第二章(第一讲)

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2.1.1 质量–弹簧–阻尼系统
根据牛顿第二定律:
f ma

得:
f i (t ) D y 0 (t ) ky0 (t ) M y 0 (t )

将输出变量写在等号左边，输入变量写在等号右边， 阶次由高到低排列，得到：
M y 0 (t ) D y 0 (t ) ky0 (t ) f i (t )
f (x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
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2.2 数学模型的线性化
非线性系统 用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满 足叠加原理。
实际的物理系统往往有死区、饱和、间隙等各类 非线性现象。严格来讲，几乎所有的实际的物理系 统都是非线性的。线性只在一定的工作范围内成立
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(t ) ( La D Ra J )
d 2 (t ) dt 2
d o (t ) ( Ra D K T K e ) K T ei (t ) dt
为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。 当电枢电感较小时，通常可忽略不计，
系统微分方程可简化为
d o (t ) d 2 (t ) Ra J ( Ra D K T K e ) K T ei (t ) dt dt
个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交
换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系 统的结构及其参数，与系统的输入无关。
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2.2 数学模型的线性化
线性系统与非线性系统
线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数 是时间t的函数，则为线性时变系统； –线性是指系统满足叠加原理，即： 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 齐次性： f ( x) f ( x)
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1、为什么要建立系统的数学模型？
数学模型是进行控制系统分析和综合设计的基础
机械运动 人口控制 电网络
系统状态（物理量）随 着时间的推移而变化。
经济管理
运动
机电系统
生物医学
化学工程
热工工程
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2、什么是系统（元件）的数学模型？
• 数学模型：描述系统（或元件）的动态特性的数学 表达式。
控制理论的研究对象：动态系统
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第二章 控制系统的动态数学模型 经典控制理论采用的数学模型主要以 传递函数(Transfer Function，tf)为基 础。而现代控制理论采用的数学模型主要 以状态空间方程(State Space,ss)为基础。 而以物理定律及实验规律为依据的微分方 程又是最基本的数学模型，是列写传递函 数和状态空间方程的基础。

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2.1.3 电动机
ei (t )
Ra
La
em
o (t )
D
T
电动机是机电 系统中最常用 最重要的执行 元件
ia
J
if
常数
图 2－ 5 电 枢 控 制 式 直 流 电 动 机
ei (t ) ：电机电枢输入电压
0 (t ) ：电机输出转角
Ra ：电枢绕组电阻 La ：电枢绕组电感 ia (t ) ：流过电机绕组的电流 em (t ) ：电机感应反电动势 T (t ) ：电机转矩 J ：电机及负载折合到电机轴上的转动惯量


b0 xi
( m)(t Βιβλιοθήκη b1 xi( m 1)
其中：xo (t ) 为输出变量，xi (t ) 为输入变量 由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源 能量的限制，故：
m《 n
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2.1 基本环节数学模型
小结：
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，
从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具
输入（已知） 黑匣子
输出（已知）
注意：数学模型应能反映系统内在的本质特征， 同时应对模型的简洁性和精确性进行 折衷考虑。
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2.1 基本环节数学模型 分析法建立系统数学模型的步骤：
1.建立物理模型。
2.列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定 律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。 3.选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在 建立状态空间模型时要求），消去中间变量，建 立适当的输入输出模型或状态空间模型。

其中：M为受控质量；k为弹性刚度；D为粘性阻尼系 数； y0 (t ) 为输出位移。
简单质量–弹簧–阻尼系统的数学模型就是如 上式的二阶微分方程。
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2.1.2 电路网络
电路网络三个基本元件：电阻、电容和电感。
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2.1.2 电路网络
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2.1.2 电路网络
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2.1.2 电路网络
图2－3 的无源电路 网络，根据基尔霍夫定律 和欧姆定律，有：
ui (t ) uo (t ) d [u1 (t ) uo (t )] uo (t ) C R1 dt R2
经过整理，可得其数学模型为：
R1 R2 R1C u o (t ) uo (t ) R1Cui (t ) ui (t ) R2

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2.1.2 电路网络
u 图2－4的有源电路网络系统， i (t )为输入电压；
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2.1.1 质量–弹簧–阻尼系统
y0 (t )
k M
f i (t )
D 图 2－ 2 组 合 机 床 动 力 滑 台 及 其 力 学 模 型
机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中， 有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性小、柔度较 大。在集中参数法中，将前一类构件的弹性忽略将之视为质量 块，而把后一类构件的惯性忽略将之视为无质量弹簧。这样受 控对象的机械系统可抽象为质量–弹簧–阻尼系统。
建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统、电路网 络和电机）的数学模型及模型的线性化。 重要的分析工具：拉氏变换及反变换 经典控制理论的数学基础：传递函数 控制系统的图形表示：方块图及信号流图 建立实际机电系统的传递函数及方块图
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2.1 基本环节数学模型
对于给定的动态系统，数学模型表达不唯一。 工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函 数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价 的。
D ：电机及负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数
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2.1.3 电动机
根据基尔霍夫定律，电机电枢回路：
ei (t ) Ra ia (t ) La dia (t ) em (t ) dt
根据磁场对载流线圈的作用定律
T (t ) KT ia (t )
K T ：电机力矩常数
d o (t ) em (t ) K e dt
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2.1 基本环节数学模型 对于较复杂系统，列写微分方程的一般步骤：
1.分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系 统和各元件的输入、输出量；
2.从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变
量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动 态微分方程； 3.消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变 量之间关系的微分方程；
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第二章 控制系统的动态数学模型 数学模型的形式
时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方 程、状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性
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第二章 控制系统的动态数学模型
经典控制理论
微分方程
传递函数
频率特性函数
方框图和信号流图
时域
现代控制理论
频域
状态方程
传递函数矩阵
频率特性阵
方框图和信号流图
时域
频域
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第二章 控制系统的动态数学模型
主 要 内 容
• • • • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 基本环节数学模型 数学模型的线性化 拉氏变换及反变换 传递函数以及典型环节的传递函数 系统函数方块图及其简化 系统信号流图及梅逊公式
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第二章 控制系统的动态数学模型
重点掌握：
非线性系统理论还不完善。另外，由于叠加原理 不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来很大 不便。故在合理的条件下，对非线性系统进行线性 化处理，用线性系统理论进行分析。
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2.2 数学模型的线性化
线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工 作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程 进行处理。这种处理方法称为“小信号理论”或 “小偏差理论”。 应用的前提条件是： –控制系统有一个额定工作状态，称为预定工作 点。 –输出偏离预定工作点的偏差量很小。 • 具体方法： –将非线性函数在预定工作点邻域内进行泰勒展 开，忽略二阶以上的展开项。
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2.2 数学模型的线性化
非线性元件微分方程线性化的一般方法
在一定条件下作某种近似或缩小系统工作 范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进 行处理。这种处理方法称为“小信号理论”或“ 小偏差理论”。
应用的前提条件： –控制系统有一个额定工作状态，称为预定工作点 –输出偏离预定工作点的偏差量很小。
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2.2 数学模型的线性化
具体方法（泰勒级数展开法）
将非线性函数在预定工作点邻域内进行泰勒 展开，忽略二阶以上的展开项。
y
y=f(x)
一个变量的非线性函数 y=f(x)，在平衡点（x0,y0） 处连续可微，则可将它在该 点附近用泰勒级数展开：
'
y0
x
0
x0
1 '' y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2 2!
4.标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排。
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2.1 基本环节数学模型
单输入、单输出系统的微分方程表示的数学模型的 一般形式：