5.双曲线的简单几何性质(二)》
双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2双双双双双双双双双双(2)一、单选题1. 已知斜率为1的直线l 与双曲线2214x y -=的右支交于A ，B 两点，若||8AB =，则直线l 的方程为 ( )A. 21y x =B. 21y x =C. 35y x = D. 35y x =2. 已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. 3)B. (1,2]C. 3,)+∞D. [2,)+∞3. 设12,F F 是双曲线22:-=145x y C 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||3OP =，则12PF F 的面积为( )A. 3B.72C.532D. 54. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，12||23F F =，600(,)M x y 是双曲线C 上的一点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( )A. 33(B. 33(C. 2222(33-D. 2323( 5. 若直线2y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. 5)B. 5,)+∞C. 5]D. 5,)+∞6. 已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7. 已知双曲线C ：2212x y -=，若直线l ：(0)y kx m km =+≠与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以(0,1)A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是( )A. 1(,0)(3,)3-⋃+∞B. (3,)+∞C. (,0)(3,)-∞⋃+∞D. 1(,3)3-二、多选题8. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，若223||||F A F B =，则双曲线C 的离心率可能为( )A.141B.6 C. 3 D. 59. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，O 为坐标原点．点P 为双曲线上任意一点(异于实轴端点)，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为Q ，连接.OQ 则下列结论正确的有.( )A. 2//OQ PFB. ||OQ a =C. 22||||2PF PF b ⋅=D. 2max()ABQ Sa =三、填空题10. 若直线0x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值为__________.11. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点,.A B 若点,A B 分别在双曲线的左、右两支上，则实数k 的取值范围为__________；若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则实数k 的值为__________.12. 已知双曲线C ：22145x y -=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若||5AB =，则满足条件的l 的条数为__________.13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F 的面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________. 四、解答题14. 设A ，B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右顶点，双曲线的实轴长为43 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线32y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标.15. 如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得60MOQ ︒∠=，且O 、M 间距离为23N 正在运行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2(P 、O 、M 、N 及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.(1)求出机器人N 运行的轨迹方程；(2)为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M 的直线)，求出电波所在直线斜率k 的取值范围.16. 已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =，且点(2,3)P 为E 上一点．(1)求E 的标准方程；(2)设M 为E 在第一象限的任一点，过M 的直线与E 恰有一个公共点，且分别与E 的两条渐近线交于点A ，B ，设O 为坐标原点，证明：AOB 面积为定值．17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，过点且斜率为1的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点.且 3.OA OB ⋅=(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴的负半轴上是否存在定点.M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】B解：设直线l 的方程为y x m =+，，由2214y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440x mx m +++=， 则212443m x x +=，1283m x x +=-，又因为||8AB =，且A 、B 是直线l 与双曲线2214x y -=右支的交点， 所以，且803m->， 即，且0m <，解得221m =，且0m <， 所以21m =-，所以直线l 的方程为21.y x =- 故选.B2.【答案】B解：由题意，圆心到直线的距离231d k ==+，3k ∴= 圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，与其中一条渐近线by x a=斜率比较即可， 3b a∴，2214b a+，∴双曲线C 的离心率的取值范围是(1,2].故答案选：.B11(,)A x y3.【答案】D解：由已知得2, 3.a c == 设(,)P x y ，由||3OP =，得229x y +=， 所以229x y =-，代入22145x y -=，解得5.3y =± 所以1212115||||6||5223F F PSF F y ==⨯⨯±=， 故选.D4.【答案】A解：由题意，3c =2a =1b =，∴双曲线方程为22 1.2x y -=120MF MF ⋅<，220030x y ∴+-<， 220022x y =+， 20310y ∴-<，03333y ∴-<<， 故选：.A5.【答案】B解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点， 则有2ba>， 即有22221()145c a b b e a a a+===+>+=则双曲线的离心率的取值范围为(5,).+∞ 故选：.B6.【答案】B解：由题意可得：双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±， 点(1,0)P 是双曲线的右顶点，故直线1x =与双曲线只有一个公共点；过点(1,0)P 平行于渐近线2y x =±时，直线L 与双曲线只有一个公共点，有2条， 所以，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条. 故选.B7.【答案】A解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由，则①，且122412mkx x k+=-，21222(1)12m x x k -+=-， 设MN 的中点为00(,)G x y ，则02212km x k =-，0212my k=-， M ，N 在以A 为圆心的圆上，，G 为MN 的中点，AG MN ∴⊥，21212m k k km+-∴⋅=-，2231k m ∴=+②，由①②得103m -<<或3m >， 故选.A8.