高二数学《圆的普通方程》学案
高中数学2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程学案新人教B版必修2
2.3.2 圆一般方程1．掌握圆一般方程及其特点；能将圆一般方程化为圆标准方程，从而求出圆心与半径；能用待定系数法由条件导出圆方程；能将圆标准方程转化为圆一般方程．2．理解圆一般方程构造，掌握利用待定系数法求圆一般方程方法．3．了解一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆条件．1．圆一般方程圆一般方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，限制条件是__________．【做一做1－1】以下方程中表示圆是( )．A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0C．x2＋2y2－2x＋4y＋3＝0D．x2＋y2＋4x－6y＋9＝02．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示图形二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆必须具备以下两个条件：①A ＝C ≠0，B ＝0； ②D 2＋E 2－4AF ＞0.【做一做2－1】假设方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，那么实数m 满足条件是( )．A ．m ＜12B ．m ＜10C ．m ＞12D ．m ≤12【做一做2－2】圆x 2－4x －4＋y 2＝0圆心是点P ，那么点P 到直线x －y －1＝0距离是__________．【做一做2－3】方程x 3＋xy 2－2x 2＋2xy ＋2x ＝0表示图形是__________．1．求圆关于一个点或一条直线对称圆方程问题剖析：要求圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2关于点P (x 0，y 0)对称圆方程，首先找圆心C (a ，b )关于点P (x 0，y 0)对称点，得到对称圆圆心，半径不变．如：求圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点对称圆方程．因为圆圆心是(－2,0)，它关于原点对称点是(2,0)，所以所求圆方程为(x －2)2＋y 2＝5.同理求圆关于直线mx ＋ny ＋p ＝0对称圆方程，只需求圆心关于直线对称点．如：圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，求圆C方程，我们可以通过设圆心(1,0)关于y＝－x对称点为(a，b)，那么得所以所求圆方程为x2＋(y＋1)2＝1.2．圆标准方程与一般方程比拟剖析：(1)圆标准方程，需要确定圆心坐标与圆半径；而圆一般方程，那么需要确定一般方程中三个系数D，E，F.圆一般方程也含有三个参变量，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆．(2)圆标准方程明确指出了圆圆心与半径，而圆一般方程说明了方程形式上特点．题型一求圆一般方程【例1】求经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得弦长等于6圆一般方程．分析：此题考察圆方程同时，也考察了弦长公式，应注意根与系数关系所涉及x1x2，x1＋x2与x1－x2关系．反思：用待定系数法求圆方程有两种不同选择：一般地，圆上三点时用一般方程；圆心或半径时，用标准方程．题型二圆方程中参数范围问题【例2】方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示图形是圆．(1)求t取值范围；(2)求其中面积最大圆方程；(3)假设点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t取值范围．分析：明确圆一般方程成立条件，圆面积仅与半径有关，而点在圆内那么给出了t满足不等关系．反思：此题考察二元二次方程表示圆条件，同时考察点与圆位置关系判定方法及两种形式互化问题．题型三求圆关于点(线)对称圆【例3】试求圆C：x2＋y2－x＋2y＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称曲线C′方程．分析：对称圆圆心坐标变化、半径不变，另外可利用相关点法来求．反思：圆关于点(线)对称圆大小不变，即半径不变，改变只是圆位置即圆心位置，所以只需求出圆圆心关于对称点(线)对称点即为所求圆圆心，就能确定对称圆方程．题型四易错辨析【例4】圆方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)直线交圆弦PQ中点M轨迹方程．错解：设M(x，y)是所求轨迹上任意一点，圆方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3,3)．∵CM⊥AM，∴k CM k AM＝－1，即y－3x－3·y＋5x＋3＝－1，整理得x2＋(y＋1)2＝25.∴所求动点M轨迹方程是x2＋(y＋1)2＝25.错因分析：无视了动点一定在圆内这个大前提，因此求出轨迹方程后，要有检验意识．1假设方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，那么a值是( )．A．－1 B．2 C．－1或2 D．12过点P(－2,1)且被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最长直线l方程是( )．A．3x－y＋5＝0 B．x－3y＋5＝0C．3x＋y－5＝0 D．x－3y－5＝03圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称圆方程是( )．A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5D．(x－2)2＋(y＋3)2＝54圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0圆心为__________，半径为__________．5假设直线l将圆x2＋y2－4x－2y＝0平分，并且l不经过第二象限，那么直线l斜率取值范围是__________．答案：根底知识·梳理1．D2＋E2－4F＞0【做一做1－1】D2．D 2＋E 2－4F ＜0 D 2＋E 2－4F ＝0⎝⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F【做一做2－1】A 方程x 2＋y2－x ＋y ＋m ＝0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y ＋122＝12－m .∵方程表示圆，∴12－m ＞0，即m ＜12. 【做一做2－2】22 由x 2－4x －4＋y 2＝0得(x －2)2＋y 2＝8，即圆心为P (2,0)，故点P 到直线x －y －1＝0距离为|2－1|2＝22.【做一做2－3】直线(y 轴)或点(1，－1) 由题意，得x [(x －1)2＋(y ＋1)2]＝0，∴x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴方程表示图形为直线(y 轴)或点(1，－1)． 典型例题·领悟【例1】解：设圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 点坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③两根，由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36.④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.所以所求圆一般方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.【例2】解：(1)方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0，即7t 2－6t －1＜0，解得－17＜t ＜1.