变量与函数学案

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3.1.1(第1课时)函数的概念学案(含答案)

3.1.1（第1课时）函数的概念学案（含答案）3.13.1函数的概念与性质函数的概念与性质33..1.11.1函数及其表示方法函数及其表示方法第第11课时课时函数的概念函数的概念学习目标1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.知识点一函数的有关概念函数的定义给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数函数的记法yfx，xA定义域x 称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围即数集A称为函数的定义域值域所有函数值组成的集合yB|yfx，xA称为函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素定义域，对应关系与值域如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数特别提醒两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同思考定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗答案不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数1任何两个集合之间都可以建立函数关系2已知定义域和对应关系就可以确定一个函数3若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素4函数yfxx2，xA与uftt2，tA表示的是同一个函数一.函数关系的判断例11多选下列两个集合间的对应中，是A 到B的函数的有AA1,0,1，B1,0,1，fA中的数的平方BA0,1，B1,0,1，fA中的数的开方CAZ，BQ，fA中的数的倒数DA1,2,3,4，B2,4,6,8，fA中的数的2倍答案AD解析A选项121,020,121，为一一对应关系，是A到B的函数B选项00，11，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是A到B的函数C选项A中元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，不是A到B的函数D选项122,224,326,428，为一一对应关系，是A到B的函数2设Mx|0x2，Ny|0y2，给出如图所示的四个图形其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是A0B1C2D3答案B解析中，因为在集合M中当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是反思感悟1判断对应关系是否为函数的两个条件A，B必须是非空实数集A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2根据图形判断对应关系是否为函数的方法任取一条垂直于x轴的直线l.在定义域内平行移动直线l.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数跟踪训练11下列对应关系式中是A到B的函数的是AAR，BR，x2y21BA1,0,1，B1,2，y|x|1CAR，BR，y1x2DAZ，BZ，y2x1答案B解析对于A，x2y21可化为y1x2，显然对任意xAx1除外，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，1A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义2判断下列对应关系f是否为定义在集合A 上的函数AR，BR，对应关系fy1x2；A1,2,3，BR，f1f23，f34；A1,2,3，B4,5,6，对应关系如图所示解AR，BR，对于集合A中的元素x0，在对应关系fy1x2的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数由f1f23，f34，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数集合A 中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数二.求函数的定义域.函数值和值域命题角度1求函数的定义域例2求下列函数的定义域1fxx12x11x；2fx5x|x|3；3fx3xx1.解1要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x10，1x0.解得x1，且x1，即函数定义域为x|x1，且x12要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5x0，|x|30，解得x5，且x3，即函数定义域为x|x5，且x33要使函数有意义，自变量x的取值必须满足3x0，x10，解得1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3延伸探究在本例3条件不变的前提下，求函数yfx1的定义域解由1x13得0x2.所以函数yfx1的定义域为0,2反思感悟求函数定义域的常用依据1若fx是分式，则应考虑使分母不为零2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零3若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义4若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟踪训练2函数y2x23x214x的定义域为________________答案，122,4解析由2x23x20，4x0，4x0，得x12或2x4，所以定义域为，122,4命题角度2求函数值例3已知fx12xxR，且x2，gxx4xR1求f1，g1,gf1的值；2求fgx解1f11211，g1145，gf1g15.2fgxfx412x412x1x2xR，且x2反思感悟求函数值的方法1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值2求fga的值应遵循由里往外的原则跟踪训练3已知fx11xxR，且x1，gxx22xR，则f2______，fg2______，fgx________.答案13171x23解析fx11x，f211213.又gxx22，g22226，fg2f611617.fgx11gx1x23.命题角度3求值域例4求下列函数的值域1y2x1，x1,2,3,4；2y3x1x1；3yxx.解1当x1时，y3；当x2时，y5；当x3时，y7；当x4时，y9.所以函数y2x1，x1,2,3,4的值域为3,5,7,92借助反比例函数的特征y3x14x134x1x1，显然4x1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为y|y33设uxx0，则xu2u0，则yu2uu12214u0由u0，可知u12214，所以y0.所以函数yxx的值域为0，反思感悟求函数值域常用的四种方法1观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到2配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域3分离常数法此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；4换元法即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于fxaxbcxd其中a，b，c，d为常数，且a0型的函数常用换元法跟踪训练4求下列函数的值域1y2x1x3；2y2xx1.解1分离常数法y2x1x32x37x327x3，显然7x30，所以y2.故函数的值域为，22，2换元法设tx1，则xt21，且t0，所以y2t21t2t142158，由t0，再结合函数的图像如图，可得函数的值域为158，.三.同一个函数的判定例5多选下列各组函数表示同一个函数的是Afxx，gxx2Bfxx21，gtt21Cfx1x0，gxxxDfxx，gx|x|答案BC 解析A中，由于fxx的定义域为R，gxx2的定义域为x|x0，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数B中，函数的定义域.值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数C中，由于gxxx1的定义域为x|x0，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数反思感悟在两个函数中，只有当定义域.对应关系都相同时，两函数才是同一个函数值域相等，只是前两个要素相等的必然结果跟踪训练5下列各组式子是否表示同一个函数为什么1fx|x|，tt2；2y1x1x，y1x2；3y3x2，yx3.解1fx与t的定义域相同，又tt2|t|，即fx与t的对应关系也相同，fx与t是同一个函数2y1x1x的定义域为x|1x1，y1x2的定义域为x|1x1，即两者定义域相同又y1x1x1x2，两函数的对应关系也相同故y1x1x与y1x2是同一个函数3y3x2|x3|与yx3的定义域相同，但对应关系不同，y3x2与yx3不是同一个函数1若Ax|0x2，By|1y2，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是答案B解析A中值域为y|0y2，故错误；C，D中值域为1,2，故错误2若fxx1，则f3等于A2B4C22D10答案A解析因为fxx1，所以f3312.3函数y1xx的定义域为Ax|x1Bx|x0Cx|x1或x0Dx|0x1答案D解析由题意可知1x0，x0，解得0x1.4如果函数yx22x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y3答案A解析当x取0,1,2,3时，y 的值分别为0，1,0,3，则其值域为1,0,35下列四个图像中，不是以x为自变量的函数的图像是答案C解析根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数函数值与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足1知识清单1函数的概念2函数的定义域.值域3同一个函数的判定2方法归纳观察法.换元法.配方法.分离常数法3常见误区1定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应2自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断。

2011高一数学学案：2.1.1《变量与函数的概念》(新人教B版必修一)

2．1．1函数（第一课时）【知识梳理】自学课本P 29—P 31，填充以下空格。

1、设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内，按照确定的对应法则f ，都有与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作。

2、对函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的，所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的，函数y=f(x) 也经常写为。

3、因为函数的值域被完全确定，所以确定一个函数只需要。

4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验： ① ；② 。

【例题解析】题型一：函数的概念例1：下图中可表示函数y=f (x)的图像的只可能是（）题型二：相同函数的判断问题例2：已知下列四组函数：①x y x=与y=1②y =y=x ③y =y =④21y x =+与21y t =+其中表示同一函数的是（） A ． ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④题型三：函数的定义域和函数值问题例3：求下列函数的定义域1、（1）1()1f x x =+ （2）、0()f x x =+ （3）、()f x =2、例4：求函数21()1f x x =+，()x R ∈，求(0)f ,(1)f ,(2)f ,(1)f -,(2)f - 【当堂检测】1、下列图形哪些是函数的图象，哪些不是，为什么？2、已知下列四组函数，表示同一函数的是（）A. ()1f x x =-和21()1x f x x -=+ B. 0()f x x =和()1f x =C. 2()f x x =和2()(1)f x x =+ D. ()f x =和()g x =3、求下列函数的定义域（1）、1()2f x x =- （2）()f x =（3）、0(x)(1)f x =+ （4）1()2f x x=+-4、已知21()1f x x =+，21()1x g x x +=+ （1）求(2),g(2)f 的值（2）求(g(2))f 的值A B CD。

