有关三角形的角

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与三角形有关的角(提高) 知识讲解(82)

与三角形有关的角（提高）知识讲解【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．知识点三、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

专题02 与三角形相关的角(知识点串讲)(解析版)

专题02 与三角形有关的角知识网络重难突破一、三角形的内角和等于180°1. 三角形三个内角和等于180°．2．几种常见的证明三角形内角和为180 的方法：①添加平行线： 22112211 ②折叠：332211③把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．典例1．（2021·山西九年级二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．【解析】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的即，作CD AB ⊥后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．典例2．（2021·全国）直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是__．【答案】22.5°．【分析】设两个锐角度数为x °，3x °，根据直角三角形中两个锐角互余列方程求解即可．【解析】设两个锐角度数为x °，3x °，由题意得：x +3x ＝90，解得：x ＝22.5，∴较小的锐角是22.5°．故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，以及一元一次方程的应用，根据性质列出方程是解答本题的关键．典例3．如图，ABC 中，50A ∠=︒，点E ，F 在,AB AC 上，沿EF 向内折叠AEF ，得DEF ，则图中12∠+∠等于（）A ．130︒B ．120︒C ．65︒D ．100︒【答案】D【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF +∠AFE 的度数，再根据折叠的性质求出∠AED +∠AFD 的度数，然后根据平角等于180°解答．【解析】解：∵∠A =50°，∴∠AEF +∠AFE =180°-50°=130°，∵沿EF 向内折叠△AEF ，得△DEF ，∴∠AED +∠AFD =2（∠AEF +∠AFE ）=2×130°=260°，∴∠1+∠2=180°×2-260°=360°-260°=100°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．二. 直角三角形 ↔ 2个锐角互余直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形.典例1.（2020·利辛县启明中学八年级月考）在下列条件中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（） ①A B C ∠+∠=∠，②::1:2:3A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠，④A B C ∠=∠=∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】结合三角形的内角和为180°逐个分析4个条件，可得出①②③中∠C=90°，④能确定ABC 为等边三角形，从而得出结论．【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，即∠C=90°，此时ABC 为直角三角形，①符合题意；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A+∠B=∠C，同①，此时ABC 为直角三角形，②符合题意；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，③符合题意；④∵∠A=∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴ABC为等边三角形，④不符合题意；综上可知：①②③能确定ABC为直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是结合三角形的内角和定理逐个分析4个条件．三、三角形的外角的性质1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．③三角形的外角和等于360°.等于（）典例1．（2021·湖南八年级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，则DACA．75°B．90°C．105°D．120°【答案】C【分析】根据三角板的每个角度及三角形的有关性质求解．【解析】解：在△AFC中，由三角形外角性质可得：∠DAC=∠DFC+∠C=60°+45°=105°，故选C．【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角板的构成及三角形的外角性质是解题关键．典例2．（2021·辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD ＝30°，则∠DCE的度数为_____．【答案】70°．【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，∠DCE＝40°+∠CBD②，由①②得∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．典例3．（2020·山东八年级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________．【答案】360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【解析】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．四. 多边形的对角线1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的对角线：一个顶点有(3)n-条对角线，共有(3)2n n-条对角线．典例1．观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线；五边形有_______条对角线：六边形有_______条对角线．n 边形有______条对角线；（无需证明）（2）若一个多边形有35条对角线，这个多边形的边数是？【答案】见解析【分析】（1）根据图形求出多边形的对角线条数；（2）设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解方程即可得出答案．【解析】解：()1观察图形可得：四边形的对角线的条数为：()43414222-⨯⨯==；五边形的对角线的条数为：()53525522-⨯⨯==；六边形的对角线的条数为：()63636922-⨯⨯==； ⋅⋅⋅依次类推：n 边形的对角线的条数为：()32n n -． ()2设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解得：110n =，27n =-（不合题意，舍去）.答：这个多边形的边数是10．【点睛】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．五. 多边形的内角和1. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．2. n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．证明方法：分割成(n-2)个三角形求内角和3.正多边形的每个内角都相等，都等于n-°；(2)180n典例1．（2021·内蒙古包头市·八年级期末）若多边形的边数由n增加到n+1（n为大于3的正整数），则其内角和的度数（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．不能确定【答案】A【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案．【解析】解：n边形的内角和是（n−2）•180°，n＋1边形的内角和是（n＋1−2）•180°＝（n−1）•180°，则（n−1）•180°−（n−2）•180°＝180°，故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的内角和定理是解决的关键．典例2．（2021·浙江八年级期末）如果一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据n边形的内角和为(n-2)•180°得到(n-2)•180=540，然后解方程即可．【解析】解：设这个多边形的边数为n，∴(n-2)•180=540，∴n=5．故选：C．【点睛】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)•180°．典例3．若一个正多边形的每个内角为144︒，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解析】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n-2）180°=144°×n，解得n=10，故选：B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程是解题关键．典例4．一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（）A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能【答案】D【分析】若剪掉四边形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形．若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．若沿着四边形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）．即可求得内角和的度数．【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是能理解一个四角形截取一个角后得到的图形的形状．典例5．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．10或11【答案】B【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．【解析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，则(n-2)×180+x=1500，(n-2)×180=8×180+60-x，∵n-2为正整数，∴60-x能被180整除，又∵x＞0，∴60-x=0，∴(n-2)×180=8×180，∴n=10，故选B【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．六. 多边形的外角和1. 多边形的外角和为360°．注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；2. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；典例1．（2021·山东青岛市·八年级期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进16米后向左转45°，又向左转45°，…，照这样走下去，共走路程为（）A．96米B．128米C．160米D．192米【答案】B【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×16=128（米）．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．典例2．（2021·山东八年级期末）如图，1234∠+∠+∠+∠的度数为__________．【答案】360︒【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．【解析】解：由多边形的外角和定理知，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故答案是：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．典例3．（2021·河北八年级期末）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，对角线BF 的延长线与边DE 的延长线交于点M ，则M ∠的大小为__________．【答案】22.5︒【分析】利用正多边形的内角和公式与外角和公式结合题意即可求出45FEM ∠=︒，67.5EFB ∠=︒，再利用三角形外角性质即可求出M ∠．【解析】解：根据正八边形的性质可知360458FEM ︒∠==︒，180(82)1358EFG ︒⨯-∠==︒，由图可知1113567.522EFB EFG ∠=∠=⨯︒=︒， ∴67.54522.5M EFB FEM ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和公式以及三角形外角的性质．掌握正多边形的内角和与外角和公式是解答本题的关键．巩固训练一、单选题1．（2021·四川九年级一模）如图，//AB CD ，80C ∠=︒，∠CAD =60°，BAD ∠的度数等于（）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°【答案】D 【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．【解析】解：∵∠C =80°，∠CAD =60°，∴∠D =180°-80°-60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD =∠D =40°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．2．（2021·全国九年级专题练习）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（）．A ．180︒B ．215︒C ．235︒D ．245︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可．【解析】解：65A ∠=︒，18065115ADE AED ∴∠+∠=︒-︒=︒，360115245BDE CED ∴∠+∠=︒-︒=︒，【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键．3．（2020·涿州市实验中学八年级期中）下列说法中错误的是（）A ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ＝∠B ﹣∠C ，则△ABC 为直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝2∠C ，则△ABC 为直角三角形【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．【解析】解：A 、在△ABC 中，因为∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，所以∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意．B 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ﹣∠C ，所以∠B ＝90°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． C 、在△ABC 中，因为∠A ＝12∠B ＝13∠C ，所以∠C ＝90°，∠B ＝60°，∠A ＝30°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． D 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ＝2∠C ，所以∠A ＝∠B ＝72°，∠C ＝36°，△ABC 不是直角三角形，本选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．4．（2021·陕西八年级期末）如图，已知12//l l ，45A ∠=︒， 2100∠=︒，则1∠的度数为（）A ．50°B ．55°C ．45°D ．60°【分析】依据12//l l ，得到1ABC ∠=∠，再根据45A ∠=︒，2100A ABC ，即可得到55ABC ∠=︒，可得出155ABC ．【解析】解：12//l l ，1ABC ∴∠=∠，又45A ∠=︒，2100A ABC ， 21004555ABC A ，155ABC故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．5．如图，1∠，2∠，3∠，4∠一定满足的关系式是（）A ．1234∠+∠=∠+∠B ．1243∠+∠=∠-∠C ．1423∠+∠=∠+∠D ．1423∠+∠=∠-∠【答案】D 【分析】根据外角的性质分别得到∠AEF =∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF ，从而推断出∠2–∠3=∠1+∠4．【解析】解：如图，在△BED 中，∠AEF =∠4+∠3，在△AEF 中，∠2=∠1+∠AEF ，∴∠2=∠1+∠4+∠3，即∠2–∠3=∠1+∠4，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是根据外角的性质得到∠AEF=∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF．6．（2021·浙江八年级期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（）A．5条B．4条C．3条D．2条【答案】C【分析】根据由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线解答即可．【解析】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．7．一个正多边形的一个内角是150 ，则这个正多边形的边数为（）A．2 B．3 C．9 D．12【答案】D【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解析】解：外角是：180°-150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．8．（2021·陕西八年级期末）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可．【解析】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360°∴正多边形的边数是360°÷45°=8．故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键．二、填空题9．（2020·辽宁七年级期中）“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是____.【答案】三角形的内角和是180°【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．【解析】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理为：三角形的内角和是180°．故答案为：三角形的内角和是180°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．10．（第十三章相交线平行线（基础卷）-2020-2021学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））如图，AB∥MN，点C在直线MN上，CB平分∠ACN，∠A＝40°，则∠B的度数为__．【答案】70°【分析】先由AB ∥MN 知∠A +∠ACN ＝180°，结合∠A 度数得出∠ACN 的度数，再由CB 平分∠ACN 知∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，最后根据三角形内角和定理可得答案．【解析】解：∵AB ∥MN ，∴∠A +∠ACN ＝180°，又∵∠A ＝40°，∴∠ACN ＝180°﹣∠A ＝140°，∵CB 平分∠ACN ，∴∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠ACB ＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了与平行线有关的三角形内角和问题，结合角平分线的性质求解是解题的关键．11．（2020·山西八年级期末）边长相等的正方边形ABFG 和正五边形BCDEF 如图所示拼接在一起，则∠FGE =____°．【答案】9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【解析】∵四边形ABFG 是正方形，∴90BFG ∠=︒，又∵五边形BCDEF 是正五边形，∴正五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴5405108BFE ∠=︒÷=︒，∴36010890162GFE ∠=︒-︒-︒=︒，∵FG FE =，∴FGE FEG ∠=∠，∴180FGE FEG EFG ∠+∠+∠=︒，即1602180FGE ︒+∠=︒，∴9FGE ∠=︒；故答案是9．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．12．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·八年级期末）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．【答案】3060【分析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，根据题意得(2)1803000n x -⨯=+变形为18016(120)2180x n ⨯++-=，由n 是正整数，0180x <<求出x 的值即可得到答案．【解析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，由题意得(2)1803000n x -⨯=+∴18016(120)2180x n ⨯++-=， ∵n 是正整数，0180x <<， ∴x=60，∴这个多边形的内角和为3060，故答案为：3060．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．13．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）一个多边形的每一个内角都是144︒，那么这个多边形是_____边形．【答案】10．【分析】根据题意，利用多边形的外角和为360度，即可求得．【解析】一个多边形的每一个内角都是144︒ ∴它的每一个外角都是18014436︒-︒=︒．多边形的外角和为360︒∴边数等于角的个数3603610=︒÷︒=．故答案为：10．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，正多边形的特点，通过外角解决问题是解题的关键．14．（2021·上海奉贤区·八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形．【答案】八【分析】多边形的内角和为()2180,n -︒外角和为360,︒ 再列方程()21803360,n -︒=⨯︒解方程可得答案.【解析】解：设这个多边形为n 边形，则()21803360,n -︒=⨯︒26,n ∴-=8,n ∴=故答案为：八【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键.15．若正多边形的一个外角为40︒，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有________条．【答案】6【分析】根据多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再根据从多边形的一个顶点出发可作的对角线为（n -3）条可求解．【解析】解：∵多边形的外角和为360︒，∴360409︒÷︒=；从它的一个顶点出发，可以引出936-=条对角线．【点睛】本题主要考查多边形的外角和对角线，掌握定理是解题的关键．16．（2020·北京师范大学三帆中学朝阳学校八年级月考）如图，小张从P 点向西直走10米后，向左转，转动的角度为α，再走10米，如此重复，小林共走了100米回到点P ，则α的值是___________．【答案】36°【分析】根据题意可先确定出该多边形的边数，再利用外角和求解即可．【解析】由题可知，小张全程下来走了一个正多边形，且边数1001010n ==， ∴根据多边形的外角和定理可求得：3603610α︒==︒，故答案为：36°．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，根据题意准确判断多边形的边数是解题关键．三、解答题17．在一个直角三角形中，如果两个锐角度数之比为2:3，那么这两个锐角为多少度？【答案】见解析【分析】根据比例设两个锐角度数分别为2k ，3k ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．【解析】解：设两个锐角度数分别为2k ，3k ，由题意得，2390k k +=，解得18k =，所以，236k =，354k =，故这两个锐角分别为36°，54°【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，利用“设k 法”表示出这两个锐角求解更简便．18．四边形ABCD 中，四个内角度数之比是1:2:3:4，求出四个内角的度数．【答案】见解析【分析】设四个内角度数分别是x °，2x °，3x °，4x °，由多边形内角和公式可得：x +2x +3x +4x =180（4-2），再解方程即可得到答案．【解析】解：设四个内角度数分别是,2,3,x x x 4x ，根据题意得：()23442180x x x x +++=-⨯，解得：36x =，272,3108,4144x x x === .答：四边形的四个内角的度数分别为：36，72，108，144 ．【点睛】此题主要考查了多边形内角公式，解题的关键是掌握内角和公式：()2180n -⨯︒（3n ≥，且n 为整数）．。