故t 取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫－17，1. (2)r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎪⎪⎫t －372＋167.当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆面积最大．对应圆方程是⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当t 2＋1＜－7t 2＋6t ＋1时，点P 恒在圆内， ∴8t 2－6t ＜0，解得0＜t ＜34.故t 取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，34. 【例3】解法一：设P ′(x ，y )为所求曲线C ′上任意一点，P ′关于l 对称点为P (x 0，y 0)，那么P (x 0，y 0)在圆C 上．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y2＋1＝0，y －y0x －x 0·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －1，y 0＝x ＋1.(*)因为P (x 0，y 0)在圆C 上，所以x 20＋y 20－x 0＋2y 0＝0，将(*)代入，得(y －1)2＋(x ＋1)2－(y －1)＋2(x ＋1)＝0. 化简，得x 2＋y 2＋4x －3y ＋5＝0，即曲线C ′方程是x 2＋y 2＋4x －3y ＋5＝0. 解法二：(特殊对称)圆C 关于直线l 对称图形仍然是圆，且半径不变，故只需求圆心C ′，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称点为C ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，32，因此所求圆C ′方程为(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －322＝54.【例4】正解：方法一：设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4，圆心C (3,3)．∵CM ⊥AM ，∴k CM k AM ＝－1，即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1，即x 2＋(y ＋1)2＝25. ∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(圆内局部)．方法二：设过A 点弦PQ 中点坐标为M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为P ，Q 两点都在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋y 21－6x 1－6y 1＋14＝0，x 22＋y 22－6x 2－6y 2＋14＝0.①②由②－①得(x 22－x 21)＋(y 22－y 21)－6(x 2－x 1)－6(y 2－y 1)＝0，即(x 1＋x 2－6)(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2－6)(y 2－y 1)＝0. 当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝－3，显然不符合题意．当x 1≠x 2时，y 1＋y 2－6x 1＋x 2－6·y 2－y 1x 2－x 1＝－1.而x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 2－y 1x 2－x 1＝k PQ ＝y ＋5x ＋3，所以y －3x －3·y ＋5x ＋3x 2＋(y ＋1)2＝25. ∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(圆内局部)． 随堂练习·稳固1．A由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a a 22－4×a a 2>0，可得a ＝－1或a ＝2(舍)．2．B 3．C 4．(2,1) 25．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 由直线l 过圆圆心C (2,1)，又l 不过第二象限，结合图示可知直线l 斜率k ≥k OC ＝12.。
人教A版高中数学必修2《圆的一般式方程》学案.doc
课题：圆的一般式方程编制人：审核人： 下科行政：【学习目标】1. 在掌握圆的标准方程的基础上，掌握方程x2+ y2+ Dx+ Ey+ F=o表不圆的条件2. 能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程3通过对方程x 2+V 2+Dx+ Ey+ F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分 析解决问题的实际能力•。
【重难点】重点：圆的一般方程的特点及应用难点：根据具体的条件，选用圆的一般方程解决有关问题自主学习案【知识梳理】 思考：方程 222 4 1 0x + y ・x+ y+ = 表示什么图形？为什么？方程22246x + y ・ x- y +表示什么图形？为什么？21.形如X +y 2+ Dx+ Ey+丄 丄 亠 + _F = 0的诰I?徐奈轿曲缓一定是圆吗 ?2.求下列各方程表示的圆的圆心矗标和半径长: (1 ) 2 2 6 0x + y-X = 转化为标准方程为圆心为 ，半径为(2) (2) 222 0X + y + by= 转化为标准方程为圆心为，半径为(3) (3)222 23 3 2X + y - ax ・ ay + a = 转化为标准方程为圆心为,半径为【合作探究】例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径2 + y2 + 把XDx+ Ey + F = 0配方得 D 2(x ) 2 方程②表示以_(y 2E 4F②4为圆心，为半径的r 2 +R (2)当 D(，)-4F =0时，方程只有实数解 x =,y =,即只表示一个点----------------- a 2(3)当 D + E综上所吟，方售>0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如 为圆的一般方程・-4F<0吋，方程没有实数解，因而它不表示任何图形2+ y 2+ Dx+ Ey+ F = 0表示的曲线不一定是圆，只有当D + E? - 4Fx的表示圆的方程称【预习自测】1. [x 3)(y 4)2的一般方程为(1) 4x+ 4 y2 4 x + 12 y + 11 = 02(2) 4x变式：已知一圆过P(4 , -2)、Q - 1, 3)两点，且在y轴上截得的线段长为4&,求圆的方程・例3如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6,和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长・例4已知线段AB 的端点B 的坐标是（4, 3）,端点A 在圆上（x+ 2+ Y 2= 4运动，求1）线段AB 的中点M 的轨迹方程（画图）课后练习案A.(1,-1)B.(厂1)2 C.(-1,2)D.(-r 1) 22.若方程2 2(2) 2a x + a+ y + ax+ a = 表示圆，则 a 的值为（）A.-1B.2C.-1或2D.13.已知实数x,y V 满足 22x 、+ y 4 + x ・ 2 y- 4 0,2-£则x 2 + y 的最大值为（A. 5B ・3+ 5C ・ 14- 6 5D. 14+ 6 5则圆心坐标为（）x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,1.圆心在直线 一一2X —y —4=0上，并且经过圆 X y 2X6 4 0与圆2 y2xy6 28 0的交点的圆的方程.【当堂检测】1.圆的方程为（2 + y - 2（ t + 3） X + 2（1t2)y + 16 t4 + 9 = 0 表示一个圆，求2.已知方程x（1）t的取值范围；（2）该圆半径r的取值范围・3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程・4.等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2),底边一个端点B的坐标是(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形・5.已知点M与两个顶点0(0,0 ) , A (3,0 )的距离的比为1:2 ,求点M的轨迹方程・。
