集合中可供学生研究的两个课题

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小课题研究的方向和范围【精选】

小课题研究的方向和范围（仅供参考）一、德育研究1.小学班队会主题教育活动系列建设研究2.青少年自我表现心理及教育实践研究3.小学生养成教育的内容和形式研究4.贴近小学生学习和生活实际的德育方法创新研究5.运用综合素质评价提高小学生道德品质的实践研究6.小学生诚信教育实践研究7.青少年法制教育与预防犯罪问题研究8.小学生的礼仪教育实践研究9.学科教学渗透德育的实践研究10.青少年校外教育实践研究11.学校德育活动课程建设研究12.思想品德文化与课堂教学文化的构建研究13.小学生攻击性行为研究14.道德高尚学生的基本素质和行为特征分析15学校德育队伍建设研究16. 学生自主管理班级实践研究17.书香班级建设与研究18.新课程背景下班集体建设的实践研究19.新时期少先队工作的实践探索20.班主任工作现状调查及工作创新研究21.增强班主任工作有效性的实践研究22.班主任自我行为意识的实践研究23.优秀班主任的培养研究24.班主任工作的评价与管理研究25.小学班主任利用《品德与生活（社会）》课程进行学生思想道德教育的途径和方法研究26.学生干部的选拔和培养研究27.实践主体教育思想，优化班级管理的实践研究二、学科教学研究（一）语文46.小学低年级学生写话训练的实证研究47.小学语文“口语交际?习作”教学研究48.生活化识字课堂教学研究49.小班化教育中低段语文分层教学研究50.帮助小学高年级学生增加古诗词积累的策略研究52.“识字与写字”“口语交际”教学策略研究53.优化课堂阅读活动，提高阅读教学质量的实践研究54.语文学习良好习惯的培养研究55.主体性作文教学的研究与实践56.课堂随机写作实践研究57.从生活中来，到生活中去——课外学生获取语文信息素养方法探究61.学生“口语交际与综合性学习”评价研究（二）数学66.数的组成与分解在计算教学中的渗透研究67.算法多样化在教学中的使用和适应性研究68.小学第一（二）学段估算能力培养研究69.小学第一（二）学段口算能力培养研究70.计算类教学中情景使用的适应性研究71.计算类教学中数学思维能力培养策略研究72.计算教学中渗透解决问题教学的方式研究73.计算类教学中计算器使用时机和策略研究74.计算类教学中有效教学方法探索75.代数思想在小学数学教学中的渗透研究76.小学几何教学中培养学生空间想象能力策略研究77.小学几何教学中对数学思想方法的渗透研究78.小学生作图能力培养研究79.培养小学生统计意识策略研究80.小学数学教学中统计图（表、量）教学方式及适应性研究81.小学数学“实践与综合应用”教学指导实践研究82.小学数学教学中培养学生良好的学习习惯的实践研究83.小学数学教学中理解、使用、创造教材策略研究84.小学数学教具和学具的开发应用实践研究90.数学教学中的问题情境及其创设实践研究91.培养学生数学交流能力的实证研究92.常规数学教学模式和新教学模式实践研究93.数学教研组、备课组的制度建设研究（三）英语105.小学英语语音教学研究106.小学生英语词汇量实际状况调查分析107.小学英语课堂教学中学生听的习惯的培养研究108.小学英语课堂教学中学生说的习惯的培养研究109.小学英语课堂教学中学生读的习惯的培养研究110.小学英语课堂教学中学生写的习惯的培养研究111.小学英语课堂中学生阅读理解能力的培养研究112.小学以阅读为突破口，提高语言的复现率，积累语言知识与素材的实践研究113.小学英语课堂学习活动有效调控策略的研究114.中小学英语课堂教学模式调查与研究115.小学英语课程中乡土资源的利用研究116.小学学生英语朗读习惯的培养研究117.小学英语课堂活动中的提问策略研究（四）理科综合（科学）124.学科学教育现状调查125.学科学教学学具的配备、开发与利用研究126.学科学教学资源的开发研究127.灵活运用科学新教材的若干做法研究128.自然环境教学资源的开发研究129.促进每个学生主动参与科学学习活动的方法和策略研究130.科学活动课教学中运用“问题解决”模式的实验研究131.科学教育中教师教学行为与学生学习行为的研究132.提高新课程理科实验教学效果的实践研究（五）文科综合165.品德与生活（社会）的教学规范研究166.品德与生活（社会）生活化的表现形式研究167.品德与生活（社会）课前准备的组织与实施研究168.品德与生活（社会）课堂教学中及时性评价的方法和形式研究169.品德与生活（社会）教材中学习主题的选择与实践研究170.思想品德新课程教案设计与案例研究171.思想品德新课程总复习的教学方法与策略172.思想品德评价测试题的编制研究173.思想品德课课堂中意外情况的处理案例研究174.思想品德课中运用情景教学的实践研究175.思想品德课与社会实践活动的整合研究三、评价与考试研究196.小学生综合素质评价的实践研究197.小学学生成长记录袋的使用方法研究198.小学生评语的内容和方式改革实践研究199.新课程标准下小学各学科课堂教学评价改革实践研究200.小学学科教学中客观评价策略研究201.小学各科课前基础调查的作业设计研究202.小学各科作业设计多样化、科学化的实践研究203.改变作业批改方式、提高作业批改效率的实践研究204.学生各学科错题集的开发与使用的实践研究205.小学生期末考试改革的实践研究206.新课程理念下各学科试卷命制研究208.中小学学科课堂教学管理与评价研究209.小学毕业生思想道德评价过失的原因及对策研究210.各学科新课标下“个人成就展示板”评价活动实践研究四、学生学习研究211.学生的学习起点研究（如：学习起点有哪些不同的类型、学生学习起点的有效确定与运用等）212.小学生各学科学习的成功策略和误区研究213.小学生在不同学习阶段各学科学习中的思维障碍分析及消除研究214.小学不同学科在不同阶段学困生成因及转化研究215.让小学生注意力集中的方法与策略研究216.小学生喜欢的学习方式研究217.小学生“个性化预习”研究218.小学生学习中的非智力因素研究219.小学学科学习指导的研究220.提高小学生学科学业成绩的实践研究221.小学生学习方式的实践研究222.小学生自主学习中的教师指导实践研究223.小学研究性学习、课题学习的实施研究224.有效开展小学学生各学科学习指导的实践研究225.小学课堂教学中学生活动的组织策略研究226.小学生在课堂中学习习惯培养与评价研究227.小学课堂教学中实施学生合作学习（学习机制、合作意识、合作方法，合作能力，合作学习有效价性，评价体系等）的实践研究228.小学课堂教学中实施学生自主学习（阅读、提问、讨论、竞赛、游戏、评价、实验、练习、展示、观察）的实践研究230.小学实施“先学后教，当堂训练”的教学研究231.合理布置家庭作业与学习成绩相关性研究232.义务教育段学生实验探究能力培养的研究233小学生自主学习习惯研究234.小学生课堂小组合作学习方式研究五、心理健康教育研究236.小学生心理健康状况调查研究237.小学教师心理健康状况调查研究238.小学寄宿制学生心理健康教育干预研究239.小学心理危机援助中心的建设研究240.小学生心理问题预防与矫正实践研究242.学生心理素质培养模式及实施策略研究243.抓住教育契机进行良好心理辅导的研究244.预防校园暴力行为的心理问题研究245.学科教学与班主任工作中渗透心理健康教育实践研究246.教师素养、行为、人格对学生心理健康影响的实践研究247.家长素质及教育方式对学生心理健康影响的实践研究250.特殊儿童心理问题分析及教育案例研究六、艺体教育研究251.小学音乐教学设计的研究252.小学音乐教学的故事导入模式研究253.小学音乐课堂教学中器乐教学研究254.小学美术课堂分组合作教学策略的实践研究255.小学体育运动会活动设计、实施及评价研究256.小学运动会规则、内容等指向教育目标的改革研究257.小学一条龙课余运动训练体系实践研究258.小学生体育运动处方研究259.学校艺术节活动设计案例研究260.美育与学科教学的整合研究261.艺体教育与学生审美素质发展的研究262.学生每天一小时体育锻炼的保障及实效性研究263.大课间操（课间体育活动）形式、内容的研究264.器械体操教学安全措施与办法研究265.体育课堂教学中的集合队型、讲解队型、示范队型研究266.体育课中教师指导学生合作学习的策略研究267.广播体操促进智障碍儿童粗大动作运动能力的康复研究268.学生眼保健操效益研究269.根据《体育与健康课程标准》制订学年、学期、单元体育教学计划的实践研究270.体育课时计划有效性、实用性与设计研究271.体育课堂教学常规建设与学生主体性关系及其处置办法的实践研究272.体育课堂教学运动负荷评价研究273.体育课堂教学培养学生合作学习、承受挫折、公平竞争、遵守规则等良好心理品质的内容与方法研究274.体育课堂教学中的过程评价研究275.体育教学分组的实践研究七、信息技术教育研究276.小学信息技术教育的现状、发展前景及对策研究277.小学现代远程教育工程“三种模式”的教学模式和教学方法研究278.各学段信息技术教学方法研究279.信息技术与课程、教学深层次整合研究280.信息技术环境下教学模式和教学方法的创新研究281.信息技术环境下学习方式变革与学习绩效研究282.小学生数字化学习研究283.网络虚拟实验室在教学中的应用研究284.提高教育信息技术应用水平和效益的研究285.信息化对中小学教育教学持续发展的策略研究286.数字化的教学资源库建设与应用开发研究八、教师专业发展研究287.教师行为规范标准与师德建设实践研究288.学科教学设计及备课改革的实践研究289.通过专题研究，促进教研活动切实有效的开展290.提高集体备课效益的实践研究291.相互听课、议课、评课，促进教师教学能力发展的研究292.各学科教学中说课技能训练实践研究293.各学科教学中教师说课技能所涉及的技术提高研究294.提高中小学教师说课、课堂教学观察、评课水平的实践研究255.提高教师交往能力的实践研究296.开发备课组功能，促进教师专业发展研究297.学习型教师团队的建设与实践298.不同教龄段教师教研状态的比较分析299.提高教师在课堂教学提问水平（设置的问题情景、问题的提出、时间控制、即时反馈）的实践研究300.新课程下教师专业能力的要求及其培养实践研究301.教师的人文素养与科学素养培养个案研究302.学科教学设计及备课改革的实践研究303.教师教学艺术的形成研究304.教师与学生沟通的艺术305.科研型、学术型教师培养的实践研究306.学提高教师教学技能的实践研究307.学校提高教师教育技术能力的实践研究308.当前教师的心理健康状况调查与解决对策研究309.适应教师主动参与的教科研方式创新研究310.教师培训机构能力建设研究311.教师远程继续教育的学校管理实践312.教师远程继续教育的学习方式研究313.教师远程继续教育的学习策略研究314.新课改背景下校本教研有效活动方式研究315.多渠道为教师提供校本教研的实战演练研究316.激发教师研修内驱力的实践研究317.在职教师校本培训的内容、方式、途径及质量评价机制研究318.校本教研活动方案设计的实践研究319.兼职教师迅速提高所任学科教学能力的研究320.兼职教师提高任教学科素养的研究321.教师叙事性案例研究322.教师心理健康的自我维护实践研究九、学校管理研究323.学校管理现状与发展对策研究324.学校管理存在的问题及解决策略实践325.处境不利（贫困）学生的判断及资助实效研究326.农村寄宿制学校的建设与管理研究327.中（小）学公共安全和应急机制的建立与管理研究328.学校学习型组织建设实践研究329.中（小）学校教学和学术组织管理创新实践330.小学形象设计、品牌建设实践研究331.让教研组成为真正合作研究、共同行动共同体的实践研究332.年级组、教研组、备课组以及综合实践组的建设与作用的有效发挥、提高研究333.学校推进素质教育可持续发展的推进目标、发展阶段、实践模式与评价机制研究334.薄弱学校改造案例分析335.义务教育阶段学校有效控制辍学的实践研究336.学校提高远程教育效益的实践研究337.新时期学校内部管理制度的建设及实践研究338.学校内部人事制度改革的合理性分析与稳步实施研究339.学校形成办学特色的策略、措施与实践研究340.学校教学质量的监测研究十、综合研究341.课堂教学的有效调控实践研究342.课堂教学中突（偶）发事件处理的策略与个案研究343.新课程理念下各学科习题设计与选择研究344.新课程课堂文化变革的研究；345.课堂教学中三维教学目标有效整合的策略研究346.巧妙运用评价，促进学生自主学习的研究347.课堂教学中及时反馈、正向评价、激励学生研究348.儿童在玩耍中建立规则的研究349.弱势群体接受良好教育的实践研究350.学科推进素质教育的新型教学模式研究351.减轻小学生过重学业负担，全面实施素质教育的实践研究352.稳定农村学校教师队伍和提高其素质的实践研究353.提高课堂教学有效性研究354.优质、高效课堂教学研究355.校本教研制度建立的实践研究356.有效组织跨学科、跨校教研活动的实践研究357.适应问题学生的优质教育实践研究358.独生子女的健康人格培养的实践研究359各学科课堂中的教学互动实践研究360.以“问题解决”课型的教学方法研究361.提高各学科课堂教学效率的实践研究362.新课程背景下各学科课堂教学模式实践研究363.在高考中发挥高三教师集体智慧的实践研究364.现代教育技术与实验技术的功能开发研究365.家长学校办学方式创新和家庭教育指导研究366.与新课程相适应的学校教科研制度建设研究367.新课程理念下各学科活动课教学实践研究368.各学科课堂教学中的设问技巧研究369.各学科体验式教学实践研究370.学校教学质量评价研究。