三角形有关的角度计算

与三角形有关的角一、三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形内角和为180︒推论：1、直角三角形两锐角互余2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和（学校课本没有外角概念，小题可以直接用，大题需要证明）1. 【易】（2010年重庆巴蜀中学初一下期中）如图所示，已知,OB OA OD OC ==，且65,20O C ∠=︒∠=︒，则AEB ∠的度数为（）A ．90︒B ． 115︒C ． 95︒D ． 105︒2. 【易】（2010湖北武汉二中初一下期中）如图，在直角三角形中，，是斜边上的高，，，垂足分别为、，则图中与（除之外）相等的角的个数是（）A ．B ．C ．D ．3. 【易】（北京汇文中学2013年初一数学第二学期期中考试试卷）适合条件1123∠=∠=∠A B C 的ABC △是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形4. 【易】（2009年大兴一模）把两块含有的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点、、在同一直线上,连结，则等于（）A ．B ．C ．D ．5. 【中】（2009年武珞路中学七年级下期中）如图，已知140A BCD ∠+∠=︒，BO 平分ABC ∠，DO 平分ADC ∠，则BOD ∠＝（）A ．40︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒6. 【中】（2012年昌平二中初一第二学期期中）如下几个图形是五角星和它的变形．DOEC BAABC AC AB ≠AD BC DE AC ⊥DF AB ⊥E F C ∠C FEDCBA234530︒C B E CD BCD ∠15︒30︒35︒45︒OFEDCBAAC B DE7. 8. 3.内9. ⑴ 图①中是⑵ 如果把图（即CAD ∠⑶如果把图（即CAD ∠【易】（中的延长线上D ∠的度数【中】（北小学已学习的度数和为结合上述知已知如图1之为“字问题一：⑴ 在图1中⑵ 如图2，别相交于⑶ 在⑵的条之间的数量问题二：如图3，的平内外角角分线【易】（20角平分线A 8AD ABC ∠AC是一个五角星图①中的点D B C +∠+∠图②中的点C D B AC +∠+∠中关村中学20上，过D 作D 数__________北京十二2013习：三角形的为180︒，上述知识，完成如，线段字形”．中，请直接写和M 、N ，若条件下，若图量关系．，且平分线线模型012年杭州市AD ，BE所在AB DAB ∠D BC ∥DQ 图1 OD星，求A ∠+∠A 向下移到B D E +∠+∠）向上移动到CE D +∠+∠014届初一第DE AB ⊥于E ___． 3学初一数学内角和为述结论不受三下问题：、相交子写出、的平，图2中的且和和相交于市坎山镇中初在直线所成的18CD A ∠BCD ∠40D =︒∠∠DAB ∠BQACBB C +∠+BE 上，形成）有无变化？BD 上，形成E ）有无变化第二学期期中，交AC 学第二学期期，即对于三角形的形状子点，连接、、平分线和，和为任的平分点，判断初一第二学期的角的度数是80︒O B ∠C ∠AP 36B =︒∠D B ∠BCD ∠Q 图2 4321MNO D E ∠+∠．成如图②的图？说明你的结成如图③的图化？说明你的中考试）如图于F ．已知期末考试试题于任意三角形状与大小的影接、之间的相交于点请直接写出任意角，请直分线和断与期期中）在△是（）AD CB D ∠CP AP C P ∠Q ∠ PBD形，则图②中结论的正确性图形，则此时的结论的正确图，ABC △中30A ∠=︒，∠题）ABC △，∠响．，我们把形的数量关系；点，并且与出的度数直接写出相交于点的大小关系ABC 中，∠P P ∠∠CP QAC中五个角的和性．时五个角的和确性．中，点D 在B 80FCD =︒，A 、B ∠、如图1的图形与、数；与、点，，并说明理60C =︒．两CD AB P D ∠P ADC∠ 图3O和和BC则C∠形称分和由．两条B ∠C P BD10.11.12. 13.14. 则A ．60︒ 【易】如图40D ∠=︒．A ．50︒【易】（北分线的交点CAB ∠的度A ．36︒ 【中】（武ABC ∠的平平分ACB ∠④BOC ∠= A ．①③④ 【中】（20若50A ∠=A ．15︒ 【易】（204∠=____1BA图，在ABC ∆则A ∠等于北达资源中学点，点N 是度数为（武汉二中广雅平分线与AB △B ，以下结论2COP ∠+∠011年北京八︒，10D ∠= 012年成都金___度．AMCBB ．120︒ 中，B ∠的平于（）B ．60︒ 学初一下学期数ABC △两个外）B ．42︒ 雅中学七年级BC 的外角∠论： ①OCP ∠P ．B ．②③④八十中初一下︒，则P ∠的度B ．20︒ 金牛初一下期2EDC 平分线与∠数学期中测试外角平分线的（下）数学月ACD 的平分90CP =︒；②下期中）如图度数为（期末）如图，C ．150︒ C 的外角平分C ．70︒ 试）如图：点的交点，如果C ．54︒ 月考（四））分线相交于点②90BOC ∠=C ．①②③图，ABD ∠，）C ．25︒ 若130∠=︒D 分线相交于D D 点M 是AB △果:CMB C∠∠ D ）如图，在△点P ，O 是B 12A ︒+∠；③ D ACD ∠的角 D ，295∠=︒，．60︒或12，．80︒ BC 两个内角3:2CNB =，．60︒ABC 中，BP 上一点，③12P A ∠=∠．①②③④角平分线交于．30︒335∠=︒，0︒角平则CO；④点P ，15.16.17.18.19.【易】（2050ACB∠=【易】（20ACB∠与∠A∠的度数【中】（清线，可知∠CP仍然是【中】（20ACD∠的平2A∠；……__________【中】如右BE、CE交1BA012年昌平二︒，BP平分011年天津红ABC的角平为_______．清华附初一下90BPC=︒B∠、C∠的010年昌平五平分线交于点…，2008A BC∠__．右图所示，在交于E，BD423AC二中初一第二分ABC∠，CP红桥区七年级平分线的交点期中）如图⑴12A+∠，把图的平分线，猜五中七下期中点1A，得1A∠与2008A CD∠在ABC∆中，D、CD交于A21D二学期期中）P平分ACB∠级第二学期期．BD的延长⑴，BP、C图⑴中的A△猜想BPC∠与中试卷）如图；1A BC∠D的平分线相CD、BE是D，试探索如图，AB△B．则BPC∠中考试数学长线交ACCP是任意ABC变成⑵中A∠、D∠的图，在ABC△与1A CD∠的平相交于点2009A是外角平分线D∠与E∠的BC中，AB∠C的度数____）如图在A△于E，且ED∠ABC△中B∠中的四边形A的数量关系是C中，A a∠=平分线相交于，得2009A∠．线，BD、C的关系：____80BC=︒，____________ABC中，D50DC=︒，则、C∠的角平ABCD，BP是__________，ABC∠于点2A，得．则2009A∠CE是内角平_______．_．是则平分、_．与=分线，20.21.22.23.【易】（20个相等的角⑴求P∠的度⑵若MON∠⑶经过⑴，【中】如图E，求BD∠【中】（20⑴如图1，⑵如图2，动，探究：⑶如图3，EP交于点探究：P∠【中】（20⑴如图1，系是______⑵如图2，A∠的关系是⑶如图3，关系是____010年初一下角．即MAP∠度数；80N=︒，其余⑵的计算，图，在三角形DC的度数．012年北京八两条斜边所当DEF△中在DEF△转当DEF△转P．的度数是否发012年江苏省BO、CO分___________BO、CO分是_________BO、CO分___________下期中）计算PPAB=∠，余条件不变，猜想并证明形ABC中，∠八十中初一下所形成的钝角中的直角边E转动过程，∠转动到如图所发生变化？