高中数学圆的标准方程教案 高中数学圆与方程教案三
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案三高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇七一、具体目标：1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学……二、本学期要达到的教学目标1.双基要求：在基础知识方面让学生掌握高一有关的概念、性质、法则、公式、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。
在基本技能方面能按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据、能使用计数器及简单的推理、画图。
2.能力培养：能运用数学概念、思想方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质;会根据法则、公式正确的进行运算、处理数据，并能根据问题的情景设计运算途径;会提出、分析和解决简单的带有实际意义的或在相关学科、生产和生活的数学问题，并进行交流，形成数学的意思;从而通过独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。
3.思想教育：培养高一学生，学习数学的兴趣、信心和毅力及实事求是的科学态度，勇于探索创新的精神，及欣赏数学的美学价值，并懂的数学来源于实践又反作用于实践的观点;数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇八高一下学期数学教学计划精选本学期担任高一(9)(10)两班的数学教学工作，两班学生共有120人，初中的基础参差不齐，但两个班的学生整体水平不高;部分学生学习习惯不好，很多学生不能正确评价自己，这给教学工作带来了一定的难度，为把本学期教学工作做好，制定如下教学工作计划。
人教A版数学必修二《圆的一般方程》导学案
高中数学必修2《圆的一般方程》导学案姓名：___________ 班级：___________ 组别：_____________ 组名：____________【学习目标】1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．【重点难点】重点：掌握圆的一般方程难点：难点是根据条件运用待定系数法建立圆的方程．【知识链接】1、圆的标准方程2、直线与二元一次方程0(,Ax By C A B ++=不全为零)建立了一一对应的关系，那么圆是否也有与之对应的方程呢?【学习过程】阅读课本第121页至122页的内容，尝试回答以下问题：知识点：圆的一般方程 1.以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程： ．2.将222()()x a y b r -+-=展开得 .3.形如220x y Dx Ey F ++++=的都表示圆吗？将上方程配方，得 . 不难看出，此方程与圆的标准方程的关系⑴. 当0422>-+F E D 时， .⑵. 当0422=-+F E D 时， .⑶. 当0422<-+F E D 时， . 综上所述，方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆,只有当 时，它表示的曲线才是圆,我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程 思考：圆的标准方程和一般方程各有什么特点？ 结论：圆的一般方程的特点： 、 的系数相同，没有 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定系数 、 、 ，因此只要求出来这三个系数，圆的方程就明确了.与圆的标准方程相比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显.例2：求过三点(0,5),(1,2),(3,4)A B C ---的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．例3：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？分析：线段AB 的端点B 静止，A 在圆22(1)4x y ++=上运动，因此我们可以设出A 的坐标，从而得到中点M 的坐标．例4：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB 是36米，拱高OP 是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01米）． 分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程．【基础达标】A1.方程0834222=+++++k y kx y x 表示圆的充要条件是（ ）A.4>k 或1-<kB.41<<-kC.4=k 或1-=kD.以上答案都不对 B 2.下列方程各表示什么图形？⑴. 2240x y x +-=； ⑵. 224250x y x y +--+=；⑶. 1x -=B3.已知△ABC 的顶点的坐标为A （4,3）,B(5,2)，C(1,0)，求△ABC 外接圆的方程.B4.求过点（—1，1），且圆心与已知圆22(1)46120x y x y ++--=相同的圆的方程C5.等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【小结】【当堂检测】A1.圆22680x y y ++-=的圆心为 ，半径为 .A2.若圆221014x y mx y ++-==-与直线相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为 .B3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程．【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。
(完整word版)4.1.2圆的一般方程-导学案2
导学案
年级：高一级 科目：数学 主备： 审核：
课题：4.1.2圆的一般方程 课型：新授课 课时：1课时 【三维目标】
●知识与技能：1、理解圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心与半径；
理解方程2
2
0x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件。
2、能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法
求圆的一般方程。
●过程与方法: 通过对方程2
2
0x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
●情感态度与价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，
激励学生创新，勇于探索。
【学习重点】圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定
方程中的系数D 、E 、F 。
【学习难点】对圆的一般方程的认识、理解和运用。
【教学资源】
附件: 【小结】1．对方程02
2=++++F Ey Dx y x 的讨论（什么时候可以表示圆）。
2．圆的一般方程与标准方程的互化。
3．用待定系数法求圆的一般方程。
4．求与圆有关的点的轨迹。
【作业】124p 习题4.1第1、2、6题
【教学后记】:。
2.3.2圆的一般方程学案-高二上学期数学人教B版选择性
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中，定点是圆心，定长是圆的半径.