学案5：3.1.1 函数的概念

3.1.1 函数的概念【学习目标】1.函数的概念(1)函数的定义设A，B是，如果对于集合A中的，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.(2)函数的定义域与值域函数y＝f(x)中，x叫做，A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的．(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．注意：判断对应关系是否为函数的2个条件①A、B必须是非空数集．②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：、和。

3．相同函数值域是由和决定的，如果两个函数的定义域和相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们相同的函数．4. 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：区间{x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }符号【小试牛刀】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据函数的定义，定义域中的一个x 可以对应着不同的y .( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( ) (4)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．( ) (5)f (x )＝3x ＋4与f (t )＝3t ＋4是相同的函数．( )(6)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．( ) (7)函数f (2x －1)的定义域指2x －1的取值范围．( ) 【经典例题】题型一函数关系的判定例1(1) 若集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M 到N 的函数f ：M →N 的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x ； ④r ：把x 对应到x .[跟踪训练] 1 设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，不可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )题型二已知函数的解析式求定义域求函数定义域的几种类型(1)若f (x )是整式，则函数的定义域是R . (2)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零． (3)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f (x )是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义．例2 求下列函数的定义域． (1)y ＝2＋3x －2；(2)y ＝x 2－2x －3； (3)y ＝3－x ·x －1； (4)y ＝(x －1)0＋2x ＋1；[跟踪训练] 2 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－－x 2－x ＋6. (2)y ＝10－x 2|x |－3.题型三函数相同判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. 例3 下列各组函数： ①f (x )＝x 2－x x ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号). [跟踪训练] 3 （1）与函数y ＝x －1为同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－xxB ．m ＝(n －1)2C ．y ＝x －x 0D ．y ＝3(t －1)3（2）判断以下各组函数是否表示相等函数： ①f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.②f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.题型四求抽象函数的定义域两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值范围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.例4 (1)设函数f(x)＝x，则f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定义域是什么？(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？[跟踪训练] 4 已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域．例5 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2，3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域.[跟踪训练] 5（1）函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]，求函数f(x)的定义域．(2)函数f(1－x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域。

高中数学第三章函数函数及其表示方法第1课时函数的概念学案新人教B版必修第一册

3.1　函数的概念与性质 3．1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念课程标准在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．状元随笔　对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二　同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．知识点三　常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a<0基础自测1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积2．函数f(x)＝√x−1x−2的定义域为( )A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)C.[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 3．下列各组函数表示同一函数的是( )A.y＝x2−9x−3与y＝x＋3B.y＝√x2－1与y＝x－1C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z4．若函数f(x)＝√x+6x−1，求f(4)＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　函数的定义[经典例题]例1　根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；状元随笔　从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；状元随笔　判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．(2)关键是否符合函数定义．①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.(2)下列对应是否是函数？题型2　求函数的定义域[教材P87例题1]例2　求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1√(2)g(x)＝1x+1x+2.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2　求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2−3x+2；(2)f(x)＝0√||(3)f(x)＝√2x+3－√1 x .(1)分母不为0(2){偶次根式被开方数≥0(x+1)0底数不为0分母不为0 (3){偶次根式被开方数≥0分母不为0题型3　同一函数例3　下面各组函数中为相同函数的是( )A ．f (x )＝√(x −1)2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝√x 2−1，g (x )＝√x +1·√x−1C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3　试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2−xx ，g (x )＝x －1；(2)f(x)＝√xx，g(x)√(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝√x2.状元随笔　判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型4　求函数的值域[经典例题]状元随笔　求函数值域的注意事项①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；②值域一定要用集合或区间来表示．例4　求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；(2)f(x)＝1x，x∈[3，5]；(3)y＝2xx+1；(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(6)y＝2x－√x−1；(7)f(x)＝1x2+2.状元随笔　(1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．方法归纳求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝11+x2的值域为{y|0<y≤1}．(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2√x＋3的值域，因为y＝(√x－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：形如y＝ax＋b＋√cx+d的函数常用换元法求值域，即先令t＝√cx+d，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．跟踪训练4　求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝√x＋1；(3)y＝1−x21+x2；先分离再求值域(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域(5)f(x)＝5x+4 x−1.第三章　函数3．1　函数的概念与性质3．1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念新知初探·自主学习[教材要点]知识点三{x|x≠0}　R　{y|y≤4ac−b24a}[基础自测]1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．解析：使函数f(x)＝√x−1x−2有意义，则{x−1≥0，x−2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．解析：f(4)＝√4+64−1＝2＋2＝4.答案：4课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．跟踪训练1　解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B　(2)①是函数②不是函数例2　【解析】　(1)因为函数有意义当且仅当{x+1≥0，√x+1≠0，解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．(2)因为函数有意义当且仅当{x≠0，x+2≠0，解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(−2，0)∪(0，+∞)．跟踪训练2　解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则{x+1≠0，|x|−x>0，解得x<0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(−1，0)．(3)要使函数有意义，则{2x +3≥0，2−x >0，x≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为[−32，0)∪(0，2)．例3　【解析】　函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.【答案】　D跟踪训练3　解析：所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)．(2)因为f (x )＝1x 在[3，5]上单调递减，所以其值域为[15，13].(3)因为y ＝2x x +1＝2(x +1)−2x +1＝2－2x +1≠2，所以函数y ＝2x x +1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (4)函数的定义域为{1，2，3}，当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1，2}，(5)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．(6)设t ＝√x −1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．【解析】(7)方法一　因为x 2＋2≥2，所以0＜1x 2+2≤12，所以f (x )的值域为(0，12].方法二　设t 是所求值域中的元素，则关于x 的方程1x 2+2＝t 应该有解，即x 2＝1t －2应该有解，所以1t －2≥0，即1−2t t ≥0，解得0＜t ≤12，所以所求值域为(0，12].跟踪训练4　解析：(1)将x ＝1，2，3，4，5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．(2)因为√x ≥0，所以√x ＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(3)因为y ＝1−x 21+x 2＝－1＋21+x 2，所以函数的定义域为R ，因为x 2＋1≥1，所以0<21+x2≤2.所以y ∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].(4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12，3].解析：(5)函数f(x)＝5x+4x−1＝5(x−1)+9x−1＝5＋9x−1，因为x≠1，所以9x−1≠0，所以f(x)≠5，所以函数f(x)＝5x+4x−1的值域为(－∞，5)∪(5，+∞)．。

八年级下数学教案-变量与函数(2)

八年级下数学教案-变量与函数(2) 一、课程目标通过本课程的学习，学生将会达到以下的学习目标：1.掌握变量用字母表示的方法；2.熟练掌握变量在代数式中的应用；3.熟练掌握常量与变量的区别；4.掌握函数的概念以及函数表达式的表示方法；5.掌握函数与变量的关系；二、教学重点和难点重点1.变量表示方法；2.变量在代数式中的应用；3.函数定义与函数表达式。

难点1.理解函数的概念；2.理解函数与变量的关系；3.掌握函数表达式的表示方法。

三、教学步骤1. 导入新知识1.引入变量概念并让学生用字母表示变量；2.让学生举一些例子来解释变量；3.引入常量的概念并让学生解释常量和变量的区别；4.引入函数概念并解释函数的定义。