并省苏州市相城分别是ABC△_____（直接分别是ABC△___________分别是ABC△_______，请证算题：如图，BP把ABN∠，求P∠的度MON∠与42A= ，下期中）将一角α的度数是EF绕点C转αβ+∠的大所示的位置时并说明理由；城区第二学期C中ABC∠写出结论）；C两个外角__，请证明你C一个内角和证明你的结论90MON∠=N平分成两个度数；P∠的关系．ABC∠和A∠一副三角板按是______．转动时（0︒<大小是否发生时，作FCB∠期期中考试初和ACB∠的平；CBD∠和B∠你的结论．和一个外角的论．0︒，AP把∠个相等角，即ACB的三等分如图方式放置45β<︒），生变化？并说B、FEB∠的一数学试卷）平分线，则∠CE的平分线的平分线，则MAB平分成即ABP N∠=∠分线分别交于置．ACB△保持说明理由．的平分线CP）BOC与A∠线，则BOC∠则BOC∠与成两NBP．于D、持不、的关C与A∠的24.25.26.⑷利用以上OF、OD上P，猜想【易】（20分线，交点（过程不写【中】（20试判断AE∠【中】（20高，AE、度数．B上结论完成以上的动点，P∠的大小是否010年深圳外点为点O，O写理由）012年北京ED与ACB∠011年河南省BF是角平分OA图1下问题：如ABO△的外角否变化？请证外国语初一下H BC⊥于点101初一第的大小关系省实验中学内分线相交于点C D图4FOA图4，已知：角OBE∠的平证明你的猜想下测试）已知点H，请写出二学期期中系，并对结论内部中考数学点O，BAC∠图2BOAPB9DOF∠=平分线与内角想．知：AD、BE出BOD∠与）如图，已知进行证明．学第一轮复习50,C C=︒∠=CEDE0︒，点A、角OAB∠的平E、CF是△COH∠的关系知12∠+∠=资料3）A△70︒，求D∠BA图3B分别是射线平分线相交于ABC三条角系，并说明理180︒，3∠ABC中，ADDAC，BOA∠CO线于点角平理由B=∠，D是A的D27.28.29.【中】（20ABC∠，且【中】（20从点出发利用上述知如下图，若反射：在若⑴写出⑵若第次【中】（清点在⑴ 作⑵ 如图2，动的时候⑶ 当的化，如果2PECAA01OA A∠A∠n1n n nA A A-+∠C AQACB∠A∠011年育才中且12∠=∠，012年十一中发经过镜面反知识以及你所若、是处进行第一，_____次反射后，反射________清华附中初一上，连接和的作候，的大小在大于果变化请写出1FDBAOB OC1102OA A=∠12A A=1=CBB ABD∠PBC∠M∠+中学初一下期DC与BE交中学第二学期反射后（是所学过的数学是两个平面镜一次反射，在____；射光线能与平__；（是大一下期中）如并延长．的平分线交于和的平的度数和于小于出ODOθ∠=1A A∠nBBCQ∠N∠0︒90︒M N∠+∠期末）已知：交于点F．期七年级数学是反射光线知识，解决下镜，一束光线在处进行第______平面镜相交，大于等于1的图1，两条射于点，探平分线交于点会如何变化间变化时，的变化范围2A23A=M如图所示，在学期中练习试），有性质下列问题：线从出发，第二次反射…___；根据上面所的整数）射线、探索与点，问当？并给出理由请直接回答．A23A A∠AP AM∠∠N在ABC△中卷）材料：如．在这两个平……_______所求的结果，交于点的关系；点和点在由．：12∠=∠4A=AQ AAB CM N∠+∠中，BE平分如图，一束光平面镜之间来__；猜测，点在在和的度数是否B AAP AQ光线来回上，上运否变AP30.31.32.【中】(201⑴判断⑵若将直线判断图）【中】如图．⑴求⑵在⑴中，与⑶如图乙、、之【中】（20直角三角形BDC A∠=∠F∠ADH∠BAC∠EAD∠BEAD∠B∠C∠B1年三帆初一，过点与线绕这点、、图甲，在．若将、之间图丙，平之间又有什么010年武汉市形，ACBFDA BCD∠DFH AHD∠AB△D甲E DA7C∠=B∠C∠AE乙FADE9AOB∠=一下期中)如图作直线之间存在的点旋转（不之间中，间的数量关系平分，么数量关系？市新洲区初一，斜边DDFDDBCD∠BC∠C70,50B︒∠=BAC∠BC90︒A图，已知，使的数量关系，不含与、间存在的数量，,改为“系吗？为上？请你任意选一下期末）如与轴交A△F DFAB70C=︒∠︒∠F AE丙FADEAB y，，并证明；重合的量关系并证明，”，而上一点，选择其中一种如图，在平面于点．ABC DAC∥CD50B=︒ADC B>∠FDCC为边上一点情况），交明．（如有需垂直于而其它条件不于，种情况证明．直角坐标系中ABD BCBC⊥D点，交射线于点需要，请自己，平分不变，你能求，这时中，CAD AEEFD∠AOB△点，己画分求出与是HD33.34.35.⑴若⑵延长求度数⑶如图，点旋转时（是否发生【中】（20，点⑴如图1⑵如图2，⑶如图3，系式______【中】（杭点的直线⑴如图1，⑵如图2，【中】（20纸片之间有一种⑴若折成图间的关系；⑵若折成图⑶若折成图A∠=ABA∠OAABC∠BABC△，求证交轴于点；平分（斜边与生改变？若不011年武汉二点为直线上当当点在点在边_______ ．杭州七年级下线交于若若010年武汉市片沿折叠种数量关系保图2或图3，即（不必证明图4，写出图5，写出AOC∠xOF AO∠AB图1P40ABC∠=PACPACAD EABE∠=BAD∠+DE∠∠证：，过作，轴正半轴始不变，请求其度二中广雅中学上上一动，延长线上时所示位置时期末复习）在，交于，市洪山区数学叠成图1，此保持不变，请找即点落在）与、与、B B∠=∠E OOM BCO∠yAC︒BAC∠CCAC30︒EBD∠90EBD∠=AA1∠∠A1∠∠；，的平分线交始终相交于点度数；若改变学下学期期末点，PO B⊥，点与时，求证：时，请直接写在中，，求，学七年级（下时点落在找出这种数量或上之间的关系之间的关系BOCOD AB⊥O图260=︒PABC△F AEF∠20D=︒︒BM AD⊥ABE CD22且交的延长线点），在⑵变，请说明理末七年级数学BO于点，与点重合时写出中，．求的度于，求下）期末数学四边形量关系并说明上时，分别写系式；（不必系式．（不必DOB∠=FOCOC(12APO∠=APO∠ABC∠=AFE=∠BAD∠DMBCD，线于点，当⑵的条件下，理由．）在时，与，，是度数．求模拟试卷）如内部，则明理由．出与必证明）必证明）EOB∠O∠PAABC△APO∠=ACB BA∠-∠ACB∠C∠D BADB E∠-∠DEA∠∠当试问的中，平分．．的等量上一点，的度数如图：将与、；与OAE OEA=∠ABO△P∠图3BO)CBAC∠BCEBMA∠1∠2A∠∠，绕度数分量关过．之AO2∠111/1136. 【中】（2012年江苏省苏州市相城区第二学期期中考试初一数学试卷）现有两块大小相同的直角三角板和，，30A D ∠=∠=︒．⑴ 将这两块三角板摆成如图①的形式，使、、、在同一条直线上，点在边上，与相交于点，试求的度数；⑵ 将图①中的固定，把绕着点逆时针旋转如图②的形式，当旋转的角度等于多少度时，?并说明理由．37. 【难】（2010年湖北省武汉市洪山区七年级（下）期末数学模拟试卷）把一付学生用三角板（和）如图⑴放置在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直角边与轴重合，斜边与轴重合，直角边交轴于，斜边交轴于，是中点，．⑴ 把图1中的绕点顺时针旋转度（）得图2，此时的面积是，的面积是，分别求、、三点的坐标； ⑵ 如图3，设的平分线和的平分线交于点，的平分线和的平分线交于点，当改变的大小时，的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．图5图4图3图2图112121221A B CD EABCDEA B CDE A BCD EEDCB A ABC DEF 90ACB DFE ∠=∠=︒B F E A C DF DE AC G AGD ∠ABC △DEF △F DF AC ∥图2图1ABCDEF GF ED CBA30,60,90︒︒︒45,45,90︒︒︒A y AC y AD y AE x F AB x G O AC 8AC =Rt AED △A α090︒α<︒≤AGH △10AHF △8F H B AHF ∠AGH ∠M EFH ∠FOC ∠N αN M ∠+∠图3图2图1。