2、圆心在点M (,)a b ，半径为r 的圆的标准方程：
3、点P 00(,)x y 和圆222
()()x a y b r -+-=的位置关系：
（1）点P 在圆上： ；（2）点P 在圆内：
（3）点P 在圆外：
【重点题重做】
【主问题的提出】：圆的一般方程
是否所有圆的方程都能化成这种形式?
【主问题的解决1——圆的一般方程】
变式训练1：已知点A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)．
①求△ABC 的外接圆的一般方程；
②若点M (a ,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值．
（3）226100x y x +-+=
变式训练3.已知圆04222=--++ay x y x 的半径为3，求实数a 的值.
变式训练4.如果0222=++-+k y x y x 是圆的方程,则实数k 的取值范围是 .
【主问题的深化】
1.已知坐标原点不在圆012
2=-+-+a ay y x 的内部，求实数a 的取值范围.
2.求圆222240()x y x ay a ++--=∈R 的半径的最小值为。
高二数学教案 圆的方程9篇
高二数学教案圆的方程9篇圆的方程 1§7.6 圆的方程（第二课时）㈠课时目标1.掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。
2.待定系数法之应用。
㈡问题导学问题1：写出圆心为（a,b）,半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。
-2ax-2by+ =0问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？①；② 1③ 0；④ -2x+4y+4=0⑤ -2x+4y+5=0; ⑥ -2x+4y+6=0㈢教学过程[情景设置]把圆的标准方程展开得 -2ax-2by+ =0可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：+Dx+Ey+F=0 ①提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗?[探索研究]将①配方得 : ( ) ②将方程②与圆的标准方程对照.⑴当＞0时, 方程②表示圆心在 (- ),半径为的圆.⑵当 =0时,方程①只表示一个点(- ).⑶当＜0时, 方程①无实数解,因此它不表示任何图形.结论: 当＞0时, 方程①表示一个圆, 方程①叫做圆的一般方程.圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点:⑴和的系数相同,不等于0;⑵没有xy这样的二次项.以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件[知识应用与解题研究][例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标.⑴ -6x=0; ⑵ +2by=0(b≠0)[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。
分析：用待定系数法设方程为 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。
[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。
反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。
高中数学圆的一般方程精品导学案
圆的一般方程一、课前导学1、自学课本P121-P1232、完成 P123 练习1（1） 、 。
（2） 、 。
（3） 、 。
（填入答案）3、（1） （2） （3）4、方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个 ，坐标为 ；(2)当D 2＋E 2－4F <0时，方程 ；(3)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为 ，它的圆心坐标为 ，半径等于 ，上述方程称为圆的一般方程.2.比较二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0和圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，可以得出以下结论：当二元二次方程具有条件：(1)x 2和y 2的系数相同，且不等于0，即(2)没有xy 项，即 ； (3) 时，它才表示圆.二、课堂导学要点一 圆的一般方程的概念例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.(1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0；(3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0；(4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.规律方法 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.跟踪演练1 如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________.要点二求圆的一般方程例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.（多种方法）规律方法应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.（3）已知圆上两个点，可以考虑用垂径定理跟踪演练2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程.三、课堂小结四、课堂练习1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )A.(2,3)B.(－2,3)C.(－2,－3)D.(2,－3)2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为( )A.k≤12B.k＝12C.k≥12D.k<123.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )A.以(a，b)为圆心的圆B.以(－a，－b)为圆心的圆C.点(a，b)D.点(－a，－b)4.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________.5.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.。
高中数学《圆的一般方程》学案1 新人教B版必修