2. 理解变量在代数式中的应用1.让学生用字母表示式子中的变量；2.让学生举例出一个代数式然后带入数值计算。

3. 函数的定义与表示方法1.解释函数的定义；2.引入函数表达式的表示方法。

4. 函数与变量的关系1.让学生理解函数和变量的关系；2.解释函数表达式中的变量；3.让学生用变量来表示函数表达式。

5. 练习1.带入实际问题，让学生解决问题并运用所学知识。

四、教学方法1.课堂讲授；2.学生练习；3.互动式教学。

五、学习评估1.教师布置作业，让学生运用所学知识解决实际问题；2.在课堂上让学生表现所学知识；3.监测学生在学习过程中的表现。

六、教学资源1.课件PPT；2.试卷模板；3.教学实例。

以上是本节课程的完整教案，希望能够给各位教师在日常教学中提供一些参考。

加强教育良好的教学教案，提高教学效果，使学生受益。

【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案：第一章 1.2.1 函数的概念 Word版含答案[ 高考]

1．2函数及其表示1．2.1函数的概念[学习目标] 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域(重点).3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)一、函数的有关概念f，使对于集合A中的任意的一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应结论称f：A―→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 相关概念定义域x的取值范围A值域函数值的集合{}f（x）|x∈A二、两个函数相等的条件1．定义域相同；2．对应关系完全一致．三、区间的概念及表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：2.特殊区间的表示1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)根据函数有定义，定义域中的一个x 可以对应着不同的y .( ) (3)f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ 2．已知f (x )＝x ＋1，则f (3)＝( )A ．2B ．4C ．±6D ．10 【解析】 ∵f (x )＝x ＋1，∴f (3)＝3＋1＝2.【答案】 A 3．函数f (x )＝11－2x有定义域是________(用区间表示)．【解析】由题意，需1－2x ＞0，解得x ＜12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 4．集合{}x |1＜x ≤10用区间表示为________．【解析】集合{}x |1＜x ≤10用区间表示为(1，10]．【答案】 (1，10]预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)(2014·长沙高一检测)设M ＝x －2≤x ≤2，N ＝}y 0≤y ≤2，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，可作为函数y ＝f (x )的图象为( )(2)下列函数中，f (x )与g (x )相等的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2D ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 (3)判断下列对应是否为函数． ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x 2；②A ＝N ，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； ③A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －2|；④A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4.【解析】 (1)由函数定义可知任意作一条直线x ＝a 与函数图象至多有一个交点，故选项C 错误．由题设定义域中有元素－2，2知选项A 错误．由值域为{}y |0≤y ≤2知选项B 错误． (2)对于A ，f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{}x |x ≥0，两函数的定义域不相同，所以不是相等函数；对于B ，g (x )＝x 2＝|x |，与f (x )＝x 的对应关系不相同，所以不是相等函数；对于C ，g (x )＝x 2－4x －2＝x ＋2(x ≠2)，与f (x )＝x ＋2的定义域不同，所以不是相等函数；对于D ，g(x)＝3x3＝x，与f(x)＝x的对应关系和定义域都相同，所以是相等函数，故选D.【答案】(1)D(2)D(3)①因为A＝R，B＝R，对于A中的元素x＝0，在对应关系f：x→y＝1x2之下，在B 中没有元素与之对应，因而不能构成函数．②对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，故不能构成函数．③对于A中的元素x＝2，在对应关系f的作用下，|2－2|＝0∉B，从而不能构成函数．④依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一的元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤：(1)判断A，B是否是非空数集；(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A是任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．2．判断函数是否相同的步骤：(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．(1)f(x)＝1x－2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋12－x.【思路探究】解答本题可根据函数解析式的结构特点，构造使解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式求解．【解】 (1)∵x ≠2时，分式1x －2有意义，∴这个函数的定义域是{}x |x ≠2. (2)∵3x ＋2≥0，即x ≥－23时，根式3x ＋2才有意义，∴这个函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23. (3)∵要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{}x |x ≥－1且x ≠2.1．求解析式给出的函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值集合．已知函数y ＝f (x )：(1)若f (x )为整式，则定义域为R ；(2)若f (x )为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；(3)若f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合； (4)若f (x )是由几个部分的数字式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；5．若f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．(2014·济宁高一检测)函数y ＝1－x2x 2－3x －2定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎝⎛⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 【解析】要使函数y ＝1－x 2x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－12且x ≠2，所以x ≤1且x ≠－12，故选D.【答案】 Df (2x ＋1)的定义域；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为[1，3]，求函数f (x )的定义域．【思路探究】 (1)函数f (2x ＋1)的自变量是x ，而非2x ＋1，解不等式1≤2x ＋1≤3即可．(2)函数f (2x ＋1)的自变量是x ，本题实质是知1≤x ≤3，求2x ＋1的取值范围．【解】 (1)∵函数f (x )的定义域为[1，3]，即x ∈[1，3]，函数f (2x ＋1)中2x ＋1的范围与函数f (x )中x 的范围相同，∴2x ＋1∈[1，3]，∴x ∈[0，1]，即函数f (2x ＋1)的定义域是[0，1]． (2)∵x ∈[1，3]，∴2x ＋1∈[3，7]，即函数 f (x )的定义域是[3，7]．若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．已知函数f (x )的定义域为(0，1)，则f (2x )的定义域为__________．【解析】因为f (x )的定义域为(0，1)，所以要使f (2x )有意义，须使0＜2x ＜1，即0＜x ＜12，所以函数f (2x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜12.【答案】 ⎝⎛⎭⎫0，12已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值．【思路探究】 (1)令x ＝2代入f （x ），g （x ）→得出f （2），g （2） (2)求g （3）→求f [g （3）] 【解】 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13，又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)g (3)＝32＋2＝11，∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112.1．f (x )表示自变量为x 的函数，如f (x )＝2x ，而f (a )表示的是当x ＝a 时的函数值，如f (x )＝2x 中f (3)＝2×3＝6.2．求f {f [f (x )]}时，一般要遵循由里到外的原则．在题设条件不变的情况下，求g [f (3)]的值．【解】 ∵f (3)＝11＋3＝14， ∴g [f (3)]＝g ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫142＋2＝3316.1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等，只须两个函数的定义域和对应关系一致即可．2．f(x)是函数符号，f表示对应关系，“y＝f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，并不表示“y等于f 与x的乘积”．3．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，这是求某函数定义域的依据．相等函数判断中的误区下列各组函数相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝|x|＋1和y＝(x－1)2＋1 C．y＝2x和y＝2x(x≤0) D．y＝x2＋1和y＝t2＋1【易错分析】易失分点一：忽视函数定义域，误认为y ＝x 2－1x －1＝x ＋1，而误选A.易失分点二：忽视对应关系，误认为定义域和值域相同就是相等函数，而误选B. 【防范措施】 1.判断函数相等时，对较为复杂的函数解析式的化简要慎重，注意其等价性，本例对选项A 中第二个函数解析式的化简易把定义域扩大，由解析式相同而误认为是相等函数．2．定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数才相等．【解析】 A 错误，由于函数y ＝x 2－1x －1中要求x －1≠0，即x ≠1，故两个函数的定义域不同，故不表示相等函数．B 错误，虽然定义域和值域相同，但对应关系不相同，因而不是相等函数．C 错误，显然定义域不同，因此不是相等函数．D 正确，虽然表示自变量的字母不同，但它们定义域和对应关系相同，因此是相等函数．【答案】 D——[类题尝试]————————————————— 下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝（x ＋1）（x －1） B ．f (x )＝(2x －5)2，g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1D ．f (x )＝（x ）4x 与g (t )＝⎝⎛⎭⎫t t 2 【解析】 A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝（x ＋1）（x －1）的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，它们的定义域不相同；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥52，g (x )＝2x －5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－xx 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1的对应关系不同，不相等．D 中，f (x )＝（x ）4x ＝x (x＞0)与g (x )＝⎝⎛⎭⎫t t 2＝t (t ＞0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．【答案】 D。