三角形关于角的计算公式

三角形关于角的计算公式
三角形角度计算公式有：
1、cosA=b^2+c^2-a^2/2bc或a^2=b^2+c^2-2bccosA。

2、cosB=c^2+a^2-b^2/2ca或b^2=c^2+a^2-2accosB。

3、cosC=a^2+b^2-c^2/2ab或c^2=a^2+b^2-2abcosC。

定理应用：
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下三种需求：当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。

当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。

三角形性质
1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2、在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

八年级上册数学- 与三角形有关的角

【模块一】三角形内角和定理及应用方法技巧任意一个三角形的三个内角的和都等于180°，当已知三角形两角和时，可求第三个角. 题型一三角形内角和定理【例1】（2018长春）如图，在△ABC 中，CD 平分ACB ∠交AB 于点D 作BC DE //交AC 于点E ，若48,54=∠=∠B A ，求CDE ∠的度数.EB CDA题型二三角形内角和定理的应用【例2】如图，在ABC ∆中，ACB ABC ∠=∠，点P 为ABC ∆内的一点，且PCA PBC ∠=∠，110=∠BPC ,求A ∠的度数.BCP A题型三利用互余互补导角（1）已知CE BD ,是ABC ∆的两条高，直线CE BD ,相交于点H . 如图，①在图中找出与DBA ∠相等的角，并说明理由；②若 100=∠BAC ，求DHE ∠的度数；（2）在ABC ∆中，50=∠A ，直接写出DHE ∠的度数是E HBCDA针对练习11. 在下列条件中①C B A ∠=∠+∠；②3:2:1::=∠∠∠C B A ③C B A ∠=∠=∠3121；④C B A ∠=∠=∠2；⑤C B A ∠=∠=∠21中能确定ABC ∆为直角三角形的条件有（）A.2个B.3个C.4个D.5个 2. 已知：如图，在ABC∆中，BD C ABC ,∠=∠是ABC ∠的角平分线，且,BED BDE ∠=∠ 100=∠A ，求DEC ∠的度数.EBCDA3. 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，P 为线段AD 上一点，AD PE ⊥交BC 的延长线于点E ，若35=∠B ， 85=∠ACB ,求E ∠的度数.PEBCDA【板块二】三角形外角性质及应用方法技巧任意一个三角形的外角都等于和它不相邻的两个内角的和，利用这个性质可以更快捷地建立角与角之间的关系或计算角的角度.2E 1BCDA【例4】如图，ABC ∆为直角三角形， 90=∠C ，若沿图中虚线剪去C ∠，求21∠+∠的度数.针对练习21. 如图，已知AD 是ABC ∆的角平分线，CF 是ABC ∆的高， 45,60=∠=∠BCE BAC ,求ADC ∠的度数.E pBCDA2.如图，在ABC ∆中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D. （1）如图1，若68=∠B ，32=∠C ，BC AE ⊥交于E ，EAD ∠的度数为；（2）如图2，若点F 是AD 延长线上一点，BAF ∠，BDF ∠的平分线交于点G ，x B =∠，y C =∠（y x >），求G ∠的度数.图2图1FB CDAG E BCD A【模块三】三角形的折叠与求角方法技巧1.充分利用折叠问题中的已知条件和隐含条件是解题关键；2.一副直角三角板各内角度数如图. 题型一三角板的叠放求角【例6】生活中到处都存放着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如下两幅图都是同一副三角板拼凑而得到的：如图1，（1）求ABC ∠的度数；（2）如图2，若BC AE //，则AFD ∠= .图1图245°60°45°30°EFBCD AE F B C DA【例7】（1）如图1，把ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内部点A `的位置.试写出A ∠与21∠+∠之间的关系，并说明理由；（2）如果把ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内部点A `的位置.如图②所示，试写出A ∠与21∠+∠之间的关系？直接写出（3）如果把ABC ∆纸片沿EF 折叠，使点D A ,落在四边形BCEF 内部点A `,D `的的位置.如图③所示，试写出`A ∠，`D ∠与21∠+∠之间的关系.图3图1图212A′D′2A′E F BCD AE 1BCDA EA′BCD A21针对练习31.将直角三角形（ACB ∠为直角）沿线段CD 折叠使点B 落在点`B 处，若`ACB ∠=50°，求ACD ∠的度数.B′BCAD。

人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角

人教版八年级数学上册教学设计11.2 与三角形有关的角一. 教材分析人教版八年级数学上册“与三角形有关的角”这一节主要让学生了解三角形内角和定理，学会使用三角形的内角和定理解决实际问题。

通过这一节的学习，让学生进一步理解三角形的性质，为后续学习三角形的其他性质和判定打下基础。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了角的性质，对角的概念有了初步的了解。

但他们对三角形的内角和定理的理解还不够深入，需要通过实例来进一步理解和掌握。

此外，学生的空间想象力还不够丰富，需要通过实物演示和动手操作来帮助他们理解和掌握三角形的内角和定理。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形内角和定理，能运用三角形的内角和定理解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：三角形内角和定理的理解和运用。

2.难点：对三角形内角和定理的证明和灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、实物演示法、合作交流法等，引导学生观察、操作、推理，从而理解和掌握三角形的内角和定理。

六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、量角器等教具。

2.制作课件，展示三角形内角和定理的证明过程。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问：“我们以前学过角的性质，那么你们知道三角形的角有什么特点吗？”引导学生回顾角的知识，为新课的学习做好铺垫。

呈现（10分钟）教师展示三角形模型，让学生观察并提问：“请大家观察这个三角形，你们能发现什么规律吗？”引导学生发现三角形的内角和等于180度。

操练（10分钟）教师给出几个三角形，让学生用量角器测量其内角和，验证三角形的内角和定理。

同时，教师巡回指导，帮助学生解决问题。

巩固（10分钟）教师通过出示一些实际问题，让学生运用三角形的内角和定理解决问题，巩固所学知识。

拓展（10分钟）教师提问：“你们还能找到其他形状的图形的内角和定理吗？”引导学生思考四边形、五边形等图形的内角和定理，培养学生的空间想象力。

专题02 与三角形有关的角(原卷版)