高中数学必修一：1.1集合及其表示教案

其实，生活中有很多东西能构成集合，比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等。大家能不能再举一些生活中的实际例子呢？
集合的概念：
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).
思考：
（1）世界上（3）由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
引出集合与元素的关系，并通过实例的呈现来讲解，加深学生的理解
通过整理，让学生对数集有一个有一个更深的认识，并能区分各个数集之间的关系。另外，通过自学与讲解让学生掌握集合的两种表示方法。
当堂检测
有效练习
填
现有:①不大于3的正有理数.②我校高一年级所有高个子的同学.③全部长方形.④全体无实根的一元二次方程．四个条件中所指对象不能组成集合的＿＿＿．
江南中学数学学科教学设计
课题
§1.1集合及其表示
授课人
课时安排
1
课型
新授
授课时间
第1周
课标依据
1、通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；
2、针对具体问题能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；
3、在具体情境中，了解全集与空集的含义。
教材分析
在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确的表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学的抽象经验。
备注
实数集R
列举法：把集合中的元素一一列举出来,并用大括号｛｝括起来表示.
描述法：把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子描述出来并用大括号｛｝括起来表示.
教学反思
本节是集合一章的第一节课，教学中，首先列举了学生在实际生活中所熟悉的、生动的、鲜活的实例，让学生初步感受集合的概念，并理解集合中元素的三大特征，然后，通过复习，引导学生对数集进行归纳整理，最后通过练习与小组讨论，让学生掌握集合的两个表示方法。本节课，没有纠缠在概念上，时间把握也刚刚好，只是课堂气氛不够活跃，在以后的教学中也要注意。

三年级《数学广角--集合》精品教案范文3篇

三年级《数学广角--集合》精品教案范文3篇教育是石，撞击生命的火花。

教育是灯，照亮夜行者踽踽独行的路。

教育是路，引领人类走向黎明。

因为有教育，一切才都那么美好，因为有教育，人类才有无穷的希望。

今天小编为大家带来的是三年级《数学广角--集合》精品教案范文，供大家阅读参考。

三年级《数学广角--集合》精品教案范文一教学目标：1.让学生经历韦恩图的产生过程，能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

2.培养学生善于观察、善于思考的学习习惯。

使学生感受到数学在现实生活中的广泛应用，尝试用数学的方法解决实际生活中的问题，体验解决问题策略的多样性。

教学重点：让学生感知集合的思想，并利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

教学难点：学生对重叠部分的理解。

教学准备：多媒体课件、姓名卡片等。

教学过程：(一)创设情境，引出新知1.出示信息。

出示教科书例1，只出示统计表，不出示问题。

让学生说一说从中获得了哪些信息。

2.提出问题，激发“冲突”让学生自由提出想要解决的问题，重点关注“参加这两项比赛的共有多少人”这个问题，让学生解答。

关注不同的答案，抓住“冲突”，激发学生探究的欲望。

(二)自主探究，学习新知1.独立思考表达方式，经历知识形成过程。

师：大家对这个问题产生了不同的意见。

你能不能借助图、表或其他方式，让其他人清楚地看出结果呢?学生独立思考，并尝试解决。

2.汇报交流，初步感知集合概念。

(1)小组交流，互相介绍自己的作品。

(2)选择有代表性的方案全班交流。

请每幅作品的创作者上台介绍自己的思考过程，注意追问“如何表示出两项比赛都参加的学生”，体会两个集合中的公共元素构成的交集。

预设1：把参加两项比赛的学生姓名分别列出，把相同的名字连起，就找到两项比赛都参加的学生了，有3人。

这样参加跳绳比赛的9人，加上参加踢毽比赛的8人，再去掉3个重复的，应该是14人。

预设2：先写出所有参加跳绳比赛同学的姓名，再写参加踢毽比赛的。

高一数学集合教案高一数学教案优秀13篇

高一数学集合教案高一数学教案优秀13篇高一数学集合教案篇一教学目的：(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法(2)使学生初步了解“属于”关系的意义(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：1.集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1.简介数集的发展，复习公约数和最小公倍数，质数与和数；2.教材中的章头引言；3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录);4.“物以类聚”，“人以群分”;5.教材中例子(P4)二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：(1)有那些概念？是如何定义的？(2)有那些符号？是如何表示的？(3)集合中元素的特性是什么？(一)集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。

【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第一章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

课题研究-人教版选修2-2教案

课题研究-人教版选修2-2教案教学目标本节课的主要教学目标是：通过本单元的学习，让学生能够：1.了解人类对于未知探索的渴望，并思考未知的探索是否有止境；2.理解“少年维特的烦恼”这本小说中所蕴含的情感体验与社会现实；3.学会运用解构主义的思想，去分析小说中所包含的多种主题与语言技巧；4.提高阅读与写作的能力。

教学内容初始活动1.展示一个宇宙图片或是启发学生思考的思维导图，通过引导学生讨论，发散思维，建立人类对于未知探索的渴望与兴趣；2.引入小说“少年维特的烦恼”，并简要介绍小说背景和作者生平。