函数的基本性质学案说课稿课件

月记忆量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（二）经典例题二、知识要点1.增函数和减函数: 一般地，设函数()f x的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12x x<时，都有12()()f x f x<，那么就说函数()f x在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12x x<时，都有12()()f x f x>，那么就说函数()f x在区间D上是减函数.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤：（1）取值.即设12,x x是该区间内的任意两个值且12x x<.（2）作差变形.求21()()f x f x-，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.（3）定号.根据给定的区间和21x x -的符号确定21()()f x f x -的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论. （4）判断.根据单调性定义作出结论.即取值——作差——变形——定号——判断.函数()f x 在给定区间上的单调性，反映了函数()f x 在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，即若证明()f x 在［a ，b ］上是递增的，就必须证明对于区间［a ，b ］上任意的两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <成立，而不可以用两个特殊值来替换，但是要否定一个函数在某一区间上的单调性，只要举一个反例即可.误区警示函数单调性定义中的12,x x 有三个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，即“任意”取12,x x ，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定12x x <三者缺一不可. ( 三)经典例题1．根据函数图象判定单调性例1 如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【思路分析】利用函数单调性的几何意义.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数. 【解析】☆变式练习2根据函数()y f x =的图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【解析】2. 函数单调性的证明例2 证明函数()21f x x =-在区间(,)-∞+∞上是增函数.【思路分析】根据函数单调性的定义进行证明，要注意证明的方法和步骤. 【证明】☆变式练习2 证明函数1()f x x=在区间(0,)+∞上是减函数. 【证明】三、总结提升1、本节课你主要学习了2、依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤：四、问题过关1、函数()y f x =的图象如图1所示，则函数()f x 的单调递增区间为单调递减区间为2、函数()y f x =的图象如图2所示，则函数()f x 的单调递增区间为单调递减区间为3、函数()y f x =的图象如图3所示，则函数()f x 的单调递增区间为单调递减区间为图1 图2 图3 4、如图所示的是定义在闭区间［－4，7］上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f （x ）是增函数还是减函数？。

2.1.1函数(一)变量与函数的概念

解 (1)f(2)＝f(3－1)＝9－2×3＋7＝10;
f(a)＝f((a＋1)－1) ＝(a＋1)2－2(a＋1)＋7＝a2＋6.
(2)方法一
(配凑法)
f(x)＝f((x＋1)－1)＝(x＋1)2－2(x＋1)＋7＝x2＋6, (或 f(x－1)＝(x－1)2＋6), ∴f(x)＝x2＋6. ∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7. 方法二 (换元法)设 t＝x－1,即 x＝t＋1, ∴f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋7＝t2＋6, 故 f(x)＝x2＋6. f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
( B )
解析
1 2－1 2 2 －1 3 1 2 3 ∵f(2)＝ 2 ＝5,f2＝1 ＝－5 2 ＋1 2＋1 2
f(2) ∴ 1 ＝－1 f2
(x－1)0 4．函数 y＝的定义域是 |x|＋x A．(0,＋∞) B．(－∞,0) C．(0,1)∪(1,＋∞) D．(－∞,－1)∪(－1,0)∪(0,＋∞)
1 010.
1 2 2 2 x 2 4 1 1 2 解 (1)∵f(x)＝ 2,∴f(2)＝ 2＝ ,f ＝ 1 ＝5, 5 2 1＋x 1＋2 1＋22 1 2 2 3 9 1 1 3 f(3)＝ ,f3＝ 2＝ 1 ＝10. 1＋3 10 1＋32
(5)把满足 x≥a，x>a，x≤b，x<b 的全体实数 x 的集合分别表示为 [a,＋∞),(a,＋∞),(－∞,b],(－∞,b) ．
对点讲练
知识点一例1 已知解析式求函数的定义域求下列函数的定义域： 1 3 (1)y＝3－ x；(2)y＝； 2 1－ 1－x －x 1 1 (3)y＝ 2 ；(4)y＝ 2x＋3－＋ . 2x －3x－2 2－x x 点拨

八年级数学下册第19章一次函数函数第1课时变量说课稿新版新人教版

变量各位领导各位老师,你们好！今天我将要为大家说课的内容九义初中数学人教版的第19章第一节第一课时《变量》首先,我对本节教材进行一些分析一、教材结构与内容简析本节内容的地位和作用：《变量》是本章的第一课,本节知识是理解函数概念的前提知识,是学习正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的基础。

学好本届知识为过渡到学习本章正比例函数、一次函数起着铺垫作用。

本节内容是第一部分,因此,在本章中,占据重要的地位。

二、教学理念及学情分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识；在新的课改理念的指导下如何调动学生的学习激情和让学生自主学习、合作探究成为课堂教学的主流。

考虑到初二学生已有的认知结构心理特征 ,以及本章知识与生活和生产实践联系非常紧密,教师要抓住这一特点让学生感知数学即生活,生活即数学,同时让学生感受数学的有用性,从而更加热爱数学学习。

三、教学目标1、知识与技能：在具体情境中了解变量、自变量、因变量等概念,理解反映变量之间关系的实例；能够从表格中获得有关变量之间关系的信息；2、过程与方法：经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,体验变量之间的辩证关系；3、情感与价值观：在探索的过程中,感知数学即生活,培养学生参与数学活动的积极性和良好的学习态度。

四、重点、难点本着课程标准,在吃透教材基础上,我确立了如下的教学重点、难点重点：能从具体事件中分清什么是变量、自变量与因变量,理解因变量随自变量的变化的规律。

通过让学生自主学习与合作探究的方式突出重点难点：理解两个变量之间的依赖关系。

通过小组交流,课堂展示,和试一试,做一做的习题训练突破难点五、教法数学是一门培养人的思维,发展人的思维的重要学科,因此,在教学中,不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。

我采用了启发式教学法,让学生成为课堂的主人,学生自主学习、合作探究。

从而激活课堂开启学生智慧。

六、学法我们常说：“现代的文盲不是不识字的人,而是没有掌握学习方法的人”,因而在教学中要特别重视学法的指导。

1.2.1.2 函数的概念(第二课时)学案设计

1.2.1 函数的概念(第二课时)一、教材分析：1.函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.2.通过学生的回顾，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。