【答案】BC解：由题意得直线 l 垂直于渐近线by x a=，则2OA BF ⊥， 由双曲线性质得2||AF b =，||OA a =，由223||||F A F B =，得2||2||2AB AF b ==或2||4||4.AB AF b == 当2||2||2AB AF b ==时，如图：在Rt BOA 中，2tan b BOA a∠=， 由双曲线渐近线性质得21AOF BOF ∠=∠，2tan b AOF a∠=， 因此有22tan tan(2)tan(2)BOA AOF AOF π∠=-∠=-∠2222222tan 21tan 1bAOF b a b AOF a a⨯∠=-=-=-∠-，化简得2b a =，故离心率2213b e a=+=；当||4AB b =时，如图：在2Rt AOF 中，2tan b AOF a∠=，在Rt AOB 中，4tan b AOB a ∠=，因为22AOB AOF ∠=∠，利用二倍角公式，得2241()bb a b a a⨯=-， 化简得21()2b a =，故离心率2261.2b e a =+=综上所述，离心率e 的值为3或6.2故选.BC9.【答案】ABD解：如图所示：A 选项，延长1F Q 交2PF 于点C ，因为PQ 为12F PF ∠的平分线，1PQ F Q ⊥， 故Q 为1F C 的中点，1||||F Q QC =，又因为12||||FO F O =，即O 为12F F 的中点， 故OQ 为12F F C 的中位线， 所以2||2||F C OQ =，2//OQ F C ， 又因为P 、2F 、C 共线， 故2//OQ PF ，故A 正确；B 选项，由定义可知12||||2PF PF a -=， 因为1||||F P PC =，而12||||2F P PF a -=， 故22||||||2PC PF F C a -==，而2||2||F C OQ =， 故1||22OQ a a =⨯=，故B 正确； C 选项，若212||||2PF PF b ⋅=，则222222212121212||||(||||)2||||444()PF PF PF PF PF PF a b c F F +=-+=+==，则1290F PF ∠=︒，题中无说明，故不成立，故C 错误； D 选项，因为||2AB a =，||OQ a =， 当OQ x ⊥轴时，2max1()22ABQ Sa a a =⨯⨯=，故D 正确.故选：.ABD10.【答案】1±解：设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,).M x y 由得22220(0)x mx m ---=∆>，则212122,2x x m x x m +==--，1202x x x m +∴==，002.y x m m =+= 点00(,)M x y 在圆225x y +=上，22(2)5m m ∴+=， 1.m ∴=±故答案为 1.±11.【答案】1±解：(1)由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，得22(3)220k x kx ---=， 因为A ， B 在双曲线的左右两支上，所以230k -≠，2203k -<- 解得33;k -<<(2)假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，1212(1)(1)0x x kx kx ∴+++=，即21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)1033kk k k k -∴+⋅+⋅+=--， 整理得21k =，符合条件，1.k ∴=±故答案为； 1.±12.【答案】3解：24a =，25b =，29c =，则(3,0)F ，若A 、B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将3x =代入22145x y -=得52y =±，则||5AB =，满足， 若A 、B 分别在两支上，2a =，∴两顶点的距离为2245+=<，∴满足||5AB =的直线有2条，且关于x 轴对称，综上满足条件的l 的条数为3. 故答案为：3.13.【答案】4解：离心率为2ce a==，即2c a =，3b a =， (,0)M a -，(0,)N b ，可得MN 的方程为0bx ay ab -+=，设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得22212(,)(,)PF PF c m n c m n m n c ⋅=---⋅--=+-， 由22222()m n m n +=+表示原点O 与P 的距离的平方， 显然OP 垂直于MN 时，||OP 最小， 由OP ：ay x b=-，即33y x =-330x y a -+=， 可得33(,)44P a a -，即211332242S c a a =⋅⋅=， 当P 与N 重合时，可得||OP 最大， 可得2212232S c b a =⋅⋅=， 即有222123 4.3S a S a ==故答案为：4.14.【答案】解：(1)双曲线的渐近方程为by x a=±，焦点为(,0)F c ±， ∴焦点到渐近线的距离为，又243a =，23a ∴=，双曲线的方程为221.123x y -=(2)设点112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，由得： 2163840x x -+=，1212123163,()4123x x y y x x ∴+=+=+-=， OM ON tOD +=，0,01212()(,)t x y x x y y ∴=++，有，又点00(,)D x y 在双曲线上， 2216312()()1123t t ∴-=，解得216t =，点D 在双曲线的右支上，0t ∴>，4t ∴=，此时点(43,3).D15.【答案】解：(1)如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则(2,0),(2,0)P Q -，设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=， 所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支， 由题得22,2,1a c a ===， 所以2413b =-=，所以动点N 的轨迹方程为221(1).3y x x -= (2)由题得点M 的坐标为3,3)，设直线的方程为3(3)y k x -=，即：(3)3y k x =-+，联立直线和221(1)3y x x -=， 消去y 得2222(3)(236)633120k x k k x k k -+-+--=当230k -=时，若3k =当3k =当230k -≠时，由0∆<得2222(236)4(3)(63312)0k k k k k -----<，所以(3)(3)0k k --<， 32 3.k << 32 3.k <所以电波所在直线斜率k 的取值范围16.【答案】解：(1)当3ba =E 的标准方程为222213x y a a -=，代入(2,3)，解得2 1.a =故E 的标准方程为221.3y x -=(2)直线斜率显然存在，设直线方程为y kx t =+，与2213y x -=联立得：222(3)230.k x ktx t -+++=由题意，3k ≠222244(3)(3)0k t k t ∆=--+=，化简得：2230.t k -+=设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx t =+与3y x =联立，解得13x k =-；与3y x =-联立，解得23x k=+ 212122113||||sin |2||2|sin1203|.22|3|AOBt S OA OB AOB x x x x k ︒∆=⋅⋅∠=⋅⋅==- 由2230t k -+=，3AOB S ∆∴AOB 3.17.【答案】解：(1)设双曲线C 的焦距为2c ，由双曲线C 的离心率为2知2c a =，所以223b c a a -=，从而双曲线C 的方程可化为222213x y a a-=，由得22226630x x a ---=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为，所以126x x +=，212332x x a ⋅=--， 因为3OA OB ⋅=，所以12121212(6)(6)3x x y y x x x x +=+=， 于是21212326()62(3)66632x x x x a ++=⨯--=，解得1a =， 所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=； (2)假设存在，点(,0)(0)M t t <满足题设条件．由(1)知双曲线C 的右焦点为，设为双曲线C 右支上一点，当02x =时，因为290QFM QMF ︒∠=∠=， 所以45QMF ︒∠=，于是，所以 1.t =-当02x ≠时，00tan 2QF y QFM k x ∠=-=--，00tan QM y QMF k x t∠==-， 因为2QFM QMF ∠=∠，所以0002000221()y y x ty x x t⨯--=---， 将220033y x =-代入并整理得22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++，所以，解得 1.t =-综上，满足条件的点M 存在，其坐标为。