ABCD专题02 与三角形有关的角专题探究考点一三角形的内角与外角【知识点睛】❖三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，❖推论：三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和三角形的外角和=360°❖应用：1.三角形内角和定理在求角度时，只要知道任意两个内角的度数，就可以求第三个角的度数2.三角形求角度问题常和角平分线、高线等结合考察，另外，有折叠，亦有角相等❖飞镖模型：【类题训练】1．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．50°2．根据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（）①∠A+∠B＝∠C，②，③∠A：∠B：∠C＝5：2：3，④∠A＝2∠B＝3∠C．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下面说法正确的个数是（）（1）三角形中最小的内角不能大于60°；（2）三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；（3）三角形任意两个内角的和大于第三个内角；（4）直角三角形只有一条高；如图，有：CBAADC∠+∠+∠=∠（5）在同圆中任意两条直径都相互平分；（6）三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边．A．5个B．4个C．3个D．2个4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠CEF的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°5．如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是°．6．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．85°7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°8．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的三个外角度数的比为4：5：6，则∠A＝（）A．96°B．84°C．48°D．24°10．2022年2月8日上午，谷爱凌在女子滑雪大跳台决赛中，获得了北京冬奥会雪上项目的首金．如图所示，大跳台的∠B＝35°，∠C＝y°，∠BAD＝x°，请找出y与x的关系式（）A．y＝145﹣x B．y＝x﹣35C．y＝x+55D．y＝x+3511．一副三角板如图放置，则∠1+∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°12．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．13．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．14．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是．15．如图，在△ABC中，AD是BAC的平分线，EF∥AD，交BC于E、AB于F、CA的延长线于G，∠B＝30°，∠C＝70°，则∠G的度数．16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠CAE的度数；（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．17．如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝42°，∠BDC＝75°，求∠CED的度数；（2）若∠A﹣∠ACD＝17°，∠EDB＝95°，求∠A的度数．18．（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BFC的度数；（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝42°，①求∠CAB的度数；②求∠CAP的度数．考点二直角三角形的角【知识点睛】❖性质：直角三角形内角两锐角互余判定：两个内角互余的三角形是直角三角形【类题训练】1．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（）度．A．45B．60C．75D．1052．若一个三角形的三个内角的度数之比为1：3：4，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3．已知，在直角△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是（）A．30°B．50°C．70°D．90°4．在Rt△ABC中，BC是斜边，∠B＝35°，则∠C＝（）A．45°B．55°C．65°D．75°5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41°B．42°C．43°D．44°6．已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）A．45°B．45°或135°C．45°或125°D．135°7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点F是△ABC外的一点，∠CBE是△ABC的外角，∠CAF＝2∠F AB，∠CBF＝2∠FBE，则∠F＝．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E 处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是．9．如图，点A是射线BC外一点，连接AB，AB＝5cm，点A到BC的距离为3cm．动点P 从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当t为秒时，△ABP为直角三角形．10.如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝40°，（1）当∠A＝时，△AOP为直角三角形；（2）当∠A满足时，△AOP为钝角三角形．11．如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB．（1）求∠ACE的度数．（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形．13．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由；（2）如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能）（3）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D．①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是（填写序号），并说明理由；②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数．。

与三角形有关的线段和角

与三角形有关的线段和角三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。

在三角形中，存在着一些与线段和角度相关的性质和定理。

本文将围绕着与三角形有关的线段和角展开讨论。

一、三角形的边长关系在任意三角形ABC中，存在着边长之间的一些关系。

首先，三角形的任意两边之和大于第三边，即AB+AC>BC、AB+BC>AC、AC+BC>AB。

这一性质被称为三角形的三角不等式，它保证了三角形的存在性。

另外，根据三角形边长的长短关系，可以将三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。

二、三角形的角度关系在三角形ABC中，三个角A、B、C的和为180度，即角A+角B+角C=180°。

这一性质被称为三角形内角和定理。

由内角和定理可以推导出多个有用的定理，例如：在任意三角形中，若两角的和等于第三角，则该三角形为直角三角形。

三、三角形的中线与垂心三角形的中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

在三角形ABC中，连接顶点A与边BC中点D的线段AD被称为三角形ABC 的中线。

三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。

重心有许多重要的性质，例如：三角形的重心将三条中线分成2:1的比例。

另外，垂心是指三角形的三条高所交于的一点。

三角形的三个顶点到垂心的连线相互垂直。

四、三角形的角平分线和垂直平分线在三角形ABC中，角平分线是指将角A平分成两个相等角的线段。

角平分线的交点与三角形的顶点和对边上的两个点构成的三角形被称为三角形ABC的角平分线三角形。

另外，垂直平分线是指将对边AB的垂直平分线与对边AC的垂直平分线的交点。

垂直平分线与三角形的顶点和对边上的两个点构成的三角形被称为三角形ABC的垂直平分线三角形。

五、三角形的外心和内心三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即通过三角形的三个顶点作圆时，圆心在外接圆上的点。

外接圆可以通过三角形的三条边的中垂线相交而得到，且外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线。

与三角形有关的角

第2讲与三角形有关的角一、知识重点1．三角形内角和定理(1）定理：三角形三个内角的和等于180°.(2）证明方法：(3)理解与延伸:因为三角形内角和为180°,所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．（4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理,应用非常广泛．【例1】填空：（1)在△AB C中，若∠A＝80°,∠C＝20°,则∠B＝__________°;(2）若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；（3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5,则∠B＝__________°，∠C＝__________°.2．直角三角形的性质与判定(1）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示,在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°。

【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（)．A．43°B．47°C．30°D．60°。

答案：B(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°,即△ABC是直角三角形．【例2－2】如图所示，AB∥CD,直线EF分别交AB，CD于点E，F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．．3．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC其中的一个外角．（2）特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角,这是内、外角联系的纽带．②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．破疑点三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一,这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.4。

直角三角形中的特殊角度关系

直角三角形中的特殊角度关系直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

直角三角形有一些特殊的角度关系，包括三角函数的定义、勾股定理以及特殊角度的正弦、余弦和正切值。

一、三角函数的定义在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦、余弦和正切。

1. 正弦（Sine）：正弦函数表示直角三角形中，斜边与对边的比值。

设直角三角形的一条直角边是a，另一条直角边是b，斜边是c，则正弦函数的定义为sinθ = a/c。

2. 余弦（Cosine）：余弦函数表示直角三角形中，斜边与邻边的比值。

设直角三角形的一条直角边是a，另一条直角边是b，斜边是c，则余弦函数的定义为cosθ = b/c。

3. 正切（Tangent）：正切函数表示直角三角形中，对边与邻边的比值。

设直角三角形的一条直角边是a，另一条直角边是b，斜边是c，则正切函数的定义为tanθ = a/b。

二、勾股定理勾股定理是直角三角形中一个重要的定理，它描述了直角三角形两直角边的长度关系。

勾股定理可以表示为a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。

根据勾股定理，我们可以计算出直角三角形中的各边长度，或者判断一个三边的长度是否能构成一个直角三角形。

三、特殊角度的正弦、余弦和正切值在直角三角形中，一些特殊的角度有确定的正弦、余弦和正切值。

这些特殊角度包括30度、45度和60度。

1. 30度角：在一个边长比为1：2：根3的等边三角形中，其中一个内角是30度。

在直角三角形中，30度角的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为1/√3。

2. 45度角：在一个边长比为1：1：√2的等腰直角三角形中，其中一个内角是45度。

在直角三角形中，45度角的正弦值为1/√2，余弦值为1/√2，正切值为1。

3. 60度角：在一个边长比为1：根3：2的等边三角形中，其中一个内角是60度。

在直角三角形中，60度角的正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3。

八年级数学上册《与三角形有关的角》讲义

与三角形有关的角【要点梳理】知识点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【典型例题】类型一、三角形的内角和1．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A= ．举一反三：【变式1】如图所示，α∠的度数是()A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度．类型二、三角形的外角2.如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）举一反三：【变式】将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则α∠的度数为()A．75︒B．105︒C．135︒D．165︒类型三、三角形有关角的实际应用3.星期天，小明见爸爸愁眉苦脸在看一张图纸，他便悄悄地来到爸爸身边，想看爸爸为什么犯愁．爸爸见到他，高兴地对他说：“来帮我一个忙，你看这是一个四边形零件的平面图，它要求BDCB∠=︒，∠=︒，19A∠等于140︒才算合格，小明通过测量得90∠=︒后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小明解释这是为什么，小明很轻松地40C说出了原因，并用如下的三种方法解出此题．请你代小明分别说出不合格的理由．（1）如图1，连接AD并延长．（2）如图2，延长CD交AB于E．（3）如图3，连接BC．举一反三：【变式】探究与发现：有一块直角三角板DEF放置在ABC∆上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．请写出BDC∠+∠+∠之间的数量关∠与A ABD ACD 系，并说明理由．应用：某零件如图所示，图纸要求90∠=︒，21∠=︒，当检验员量得CBA∠=︒，32∠=︒，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？145BDC【复习巩固】1．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．80°2．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝45°，则∠ABD+∠ACD的值为（）A．40°B．45°C．50°D．55°3．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝．4．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于．5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝108°，∠C＝35°，则∠2＝．6.如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为．7.如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．8.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．9.如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．（1）求证：∠A＝2∠E；（2）若∠A＝∠ABC，求证：AB∥CE．。