通过对实例的探究，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、学习目标①掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性.②启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识.三、教学重点：进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.四、教学难点：符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．五、课时安排：1课时六、教学过程（一）、自主导学（预习）1、设计问题,创设情境教师根据课堂需要，提出问题，合理引入新课（内容）：问题1:y=x 与y=xx 2是同一个函数吗? 两个函数不是同一个函数,主要是定义域不同.2、自主探索,尝试解决问题2:指出函数y=x+1的构成要素有几部分?并思考一个函数的构成要素有几部分? ①函数y=x+1的构成要素为:定义域R ,对应关系x →x+1,值域是R.②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.问题3:分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.两个函数的定义域和对应关系分别相同,分别为R ,x →x+1,不同点是变量所用字母不同. 问题4:函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗?两个函数的值域相同,都是R.问题5:根据问题3和问题4的研究,分析两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域一定相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?值域一定相同.提示学生并一起分析总结得出新的认识：两个函数只要定义域和对应法则相同，则这两个函数就相同（等）.3、信息交流,揭示规律函数相等的条件: 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. （二）、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导【例1】下列函数中哪个与函数y=x 相等?⑴2y = ⑵y =⑶y = ⑷2x y x=解：⑴2y =（0x ≥）与函数y x =（x R ∈）定义域不同，所以两个函数不相等．⑵y =（x R ∈）与y x =（x R ∈）不仅定义域相同，而且对应关系也相同，所以两个函数相等．⑶y =（x R ∈）与函数y x =（x R ∈）定义域相同，但是对应关系不同，所以两个函数不相等． ⑷2x y x=定义域是{x|x ≠0}，与函数y x =（x R ∈）定义域不同，所以两个函数不相等．【例2】已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________. 分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x 的取值需满足-1≤2x -1≤1,∴0≤x≤1.(三)、当堂检测1、判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.①y=x -1,x∈R 与y=x-1,x∈N ; ②y=4-x 2与y=2-x ·2x +; ③y=1+x 1与u=1+x1; ④y=x 2与y=x 2x ;⑤y=2|x|与y=⎩⎨⎧<-≥;0,2,0,2x x x x⑥y=f(x)与y=f(u).是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.①前者的定义域是R ,后者的定义域是N ,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;⑤函数y=2|x|=⎩⎨⎧<-≥,0,2,0,2x x x x 则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.故填③⑤⑥.2.求函数y=x x x --++11)1(2的定义域. 答案：{x|x ≤1,且x ≠-1}.3.函数y=x 2与S=t 2是同一函数吗?（四）、课堂小结提问并让学生回忆和总结，最后师生一起得出本节课所学习的内容及注意事项：（1）主要内容：初步介绍了①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。

变量与函数学案

变量与函数（学案）学习目标：1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量；3、结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义；在理解掌握函数概念的基础上，确定函数关系式；4、会根据函数解析式和实际意义确定自变量的取值范围。

学习重点：了解常量与变量的意义；理解函数概念和自变量的意义；确定函数关系式。

学习难点：函数概念的理解；函数关系式的确定学习过程：一、提出问题，创设情景问题一：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含t的式子表示s．__s=_________________t的取值范围是这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．二、深入探究，得出结论（一）问题探究：问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．•怎样用含x的式子表示y ?2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含x的式子表示y．__y=_________________x的取值范围是这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为L cm,怎样用含m的式子表示L？12．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含m的式子表示L．__L=_________________m的取值范围是这个问题反映了_________随_________的变化过程．问题四：圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢?怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？关系式：________２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含s的式子表示r．__r=_________________s的取值范围是这个问题反映了___ _ 随_ __的变化过程．问题五：用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。

人教版八年级数学一次函数学案文档[1]

19.1.1变量与函数（第一课时）学习目标1.认识变量、常量2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量重点：了解常量与变量的关系难点：较复杂问题中常量与变量的识别.一．课前学习一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．１．根据题意填写下表：２．在以上这个过程Array中，变化的量是________．不变的量是__________．３．试用含t的式子表示s。

二．自主学习1、每张电影票售价为10元，如果第一场售出票150张，第二场售出205张，第三场售出310张．三场电影的票房收入分别为元．设一场电影售票x张，票房收入y元．•用含x的式子表示y为。

y随x的变化（填“要”或“不”）变化。

2、当圆的半径为10cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为20cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为30cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为r时，圆的面积S为；S随r的变化（填“要”或“不”）变化。

3、用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形长度．观察矩形的面积怎样变化．•记录不同的矩形的长度值时计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xm，面积为Ｓm2．怎样用含有x的式子表示S?因矩形对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10m的一半，即 m．若长为1m，则宽为 =4（m）据矩形面积公式：Ｓ＝=4（m2）若长为2m，则宽为（m）面积Ｓ＝若长为xm，则宽为5 （m）面积Ｓ＝从以上三个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式．结论：在一个变化过程中，数值发生变化的量为，数值始终不变的量为。

注意：常量与变量必须存在于一个变化过程中。

判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：1、看它是否在一个变化的过程中；2、看它在这个变化过程中的取值情况。

练习：完成教材第71页至72页练习题。

三、达标测试１．若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝43Ｒ3．其中变量是_____、•_____，常量是________．2．夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0．7℃，已知山脚下温度是23℃，则温度y 与上升高度x 之间关系式为__________．3．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y 元随铅笔支数x 变化，•指出其中的常量与变量，并写出关系式．（习题19.1第1题）三．课后巩固1、要画一个面积为20cm 2长方形，其长为xcm ，宽为ycm ，在这一变化过程中，常量与变量分别为、。

人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：3.1.1 函数的概念

第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)相关概念：x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的. 显然，值域是集合B的.(3)同一个函数：如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．『微思考』(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？(2)什么样的对应可以构成函数关系？知识点2区间及相关概念(1)一般区间的表示设a，b是两个实数，而且，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半闭半开区间{x|a<x≤b}半开半闭区间(2)实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤b}{x|x<b}『微体验』1．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是()A．(－2,0)B．(－∞，－2』∪『0，＋∞)C．(－∞，－2)∪『0，＋∞)D．(－∞，－2』∪(0，＋∞)2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①A＝{0,1,5,10}；②{x|2<x≤10，x∈N}；③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x>1，x∈Q}．A．2B．3 C．4D．53．{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 下列对应中是A 到B 的函数的个数为( ) (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝『－1,1』，B ＝{0}，f ：x →y ＝0；(4)A ＝{1,2,3}，B ＝{a ，b }，对应关系如下图所示：(5)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如下图所示：A ．1B ．2C ．3D ．4『方法总结』判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应； (3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一．跟踪训练1 对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( )①y 是x 的函数；②对于不同的x 值，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量；④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个探究二求函数定义域问题例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3；(3)y ＝ax －3(a 为常数)．变式探究将本例(1)改为y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 2，其定义域如何？『方法总结』求函数定义域的常用依据(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的『解析』式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．跟踪训练2 (1)设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，2』D ．『2，＋∞)(2)函数f (x )＝xx －1的定义域为________．探究三求函数值和函数值域问题例3 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f (x )，g (x )的值域．『方法总结』求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．(2)常用方法：①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；④换元法：对于形如y＝ax＋b＋cx＋d的函数，求值域时常用换元法，令t＝cx＋d，将原函数转化为关于t的二次函数；⑤分离常数法：对于形如y＝cx＋dax＋b的函数，常用分离常数法求值域；⑥图象法：对于易作图象的函数，可用此法，如y＝1x－1.跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；(3)y＝x＋1－2x.探究四同一个函数的判定例4 下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x0与g(x)＝1x0；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.『方法总结』判断同一个函数的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤．(2)两个注意点．①在化简『解析』式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示变量无关．跟踪训练4下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)y1＝(x＋3)(x－5)x＋3，y2＝x－5；(2)y1＝x＋1·x－1，y2＝(x＋1)(x－1).随堂本课小结1．对函数概念的五点说明(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．求函数的定义域就是求使函数『解析』式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．3．求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图象法等．——★参*考*答*案★——课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(2)自变量定义域函数值值域子集(3)定义域对应关系『微思考』(1)提示：不一定，两个集合必须是非空的数集.(2)提示：两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系．知识点2区间及相关概念(1)a<b『a，b』(a，b) 『a，b) (a，b』(2) (－∞，＋∞)(3) 『a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b』(－∞，b)『微体验』1．C『『解析』』集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为(－∞，－2)∪『0，＋∞)．2．D『『解析』』用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有⑤是连续实数构成的集合，因此只有⑤可以用区间表示．3．(1,2)∪(2，＋∞)『『解析』』{x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞)．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 B『『解析』』(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数；(4)集合B 不是确定的数集，故不是A 到B 的函数；(5)集合A 中的元素3在B 中没有对应元素，且A 中元素2在B 中有两个元素5和6与之对应，故不是A 到B 的函数．跟踪训练1 B『『解析』』①③正确，②是错误的，对于不同的x 值，y 的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f (x )表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来．探究二求函数定义域问题例2 解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数的定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．(3)要使函数有意义，必须使ax －3≥0.当a ＞0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥3a ；当a ＜0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤3a；当a ＝0时，ax －3≥0的解集为∅，不符合函数的定义，故此时不是函数．变式探究解由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x 2≥0，解得{x |－1＜x ≤1}．跟踪训练2 (1)A『『解析』』由2－x ≥0，解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2』，所以∁R M ＝(2，＋∞)． (2){x |x ≥0，且x ≠1}『『解析』』要使xx －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0，且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0，且x ≠1}．探究三求函数值和函数值域问题例3 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. (3)f (x )＝11＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，∴值域是{y |y ≠0}．g (x )＝x 2＋2的定义域为R ，最小值为2，∴值域是{y |y ≥2}．跟踪训练3 解 (1)(逐个求法)将x ＝1,3,5,7依次代入『解析』式，得y ＝2，8,14,20.∴函数的值域是{2,8,14,20}．(2)(配方法)∵y ＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， ∴函数的值域是(－∞，2』．(3)(换元法或配方法)令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 22，且t ≥0，∴原函数化为y ＝1－t 22＋t ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1≤1.∴所求函数的值域是(－∞，1』．探究四同一个函数的判定例4 ②③『『解析』』①f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数；②f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数．跟踪训练4 解 (1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．(2)y 1＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，而y 2＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，定义域不同，所以不是同一个函数．。