内容阐释1.解读小说《少年维特的烦恼》的文本，引导学生逐步理解三部分故事情节之间的联系；2.运用解构主义的思想，分析小说中所包含的主题；3.通过引导学生思考，通过现实事件了解小说中的主题所体现的现实问题；4.让学生体会小说中人物的情感体验，并通过分组讨论等方式深入研读；5.引导学生进行写作，通过作文练习提高学生的阅读与写作能力。

活动设置1.小组内部讨论：以小组为单位，让学生自由讨论小说中所蕴含的思想，并且经过思考，写下小组的结论，以及自己的想法。

2.个人写作：由教师出相应的题目，让学生撰写小论文，并进行互相交流、评价、修改。

教学方法课堂教学法本课堂采用的课堂教学法主要包括：1.多媒体教学法：通过PPT，图片，视频等多媒体手段展示课堂内容，使得学生能够更加形象地理解所学内容。

2.调查研究法：通过引导学生进行讨论、调查、研究等学习方式，激发其思维，提高其分析解决问题能力。

3.问答法：让学生在学习过程中提出问题，而教师以提问和回答的方式引导学生展开思维，深入探究。

4.活动实践法：让学生通过进行小组讨论、写作等实践活动，实现知识的巩固与提高。

教学评价1.口头评价：教师在课堂当中，可以适时地进行提问来进行学生的口头评价。

2.书面评价：让学生将自己的思想、结果、心得写下来，通过评分的方式进行评价。

3.同学评价：学生之间进行互相评价，评价方式可以是小组内、跨组内等多种形式。

小学数学_集合教学设计学情分析教材分析课后反思

《集合》教学设计教学内容：人教版三年级上册104-105页内容一、教学目标（一）知识与技能1．在已有知识的基础上经历集合思想方法的形成过程，初步理解集合知识的意义。

2．能结合具体情境体会用“韦恩图”解决有重复部分的问题的价值，理解集合图中每一部分的含义，通过语言的描述和计算的方法，能解决简单的重复问题。

（二）过程与方法通过观察、操作、实验、交流、猜测等活动，让学生在合作学习中感知集合图形成过程，体会集合图的优点，能直观看出重复部分，解决生活中的问题。

（三）情感态度与价值观体验个体与小组合作探究相结合的学习过程，养成勤动脑，乐思考、巧运用的学习习惯，同时在这个过程中感受数学与生活的密切联系，体会数学的价值。

二、教学诊断“集合问题”是人教版三年级上册第九单元“数学广角”的第一课时，是小学阶段集合思想教学。

集合思想对于三年级学生来说并不陌生，在以往的题型中有过接触，只是无意识形成一些简单解决问题的方法。

而本节课所要学的是含有重复部分的集合图，学生是第一次接触。

教材中的例1通过统计表的方式列出参加踢毽子比赛和跳绳比赛的学生名单，而总人数并不是这两项参赛的人数之和，从而引发学生的认知冲突。

教材中是利用集合图（韦恩图）把这两项比赛人数的关系直观地表示出来，从而帮助学生找到解决问题的办法。

教材要求只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，能够用自己的方法解决问题，为后继学习打下必要的基础。

对于教师应根据学生特点，适度让学生亲历集合图的形成过程，不必拔高要求，引导学生理解集合图各部分的意义，培养学生应用集合思想解决实际问题的能力，初步感受集合思想的奇妙与作用。

三、教学重难点教学重点：了解集合图的产生过程，利用集合的思想方法解决有重复部分的问题。

教学难点：理解集合图的意义，会解决简单重复问题。

四、教学准备多媒体课件、小白板、练习题卡五、教学过程（一）创设情境，引入新知1、教师课件出示“脑筋急转弯”师：今天，老师给大家带来一个脑筋急转弯，想不想挑战一下自己。

高中数学集合内容备课教案

高中数学集合内容备课教案一、教学目标1. 让学生理解集合的基本概念，包括集合的定义、表示方法以及元素的性质。

2. 让学生掌握集合间的基本关系和运算，如子集、并集、交集、差集等。

3. 培养学生运用集合解决实际问题的能力，提高抽象思维和逻辑推理能力。

二、教学内容与顺序1. 集合的概念：通过实例引入集合的概念，区分集合与非集合的例子，让学生初步感知集合的含义。

2. 集合的表示：介绍罗列法和描述法两种表示集合的方法，并通过练习加深理解。

3. 集合的种类：讲解有限集、无限集、空集等概念，并举例说明。

4. 集合间的关系：详细解释子集、真子集的概念，通过Venn图辅助教学，帮助学生形成直观认识。

5. 集合间的运算：讲解并集、交集、差集和补集的概念及性质，通过例题演练加深理解。

6. 集合的应用：结合生活中的实例，让学生了解集合知识在实际中的应用。

三、教学方法1. 采用启发式教学，鼓励学生积极参与讨论，通过提问引导学生思考。

2. 结合多媒体教学工具，如T、Venn图等，使抽象的集合概念形象化。

3. 通过小组合作学习，促进学生之间的交流与合作，共同解决问题。

四、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例引出集合的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解新知：系统讲解集合的定义、表示方法和种类，确保学生对基础知识有清晰的认识。

3. 探究学习：通过分组讨论和解决实际问题，让学生在实践中深化对集合概念的理解。

4. 巩固提升：通过练习题和小测试，检验学生对集合知识的掌握情况，并及时给予反馈。

五、作业与评价1. 布置适量的课后习题，包括基础题和提高题，以适应不同层次的学生需求。

2. 通过课堂表现和作业完成情况，评价学生的学习效果，并给予个性化指导。

六、教学反思1. 总结本次教学的成功之处和不足之处，为下一次教学提供改进的依据。

2. 分析学生的学习难点，调整教学策略，确保每个学生都能理解和掌握集合的知识点。

集合间的关系教案

集合间的关系教案教案标题：集合间的关系教案一、教学目标1. 知识目标：学生能够理解集合的概念，掌握集合间的关系，包括并集、交集、补集等。

2. 能力目标：培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和团队精神。

二、教学重点和难点1. 教学重点：并集、交集、补集的概念和运用。

2. 教学难点：学生理解并集、交集、补集的抽象概念，并能够运用到实际问题中。

三、教学内容1. 集合的概念和表示方法2. 并集、交集、补集的概念3. 并集、交集、补集的运用四、教学过程1. 导入新知识：通过一个生活中的例子引入集合的概念，如学生的爱好集合、班级同学集合等。

2. 学习新知识：教师介绍集合的表示方法和并集、交集、补集的概念，通过示意图和实例让学生理解这些概念。

3. 练习与巩固：教师设计一些练习题，让学生在小组内合作完成，并进行讲解和讨论。

4. 拓展应用：教师设计一些实际问题，让学生运用并集、交集、补集的概念进行解决，如班级学生参加不同兴趣班的情况等。

5. 归纳总结：教师带领学生总结并集、交集、补集的性质和运用方法。

五、教学手段1. 多媒体课件2. 示意图3. 练习题4. 实例分析六、教学评价1. 课堂练习：通过课堂练习评价学生对并集、交集、补集的掌握程度。

2. 作业布置：布置相关作业，让学生在家里进行巩固和拓展。

3. 学习反馈：定期进行学习反馈，及时发现和解决学生的问题。

七、教学反思教师应该根据学生的实际情况和学习进度，灵活调整教学内容和方法，引导学生主动参与学习，培养学生的自主学习能力。

同时，教师应该及时对学生的学习情况进行评价和反馈，帮助学生解决学习中的困惑和问题。

集合的基本运算教学设计方案

集合的基本运算教学设计方案这是集合的基本运算教学设计方案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