与三角形有关的角知识点归纳

6x ＢＤＣＡ第(3)题第(4)与三角形有关的角知识点归纳知识点篇:知识点一：三角形的内角和定理:三角形内角和为180°知识点二:三角形外角的性质:1.三角形的一个外角与相邻的内角互补;2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;3. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.基础篇:(1)在△ABC 中，若7836A '∠=，5724B '∠=，则C ∠= ．(2) 在ABC △中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，B C ∠∠，越来越大．若A ∠减少α度，B ∠增加β度，C ∠增加γ度，则αβγ，，三者之间的等量关系是．(3)如图，在Rt ADB △中，90D ∠=，C 为AD 上一点，则x 可能是（）Ａ.10 Ｂ20 Ｃ.30Ｄ40(4)如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，• 且CD 、BE 交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（）（A ）150° （B ）130°（C ）120°（D ）100°(5)四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（）（A ）80° （B ）90°（C ）170°（D ）20°(6)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6方法篇:A.注意方程思想的应用例题1．已知△ABC 中,(1)∠A=20°,∠B －∠C=40°,则∠B=____°; (2)∠A=120°,2∠B+∠C=80°,则∠B=___°; (3)∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°,则∠B=_____°; (4)∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=_____°.ABCβ2β3β例题2如图所示，则ABC △的形状是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．钝角三角形Ｃ．直角三角形Ｄ．等腰三角形练习:下列选项中,能确定三角形是直角三角形的是( )A.∠A+∠B=90°B.∠A=∠B=0.5∠CC.∠A-∠B=∠CD.∠A-∠B=90° B.注意整体思想的应用例题3如图，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则12∠+∠=______°练习: 如图,△ABC,∠A=40°,则(1)∠1+∠2+∠B+∠C=______°; (2)∠3+∠4=_______°例题4. 如图,已知△ABC 中,∠A=40°,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O,求∠O 的度数.变式:已知△ABC ，①如图1，若P 点是ABC ACB ∠∠和的角平分线的交点，请说明1902P A ∠=+∠； ②如图2 ，若P 点是ABC ∠∠和外角ACE 的角平分线的交点,你能说明∠P= ∠A 吗? ③如图３，若P 点是外角CBF BCE ∠∠和的角平分线的交点，你能说明1902P A ∠=-∠吗?练习:(1)直角三角形两锐角的角平分线所成的角为_______度;(2) 如图,已知△ABC 中,∠A=50°,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O,求∠DOE 的度数;(3) 如上图,已知△ABC 中,∠A=80°,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O,求∠BOD 的度数. C.注意转化思想的应用例题5 (1)一个三角形的最大的外角是钝角,则这个三角形是______三角形;(2)一个三角形的不共顶点的三个外角中,最多可以有_____个锐角;最多可以有______个直角; 最多有_____个钝角;12图21 图1 ABCD E 例题6 (1) 如图1，A B C D E ++++=∠∠∠∠∠_____． (2). 如图2，123456+++++∠∠∠∠∠∠=_____. (3).如图3,1234+++=∠∠∠∠_____． D.熟悉几个基本图形练习: (1)如上左图中, ∠1=40°,∠2=45°,∠C=50°,则∠B=____°(2)如上右图中,∠A=40°,∠B=45°,∠C=50°,则∠D=____° 例题7 (1) 如图1，五角形的顶点分别为A 、B 、C 、D 、E.求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数;(2) 如图2 ,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.(3)如图3、4中，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数.例题8 已知，如图5，在ABC △中，O 是高AD 和BE 的交点，观察图形，试猜想C∠和DOE ∠之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．例题9 把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度．课堂检测第1题. 三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形一定是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形第2题. (2006 陕西非课改)如图，123，，∠∠∠的大小关系为（） A ．213>>∠∠∠ B ．132>>∠∠∠ C ．321>>∠∠∠ D ．123>>∠∠∠ 第3题.如图，已知AB CD ∥，则（）Ａ．123=+∠∠∠Ｂ．1223=+∠∠∠Ｃ．1223=-∠∠∠ Ｄ．118023=--∠∠∠ 第4题. (2006 江西非课改)在ABC △中，8060A B ==∠，∠，则_____C =∠．第5题. (2006 镇江课改)锐角三角形的三个内角是AB C ，，∠∠∠．如果A B α=+，∠∠∠B C β=+，∠∠∠C A γ=+∠∠∠，那么αβγ，，∠∠∠这三个角中（）2 1 A BCD E 图2F5 643 2 1 图4AD CB2 13A BC P图3 654321 45α30（图12）A ．没有锐角B ．有1个锐角C ．有2个锐角D ．有3个锐角第6题. （2006 贵阳课改）如图，P 为ABC △中BC 边的延长线上一点，50A =∠，70B =∠，则ACP =∠___________．第7题. （2006 济宁课改）如图，将一等边三角形剪去一个角后，12+∠∠等于（）A ．120B ．240C ．300D ．360第9题. 如右图，已知142ABE =∠，72C =∠，则A =∠ ，ABC =∠．第10题. （2006 吉林非课改）如图，3120=∠，则12-=∠∠_________度．第11题. 如图12，三角形纸片ABC 中，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内， (1)若∠A ＝65°，∠B ＝75°，∠1＝20°，则∠2的度数为______． (2)∠1,∠2,∠C 有何关系?课后练习2．在△ABC 中，∠A =55°，高BE 、CF 交于点O ，则∠BOC =______．4．如图所示，已知点D 是AB 上的一点，点E 是AC 上的一点，BE ，CD 相交于点F ， ∠A =50°，∠ACD =40°，∠ABE =28°，则∠CFE 的度数为______．5．如图，AM 是△ABC 的中线，△ABC 的面积为4cm 2，则△ABM 的面积为（）． A ．8cm 2 B ．4cm 2 C ．2cm 2 D ．以上答案都不对7．现有两根木棒，它们的长分别为40cm 和50cm ，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（）． A ．10cm 的木棒 B ．50cm 的木棒 C ．100cm 的木棒 D ．110cm 的木棒 8．上午9时，一艘船从A 处出发以每小时20海里的速度向正北航行，11时到达B 处，若在A 处测得灯塔C 在北偏西34°，且∠ACB =32∠BAC ，则在B 处测得灯塔C 应为（）． A ．北偏西68° B ．南偏西85° C ．北偏西85° D ．南偏西68° 9．如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，分别交BC ，AB ，BC 于点C ，D ，E ，则下列说法中不正确的是（）．A ．AC 是△ABC 和△ABE 的高B ．DE ，DC 都是 △BCD 的高 C ．DE 是△DBE 和△ABE 的高 D ．AD ，CD 都是 △ACD 的高11.如图所示，在绿茵场上，足球队员带球进攻时，总是尽力向球门冲进，•你能说明这是为什么吗？12ABCE1427223112. 已知在斜△ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在直线交于H，求∠BHC的度数．13．（综合题）如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE 平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=_________．。

有关三角形和直线的定理及公式

有关三角形和直线的定理及公式一、三角形的角度定理：1.三角形内角和定理：任意三角形的三个内角和等于180度。

2.外角定理：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和。

二、三角形的边长定理：1.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 三角形的海伦公式：设三角形的三边长分别为a、b、c，其中s=(a+b+c)/2是半周长，则三角形面积S=sqrt(s*(s-a)(s-b)(s-c))，其中sqrt表示平方根运算。

三、三角形的相似定理和公式：1.AAA相似定理：两个三角形的对应角相等，则它们相似。

2.SSS相似定理：两个三角形的对应边成比例，则它们相似。

3.SAS相似定理：两个三角形中有两对边分别成比例，并且所夹角相等，则它们相似。

4.相似三角形的边长比例定理：若两个相似三角形的相似比为k，则有任意两边之间的比例也为k。

四、三角形的重心、外心、内心和垂心等公式：1.重心：三角形三条中线的交点，将三角形划分为面积相等的六个小三角形，重心到三个顶点的距离比例为2:12.外心：三角形外接圆的圆心，外接圆过三个顶点且每条边的中垂线上的交点都在外心上。

3.内心：三角形内切圆的圆心，内切圆与三条边相切，且角平分线都过内心。

4.垂心：三角形三条高线上的交点，垂心到三个顶点的距离相等。

五、直线与平面的关系：1.平行定理：若两条直线分别与第三条直线平行，则它们互相平行。

2.垂直定理：若两条直线分别与第三条直线垂直，则它们互相垂直。

3.倾斜角定理：两条直线互相垂直时，它们的斜率之积为-1六、直线的方程：1.一般式：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。