函数的表示法学案

函数的表示法学案(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除函数的表示法学习目标:明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；了解映射的概念及表示方法；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；学习重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念, 分段函数的图像与值域学习难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象学习过程:一复习：（1）函数的三要素是、、 . （2）已知函数21()1f x x =-，则(0)f = ，1()f x = ，()f x 的定义域为 . （3）初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.解析法，就是用表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是用表示两个变量之间的对应关系.比较三种表示法，它们各自的特点是什么所有的函数都能用解析法表示吗二探究新知1.解析法：用数学表达式表示__________之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做-__________________；图象法：以___________的取值为横坐标，对应的_______y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了____________，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法；列表法：列一个两行多列的表格，第一行是____________，第二行是对应的_________，这种用表格来表示___________之间的函数关系的方法叫做列表法解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数：依据分类讨论思想,在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着_____________，即在定义域内的不同区间上对应着不同的解析式的函数，这样的函数通常叫做分段函数说明：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．①分段函数是一个函数，而不是几个函数；处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；②分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；③分段函数的求解策略：分段函数分段解，分段函数是一个函数，只不过x的______________不同时，对应法则不相同处理分段函数的求值和作图象时的两个注意点：(1)分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值.(2)分段函数的图象是由几段曲线构成，作图时要注意衔接点的虚实.3.映射概念函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”。

初中数学_4.1 函数教学设计学情分析教材分析课后反思

4.1函数教学过程一、导入语师：生活中充满着许许多多变化的量，了解变量之间的关系可以帮助我们更好地认识世界.函数是刻画变量之间关系的常用模型，其中最为简单的是一次函数.什么是函数、一次函数？用它们可以解决现实生活中的哪些问题？……你想了解这些吗？让我们一起领略它们的风采吧.师板书课题：第四章一次函数 4.1函数二、创设情境——引入概念1.情境一：（多媒体展示摩天轮图片）课时课题第四章一次函数第1节函数课型新授课授课时间星期五第1、2节课教学目标 1、知识目标：初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看做函数.2、能力目标：初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.3、情感态度价值观：经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.教学重难点重点：正确理解函数的概念.会判断两个变量间的关系是否是函数关系. 难点：函数概念的形成过程.能把实际问题抽象概括为函数问题.教法学法教法：结合多媒体手段，采用情境式、探究式教学，让学生“尝试发现，探索讨论”.突破难点时，采用分组讨论、讲练结合法.学法:让学生通过对三个问题的观察、分析、归纳、总结出函数的概念.课前准备多媒体课件、学案师：看图中像车轮状的物体是什么？生：摩天轮师：你们坐过摩天轮吗？……师：想象一下，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？生：随着时间的变化，人离开地面的高度先升高，后降低，沿着圆周一直重复这样的运动.(设计意图：对于农村的孩子来说，大多数没见过摩天轮，更没有坐过.但是通过图片也应该能看出摩天轮是怎样运动的.老师也可通过视频演示摩天轮的运动过程，或由经历过的学生介绍.)师：请看下图，反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系.从图上可以看出，约6分钟时间摩天轮就转一圈.从图中大致可以判断给定时间所对应的高t/分0 1 2 3 4 5 ……h/米……师：在这个变化过程中，有几个变量？自变量是什么？因变量是什么？生：有两个变量，旋转时间t是自变量，摩天轮上某一点的高度h是因变量.师：（追问）对于给定的一个时间t，相应的高度h确定吗？生：确定.(设计意图：通过游乐园中的摩天轮旋转变化这一生活实例，借助图象法让学生思考其中蕴涵的变量之间的关系，使学生明确“给定一个变量t的值相应的就能确定另一个变量h的值”，为后面总结概念做准备.)2.情境二：（多媒体展示课本做一做1）师：瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图这样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？根据图形，填写表格：的物体总数y.(设计意图：本例通过列表法的形式，使学生体会变量之间的相依关系，但不要求写出一般表达式，通过追问让学生明确给定一个层数n，唯一确定一个物体总数y.)3.情境三：（多媒体展示课本做一做2）一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.（1）在这个过程中有哪些量？（2）在上述量中，哪些是变量？哪些是常量？（3）当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？（4）给定一个大于-273℃的t值，你能求出相应的T值吗？(设计意图：会判断情境中的常量和变量，感受变量之间的依存关系，给定一个量，会求另外一个量的值.)三、合作交流，探索新知1. 函数的概念师：在上面我们研究了三个问题.下面大家探讨一下，这三个问题的共同点是什么？生1：共同点是这三个问题都研究了两个变量的关系.生2：在这两个变量的关系中，给定其中一个变量的值，相应地另一个变量的值也就确定. 生3：都有两个变量，给定一个自变量的值，也就确定了一个因变量的值.……师：同学们说的很好.通过这三个问题的研究，我们明确了“给定一个自变量的值，相应地就确定了另一个因变量的值”这一共性.对于这种变量间的关系，我们引用函数这个概念. 那么根据你的理解，什么叫函数呢？学生用自己的语言表达、交流，师生共同总结出概念.(设计意图：让学生分析例子的共同特点，并多找几个学生用自己的语言概括函数的概念，加深学生对函数概念本质特征的理解.)师板书函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 师：你怎样理解函数的概念？生1：函数不是数，而是变量之间的关系；生2：两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值；生3：当x和y满足以上关系时，就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.师：上面两个情境中的变量之间的关系可以看成是函数关系吗？生：上面每个情境中，都有两个变量，当其中某一个变量的值确定时，另一个变量的值也唯一确定，所以都是函数关系.师：（追问）以上的情境中，自变量能取哪些值？生1：情景1中，自变量是时间t只能取0和正数。