集合的基本运算教学设计方案第1篇教学分析课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等.值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算.三维目标1.理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力.2.通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想.重点难点教学重点：交集与并集、全集与补集的概念.教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5+3=8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?教师直接点出课题.思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗?(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6};(2)A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}.引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论.教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容.思路3.(1)①如图1甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系?图1②观察集合A，B与集合C={1,2,3,4}之间的关系.学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的基本运算.(2)①已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.②已知集合A={x|x>1}，B={x|x<0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.推进新课新知探究提出问题(1)通过上述问题中集合A，B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么?(2)用文字语言来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系.(3)用数学符号来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系.(4)试用Venn图表示A∪B=C.(5)请给出集合的并集定义.(6)求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗?请同学们考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系?①A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8};②A={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级女同学}，B={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级男同学}，C={x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}.(7)类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达.活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来表示.讨论结果：(1)集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集.集合C 叫集合A与B的并集.记为A∪B=C，读作A并B.(2)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.(3)C={x|x∈A，或x∈B}.(4)如图1所示.(5)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.其含义用符号表示为A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示.(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.①A∩B=C，②A∪B=C.(7)一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A 与B的交集.其含义用符号表示为：A∩B={x|x∈A，且x∈B}.用Venn图表示，如图2所示.图2应用示例例1 集合A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么?活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素.将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.解：因为A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B={x|00}，A∩B∩C= .图3点评：本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素;②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.变式训练1.设集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.解：对任意m∈A，则有m=2n=2•2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A⊆B.而10∈B但10 A，即A B，那么A∩B=A，A∪B=B.2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.解：满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3};还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.3.设集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.解：∵A∩B={9}，则9∈A，a-1=9或a2=9.∴a=10或a=±3.当a=10时，a-5=5 ,1-a=-9;当a=3时，a-1=2不合题意;当a=-3时，a-1=-4不合题意.故a=10.此时A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，满足A∩B={9}.4.设集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3A.{x|-3C.{x|x>-3}D.{x|x<1}解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，观察或由数轴得A∩B={x|-3答案：A例2 设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B=B的集合A，B的关系.集合A是方程x2+4x=0的解组成的集合，可以发现，B⊆A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值.利用集合的表示法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值.解：由题意得A={-4,0}.∵A∩B=B，∴B⊆A.∴B= 或B≠ .当B= 时，即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.当B≠ 时，若集合B仅含有一个元素，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，此时，B={x|x2=0}={0}⊆A，即a=-1符合题意.若集合B含有两个元素，则这两个元素是-4,0，即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.则有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.解得a=1，则a=1符合题意.综上所得，a=1或a≤-1.变式训练1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?解：由题意知A⊆(A∩B)，即A⊆B，A非空，利用数轴得解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m -1}，且A∪B=A，试求实数m的取值范围.分析：由A∪B=A得B⊆A，则有B= 或B≠ ，因此对集合B分类讨论.解：∵A∪B=A，∴B⊆A.又∵A={x|-2≤x≤5}≠ ，∴B= ，或B≠ .当B= 时，有m+1>2m-1，∴m<2.当B≠ 时，观察图4：图4由数轴可得解得2≤m≤3.综上所述，实数m的取值范围是m<2或2≤m≤3，即m≤3.点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题.这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.知能训练课本本节练习1,2,3.【补充练习】1.设集合A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，(1)求A∩B，A∪B.(2)用适当的符号(⊇，⊆)填空：A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.解：(1)因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，则A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.又A，B两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8，故A∪B={3,4,5,6,7,8}.(2)由Venn图可知A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B.2.设A={x|x<5}，B={x|x≥0}，求A∩B.解：因x<5及x≥0的公共部分为0≤x<5，故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.3.设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B.解：因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B 两集合没有公共部分.所以A∩B={x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}= .4.设A={x|x>-2}，B={x|x≥3}，求A∪B.解：在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B={x|x>-2}.5.设A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，求A∪B.解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B={x|x是平行四边形}.6.已知M={1}，N={1,2}，设A={(x，y)|x∈M，y∈N}，B={(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.分析：M，N中的元素是数，A，B中的元素是平面内的点集，关键是找其元素.解：∵M={1}，N={1,2}，∴A={(1,1)，(1,2)}，B={(1,1)，(2,1)}，故A∩B={(1,1)}，A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}.7.若A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有()A.A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A=解析：思路一：∵(B∩C)⊆B，(B∩C)⊆C，A∪B=B∩C，∴A∪B⊆B，A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.思路二：取满足条件的A={1}，B={1,2}，C={1,2,3}，排除B，D，令A={1,2}，B={1,2}，C={1,2}，则此时也满足条件A∪B=B∩C，而此时A=C，排除C.答案：A拓展提升观察：(1)集合A={1,2}，B={1,2,3,4}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系;(2)当A= 时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系;(3)当A=B={1,2}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系.由(1)(2)(3)你发现了什么结论?图5活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A，B 的关系.用Venn图来发现运算结果与集合A，B的关系.(1)(2)(3)中的集合A，B均满足A⊆B，用Venn图表示，如图5所示，就可以发现A∩B，A∪B与集合A，B的关系.解：A∩B=A⇔A⊆B⇔A∪B=B.用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：A∪B=B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B);A∪A=A，A∪ =A，A⊆B⇔A∪B=B;A∩B=B∩A;(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B;A∩A=A;A∩ = ;A⊆B⇔A∩B=A.课堂小结本节主要学习了：1.集合的交集和并集.2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.作业1.课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律?2.请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义.3.书面作业：课本习题1.1，A组，6,7,8.设计感想由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容.设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法.第2课时导入新课问题：①分别在整数范围和实数范围内解方程(x-3)(x-3)=0，其结果会相同吗?②若集合A={x|0学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题.推进新课新知探究提出问题①用列举法表示下列集合：A={x∈Z|(x-2) =0};B={x∈Q|(x-2) =0};C={x∈R|(x-2) =0}.②问题①中三个集合相等吗?为什么?③由此看，解方程时要注意什么?④问题①中，集合Z，Q，R分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义.⑤已知全集U={1,2,3}，A={1}，写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.⑥请给出补集的定义.⑦用Venn图表示∁UA.活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围.讨论结果：①A={2}，B=2，-13，C=2，-13，2.②不相等，因为三个集合中的元素不相同.③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同.④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.⑤B={2,3}.⑥对于一个集合A，全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集.集合A相对于全集U的补集记为∁UA，即∁UA={x|x∈U，且x A}.⑦如图6所示，阴影表示补集.图6应用示例思路1例1 设U={x|x是小于9的正整数}，A={1,2,3}，B={3,4,5,6}，求∁UA，∁UB.活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出∁UA，∁UB.解：根据题意，可知U={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁UA={4,5,6,7,8}，∁UB={1,2,7,8}.点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果.常见结论：∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).变式训练1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5,7}，B={3,4,5}，则(∁UA)∩(∁UB)等于()A.{1,6}B.{4,5}C.{2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7}解析：思路一：观察得(∁UA)∩(∁UB)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6}.思路二：A∪B={2,3,4,5,7}，则(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={1,6}.答案：A2.设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,4}，B={2}，则A∩(∁UB)等于()A.{1,2,3,4,5}B.{1,4}C.{1,2,4}D.{3,5}答案：B3.设全集U={1,2,3,4,5,6,7}，P={1,2,3,4,5}，Q={3，4,5,6,7}，则P∩(∁UQ)等于()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,6,7}D.{1,2,3,4,5}答案：A例2 设全集U={x|x是三角形}，A={x |x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，∁U(A∪B).活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的含义写出结果.A∩B是由集合A， B中公共元素组成的集合，∁U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合.解：根据三角形的分类可知A∩B= ，A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)={x|x是直角三角形}.变式训练1.已知集合A={x|3≤x<8}，求∁RA.解：∁RA={x|x<3，或x≥8}.2.设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，求B∩C，∁AB，∁SA.解：B∩C={x|x是正方形}，∁AB={x|x是邻边不相等的.平行四边形}，∁SA={x|x是梯形}.3.已知全集I=R，集合A={x|x2+ax+12b=0}，B={x|x2-ax+b=0}，满足(∁IA) ∩B={2}，(∁IB)∩A={4}，求实数a，b的值.解：a=87，b=-127.4.设全集U=R，A={x|x≤2+3}，B={3,4,5,6}，则(∁UA)∩B等于()A.{4}B.{4,5,6}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}解析：∵U=R，A={x|x≤2+3}，∴∁UA={x|x>2+3}.而4,5,6都大于2+3，∴(∁UA)∩B={4,5,6}.答案：B思路2例1 已知全集U=R，A={x|-2≤x≤4}，B={x|-3≤x≤3}，求：(1)∁UA，∁UB;(2)(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B)，由此你发现了什么结论?(3)(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∪B)，由此你发现了什么结论?活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义，借助于数轴求得.解：在数轴上表示集合A，B，如图7所示，图7(1)由图得∁UA={x|x<-2，或x>4}，∁UB={x|x<-3，或x>3}.(2)由图得(∁UA)∪(∁UB)={x|x<-2，或x>4}∪{x|x<-3，或x>3}={x|x<-2，或x>3};∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3}，∴∁U(A∩B)=∁U{x|-2≤x≤3}={x|x<-2，或x>3}.∴得出结论∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁U B).(3)由图得(∁UA)∩(∁UB)={x|x<-2，或x>4}∩{x|x<-3，或x>3}={x|x<-3，或x>4};∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4}，∴∁U(A∪B)=∁U{x|-3≤x≤4}={x|x<-3，或x>4}.∴得出结论∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).变式训练1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5,7}，B={3,4,5}，则(∁UA)∪(∁UB)等于()A.{1,6}B.{4,5}C.{1,2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7}答案：D2.设集合I={x||x|<3，x∈Z}，A={1,2}，B={-2，-1，2}，则A∪(∁IB)等于()A.{1}B.{1,2}C.{2}D.{0,1,2}答案：D例2 设全集U={x|x≤20，x∈N，x是质数} ，A∩(∁UB)={3,5}，(∁UA)∩B={7,19}，(∁UA)∩(∁UB)={2,17}，求集合A，B.活动：学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素.利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可.求集合A，B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A，B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决.解：U={2,3,5,7,11,13,17,19}，由题意借助于Venn图，如图8所示，图8∴A={3,5,11,13}，B={7,11,13,19}.点评：本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力.借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来，这正体现了数形结合思想的优越性.变式训练1.设I为全集，M，N，P都是它的子集，则图9中阴影部分表示的集合是(图9A.M∩[(∁IN)∩P]B.M∩(N∪P)C.[(∁IM)∩(∁IN)]∩PD.M∩N∪(N∩P)解析：思路一：阴影部分在集合M内部，排除C;阴影部分不在集合N 内，排除B，D.思路二：阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在P内不在集合N内，即在(∁IN)∩P内，所以阴影部分表示的集合是M∩[(∁IN)∩P].答案：A2.设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁UA)∩B={3,7}，(∁UB)∩A={2,8}，(∁UA)∩(∁UB)={1,5,6}，则集合A=________，B=________.解析：借助Venn图，如图10，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A，B了.图10答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9}知能训练课本本节练习4.【补充练习】1.设全集U=R，A={x|2x+1>0}，试用文字语言表述∁UA的意义.解：A={x|2x+1>0}，即不等式2x+1>0的解集，∁UA中元素均不能使2x+1>0成立，即∁UA中元素应当满足2x+1≤0.∴∁UA即不等式2x+1≤0的解集.2.如图11所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是________.图11解析：观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：一是不在集合S内;二是在集合M，P的公共部分内，因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M，P的交集的交集，即(∁US)∩(M∩P).答案：(∁US)∩(M∩P)3.设集合A，B都是U={1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)={2}，(∁UA)∩B={1}，则A等于()A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}解析：如图12所示.图12由于(∁UA)∩(∁UB)={2}，(∁UA)∩B={1}，则有∁UA={1,2}.∴A={3,4}.答案：C4.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则∁U(S∪T)等于()A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}解析：直接观察(或画出Venn图)，得S∪T={1,3,5,6}，则∁U(S∪T)={2,4,7,8}.答案：B5.已知集合I={1,2,3,4}，A={1}，B={2,4}，则A∪(∁IB)等于()A.{1}B.{1,3}C.{3}D.{1,2,3}解析：∵∁IB={1,3}，∴A∪(∁IB)={1}∪{1,3}={1,3}.答案：B拓展提升问题：某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有 34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：(1)至少解对其中一题者有多少人?(2)两题均未解对者有多少人?分析：先利用集合表示解对甲、乙两道数学题的各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决.解：设全集为U，A={只解对甲题的学生}，B={只解对乙题的学生}，C={甲、乙两题都解对的学生}，则A∪C={解对甲题的学生}，B∪C={解对乙题的学生}，A∪B∪C={至少解对一题的学生}，∁U(A∪B∪C)={两题均未解对的学生}.由已知，A∪C有34个人，C有20个人，从而知A有14个人;B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人.因此A∪B∪C有N1=14+8+20=42(人)，∁U(A∪B∪C)有N2=50-42=8(人).∴至少解对其中一题者有42个人，两题均未解对者有8个人.课堂小结本节课学习了：①全集和补集的概念和求法.②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.作业课本习题1.1A组9,10，B组 4设计感想本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法，因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识.备课资料【备选例题】【例1】已知A={y|y=x2-4x+6，x∈R，y∈N}，B={y|y=-x2-2x+7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示它.解：y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2，A={y|y≥2，y∈N}，又∵y=-x2-2x+7=-(x+1)2+8≤8，∴B={y|y≤8，y∈N}.故A∩B={y|2≤y≤8}={2,3,4,5,6,7,8}.【例2】设S={(x，y)|xy>0}，T={(x，y)|x>0，且y>0}，则()A.S∪T=SB.S∪T=TC.S∩T=SD.S∩T=解析：S={(x，y)|xy>0}={(x，y)|x>0且y>0，或x<0且y<0}，则T⊆S，所以S∪T=S.答案：A【例3】某城镇有1 000户居民，其中有819户有彩电，有682户有空调，有535户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有________户.解析：设这1 000户居民组成集合U，其中有彩电的组成集合A，有空调的组成集合B，如图13所示.有彩电无空调的有819-535=284(户);有空调无彩电的有682-535=147(户)，因此二者至少有一种的有284+147+535=966(户).填966.图13答案：966【知识拓展】差集与补集有两个集合A，B，如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，那么C就叫做A与B的差集，记作A-B(或A\B).例如，A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，C=A-B={a，b}.也可以用Venn图表示，如图14所示(阴影部分表示差集).图14图15特殊情况，如果集合B是集合I的子集，我们把I看作全集，那么I与B 的差集I -B，叫做B在I中的补集，记作B.例如，I={1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，B=I-B={4,5}.也可以用Venn图表示，如图15所示(阴影部分表示补集).从集合的观点来看，非负整数的减法运算，就是已知两个不相交集合的并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数，也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数.集合的基本运算教学设计方案第2篇一、导入同学们，今天我为大家介绍一位诗人，在听完我的描述后，你们猜猜他是谁。