2. 斜截式：y = kx + b，其中k为斜率，b为y轴截距。

3.点斜式：y-y1=k(x-x1)，其中(x1,y1)为直线上一点的坐标，k为斜率。

4.两点式：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。

与三角形有关的角试题

21B A C M 与三角形有关的角1．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.2、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。

.3.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；（2）作CM ∥AB 由于B 、C 、D 共线∴∠A=∠1，∠B=∠2.即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B 。

例1．如图，已知∠1=20o ，∠2=25o ，∠A=35o ，则∠BDC 的度数为________例2．在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，则此三角形是(??)A ．锐角三角形?????B ．直角三角形???C ．钝角三角形???D ．等腰三角形例3、探索发现：.如图，在△ABC 中，∠A=α，△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P ，且∠P=β，试探求下列各图中α与β的关系，并选择一个加以说明．⑴.β＝180°-（∠B+∠C）/2＝90°+α/2.⑵.∠B/2+∠C+（180°-∠C）/2+β＝180°.α＝180°-∠B -∠C.算得β=α/2.⑶β＝180°-[（180°-∠B）/2+（180°-∠C）/2]＝90°-α/2.例4.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC(∠C>∠B)，试说明∠EAD=(∠C ?∠B)．解：（1）∵∠1=∠2，∴∠1=∠BAC ，又∵∠BAC=180°-（∠B+∠C ），∴∠1=[180°-（∠B+∠C ）]=90°-（∠B+∠C ），∴∠EDF=∠B+∠1=∠B+90°-（∠B+∠C ）=90°+（∠B-∠C ），又∵EF ⊥BC ，∴∠EFD=90°， ∴∠DEF=90°-∠EDF=90°-[90°+（∠B-∠C ）]=（∠C-∠B ）；（2）当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，（1）中探索所得的结论仍成立。

三角形有关的角

三角形有关的角一、学习目标1.三角形的内角2.三角形的外角二、知识点讲解1.三角形的内角内角定义内角，多边形相邻的两边组成的角叫做多边形的内角。

三角形是由两两相交且不经过同一点的三条直线的界于三个交点之间的线段构成的图形。

每两条相交直线所确定的4个角中位于三角形内部的那一个角就是三角形的内角。

基本内容在数学中，三角形内角和为180°，四边形(多边形）内角和为360°。

以此类推，加一条边，内角和就加180°。

内角和公式为：（n－2）×180° 正多边形各内角度数为：（n－2）×180°÷n例如三角形内角和就是一个△内部的三个角的和，一个内角就是其中任意一个角。

三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°。

也可以用全称命题表示为：∀△ABC, ∠1+∠2+∠3=180°。

任意n边形内角和公式任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。

其中，θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。

从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是:θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，…。

相关推论推论1直角三角形的两个锐角互余。

推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

三角形的内角和是外角和的一半。

三角形内角和等于三内角之和。

典型例题、三角形的内角1.题干：已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则△ABC是______三角形。

个人分析：三角形的内角和是_______。

答案：钝角解析：设∠A=x∠B=3x∠C=5x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+3x+5x=180°，解得：x=20°，∴∠A=20°∠B=60°∠C=100°，∴△ABC是钝角三角形根据三角形内角和是180°来计算。