人教B版数学高一版必修1学案函数

数学人教B 必修1第二章2.1.1 函数1．会用集合与对应语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法，并能正确地使用区间表示数集． 3．了解映射的概念，能判定一些简单的对应是不是映射，并用映射概念加深对函数概念的理解．1(1)在近代定义中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的______；如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的____，记作______；所有函数值构成的集合______叫做这个函数的值域． (2)确定一个函数只需两个要素：____和______．要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： ①____和____是否给出； ②根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的____值，是否都能确定____的函数值y .(1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域为R ，值域是R ；(2)反比例函数f (x )＝kx (k ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，值域是{y |y ≠0}；(3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ；当a ＞0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ，当a ＜0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . 【做一做1－1】下列四组函数中，f (x )，g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝4x 4B ．f (x )＝1，g (x )＝xxC ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3x 3 D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2【做一做1－2】函数f (x )＝ 2 011－x ＋1x －2 010的定义域为__________．2．区间(1)在数轴上，区间可以用一条以a ，b 为端点的线来表示(如下表)．用实心点表示端点包括在区间内，用空心点表示端点不包括在区间内．__________无穷区间的概念：－∞或＋∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．数轴表示__________取遍数轴上所有值(1)区间是数轴上某一线段或射线或直线上的所有点所对应的实数的取值集合．这是一种符号语言，即用端点对应的实数、＋∞、－∞、方括号、圆括号等符号来表示数集；(2)区间符号内的两个字母(或数)之间要用“，”隔开；(3)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势；(4)区间的形式必须是前面的数小，后面的数大．如(3,2)就不是区间，(2,2)也不是区间，并不是所有数集都能用区间表示，如自然数集N，整数集Z等；(5)在平面直角坐标系中，(2,3)可表示点，也可表示区间，应用时注意区分，不能混淆．【做一做2】用区间表示下列数集：(1){x|5＜x≤8}＝__________；(2){x|x＜3，且x≠0}＝__________；(3)R＝__________.3．映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的______，在B中______元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的____．这时，称y是x在映射f的作用下的____，记作______．于是y＝f(x)，x称作y的__________．映射f也可记为______．其中A叫做映射f的________(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的________，通常记作______．如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的____一个元素，在集合A 中都______原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______．理解映射的概念必须注意如下几点：(1)方向性，“集合A到集合B的映射”与“集合B到集合A的映射”往往不是同一个映射；(2)非空性，集合A，B必须是非空集合；(3)唯一性，对于集合A中的任何一个元素，集合B中都有唯一确定的元素与之对应，这是映射的唯一性，也可以说A中任一元素的象必在集合B中；(4)存在性，就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；(5)映射可以看成函数概念的推广，而函数是一种特殊的映射，在对应方面只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许“一对多”的对应．【做一做3－1】有下列各图中表示的对应：其中能构成映射的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1【做一做3－2】已知(x，y)在映射f下的象是(x＋y，x－y)，则(4,6)在f下的原象是()．A．(5，－1) B．(－1,5)C．(10，－2) D．(－2,10)一、函数符号“y＝f(x)，x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)的区别与联系剖析：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如一次函数f(x)＝3x ＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，它也未必就是一个解析式，y＝f(a)表示自变量x＝a时的函数值，它是一个常数；y＝f(x)是函数，通常是一个随x变化而变化的变量．函数还可以用其他一些符号来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y是x的函数．二、同一函数的判定剖析：一般地，判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可．两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数，注意以下四点： (1)定义域不同，两个函数也就不同．如y ＝x 2(x ∈R )与y ＝x 2(x ＞0)不是同一函数； (2)对应法则不同，两个函数也是不同的．如y ＝x 与y ＝x 2不是同一函数；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则，如函数f (x )＝x 2与f (x )＝2x 2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一函数；(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如f (x )＝2 012x ＋2 011，f (t )＝2 012t ＋2 011，g (x )＝2 012x ＋2 011都表示同一函数．题型一求函数的定义域【例1】求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．分析：本题主要考查函数的定义域．只给出函数的解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合．反思：(1)已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即：①如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .②如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．③如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．④如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．⑤对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约． (2)本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x |x ≤1}．错解的原因是违背了讨论函数问题要遵循定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式．题型二简单函数值域的求法【例2】求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝2x －x －1.分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等．反思：在求函数的值域时，常用的方法有：(1)观察法．通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法．(2)配方法．对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域，这就是配方法．(3)换元法．通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．题型三求函数解析式【例3】已知f (x －1)＝x 2－2x ＋7. (1)求f (2)和f (a )的值；(2)求f (x )和f (x ＋1)的解析式．分析：利用代入法或换元法．对(1)可令x ＝3和x ＝a ＋1即可求得；对(2)可用“x ＋1”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x )，用“x ＋2”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x ＋1)．反思：已知类型为f [g (x )]＝h (x )的函数，求f (x )的解析式时，常常使用配凑法和换元法．在解答过程中，一定要把法则读懂，分清法则f 到底作用的变量是谁，然后利用化归的思想，把待求问题转向已知问题，从而使问题得以解决．题型四有关映射的问题【例4】判断下列对应法则是否是从A 到B 的映射和一一映射． (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |.(2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥0}，f ：x →y ＝x .(3)A ＝{x |x ≥2，x ∈Z }，B ＝{y |y ≥0，y ∈N }，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2.分析：判断某一映射是否是一一映射，应抓住两点：①原象不同，象不同；②每个象都必须有原象．反思：由上面例题我们可以总结出：(1)按照映射的定义可知，映射应满足：①存在性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；②唯一性：集合A 中的每一个元素在集合B 中只有唯一的对应元素．(2)一一映射的两个特点：①对于集合A 中不同的元素，在集合B 中有不同的象；②集合B 中的每一个元素都有原象，即对应形式为“一对一”，集合A ，B 中均没有剩余元素．【例5】已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54的原象．分析：本题考查映射的知识，把x ＝2代入即可求得2的象，⎝⎛⎭⎫32，54的原象可通过列方程组解出．反思：解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．一般已知原象求象时，常采用代入法．已知象求原象时，通常由列方程组法求解．求解过程中要注意象与原象的区别和联系．题型五易错辨析【例6】已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x )．错解：令x ＋4＝t ，则x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16，∴f (x )＝x 2－16.反思：在利用换元法求函数解析式时，一定要及时求出新自变量的取值范围，否则将导致所求函数定义域错误，进而引起一系列错误，如求值域、画图象等．1函数f (x )＝1x －1＋(x －2)0的定义域为( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2)∪(2，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(1,2)∪(2，＋∞) 2(2011·河北邯郸高一期末)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝xB ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 C ．f (x )＝(x )2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2x3已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,1}，则A 到B 的一一映射有__________个．4函数y ＝1x 2＋x ＋1的值域为__________．5已知函数f (x ＋1)＝x 2－1，x ∈[－1,3]，求f (x )的解析式．答案：基础知识·梳理1．唯一的一个y 值自变量因变量任意数x 唯一 y ＝f (x )，x ∈A 函数f 或函数f (x ) (1)定义域函数值 y ＝f (a )或y |x ＝a {y |y ＝f (x )，x ∈A } (2)定义域对应法则 ①定义域对应法则 ②每一个唯一【做一做1－1】D 若两个函数表示同一函数，则需其定义域、对应法则都相同，缺一不可．选项A 中对应法则不同，选项B 中定义域不同，选项C 中定义域不同，仅有选项D 表示同一函数．【做一做1－2】{x |x ≤2 011，且x ≠2 010} 要使f (x )有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧2 011－x ≥0，x －2 010≠0，解得x ≤2 011且x ≠2 010.∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2 011，且x ≠2 010}．2．(1)[a ，b ] {x |a ＜x ＜b }半开半闭区间 (2)[a ，＋∞){x |x ≤a } (－∞，＋∞)【做一做2】(1)(5,8] (2)(－∞，0)∪(0,3) (3)(－∞，＋∞)3．任意一个元素x 有一个且仅有一个映射象 f (x ) 原象 f ：A →B ，x →f (x ) 定义域值域 f (A ) 任意有且只有一个一一映射【做一做3－1】D 所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A 中每一个元素都必须参与对应．只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A 中的每一个元素在对应法则下，B 中都有唯一的元素与之对应．图(1)不是映射，因A 中的元素c 没有参与对应，即违背A 中的任一元素都必须参与对应的原则．图(2)、图(4)不是映射，这两个图中集合A 中的元素在集合B 中有多个元素与之对应，不满足集合A 中的任一元素在集合B 中有且仅有唯一元素与之对应的原则．综上，可知能构成映射的个数为1.【做一做3－2】A 由题意，根据对应关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1，故原象为(5，－1)．典型例题·领悟【例1】解：要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1且x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．【例2】解：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3.因为x ≠3，所以7x －3≠0，所以y ≠2.故所求函数的值域为{y |y ≠2}．(2)(配方法)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. 因为1≤x ＜5，所以函数的值域为{y |2≤y ＜11}．(3)(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1.所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝211548t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．因为t ≥0，所以158y ≥．故函数2y x -＝158y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭．【例3】解：(1)f (2)＝f (3－1)＝9－2×3＋7＝10，f (a )＝f [(a ＋1)－1]＝(a ＋1)2－2(a ＋1)＋7＝a 2＋6. (2)解法一(配凑法)：f (x )＝f [(x ＋1)－1] ＝(x ＋1)2－2(x ＋1)＋7＝x 2＋6，f (x ＋1) ＝f [(x ＋2)－1]＝(x ＋2)2－2(x ＋2)＋7＝x 2＋2x ＋7.解法二：f (x －1)＝x 2－2x ＋7＝(x －1)2＋6， ∴f (x )＝x 2＋6，f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7. 解法三(换元法)：设t ＝x －1，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋7＝t 2＋6，,故f (x )＝x 2＋6. f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7.【例4】解：(1)因为0∈A ，在f 作用下0→|0|＝0∉B ，,所以不是映射，更不是一一映射． (2)对于任意x ∈A ，都有x ∈B ，故是映射．又因为对B 中任一元素，在A 中有且仅有一个原象，所以为一一映射． (3)对任意的x ∈A ，依对应法则f 有x →y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，因为x ≥2，x ∈Z ，所以y ≥2，y ∈N ，即y ∈B ，所以是映射．因为0∈B ，且(x －1)2＋1＝0无解，所以集合B 中的元素0在A 中无原象，所以不是一一映射．【例5】解：把x ＝2代入f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，得其象为(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2的象为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54的原象为12. 【例6】错因分析：在换元时，未标明t 的取值范围，而使f (x )缺少定义域．正解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16， ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．解法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4，则x ＝t －4，即x ＝(t －4)2，∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16. ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．随堂练习·巩固1．D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －2≠0，解得x ＞1且x ≠2.∴函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．2．B 根据同一函数的判断标准，即定义域相同，对应法则也相同判断． 3．2 根据映射及一一映射的定义可建立如下一一映射：故共2个．4．⎝⎛⎦⎤0，43 ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴0＜1x 2＋x ＋1≤43，∴值域为⎝⎛⎦⎤0，43. 5．分析：本题可用“配凑法”或“换元法”求f (x )的解析式．解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－1＝(x ＋1)2－2(x ＋1)， ∴f (x )＝x 2－2x .又x ∈[－1,3]时，(x ＋1)∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．解法二(换元法)：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，且由x ∈[－1,3]知t ∈[0,4]，∴由f (x ＋1)＝x 2－1，得f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t ，t ∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．。

