第2章2.2.2删减版文库素材

2．2.2 反证法
学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明 数学问题．
课前自主学案
温故夯基
综 合 法 是 “_由__因_导__果__” ， 而 分 析 法 则 是 “执__果__索__因__”．它们是截然相反的两种证 明方法，分析法便于我们去寻找思路， 而综合法便于过程的叙述，两种方法各 有所长，在解决具体的问题时，综合运 用效果会更好．
2．结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明 常用反证法，通过反设将肯定命题转化为否定命 题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后 的命题作为条件进行推理，很容易推出矛盾，从 而达到证题的目的．
3．常用正面词语的否定形式
正面 词语 等于
小于
大于 是
否定
正面词 语
不等于 都是
不小于(大 至多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 于或等于) 一个 不大于(小 至少有 于或等于) 一个
问题探究
用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么 q假q 就真？ 提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正 确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q 的反面 q错误时，q就一定正确．
课堂互动讲练
考点突破
用反证法证明否定性 命题
结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存 在”等词语的命题，此类命题的反面比较具体， 适于应用反证法．
不是
否定 不都是(至少有一
个不是) 至少有两个
一个也没有
失误防范 1．使用反证法必须先否定结论，对于结论的反 面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种 可能，证明都是不完全的． 2．反证法的“归谬”要合理．
变式训练3 求证方程2x＝3有且仅有一个实根． 证明：∵2x＝3， ∴x＝log23，这说明方程有一个根． 下面用反证法证明根的唯一性．
假设方程2x＝3有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝ 3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1，
如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相 矛盾．
【思路点拨】 假设三个方程都没有实根 →
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
例1 已知 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a>1)，证明方 程 f(x)＝0 没有负数根． 【思路点拨】 直接说明，不易入手，故应用反 证法.
【证明】 假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根， 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－xx00－ ＋21， 由 0<ax0<1⇒0<－xx00－ ＋21<1， 解得12<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设 不成立，
故方程 f(x)＝0 没有负数根．
【思维总结】 本题涉及方程的根，所以应从根 的范围上或者从值域的表达式上寻找矛盾．
变式训练1 已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ ca不大于零． 证明：假设ab＋bc＋ca>0， 因为a2＋b2＋c2≥0. 则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0. 所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c ＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.
证明：假设 a、b、c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0， c≤0， 则 a＋b＋c≤0，
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x ＋π6 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c＞0， 这与 a＋b＋c≤0 矛盾．
知新益能
1．反证法 假设原命题_不__成_立__(即在原命题的条件下，结论 不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此 说明假_设_错__误____，从而证明原了命__题__成_立_____，这种 证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个 矛盾可以是与_已__知_条__件__、公__理__、定_义___、定_理___等 矛盾．
用反证法证明存在性 问题
当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不 都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示 性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至 多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没 有”、“至少有两个”、“不都是”．
例2 已知a≥－1，求证三个方程： x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋ 2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
(2)如图2，点A在平面α外，假设经过点A至少有 平面α的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)，那么 AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β， 平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α， AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.
图2
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这 与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的 一条垂线相矛盾． 综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线． 【思维总结】 证明“有且只有一个”的问题，需 要证明两个命题，即存在性和唯一性．
因此，a、b、c 中至少有一个大于 0.
用反证法证明唯一性 问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、“唯一存在” 等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾， 所以用反证法证其唯一性简单明了． 例3 已知：一点A和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
【思路点拨】
【证明】 根据点A和平面α的位置关系，分两种 情况证明．
如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相 矛盾．
因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2相矛盾． 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．
故方程2x＝3有且只有一个根．
方法感悟
方法技巧 1．反证法不是直接去证明结论，而是先否定结 论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出 矛盾，从而肯定结论的真实性．
图1
(1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A至少有 平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条 相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α 相交于经过点A的一条直线a. 因为AB⊥平面α ，AC⊥平面α，a⊂α，所以 AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线 都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一 点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以 假设不成立，故三个方程中至少有一个方程
有实数解． 【思维总结】 反证法的主要依据是逻辑中的排 中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或 者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且 仅有一个是对的，不能有第三种情形出现．
变式训练 2 若 a、b、c 均为实数，且 a＝ x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6， 求证：a、b、c 中至少有一个大于 0.