《集合的运算》教学设计李响大连24中学

课题：《集合的运算》大连市第二十四中学李响《集合的运算——交集与并集》教学设计一．教材分析集合的运算是学生进入高中学习的第一种运算，较初中学习过的数式的运算更为抽象，也不同于之后高中将学习的复数的运算、三角的运算及向量的运算等。

同时集合作为一种数学语言，尤其是集合的关系与运算贯穿于高中数学学习的全过程。

本节课基于学生已有的认知基础，通过创设问题情境，让学生在探究中经历知识的“再创造”过程，帮助学生实现思维的跨越，使其知其然更知其所以然，为学生后续的高中数学学习奠定扎实的基础。

二．学情分析高中阶段是学生连贯逻辑思维形成的时期，集合这部分内容为培养学生清晰而有条理地表达自己的数学思想，倾听别人的意见，学会正确使用数学符号、数学语言提供了平台。

东北育才高中是辽宁省示范性高中，学生的数学基础与能力相对较好。

基于以往的教学实践，除个别学生在表达集合运算的结果时没有养成写成集合的形式之外，对绝大多数学生来说，借助维恩图，理解“交、并”运算的意义，完成课本练习中集合的基本运算，应该不会有太大障碍。

三．教学目标分析根据学生的认知水平和教材内容，确立本节课的三维教学目标为：1.知识与技能目标（1）理解交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集。

（2）体会集合运算的内涵。

2.过程与方法目标（1）经历集合运算的生成过程，体会数形结合的思想和类比的方法。

（2）将知识问题化，学生通过问题回顾、问题提出、问题发现、问题升华、问题研判、问题解决对知识深入理解与研究，提高分析问题和解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标学生通过集合运算知识体系的自主建构及实际应用，感悟数学的魅力与价值。

四．教学重点、难点分析教学重点：用自然语言、符号语言、图形语言定义集合运算中的交集与并集教学难点：交集与并集符号之间的区别与联系五．学法与教法分析教法分析（1）引导——探究式（2）合作——交流式新课程标准要求在教学过程中要以学生主动参与为主，学生的自主探究和合作学习显得格外重要。

数学小课题研究题目

数学小课题研究题目篇一：高中数学课题研究题目高中数学研究性学习课题题目精选1、银行存款利息和利税的调查2、气象学中的数学应用问题3、如何开发解题智慧4、多面体欧拉定理的发现5、购房贷款决策问题6、有关房子粉刷的预算7、日常生活中的悖论问题8、关于数学知识在物理上的应用探索9、投资人寿保险和投资银行的分析比较10、黄金数的广泛应用11、编程中的优化算法问题12、余弦定理在日常生活中的应用13、证券投资中的数学14、环境规划与数学15、如何计算一份试卷的难度与区分度16、数学的发展历史17、以“养老金”问题谈起18、中国体育彩票中的数学问题19、“开放型题”及其思维对策20、解答应用题的思维方法21、高中数学的学习活动——解题分析 A）从尝试到严谨、B）从一个到一类22、高中数学的学习活动——解题后的反思——开发解题智慧23、中国电脑福利彩票中的数学问题24、各镇中学生生活情况25、城镇/农村饮食构成及优化设计26、如何安置军事侦察卫星27、给人与人的关系（友情）评分28、丈量成功大厦29、寻找人的情绪变化规律30、如何存款最合算31、哪家超市最便宜32、数学中的黄金分割33、通讯网络收费调查统计34、数学中的最优化问题35、水库的来水量如何计算36、计算器对运算能力影响37、数学灵感的培养38、如何提高数学课堂效率39、二次函数图象特点应用40、D中线段计算41、统计溪美月降水量42、如何合理抽税43、南安市区车辆构成44、出租车车费的合理定价45、衣服的价格、质地、品牌，左右消费者观念多少？46、购房贷款决策问题篇二：《高中数学有效课堂教学》课题研究总结《高中数学有效课堂教学》研究总结摘要：有效教学强调：关注学生的进步或发展，关注教学效益，关注可测性或量化，要求教师具备一种反思的意识。

我采用了“问题情景——建立模型——探究——解释——应用——拓展”的模式展开教学，课后进行认真的反思关键词：有效教学；实践；有效性；反思；设想有效教学的理念源于20世纪上半叶西方的教学化运动，它强调的是：关注学生的进步或发展，关注教学效益，关注可测性或量化，要求教师具备一种反思的意识。

教科版六年级科学下册实验题集合学生版

六年级科学下册实验题集合一、实验名称：用显微镜观察洋葱表皮细胞实验材料：显微镜、洋葱表皮细胞切片，及其他细胞装片。

实验步骤：1、右手握住镜臂，左手托住镜座，把显微镜向着光放在实验台上。

2、对光：转动转换器，使低倍物镜对准通光孔。

3、调节载物台下的反光镜，从目镜往下看，能看见亮的光圈。

4、观察：调节粗准焦螺旋，把所要观察的洋葱表皮切片放在载物台上，用压片夹夹住，标本要正对通光孔的中央。

5、左眼向目镜内看，同时转动粗准焦螺旋等，直到看清切片上的细胞为止，最后整理器材。

四、使用注意事项：1、取送显微镜时，应右手握住镜臂,左手托住镜座，轻拿轻放。

2、镜检时，坐姿端正，一般用左眼观察物象，用右眼看着实验报告纸画图。

两眼须同时睁开。

3、切忌一面从目镜进行观察，一面使镜筒下降，这样容易使物镜与玻片标本碰撞而损坏。

4、在高倍镜下调节焦距时，切勿使用粗调节器，以免压坏标本，损坏物镜。

5、显微镜使用完毕必须先上升镜筒，移开镜头后再取出玻片标本，以免取玻片时擦损镜头的镜面。

二、如何制作食盐晶体：（一）观察加热白糖的变化在加热白糖的过程中，蜡烛也在不断地燃烧，它也同时发生着化学变化和物理变化。

；蜡烛熔化是（），液体的蜡烛油气化厚燃烧是（）。

（二）小苏打和白醋混合后的变化小苏打的特点：白色粉末或细微结晶，无臭、味涩，易溶于水。

白醋的特点：（）的液体，闻上去有一股酸味。

（1）小苏打和白醋混合后的现象：产生（），用手触摸玻璃杯的外壁，感觉比原来（）。

(2)探究小苏打和白醋混合后,发生化学变化时伴随的现象.探究的问题:小苏打和白醋混合后产生了什么气体?我的假设:实验方法：实验现象：1、往杯子里插入燃烧的细木条，火焰（）。