高中数学《圆的一般方程》学案1 新人教B版必修一、【学习目标】1、圆的一般方程的代数特征，会用待定系数法求圆的一般方程；2、理解求轨迹方程的步骤，掌握求轨迹方程的一般方法、二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材121-122页内容，回答问题（圆的一般方程）<1>方程在什么条件下表示圆？结论：<1>因为我们学习了圆的标准方程，根据圆的标准方程的特点，来讨论上述二元二次方程什么条件下表示圆、首先我们配方可得、所以， 当时，比较圆的标准方程，表示以为圆心，以为半径圆长的圆； 当时，方程只有一个解，x=-D/2,y=-E/2，它表示一个点； 当时，方程没有实数解，它不表示任何图形、因此，当时，上述二元一次方程表示一个圆，叫做圆的一般方程、思考：圆的标准方程和一般方程各有什么特点？结论：圆的一般方程的特点：、的系数相同，没有这样的二次项、圆的一般方程中有三个待定系数、、，因此只要求出来这三个系数，圆的方程就明确了、与圆的标准方程相比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显、练习一：教材123页练习1、2（注意练习2，判断方程是否是圆的方程我们要用的方法）、2、题型总结（待定系数法，求轨迹方程）<2>请同学们自学教材例4，总结待定系数法求圆的方程的步骤；<3>请同学们自学教材例5，总结求轨迹方程的步骤、结论：<2>待定系数法求圆的方程的大致步骤是 根据题意，选择标准方程或者一般方程； 根据题意列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； 解出a,b,r或D,E,F，代入标准方程或一般方程；<3>求轨迹方程的一般步骤： 建立适当的坐标系，用有序数对（x，y）表示曲线上任意一点M 的坐标； 写出适合条件的点M的集合； 列出方程f（x，y）＝0；④化方程f（x，y）＝0为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上、练习二： 教材123页练习3； 教材124页习题4、1第 1、3小题、3、附加知识点（点圆关系）<4>由圆的一般方程判断点与圆的关系、结论：<4>设点，圆的方程为, 若点M在圆外，则 0； 若点M在圆上，则有 0； 点M在园内，则 0、三、作业1、必做题：教材第124页习题4、1A组第1题，B组第2题；2、选做题：已知圆M经过抛物与两坐标轴的所有交点，求圆M的标准方程、。
2.4.2圆的一般方程导学案-高二上学期数学人教A版选择性
2.4.2圆的一般方程【学习内容】探索并掌握圆的一般方程【学习目标】4.4会推导圆的一般方程，能够说出圆的一般方程的特点以及满足的条件.4.5会根据已知条件运用待定系数法求圆的方程4.6会求动点的轨迹方程【学习过程】一、自主学习结合以下问题认真阅读课本8586页，在课本上圈画关键知识并回答以下问题1.圆的一般方程是什么？如何得到？系数需要满足什么条件？2. 圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？二、典型例题围绕以上问题1，小组研讨:方程022=++++C Ey Dx y x 配方得（1）当 时，方程表示一个点，该点的坐标为 .（2）当 时，方程不表示任何图形.（3）当 时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为 ，半径为 .上述方程称为圆的一般方程.例1 判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由(1)x 2+y 2=0; (2)x 2+y 2−2x +4y −6=0; (3)x 2+y 2+2ax −b 2=0. 例2求下列各圆的圆心坐标和半径:(1)x 2+y 2−6x =0; (2)x 2+y 2+2by =0; (3)x 2+y 2−2ax −2√3ay +3a 2=0. 例3求过三点O(0，0)，M 1(1，1)，M 2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.练习运用 如图，在四边形ABCD 中，AB=6，CD=3，且 AB//CD ，AD =BC ，AB 与CD 间的距离为3．求等腰梯形 ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.例4已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.练习运用 已知等腰三角形ABC 的一个顶点为）2,4(A ，底边的一个端点为）（5,3B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形.三、拓展延伸已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．。
高二数学(圆的方程)学案一 学案
江苏省淮安中学高二数学学案教学目标：1、掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆的坐标和圆的半径2、会选择适当的坐标系解决与圆有关的实际问题教学重点：圆的标准方程及其应用教学难点：圆的标准方程及其应用教学过程：一、问题情境：以O为定点，r为定长画出的一个圆，如何建立它的方程？引导学生:第一步：设点建系第二步：寻找关系第三步：化简二、新课讲授：1、标准方程推导（给出圆心（a，b），半径为r，由学生推导）方程（x-a）2+（y-b）2= r 2（r＞0）叫做以（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程。
（分析方程的结构特征，引导学生记忆）2、例题分析：例1：求圆心是C（2，-3）且经过原点的圆的方程。
例2、过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的坐标方程。
例3、圆心在直线2x-3y+5=0上且与两坐标轴均相切，求该圆的方程。
例4、已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？三、课堂小结四、作业2.2.1圆的方程（1）作业姓名 班级 学号1、求点C （-1，-5）为圆心，并且和y 轴相切的圆的方程2、过点A （1，-1），B （-1，1）且圆心在x+y-2=0上的圆的方程是3、已知半径为5的圆过点P （-4，3），且圆心在012=+-y x 上的圆的方程是4、设M 是圆(x-5)2+(y-3)2=9上的点，则M 到直线3x+4y-2=0的最短距离是 5、已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是A （5，6），C （3，-4），求这个个圆的方程6、在圆（x-a) +(y-b)=r (r >0)中满足条件 时，圆过原点；满足条件 时，原点在y 轴；满足 时，圆与x 轴相切；满足条件 时，圆与两坐标轴均相切。
7、自点A （-1，4），作圆（x-2)+(y-3)=1的切线，则切线长为： 8、写出下列各圆的方程 （1）圆心在原点，半径为6（2）经过点P （6，3），圆心为C （2，-2）9、已知圆C ：1)3()2(22=+++y x 关于直线01=+-y x 对称的圆为'C ,求圆'C 的方程10、已知点A 和圆C ：轴上点出发射到一条光线从x A y x ,4)4()6(22=-+-发射，反射光线经过圆C 的圆心，求入射光线与反射光线所在的直线方程11、已知两点A （4，9），B （6，3），求以AB 为直径的圆的方程，并且判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外？12、求圆心在直线y 4x =-上，并且与直线l :x y 10+-=相切于点P （3，-2）的圆的方程。
高中数学人教A版必修2《圆的一般方程》word学案