人教版九年级数学专题复习：和三角形有关的角

2020年中考数学人教版专题复习：与三角形有关的角一、学习目标：1. 了解与三角形有关的角（如内角、外角）；2. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°；3. 了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．二、重点、难点：重点：三角形内角和定理的运用和三角形内角与外角的关系．难点：证明的必要性和添加辅助线的方法．三、考点分析：三角形的内角和定理及三角形外角的性质在中考中多以填空题、选择题和计算题的形式出现，有时和其他知识结合在一起考查，一般情况下，题目的难度都不大．知识梳理知识点一：三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°．证明三角形内角和定理的几种辅助线的作法：（1）如图①，过点A 作DE ∥BC ；（2）如图②，过BC 上任意一点，作DE ∥AC ，DF ∥AB ；（3）如图③，过点C 作射线CD ∥AB ．A BC AB C A B C D E D EF D ①②③知识点二：三角形的外角及其性质三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．ADBC典型例题知识点一：三角形的内角和定理例1.已知一个三角形三个内角的度数比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°思路分析：题意分析：看到题目中出现比例关系时，要想到按比例关系设未知数．解题思路：由于题目中出现比例“1∶5∶6”，我们可设三角形三个内角分别为x°、5x°、6x°，根据三角形内角和定理，三个内角的和为180°，列方程求解即可．解答过程：设三角形三个内角分别为x°、5x°、6x°，根据题意得：x°＋5x°＋6x°＝180°解得x＝15．则最大内角的度数为6x°＝90°．故选C．解题后的思考：出现与三角形的内角有关的题目时，注意题目中隐含着一个相等关系——三角形三个内角的和为180°．例2.如图所示，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°，求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．AB CD思路分析：题意分析：本题考查三角形内角和定理的应用．解题思路：由∠ADB 与∠ADC 互补可先求出∠ADB ，再根据三角形内角和定理在△ABD 中求出∠B ，在△ABC 中求出∠C ．解答过程：（1）因为∠ADC ＝80°，所以∠ADB ＝180°－∠ADC ＝100°．在△ABD 中，∠B ＋∠BAD ＋∠ADB ＝180°，则∠B ＝∠BAD ＝12（180°－∠ADB ）＝40°．（2）在△ABC 中，因为∠BAC ＝70°，所以∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝70°．解题后的思考：解答这类问题时注意角的多重属性（即属于一个三角形的内角还属于另一个三角形的内角）．例3. 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝40°，AD 是BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，求∠DAE 的度数．AB CE思路分析：题意分析：此题综合考查了三角形的内角和定理、三角形角平分线和高的定义以及直角三角形两个锐角互余等知识．解答过程：因为AE 平分∠BAC ，∠B ＝60°，∠C ＝40°，所以∠CAE ＝12∠BAC ＝12（180°－∠B －∠C ）＝40°．又因为AD 是BC 边上的高，所以∠C ＋∠DAC ＝90°，所以∠DAC ＝90°－∠C ＝50°，所以∠DAE ＝∠DAC －∠CAE ＝10°．解题后的思考：通过本例题可以得出一个重要结论：从三角形一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另两个角的差的一半．例4. 如图所示，已知在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B 与∠C 的角平分线相交于点D ．求∠BDC 的度数．AB C D思路分析：题意分析：本题综合考查三角形内角和定理、三角形角平分线的性质．解题思路：要求∠BDC 的度数，需要利用三角形的内角和定理，设法沟通已知和未知的关系．解答过程：如图所示，在△BDC 中，∠BDC ＝180°－（∠DBC ＋∠DCB ）．因为∠DBC ＝12∠ABC ，∠DCB ＝12∠ACB ，所以∠DBC ＋∠DCB ＝12（∠ABC ＋∠ACB ）．在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝180°－60°＝120°，所以∠DBC ＋∠DCB ＝12×120°＝60°．所以∠BDC ＝180°－（∠DBC ＋∠DCB ）＝180°－60°＝120°．解题后的思考：在三角形中，两内角的平分线相交构成的钝角等于90°加上第三个角的一半，即∠BDC ＝90°＋12∠A ．小结：三角形内角和等于180°，揭示了三角形三个内角之间的关系，同时为求角的问题提供了一个应用的平台，灵活而有技巧性地运用它，可以解决很多问题．知识点二：三角形的外角例5. 如图所示，△ABC 中，∠A ＝90°，∠D 是∠B 、∠C 的外角平分线的夹角，求∠D 的度数．ABCD EF 1234思路分析：题意分析：可用邻补角的性质解答．解题思路：要求∠D 的度数，只需要知道∠3＋∠4的度数，因为∠3、∠4不可能分别求出，故应将∠3＋∠4视为一个整体进行整体求值．解答过程：因为BD 和CD 分别是∠CBE 和∠BCF 的角平分线，所以2∠3＋∠1＝180°，2∠4＋∠2＝180°，又因为∠1＋∠2＝90°，所以∠3＋∠4＝135°．所以∠D ＝180°－135°＝45°．解题后的思考：本题还可以应用三角形的外角性质来解答．例6. 如图所示，∠C ＝48°，∠E ＝25°，∠BDF ＝140°，求∠A 与∠EFD 的度数．ABC DE F思路分析：题意分析：∠BDF是△BCD的外角，也是△DEF的外角，无论运用哪种关系都可以求解．解题思路：由∠BDF是△BCD的一个外角，且∠C已知，可求∠CBD的度数．通过∠CBD是△ABE的外角，可求∠A，通过∠EFD是△ACF的外角可求∠EFD．解答过程：因为∠BDF＝∠C＋∠CBD，∠C＝48°，∠BDF＝140°，所以∠CBD＝92°，因为∠CBD＝∠A＋∠E，∠E＝25°，所以∠A＝67°，∠EFD＝∠A＋∠C＝115°．解题后的思考：求一个角的度数，应该首先弄清这个角在哪个三角形中，是外角还是内角，跟已知的角有什么联系．例7.如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E．求证：∠BAC＞∠B．ABCD E12思路分析：题意分析：解答涉及角的不等关系的问题时，要想到利用“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”的性质．解题思路：要证∠BAC＞∠B，由于∠BAC、∠B在同一三角形中，没有直接的定理可用，必须通过其他的角进行转换．解答过程：在△ACE中，∠BAC＞∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）．同理在△BCE中，∠2＞∠B，因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠B．解题后的思考：本题中∠1＝∠2的作用非常关键，它把∠B和∠2的不等关系与∠BAC和∠1的不等关系联系起来了．例8.（1）如图①所示，CD是直角三角形斜边AB上的高，图中有与∠A相等的角吗？为什么？（2）如图②所示，把图①中的CD 平移得到ED ，图中还有与∠A 相等的角吗？为什么？（3）如图③所示，把图①中的CD 平移得到ED ，交BC 的延长线于E ．图中还有与∠A 相等的角吗？为什么？A B C AB CA B C EE ①②③思路分析：题意分析：无论CD 移动到什么位置，与AB 的垂直关系不变．且△ABC 各内角的度数、∠BC （E ）D 的度数保持不变．解题思路：无论高CD 怎样移动，因为∠ACB ＝90°，∠BDC （E ）＝90°，所以总有∠A ＋∠B ＝90°，∠B ＋∠BC （E ）D ＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A ＝∠BC （E ）D ．解答过程：（1）有∠BCD ＝∠A ．理由：因为∠ACB ＝90°，所以∠A ＋∠B ＝90°．因为CD ⊥AB ，所以∠BCD ＋∠B ＝90°，所以∠A ＝∠BCD ．（2）有∠A ＝∠BED ．理由：因为∠ACB ＝90°，所以∠A ＋∠B ＝90°．因为DE ⊥AB ，所以∠BED ＋∠B ＝90°，所以∠A ＝∠BED ．（3）有∠BED ＝∠A ．理由：因为∠ACB ＝90°，所以∠A ＋∠B ＝90°．因为DE ⊥AB ，所以∠BED ＋∠B ＝90°，所以∠A ＝∠BED ．解题后的思考：当图形中有线段运动时，要从变化中寻找不变量，这是解答此题的关键．小结：在有关三角形角度的计算中“外角等于和它不相邻的两个内角的和”这一性质经常起到桥梁的作用，它把三角形的内角和外角联系起来了．提分技巧和三角形有关的角的度数问题一般有两类：一类是求角的度数，解答这类问题时，通常要综合运用三角形的内角和定理、三角形外角的性质等．另一类是求证角之间的不等关系，解答这类问题时，应该依据“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”这一性质求解．分析解答这两类问题的共同之处是要分清已知角或所求角是哪一个三角形的内角，或是哪一个三角形的外角．同步测试一、选择题1. 在△ABC 中，∠A ＝2∠B ＝80°，则∠C 的度数为（）A . 30°B . 40°C . 50°D . 60°2. 一个三角形的三个内角中至多有（）A . 一个锐角B . 两个锐角C . 一个钝角D . 两个直角3. 如图所示，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 等于（）A . 480°B . 360°C . 240°D . 180°A BC D E F4. 三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 钝角三角形D . 不确定5. 如图所示，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝115°，∠A ＝25°，则∠E ＝（）A . 70°B . 80°C . 90°D . 100° A BC D EF6. 如图所示，已知D 是△ABC 中BC 边上的一点，连接AD ，E 是AD 上的任意一点，连接CE ，则∠ADB 和∠DCE 的大小关系是（）A . ∠ADB ＝∠DCEB . ∠ADB ＞∠DCEC . ∠ADB ＜∠DCED . 大小关系不确定B C D E*7. 如图所示，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 等于（）A . 36°B . 18°C . 72°D . 28°AB C D**8. 如图所示，在直角△ADB 中，∠D ＝90°，C 为AD 上一点，则x 可能是（）A . 10°B . 20°C . 30°D . 40°ABD C 6x二、填空题9. 如图所示，l 1∥l 2，∠α＝__________度．l 1l 2α25°120°10. 如图所示，用大于号“＞”表示∠A 、∠1、∠2三者的关系是__________．B C 1211. 在△ABC 中，∠A ∶∠B ＝2∶1，∠C ＝60°，那么∠A ＝__________．12. 如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________度．40°1234**13. 三角形中至少有一个角不小于__________度．**14. 在△ABC 中，若∠A －∠B ＝50°，最小角为30°，则最大角为__________．三、解答题15. 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝100°，∠C ＝2∠B ．求∠A 、∠B 、∠C 的度数．16. 如图所示，∠BAF 、∠CBD 、∠ACE 是△ABC 的三个外角，试求∠BAF ＋∠CBD ＋∠ACE 的度数．123ABC E FD*17. 如图所示，P 是△ABC 中∠B 的角平分线与△ABC 的外角∠ACE 平分线的交点，则∠A ＝2∠P ，试说明理由．AB C EP18. 已知：如图所示，∠1是△ABC 的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．试说明∠1＞∠2的理由．AB C DE F 12345四、拓广探索19. （1）如图甲所示，在五角星中，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数．（2）把图乙、丙、丁叫做蜕化的五角星形，问它们的五角之和与五角星形的五角之和仍相等吗？A B CD E 甲A BC D E 乙A B C D E 丙ABC DE 丁试题答案一、选择题1. D2. C3. B 解析：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝180°×3－180°＝360°．4. C5. C6. B7. B 解析：因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，解得∠A＝36°．所以∠C＝2∠A＝72°．在△BCD中，∠DBC＝180°－90°－∠C＝18°．8. B 解析：因为∠ACB是△BCD的外角，所以∠ACB＝6x＞90°，即x＞15°．又因为∠ACB是一个钝角，所以6x＜180°，即x＜30°．所以x在15°到30°之间，故选B．二、填空题9. 3510.∠1＞∠2＞∠A11.80°解析：设∠B＝x，则∠A＝2x，则x＋2x＋60°＝180°，解得x＝40°，则∠A＝2x＝80°．12. 280解析：因为∠1＋∠2＋40°＝180°，∠3＋∠4＋40°＝180°，所以∠1＋∠2＝140°，∠3＋∠4＝140°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°．13. 60解析：因为三角形的三个内角之和等于180°，如果三角形的每个内角都小于60°，则三角形的三个内角之和一定小于180°，这就与定理矛盾了，所以三角形中至少有一个角不小于60°．14. 80°或100°解析：因为∠A－∠B＝50°，所以最小角有可能是∠B或是∠C．（1）若∠B是最小角，则∠A－30°＝50°，得∠A＝80°，则∠C＝180°－80°－30°＝70°，这个三角形的三个内角分别是80°、30°、70°，则最大角是80°．（2）若∠C是最小角，则∠A＋∠B＝180°－30°＝150°，又因为∠A－∠B＝50°，所以∠A＝50°＋∠B，即50°＋∠B＋∠B＝150°，解得∠B＝50°，所以∠A＝100°，这个三角形的三个内角分别是100°、50°、30°，则最大角是100°．综上所述，最大角为80°或100°．三、解答题15.解：因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝100°，所以∠C＝180°－100°＝80°，所以2∠B＝80°，所以∠B＝40°，所以∠A＝180°－40°－80°＝60°．16.解：由三角形的外角的性质可知：∠BAF＝∠2＋∠3，∠CBD＝∠1＋∠3，∠ACE＝∠1＋∠2．由此可将求三角形的三个外角和的问题转化为求三角形的内角和．解题过程如下：因为∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角，所以∠BAF＝∠2＋∠3，∠CBD＝∠1＋∠3，∠ACE＝∠1＋∠2，所以∠BAF＋∠CBD＋∠ACE＝2（∠1＋∠2＋∠3）．又因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠BAF＋∠CBD＋∠ACE＝360°．17.解：因为BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的平分线，所以∠ABC＝2∠PBC，∠ACE＝2∠PCE．又因为∠A＝∠ACE－∠ABC，所以∠A＝2（∠PCE－∠PBC）．又因为∠P＝∠PCE－∠PBC，所以∠A＝2∠P．18.解：因为∠1是△ABC的一个外角，所以∠1＞∠3．因为∠3是△DCE的一个外角，所以∠3＞∠2，所以∠1＞∠2．四、拓广探索19.解：（1）如图所示，标注两个字母．因为∠CGD是△ACG的一个外角，所以∠CGD＝∠A＋∠C，因为∠EFD是△EFB的一个外角，所以∠EFD＝∠B＋∠E．所以∠CGD＋∠EFD＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E．又因为∠CGD＋∠EFD＋∠D＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.（2）仍然相等，用类似于（1）中的方法可以证明．AB EGF。

人教版八年级数学：与三角形有关的角(提高) 知识讲解

与三角形有关的角（提高）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，若∠A＝12∠B＝13∠C，试判断该三角形的形状．【思路点拨】由∠A＝12∠B＝13∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．举一反三：【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60.【变式2】（2015春•新沂市校级月考）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A= ．【答案】40°.解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB），=180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°﹣90°）=40°．2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，。