2、把玻璃杯中的气体倒在蜡烛的火焰上，蜡烛（）。

3、将气体导入澄清的石灰水时，澄清的石灰水（）。

实验分析和实验结论：产生的气体（）、（），能和澄清的石灰水发生化学变化。

小苏打和白醋混合后，产生看一种新物质——（），这种变化属于（）。

高中数学必修1集合教案：如何深入挖掘集合的研究方向,提高教学水平？

高中数学必修1集合教案：如何深入挖掘集合的研究方向，提高教学水平？集合是数学中一个重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。

在高中数学中，集合也是必修的内容之一。

因此，如何深入挖掘集合的研究方向，提高教学水平，是每一个数学教师都需要探讨的问题。

我们需要明确集合的基本概念。

集合是指把具有相同特性的元素统称起来的概念。

集合中的元素可以是任意的数学对象，例如数字、字母、图形等等。

在高中数学中，集合的表示方法主要通过集合的各种符号表示。

例如，一个集合可以用大括号{}括起来，其中用逗号分隔各个元素，如{1, 2, 3}表示一个由1、2和3组成的集合。

我们需要了解集合的运算方法。

在集合中经常用到的运算有并、交、补、差、幂等、对称差等。

并集运算指把两个集合中的所有元素合并成一个新的集合。

例如，若A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

交集运算指找出两个集合中共有的元素组成一个新的集合。

例如，若A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

补集运算是指以一个集合为全集，在该集合的基础上构成一个新的集合。

例如，若A={1, 2, 3}，则A的补集A'={4, 5, 6, ...}。

差集运算是指从一个集合中删去另一个集合中的元素得到的新集合。

例如，若A={1, 2, 3}，B={2, 3}，则A-B={1}。

幂等运算是指集合中元素的重复出现只算一次的运算。

例如，若A={1, 2, 2, 3, 3, 3}，则A={1, 2, 3}。

对称差运算是指两个集合的并集减去交集得到的新集合。

例如，若A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则AΔB={1, 4}。

接着，我们需要学习集合间的关系。

在集合中，元素之间有等于、属于、包含等关系。

等于的关系指两个集合中的元素完全相同，则两个集合相等。

例如，若A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3}，则A=B。

三种集合问题的解题方法

三种集合问题的解题方法【导语】在数学中，集合是研究对象的集合，集合问题是数学中常见的问题之一。

解决集合问题可以帮助我们深入理解数学的抽象思维和逻辑推理能力。

本文将介绍三种常见的集合问题解题方法，以帮助读者更好地应对这类问题。

【目录】一、概述1.1 集合的定义和基本运算1.2 集合问题的分类二、穷举法2.1 穷举法的基本思想2.2 穷举法的应用案例三、推理法3.1 推理法的基本思想3.2 推理法的应用案例四、运算法4.1 运算法的基本思想4.2 运算法的应用案例五、总结与回顾5.1 三种集合问题解题方法的比较5.2 个人观点与理解一、概述1.1 集合的定义和基本运算在数学中，集合是元素的汇集，可以用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。

集合常见的基本运算有交集、并集、补集和差集等。

1.2 集合问题的分类集合问题可以分为穷举法、推理法和运算法三种解题方法。

这三种方法各有特点，我们将逐一介绍。

二、穷举法2.1 穷举法的基本思想穷举法是通过列出集合中的所有元素来解决问题的方法。

它适用于集合元素个数较少的情况，能够确保不漏解和不重解。

2.2 穷举法的应用案例以某班级人数为例，假设班级有20名学生，我们要求找到芳龄在16岁到18岁之间的学生。

可以使用穷举法，列举出所有学生的芳龄，并筛选出符合条件的学生。

三、推理法3.1 推理法的基本思想推理法是通过逻辑推理的方式解决集合问题的方法。

它适用于对集合元素之间的关系进行推断和分析的情况，需要应用数学推理和逻辑思维。

3.2 推理法的应用案例以A、B、C三个集合为例，已知A包含B，B包含C，我们要推导出A包含C的结论。

可以通过推理法进行逻辑推演，利用集合之间的关系进行推理。

四、运算法4.1 运算法的基本思想运算法是通过对集合进行运算操作解决问题的方法。

它主要应用于集合的交集、并集、补集、差集等操作，可以快速求解特定的集合问题。

4.2 运算法的应用案例以两个集合的交集问题为例，已知集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，我们要求解A和B的交集。

高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题1.2：示意图在集合问题中的应用研究与拓展.docx

专题1.2：示意图在集合问题中的应用研究与拓展【课本溯源】某中学高一（1）班有45人，其中参加数学兴趣小组有28人，参加化学兴趣小组有21人，若数学化学都参加的有x 人，则x 的最大值是，最小值是_______.【探究拓展】探究1：市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500个市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两样都订的有150人.（1）只订日报不订晚报的有多少人？（2）只订晚报不订日报的有多少人？（3）至少订一种报纸的有多少人？（4）有多少人不订报纸？变式：某社区学院一个月30天课程安排情形如下：有15天有数学课，有14天有语文课，有14天有英语课. 有数学又有语文的有7天，有数学又有英语的有6天，有语文又有英语的有6天，三门课都有的有3天. 那么，有几天不上课？有几天只上一门课？有几天只上两门课？探究2：若已知d c b a <<,，试求[][]d c b a ,, ；变式：若已知d c b a <<,，试求[][]d c b a ,, ；探究3：集合{}b x a x A ≤≤=，定义a b -为其长度，已知数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=m x m x P 43， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤=31n x n x Q 都是集合[]1,0=U 的子集. （1）若43=m 且21=n ，求集合Q P 的长度；（2）求集合Q P 长度的最小值探究4：（2011江苏，13）设1271a a a =≤≤≤…，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 .变式：若所求改为“求q 的最大值”，结论如何？命题推广1：设1271a a a =≤≤≤…98a a ≤≤，其中7531,,,a a a a ,9a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a ,8a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是命题推广2：设1271a a a =≤≤≤…),3(12N n n a n ∈≥≤≤+ ，其127531,,,,,+n a a a a a成公比为q 的等比数列，n a a a a 2642,,,, 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 .命题背景研究：考察函数x x x f 1)(=的单调性（取对数、构造法）引例：利用导数可以研究函数的性质，很多时候还可以通过构造、变形等，如研究函数x e y ln =的性质时可以先变形为⎪⎩⎪⎨⎧<<≥==10,11,ln x x x x e y x ，类比这种转化)0(>=x x y x 的单调递减区间为__________ ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0探究5：（2008江苏卷20）若()113x p f x -=，232)(2p x x f -⋅=，12,,x R p p ∈为常数，且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件. （用12,p p 表示）；探究6：已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k A ),2(1ππωθθ，集合)1,(+=a a B , 若对任意的实数a ,B A 中的元素个数等于2，则正数ϖ的取值范围是________ 见图：【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

集合研究性学习PPT课件

探究一 “正难则反”策略与“补集思想”
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决，这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A 困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.
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例1 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}，若集合A中至多只有一个元素,求a的取值范围.
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[点拨] (1)A∩B＝∅，对于集合 A 而言，分 A＝∅与 A≠∅ 两种情况．A＝∅表示方程无实根．
(2)B＝{x|x<0}，而 A∩B＝∅，即已知方程的根为非负实根．
(3)Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x1＋x2≥0与x1x2≥0保证了原方程两根非负．
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规律总结：(1)运用补集思想求参数范围的方法； ①否定已知条件，考虑反面问题； ②求解反面问题对应的参数范围； ③将反面问题对应参数的范围取补集． (2)补集思想适用的情况：从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．
(3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25，猜测当集合A含有n个元素时子集个数为2n.
(4)去掉它本身，应有2n－1个．
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规律总结：牢记下述四个结论，解题时可依据这四个结论检验解答正确与否．
(1)含 n 个元素的集合有 2n 个子集； (2)含 n 个元素的集合有(2n－1)个真子集； (3)含 n 个元素的集合有(2n－1)个非空子集； (4)含 n 个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
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[解析] (1)确定集合A各种情形子集的个数：含有一个元素时子集为{a}，{b}，{c}共3个，含有两个元素时子集为 {a，b}，{a，c}，{b，c}共3个，含有3个元素时子集为{a， b，c}共1个，另外还有空集∅，因此集合A共有8个子集．

