5 个负数，零角的弧度数是0.
的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
位） 完成下列表格,你能得出哪些结论？ 弧)的大小,而1°的角是周角的1/360 .
（1）把 - 35 化成弧度； 角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 如α=2表示α是2rad的角. 弧)的大小,而1°的角是周角的1/360 .
（2）把 - 弧度化成度； 在弧度制下,1弧度记作1 rad.
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？（类比长度的度量单 位）
2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式； 完成下列表格,你能得出哪些结论？
如α=2表示α是2rad的角. 要注意度的单位和弧度的单位一定不能省略. 要描述一个角的大小，通常用什么表示呢？ 在弧度制下,1弧度记作1 rad.
位）
（2）精确到0.001的近似值. 在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长如何计算？
每一等份的弧所对的圆心角就是它是一个定值,
以弧度为单位来度量角的
特别说明： 我们学习了角的概念的推广知道角可以分为哪几类？
个负数，零角的弧度数是0.
例1和例2都是角度和弧度的换算， 弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,α=2表示α要是2ra注d的角意. 度的单位和弧度的单位一定不能省略.
180
28
rad
（三）弧度与角度的换算
（2）利用计算器计算
运用新知
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？（类比长度的度量单
3 位） 例 2 把 π rad 换算成角度. 完成下列表格,你能得出哪些结论？ 5 个负数，零角的弧度数是0.
的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
位） 完成下列表格,你能得出哪些结论？ 弧)的大小,而1°的角是周角的1/360 .
（1）把 - 35 化成弧度； 角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 如α=2表示α是2rad的角. 弧)的大小,而1°的角是周角的1/360 .
（2）把 - 弧度化成度； 在弧度制下,1弧度记作1 rad.
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？（类比长度的度量单 位）
2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式； 完成下列表格,你能得出哪些结论？
如α=2表示α是2rad的角. 要注意度的单位和弧度的单位一定不能省略. 要描述一个角的大小，通常用什么表示呢？ 在弧度制下,1弧度记作1 rad.
位）
（2）精确到0.001的近似值. 在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长如何计算？
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