云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 圆的一般方程学案 新人教A 版必修2【学习目标】1. 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径，掌握方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的条件.2. 能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程.【学习重点】掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程.【学习难点】二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程. 【问题导学】情景引入：直线方程有一般式,圆的方程有没有一般式呢?如果有会是什么形式呢?（一）仔细阅读教材121-123页的有关内容,思考并回答下列问题:1、直线的一般方程是将特殊式展开整理得到的，同学们仿照此法把圆的标准方程展开，看看会得到什么式子？2、你能将圆的一般方程转化为标准方程吗？这一过程用到怎样的方法？3、是不是方程022=++++F Ey Dx y x一定表示圆？如果不是，则它在什么条件下才能表示圆呢？4、圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点？5、方程022=++++F Ey Dx y x 与220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=(二元二次方程)有什么相同和不同之处？二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的系数满足什么条件就可表示圆？并得出圆的一般式的特点？【典型例题】1、求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标，并画出相应图形（试用多种方法求解，并比较各自的特征）总结：用待定系数法求圆的方程的步骤：2、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3）,端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程。
（试着作图，当点A 在圆上运动时，追踪中点M 的轨迹）【基础题组】1、 判断下列二元二次方程是否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径① 222750xy x +-+= ② 22670x xy y x y -+++=③ 2224100xy x y +--+= ④ 222240x y x +-=⑤ 222360xy x +++=⑥ 224441290xy x y +-++= ⑦ 2244412110x y x y +-++=2、判断下列方程分别表示什么图形① 220xy += ② 2210x y x +++=③ 22220(0)xy ax a a +++=≠ ④ 2222220(0)x y ax ay a ++-=≠3、圆222680x y x y +-++=的周长是 面积是4、若直线30x y a ++=过圆22240xy x y ++-=的圆心，则a 的值是 5、已知圆22440x y x +--=的圆心是点P,则点P 到直线10x y --=的距离是6、求过原点及点A （1,1），且在x 轴上截得的线段长为3的圆的方程1、 如果方程()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于y x =对称，则需满足2、 已知动点M 到点（8,0）的距离等于点M 到点（2,0）的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是3、 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程是4、 已知圆的方程是2224100xy x y ++--=，那么过点（2,5）且经过圆心的直线的方程为 5、 已知圆C ：22230x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线l ：20x y -+=的对称点都在圆C 上，则a =6、 圆的方程为()(1)(2)2(4)0x x y y -++-+=，则圆心的坐标为7、 若点P(2,-1)恒在半径为3的动圆上，则动圆的圆心Q 的轨迹方程是 8、 已知两定点A(-2，0)，B （1,0），若动点P 满足2PA PB =,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于9、 已知圆的一条直径的端点分别是()()1122,,,Ax y B x y ，求证此圆的方程是 ()()()()12120x x x x y y y y --+--=10、已知圆的方程为：2266140x y x y +--+=,求过点()3,5A --的直线交圆得到的弦PQ 的中点M 的轨迹方程。
2.1圆的方程学案-高二上学期数学选择性
班级 姓名 学号 使用日期 ……………………………………………………………………………………………………编制人： 审核人：2.1 圆的方程一、学习目标：1.掌握圆的定义、标准方程以及一般方程.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能用圆的标准方程和一般方程解决一些实际应用问题.二、教学过程问题1 圆是怎样定义的？确定它的要素是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 问题2 已知圆的圆心为A(a ，b)，半径为r ，你能推导出该圆的方程吗？知识梳理1．圆的标准方程： ， 为圆心， 为半径。
2．圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(________________)，圆心为_______________，半径长为________________．例1、写出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：(1) (x +7)2+(y −4)2 = 36(2)(x −1)2+y 2=5写出下列圆的方程：(1) 圆心在原点,半径为5.(2) 圆心在点C(3, 4), 半径为7.例2、若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径.例3.已知△ABC 的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．随堂检测1.若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＜12B ．m ≤12C ．m ＜2D ．m ≤2 2.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的面积为( )A.8πB.4πC.2πD.π3、已知直线l过圆x2＋(y−3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是()A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝04、若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为.。
人教A版高中数学必修2 圆的一般方程优秀导学案