数学课题研究报告

数学课题研究报告一、选题及背景本次数学课题研究选题为高中数学教学中的“集合与函数”。

集合和函数是高中数学课程中的重要内容，也是未来学习高等数学和计算机科学的基础知识。

此外，集合和函数具有实际应用价值，如在数据分析、科研和工程设计等领域。

二、相关知识概述1. 集合集合是具有某种特定属性的对象的总体，用大写字母表示，元素用小写字母表示。

两个集合相等当且仅当它们具有完全相同的元素。

2. 常见的集合运算（1）并集：将两个或多个集合中的所有元素合并成一个集合，用符号“∪”表示。

（2）交集：指两个或多个集合中相同的元素集合，用符号“∩”表示。

（3）差集：是由一个集合中除与另一个集合中相同元素外的所有元素组成的集合，用符号“-”表示。

（4）补集：是指在某个全集里，减去某个特定的子集所得到的元素集合，用符号“A'"表示。

3. 函数函数是指一个集合的元素与另一个集合的元素之间的一种对应关系。

其中，第一个集合成为定义域，第二个集合成为值域。

函数有定义、值域、像等概念。

如果每个定义域的元素都有唯一的值域的元素与之对应，则称这个函数是单射函数，反之如果每个值域的元素都有定义域的元素与之对应则称之为满射函数。

三、数学课题研究的方法1.查阅及收集相关资料首先了解、查阅并收集课题相关的原理、理论和实践资料。

可以通过教材、课程教学大纲、学术论文、互联网等途径找到相关的资料。

此外，与课题相关的司法、工商、科技的数据等也可以进行收集和分析。

2.设计调查问卷可以通过设计调查问卷的方式，收集学生对课程的学习态度、兴趣、知识深度等方面的反馈。

通过问卷结果可以找到学生们的学习瓶颈，帮助优化教学管理和方案。

3.设计实验在实验的过程中可以针对不同程度的学生来设计不同的测试，通过实验可以发现学生真正的掌握程度，从而通过适当的教学安排，帮助学生提高实际应用的能力。

四、应用及推广学习和掌握高中数学中的集合和函数不仅对未来的学习或工作有重要意义，同时在大部分专业考证中具有很高的出题频率。

吴森-子集与推出关系

课题：子集与推出关系授课教师吴森（华东师范大学第二附属中学）地点上海市曹杨中学班级高一(6)班时间 2018年9月17日教材高级中学课本数学高中一年级第一学期（试用本）上海教育出版社一、教学内容解析“子集与推出关系”是上海市高级中学课本数学（试用本）高中一年级第一学期（上海教育出版社）第1章“集合和命题”的第6节内容. “集合和命题”是高中数学的起始章，是初中数学向高中数学的过渡，是数学语言运用能力和逻辑推理素养的一次提升.本章主要以初中数学的内容为基础阐述集合和命题的初步知识，随着后续学习，集合语言和命题知识会得到越来越广泛的应用.“子集”是一种集合间的包含关系，而集合又是高中数学中的代数与几何的重要基础语言，集合语言也是现代数学的基本语言，可以精确地表达各种对象之间的关系，从而更简洁、更准确地表达相关的数学内容．集合作为一种思想与观点，在现代社会生活、科学发展进步中，发挥着重要作用．“推出关系”是一种逻辑关系，关于逻辑关系的学习，是发展数学逻辑推理素养的重要组成部分. 数理逻辑学的基础就是集合论，因此，集合与命题有着天然的、密不可分的联系.本节课，通过对子集和推出关系的等价性研究将本章所学的集合与命题沟通联系了起来. 通过具体实例，发现并理解集合间具有的包含关系与这些集合的性质具有推出关系的等价性，经历子集关系与相应推出关系等价性的证明过程, 学会借助于子集关系进行逻辑推理的方法.通过子集与推出关系之间的等价性的建立，将集合之间的包含关系、集合元素所具有性质间的推出关系以及充分必要条件沟通联系起来.初步体会利用集合知识有助于理解逻辑关系，使学生关注数学概念之间的联系，初步掌握用集合语言和符合逻辑的方式表达和交流，提升集合语言的运用水平, 感受数学语言的魅力，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.二、教学目标设置1．通过具体实例，理解集合间的包含关系等价于集合元素所具有的性质间的推出关系，体会从特殊到一般的数学思想方法，提升数学抽象能力．2．经历子集关系与相应推出关系等价性的证明过程，提升逻辑推理能力．3．学会借助于子集关系进行逻辑推理的方法，初步体会利用集合知识解决逻辑问题，初步掌握用集合语言和符合逻辑的方式表达和交流，提升集合语言的运用水平, 感受数学语言的魅力．4．研究不同的子集关系与相应的推出关系以及充分、必要条件之间的对应关系，关注数学概念之间的联系，发展理性思维．教学重点：理解子集关系与相应推出关系的等价性，掌握用集合间包含关系进行推理的方法．教学难点：理解并证明子集关系与相应推出关系的等价性．三、学生学情分析本课的学习主体为上海市曹杨中学高一学生，学生已经学习了集合的表示、集合之间的关系、集合的运算、命题的形式及等价关系和充分条件与必要条件，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础.经历了本章前面的集合与命题相关知识的学习，学生的数学抽象和数学语言表达能力有所发展；在以往数学证明的学习过程中，学生初步积累了逻辑推理经验，这也为本节课提供了基本的思维基础和能力基础.本节课的落实，需要学生具备一定的数学抽象能力和逻辑推理素养，在通过具体实例理解集合间具有的包含关系与这些集合的性质具有推出关系的等价性，需要学生能够理解和应用集合的描述法表示，能够从特殊事实得到一般结论，有基本的数学语言表述能力；在证明子集关系与相应推出关系的等价性时，需要学生对子集的概念、推出关系的本质有真正的理解，也需要学生具有基本的逻辑推理素养；在根据推出关系的不同情况，探究相对应的集合包含关系和图示、以及充分条件或必要条件的不同情形时，需要学生具备严谨的思维能力和较好的理解能力.本节课的难点在于理解和证明子集关系与相应推出关系的等价性，在从具体到抽象的过程中，教师需在学生感受具体实例时给以充分的引导和铺垫，在从猜想到证明的过程中，需要进行细致的引导，使学生明确要证的条件和结论，抓住要证的结论，同时要引导学生深入理解推出关系和集合的包含关系的内在含义，帮助学生理顺逻辑推证路径；在根据推出关系的不同情况，探究相对应的集合包含关系和图示、以及充分条件或必要条件的不同情形时，通过采用小组合作交流的方式，以弥补部分学生思考问题不够严谨，相关知识不够扎实的不足.四、教学策略分析（一）复习回顾引入课题设计说明：通过复习已学的集合和命题相关内容，使学生在新课开始前，唤起学生对于集合的包含关系、命题的推出关系、等价命题以及充分必要条件等预备知识的回忆.2. 写出一个α，使得α是:0x β>的充分条件设计说明：提出一个具体的写出充分条件的开放式问题，一方面继续起到复习回顾的作用，另一方面引导学生从集合角度思考，发现满足β的对象所构成的集合是正实数集，而满足充分条件α的对象所构成的集合都是正实数集的子集. 通过这个开放性问题，使学生意识到子集与充分条件之间有一定的联系，而充分条件、必要条件是由推出关系定义的，从而引入课题“子集与推出关系”.（二）具体到抽象猜测到论证1. 通过问题1.1和问题1.2两个具体实例，感受子集与推出关系之间的联系.设计说明：通过具体实例，进一步感知集合间的包含关系与集合元素所具有的性质的推出关系之间的联系.所选取的两个问题都是学生初中所学知识相关的问题，问题1.1是关于等腰三角形和等边三角形关系的几何背景问题，问题1.2是关于个位数是5的正整数和能被5整除的正整数的关系的代数背景问题.这两个问题本身的知识背景对于学生来说都是比较简单的，没有背景知识方面的障碍，便于学生专注于集合语言的使用和对推出关系的理解，便于学生感知规律.2. 试将“⊆A B ”与“⇒αβ”建立起对应的联系.设计说明：从特殊到一般，引导学生从上面两个具体问题的感知中抽象出一个一般的猜想，尝试建立起⊆A B 与⇒αβ的联系.猜想还需严格证明.关于“⊆A B ”与“⇒αβ”等价性的证明分两步进行.等价性的证明对学生来说是有难度的，教师需要仔细耐心地引导.在引导学生理清证明思路的过程中，需要使学生明确要证的条件和结论，抓住要证的结论，同时根据推出关系和集合的包含关系的内在含义，用严谨的数学语言表达，理解A 与α，B 与β的关系，理顺逻辑推证路径.（三）应用理解探究深化1. 通过问题2.1和问题2.2，体会借助于子集关系进行逻辑推理的方法.设计说明：通过两个问题体会借助于子集关系进行逻辑推理的方法.根据子集关系与相应推出关系的等价性，我们就可以用对应集合的包含关系帮助我们思考集合中元素具有性质之间的推出关系，在推出关系的基础上，我们可以研究性质条件之间的充分性、必要性，从而我们就可以借助于集合关系来研究逻辑问题.两个问题都是与实数取值范围相关的问题，集合间的包含关系可以利用数轴来形象思考.问题2.1是已知集合，利用集合包含关系来判断推出关系，进而判断充分、必要条件，问题2.2是已知充分条件，利用推出关系得到集合之间的包含关系，进而确定相关字母的取值范围.