变量与函数

数学
课型人教版
新课
八年级上
【情景问题】
(1)汽车以 60km/h 的速度匀速前进，行驶里程为 skm，行驶的时间为 th，先填写下面的表格，再试用含 t 的式子表示 s. t/m 1 2 3 4 5 s/km
【归纳】在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为 .数值始终不变的量为 .
【想一想】请同学们指出上述情景问题中的变量和常量. 问题（1）变量是常量是常量是常量是常量是常量是
鸡西市第十九中学初三数学组
鸡西市第十九中学学案
班级姓名：
学科时间学习目标重点难点
课题变量学案 2013 年月日 1、了解变量的概念，会区别常量与变量 2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量； 1、了解变量的概念，会区别常量与变量 2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量；
学习内容
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(2)运动员在 4000m 一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间 t(s)与跑步的速度 v(m/s)的关系；
（5）如图,用 10m 长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化.记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律。设长方形的长为 xm,面积为 2 Sm ,怎样用含 x 的式子表示 S？
(3) 一盛满 30 吨水的水箱，每小时流出 0.5 吨水，试用流水时间 t•（小时）表示水箱中的剩水量 y （吨）．
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学科时间学习目标重点难点
课题函数学案课型 2013 年月日人教版 1、了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系； 2、能确定函数解析式中自变量的取值范围，会求函数值。 1、了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系； 2、能确定函数解析式中自变量的取值范围，会求函数值。

浙教版初中数学八上5.2 函数学案

5.2（1）函数学习目标1.通过一些具体的例子，了解函数的概念2、了解函数的三种表示方法。

解析法、列表法、图像法。

3、理解函数值的概念。

会列一些简单的函数解析式并求函数值重点难点重点：函数的有关概念难点：对一些用图像表示的函数关系的理解。

【课前自学、课中交流】一、合作学习1、小明的哥哥是一个大学生，他利用暑假去公司打工，报酬按16元/小时计，如果设小明哥哥在公司工作的时间为t小时，他应得的报酬为m元，请完成下表：工作时间t(时) 5 10 15 30 。

t …报酬（元）160能否可以用关t的代数式来表示m? 可以表示为：________________ 2、小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的总数x（本）与总金额y（元）的关系式，可以表示为：________________.其中y随___的变化而变化。

3、观察某日的气温变化图，温度随的变化而变化。

从上面几个问题中你能看出每个问题中的两个变量之间的关系有什么共同点吗？一、函数的概念。

一般的在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果对于x的______确定的值，y都有______确定的值，那么就说____是____的函数，其中x叫_____量。

（y叫因变量。

）练习：判断下列关系是不是函数关系？1、等腰三角形的面积与底边长的关系。

答：___________2、正数a的平方根与a的关系。

答：______3、汽车匀速运动时路程s与时间t的关系。

答：______二、函数的表示方法：1、从合作学习的三个问题中分别告诉了我们三个函数，从这三个函数中你看到了函数的哪几种表示方法？用解析式法表示的是___________；用列表法表示的是_________；用图像法表示的是_____________.问题：函数的三种常用表示法是2、写函数解析式要注意的几点：（1）函数解析式（关系式）是______式。

（填等式、不等式）（2）关系式左边的一个字母表示______,右边是含有自变量的_________3、指出下列函数中的自变量、常量和函数C＝2πr 自变量是______.常量是_________y=x2+2x+3 自变量是_____ 常量是______，_____是_____的函数函数值的概念1、看函数s=120t，当t=2时，把它代人函数解析式得：s=120t=120×2=240,我们把y＝240叫做自变量t=2时的函数值。

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