4.1.2 圆的一般方程学习目标：（1）掌握圆的一般方程的特点；能判断一个缺xy 项的二元二次方程是否是圆的方程；（2）能将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能写出圆心的坐标和半径；（3）熟练掌握求圆的方程的方法；（4）初步学会求一些简单的轨迹方程的方法.学习重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D 、E 、F ．学习难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
学习过程：一、问题导入：请同学们复习圆的标准方程的基本形式是 ：圆心坐标: 、半径：思考：（1）方程222410x y x y +-++=表示什么图形? ；（2）方程222450x y x y +-++=表示什么图形？ ；（3）方程222460x y x y +--+=又表示什么图形? 。
二、问题导思：阅读教材121~123P P 的内容，思考讨论下列问题.问题1、方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆?问题2、对圆的标准方程与圆的一般方程作比较，看各自有什么特点？问题3、圆的一般方程是二元二次方程吗？反过来成立吗？三、互动解疑【例1】下列方程各表示什么图形？()2214441290x y x y +-++=变式练习:方程222+2210x y ax ay a a ++++-=表示圆，则a 的取值范围是( ) 2a 23A a <->、或 2a 3B <<、0 20C a -<<、 223A a -<<、 【例2】求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程．【例3】已知线段AB 的端点B 的坐标是(2,5)，端点A 在圆22(1)9x y -+=上运动，求线段AB 中点M 的轨迹方程。
说明：点M 的轨迹方程是指222(2)20x y ax b ++-=变式练习：已知(20),N(20)M -，，，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程式（ ）22x 4A y +=、 22x -4B y =、22x 4(x 2)C y +=≠±、 22x 4(x 2)D y -=≠±、四、反思导悟1．圆的一般方程的特征：（1）2x 与2y 项的系数 ；（2） 含xy 项．2．求圆的方程时，可以求圆的标准方程，也可以求圆的一般方程：（1）当给出（或容易求出）圆心坐标、半径，一般用圆的 方程；（2）当上述条件不明显时，常用圆的 方程，3．求动点的轨迹方程就是建立动点的 的方程，关键是善于根据题目给出的条件找出等量关系列出等式．五、反馈导练1．方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是（ ）A . 114m << B . 1m > C . 14m < D . 1m < 2．(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是（ ）A . 30x y +-=B . 30x y --=C . 260x y --=D . 260x y +-=3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ）A . 2B .C . 1D 4.△ABC 的三个顶点A(1，4)，B(-2，3)，C(4，-5)，则△ABC 的外接圆方程是__ ___.5．已知圆C ：22(1)1x y -+=，过坐标原点O 作弦OA ，则OA 中点的轨迹方程是 .六、作业导习（课时活页作业二十五）。
高二数学《圆的标准方程》学案
高二数学《圆的标准方程》学案【学习目标】１、掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题、２、通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤、【重点难点】教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程、教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题、【使用说明及学法指导】1、先学习课本然后开始做导学案；2、要回忆一下初中学过的于圆相关的知识。
预习案一、知识梳理1、圆的标准方程：圆C圆心，则标准方程为：2、求曲线的方程的一般步骤是什么？3、点与圆的位置关系有几种？如何判断？二、问题导学1、直线的方程是什么方程？圆的方程是什么方程？2、你会熟练地解二元二次方程组吗？三，预习自测1、写出下列各圆的标准方程(1)圆心在原点，半径是3； (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；2、说出下列圆的圆心和半径(1)(x-3)+(y-2)=5；(2)(x+4)+(y+3)=7；(3)(x+2)+ y=43、已知△的顶点分别是，求△外接圆的方程探究案一，合作探究例1：已知两点, 求以线段为直径的圆方程，并判断点在圆上，圆外，还是园内？例2：△的三个顶点分别是,求它外接圆的方程例3：已知圆心为的圆经过点,且圆心在直线，求圆心为的圆的标准方程。
二、课堂训练与检测1、圆的圆心到直线的距离是2、若点的内部，实数的取值范围3、以为圆心，并且和轴相切的圆的方程4、已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为5、若圆经过点根据下列条件，分别求出圆的方程（1）圆心在直线上（2）圆的面积最小。
高中 圆的标准方程与一般方程 导学案
1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.学习过程：问题1 已知在平面直角坐标系中，圆心A的坐标用（a，b）来表示，半径用r来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，判断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
3、从圆x 2+y 2=9外一点P(3,2)向该圆引切线，求切线方程。
人教版 必修二 4.1.2 圆的一般方程 学案(优秀经典公开课比赛学案(教案))
人教版 必修二 4.1.2 圆的一般方程 学案
【课时目标】 1．正确理解圆的一般方程及其特点．2．会由圆的一般方程求其圆心、半径．3．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．4．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用．
1．圆的一般方程的定义
(1)当________________时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为____________，半径为______________________．
(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点________________．
(3)当__________________时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．，则其位置关系如下表：
答案
1．(1)D 2＋E 2－4F >0 ⎝⎛⎭⎫－D 2
，－E 2 12D 2＋E 2－4F (2)⎝⎛⎭⎫－D 2
，－E 2 (3)D 2＋E 2－4F <0
2．> ＝ <。
高二数学 4.1.2圆的一般方程学案