两个问题体现了等价性的应用.2. 试根据推出关系的不同情况，研究相对应的集合包含关系和图示、以及充分条件或必要条件的不同情形．设计说明：引导学生从思考α、β之间的推出关系的不同情况入手，在分类这一问题上，学生的理性思维得以发展，数学中的分类讨论方法要求“不重、不漏”，α、β之间的推出关系可以分为四种情况.组织学生通过小组讨论、合作交流，写出与之对应的集合A 、B 之间的关系，画出相应的文氏图，并判断α是β的什么条件.请学生完成表格并展示.通过探究，进一步细致地梳理了集合的包含关系、推出关系以及充分必要条件之间的对应关系，将本章所学的相关内容都沟通联系了起来，从而为我们用集合观点解决逻辑问题提供了依据.（四）反思小结1．对子集关系与相应推出关系的等价性研究，沟通了集合与命题之间的联系．2．推出关系是一种逻辑关系，与集合语言相联系，有助于提升用数学语言思考和描述逻辑问题的能力．设计说明：引导学生感受子集与推出关系、集合与命题、集合论与逻辑学、数学与哲学之间的联系，从而理解本节课的立意及研究的必要性，进一步体验和感悟集合语言的重要性及魅力.（五）课后延伸用子集和推出关系判断否定式的条件之间的逻辑关系，并用子集和推出关系证明“原命题成立则其逆否命题成立”.设计说明：继续巩固利用子集与推出关系解决逻辑问题的方法，理解命题及其否定形式与集合及其补集之间的联系，进一步感受集合与命题之间的联系.五、教学过程设计（一）复习回顾引入课题带领学生回忆已学的关于集合和命题的相关知识，着重复习充分条件、必要条件、等价命题等知识.2. 请写出一个α，使得α是:0x β>的充分条件．（二）具体到抽象猜测到论证问题1.1中，⊇A B ，⇐αβ，问题2.1中，⊆A B ， ⇒αβ.2. 探究一：试将“⊆A B ”与“⇒αβ”建立起对应的联系.第二，引导学生思考“⊆A B ”与“⇒αβ”这两个命题之间的推出关系，“⊆A B ”推出“⇒αβ”，并且“⇒αβ”推出“⊆A B ”，因此“⊆A B ”与“⇒αβ”等价.第三，证明 “⊆A B ”与“⇒αβ”等价性.等价性的证明分两步进行：第一步，证明“⊆A B ”推出“⇒αβ”；第二步,证明“⇒αβ”推出“⊆A B ”.两步证明完成后，得到结论“⊆A B ”与“⇒αβ”等价,也就是说“⊆A B ”是“⇒αβ”的充要条件. 从充分必要条件的角度理解，证明的第一步是证明“⊆A B ”是“⇒αβ”的充分条件,也称为充分性的证明；第二步是证明“⊆A B ”是“⇒αβ”的必要条件，也称为必要性的证明.从而得到本节课的核心内容——子集关系与相应推出关系的等价性：设集合A 、B 是非空集合，集合=A {x x 具有性质α}，集合=B {x x 具有性质β}，则⊆A B 与⇒αβ等价.（三）应用理解探究深化1. 问题2.1：设:13≤≤x α，:05x β≤≤，试用子集与推出关系说明α是β的什么条件.问题2.2：设:13≤≤x α，:12m+4+≤≤m x β，R ∈m ，α是β的充分条件，求m 的取值范围.问题2.1,先设集合A 、B 分别为具有性质α、β的对象组成的集合，借助数轴，允许学生先初步得到A 是B 的子集，从而⇒αβ，所以α是β的充分条件.问题2.2，先设集合A 、B 分别为具有性质α、β的对象组成的集合，因为α是β的充分条件，所以⇒αβ，可得A 是B 的子集，从而借助于数轴，只需判断取值范围两端的大小关系，得到关于m 的不等式组，解不等式组可得m 的取值范围. 引导学生发现当m 满足所求取值范围时，集合A 与B 不可能相等，集合A 是集合B 的真子集.再回到问题2.1，得到确切的结论，集合A 是集合B 的真子集，根据真子集的意义，相应推出关系除了⇒αβ还可以得到⇐/αβ，所以α是β的充分非必要条件.体现了对知识理解的螺旋上升路径.2. 探究二：试根据推出关系的不同情况，研究相对应的集合包含关系和图示、以及充分条件或必要条件的不同情形．=A B（四）反思小结1．对子集关系与相应推出关系的等价性研究，沟通了集合与命题之间的联系．2．推出关系是一种逻辑关系，与集合语言相联系，有助于提升用数学语言思考和描述逻辑问题的能力．（五）课后延伸1. 设:1≠x α或2≠y ，:3+≠x y β，试用子集与推出关系说明α是β的什么条件.2. 试用子集与推出关系证明：如果αβ⇒，那么βα⇒.六、课堂教学目标检测1．学生能够准确判断问题1.1和问题1.2两个具体实例中集合的包含关系和集合元素所具有的性质之间的推出关系，在对包含关系和推出关系有了具体感受后，对于探究一，学生能够表达出对“⊆A B ”与“⇒αβ”之间对应联系的想法，学生在课堂回答时首先猜测“若⊆A B 则⇒αβ”，并表达为“如果集合A 是集合B 的子集，那么集合A 中元素所具有的性质能够推出B 中元素所具有的性质”，说明学生体会到 “α是集合A 中的元素所具有的性质”．而后学生又猜测“反之也成立”，即“若⇒αβ则⊆A B ”．由此可见，学生基本能够理解集合间的包含关系等价于集合元素所具有的性质间的推出关系，也从中体会到了从特殊到一般的数学思想方法，数学抽象能力得以提升．2．在证明子集关系与相应推出关系的等价性过程中，首先，需要证明“若⊆A B 则⇒αβ”，通过教师引导，帮助学生厘清要证的条件和结论，写出推证的起始句和结束句之后，学生能够准确地回答补充完整中间的推证过程．第二，需要证明“若⇒αβ则⊆A B ”，从课堂反馈来看，学生对于该证明过程的回答显然更为流畅．由此可见，通过经历子集关系与相应推出关系等价性的证明过程，学生的逻辑推理能力得以提升．3．问题2.1的解决过程中，学生能够根据已知条件，写出相应的满足条件的对象所组成的集合，并进而利用集合间的包含关系判断相应的推出关系．在问题2.2的解决过程中，学生能够根据已知的充分必要条件关系，写出推出关系，进而得到相应的集合之间的包含关系，利用数集的包含关系建立不等式，从而解决问题．学生对两道题的解答都比较流畅，由此可见，学生学会了借助子集关系进行逻辑推理的方法，初步掌握了用集合语言和符合逻辑的方式表达和交流，学生能够感受到数学语言的魅力，集合语言的运用水平得以提升．4．在对探究二的讨论过程中，学生很快能回答出α、β之间的推出关系的四种情况，在分类这一问题上，感受数学中的分类讨论方法要求“不重、不漏”，学生的理性思维得以发展．通过小组讨论、合作交流之后，学生基本都能写出与推出关系相对应的集合A、B之间的关系，画出相应的文氏图，从两位学生在白板上的填表展示情况来看，对于第四种情况“A不包含于B，B也不包含于A”，学生关于此时集合A、B的交集是否能为空集出现了判断错误，在老师的引导下进行了修正补充，除此以外，对于另外三种情况，学生都能够准确的写出相应的集合包含关系，并准确画出了文氏图．并且学生能够准确快速地回答出四种情况下，α分别是β的什么条件．由此可见，学生掌握了本节课的核心教学内容，通过探究，学生能够将本章所学的相关内容沟通联系起来，能够建立起数学概念之间的联系．点评:“子集与推出关系”这节课是在学习了“集合”与“命题”（简易逻辑）的基础上，建立“集合”与“命题”的内在联系．将“集合”与“命题”加以沟通，学生可以从中体会到数学知识之间是有联系的，学会用联系的观点看问题．推出关系是一种逻辑关系，与集合语言相联系，有助于提升用数学语言思考和描述逻辑问题的能力．本节课立意高，将教材演绎得非常精彩；教师语言精准，现代技术运用适当；教学过程自然流畅，，课堂组织形式多样，学生思维参与度高，数学内涵丰富．在师生对话、生生小组探究展示的多向交流互动中，思维层层递进．学生经历了知识的发生发展的全过程，由具体到抽象、由特殊到一般，有归纳、猜想的合情推理，也有演绎证明的逻辑推理．综观整节课的教学，吴老师清楚地知道学生已有的知识是什么，通过本节课的学习应该理解什么、掌握什么、学会什么．她是学生学习活动的设计者、组织者、引导者和合作者，学生是探索者、发现者，有效地发挥学生了的学习主体作用．吴老师在课堂开始时提出一个开放性问题，既回顾了相关知识，又自然引出课题；随后师生通过两个简单问题，探索“子集”与“推出关系”的联系，由具体到抽象，由猜测到论证；论证过程中，吴老师耐心引导学生明确条件结论，理顺逻辑推证路径；子集与推出关系的等价性建立起来后，通过两个互相联系的简明例题，使学生体会借助于子集关系进行逻辑推理的方法，经过精心设计，从“子集”到“真子集”，从“充分条件”到“充分非必要条件”，符合学生的认知发展规律，搭建了学生对知识理解的螺旋上升路径；最后对推出关系、集合包含关系、文氏图和充分必要条件不同情形的分类和对应的探究活动，把这节课的学习推向了高潮，以表格呈现的对应关系，使学生对集合语言和逻辑关系的沟通联系有了更深刻的认识，为学生用集合观点解决逻辑问题提供了依据，学生的思维能力在浓浓的多向互动的氛围中得到发展．总之，这是一节非常优秀而有特色的数学课，体现了吴森老师良好的教师素养．刘初喜2018.10.15。