河津市第二中学高二数学 4.1.2圆的一般方程学案
【问题设计】
1、圆心为（a,b ）,半径为r 的圆的标准方程是什么？
2、圆的一般方程的表达式是什么？
3、圆的一般方程与圆的标准方程的联系是什么？
4、知道圆的一般方程如何转化为标准方程（如何求圆心坐标及半径）
5、若已知三点求圆的方程,采用圆的哪一种方程求解？
6、求特殊曲线方程（特殊点的轨迹）的一般步骤。
【达标检测】
1、方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆时，m 的取值范围是（ ）
A 、1/4<m<1
B 、m>1
C 、m<1/4
D 、m<1/4 或m>1
2、方程 是圆的方程的等价条件是（ ）
3、已知点P （5，3），点M 在圆x 2+y 2-4x+2y+4=0上运动， （1）求|PM|的最大值和最小值；
（2)求 y/x 的最值；
(3)求x 2+y 2的最值。
4、已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为1/2 的点的轨迹，
求此曲线的方程。
5、当a 取不同的非零实数时，由方程 可以得到不同的圆：
（1）这些圆的圆心是否都在某一条直线上？
（2）这些圆是否有公切线？
【学习反思】
03322222=+--+a ay ax y x 0222=+--+a y ax y x 21)(<a A 21)(>a B 21)(=a C 21)(≠a D。
人教版高中数学高二数学《圆的方程》学案二
教学目标：1、使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心坐标和半径。
2、能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。
教学重点：能用配方法由圆的一般方程求出圆心坐标和半径。
教学重点：能用待定系数法由已知条件导出圆的方程。
教学过程：一、圆的一般形式1、展开圆的标准形式（x-a）2+（y-b）2= r 2（由学生完成）则方程具有如下形式：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F=0（其中D、E、F为常数）2、将方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F=0配方（由学生完成）3、比较标准式和一般式得出什么结论？4、方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F=0 （D 2+E 2－4F＞0）叫做圆的一般方程。
（分析方程特征，强化条件记忆）二、例题分析例1、已知△ABC顶点坐标为A（4，3），B（5，2），C（1，0），求△ABC外接圆的方程。
例2、若方程02)22(222=+-+-+m y m mx y x 表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，求实数m 的取值范围。
例3、求圆心在直线L ：x+y ＝0,上，且过两圆C ：02410222=-+-+y x y x 和C :082222=-+++y x y x 交点的圆的方程。
例4、某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36m ，拱高OP 是6m ，在建造时每隔3m 需要一个支柱支撑，求支柱22B A 的长（精确到0.01m ）2.2.2圆的方程（2）作业姓名 班级 学号1、圆024222=+-++y x y x 的圆心坐标和半径分别为2、圆的方程为：0222=++++k y kx y x ，当圆面积最大时，圆心坐标为3、若圆在x 轴上的截距分别为1和3，在y 轴上截距为-1，则其方程为4、已知，圆x 2 + y 2 + Dx + Ey + F=0的圆心坐标为（-2，3），半径为4，则D ，E ，F 的值分别是5、若点（a ，-1）在圆04222=--+y y x 的内部，则a 的取值范围为6、圆032422=++-+y x y x 在x 轴上截得的弦长为7、求经过三点A （-1，5），B （5，5），C （6，-2）的圆的方程。
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高二数学《圆的普通方程》学案
【学习目标】
１、使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径、２、使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力、３、通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础、
【重点难点】
教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程、教学难点：(1)圆的一般方程的特点、(2)和圆相关的轨迹问题【使用说明及学法指导】
1、先学习课本然后开始做导学案；
2、要回忆一下二元二次方程的一般式。
预习案
一、知识梳理
1、圆的一般方程其中圆心为半径为
2、形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程的曲线表示圆的条件
3、用待定系数法求圆的方程的大致步骤是：二、问题导学
1、直线的方程和圆的方程中的是指什么？
2、如何求点的轨迹方程？三，预习自测
1、求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)
x+y-8x+6y=0 (2)x+y+2by=0 （3）
2、方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的条件是（）Ａ、k＞4或者k＜－1
Ｂ、－1＜k＜4
Ｃ、k=4或者k=－1
Ｄ、以上答案都不对
3、圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ、F=0，DE≠0
Ｂ、E2＋F2=0，D≠0 Ｃ、D2＋F2=0，E≠0
Ｄ、D2＋E2=0，F≠04、过点A（－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为
、探究案一，合作探究例1：求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程，并求圆心坐标和半径。
例2：已知线段的端点的坐标是，端点在圆运动，求线段的中点的轨迹方程。
二、课堂训练与检测１、方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋
16m4+9=0表示圆，则实数m的取值范围是Ａ、－＜m＜1 Ｂ、－1＜m＜Ｃ、m＜－或m＞1 Ｄ、m＜－1或m＞２、方程x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于直线x＋y=0对称，则有Ａ、D＋E=0 Ｂ、D＋F=0 Ｃ、E＋F=0 Ｄ、D＋E＋F=0３、经过三点A(0，0)、B(1，0)、C(2，1)的圆的方程为（）Ａ、x2
＋y2＋x－3y－2=0 Ｂ、 x2＋y2＋3x＋y－2=0 Ｃ、 x2＋y2＋x＋3y=0 Ｄ、 x2＋y2－x－3y=04、已知点是圆内一点，过点最长的弦所在的方程
5、等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么、
6、求经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为的圆的方程。