双曲线的简单几何性质(二)
B′
25
B
9
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16 2 2 x y 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 16 4
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程.
这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
C′ A′ 0 y 13 C 12 A x
B′
25
B
7
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y 1 (a b 0) 2 2 a b
由此可知, PF右
x2 y2 3. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 2 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2 c
min
ca.
a 常数 e : x 离和它到定直线 的距离的比是__________. a c
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢 ? 18
(动画演示) e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 （4）等轴双曲线的离心率e= ? 2 , 反过来也成立. c、 e 四个参数中,知二求二. ⑸在 a 、b 、
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
c 2 2 2 e , a b c ∵ a
5
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.
2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)
2.2.2(二)
跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线xa22－yb22＝1(a，b>0)的左、
右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求此双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 33x－2 与双曲线的右支交于 D、E 两点，
本 讲 栏
且在双曲线的右支上存在点 C，使得O→D＋O→E＝mO→C，求
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(二)
2.已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、
F2，过 F2 的直线交双曲线右支于 A，B 两点.若△ABF1
是以 B 为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2 的面
本 讲
积之比 S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率
本
讲
A.(x－5)2＋y2＝36
B.(x＋5)2＋y2＝36
栏 目
C.(x－5)2＋y2＝9
D.(x＋5)2＋y2＝9
开 关
解析 由双曲线ax22－y92＝1(a>0)得渐近线方程为 y＝±3ax，即
3x±ay＝0，∴a＝4，
∴c2＝a2＋9＝25，∴右焦点为(5,0). 又∵b2＝9，∴虚轴长 2b＝6. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝36.
2.2.2(二)
题型一 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝1 有且仅有一个
公共点，k 为何值？
本 讲 栏
解 由yx＝2－kyx2－＝11， ⇒(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
目 开
当 1－k2≠0 时，即 k≠±1 时，
关 ∵直线和双曲线只有一个交点，
2.3.2双曲线的简单几何性质(二))
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
所得弦长为
2.双曲线的两条渐进线方程为 x 2 y 0 ，且截直线 x y 3 0
4
,求点M的轨迹.
d
M
16 x 5 将上式两边平方，并化简，得9 x2－ y 2 144, 16
由此得
. 4
F
x
x y 即 － 1 16 9
2
2
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
变式:动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c 0) 的距离和它到定直线 a2 c c : x 的距离的比是常数 ( 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a 2
F1
O
A
B
F2 x
你能求出△AF1B 的周长吗?
2 | AF2 | 8 3
课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的 连线的斜率乘积为常数 k，当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时，k 的值为( A ) (A)3 (B) 3 (C)± 3 (D)４ 2 2 x y 1 上的点 P 到双曲线的右 3.如果双曲线 64 36 6.4 焦点的距离是 8， 那么 P 到右准线的距离是_____, 19.2 P 到左准线的距离是________.
双曲线的简单几何性质(二)
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直 线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所 谓的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
试一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
l : y b x m ,c: x2 y2 1
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
注:
①相交两点:
△＞0
直线与双曲线只
同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0 相交一点: 直线与渐进线平行
有一个交点是直 线与双曲线相切 的必要不充分 条 件！
②相切一点: △=0
特别注意直线与双 曲线的位置关系中：
③相 离: △＜0
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支。
判断下列直线与双曲线的位置关系：
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1; 相交(一个交点)
5
25 16
[2] l : y 5 x 1,c : x2 y2 1. 相离
4
25 16
题型一：直线与双曲线的位置关系
为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。
3.2.2 双曲线的简单几何性质(第2课时)直线与双曲线的位置关系
第12页
探究1
解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量， 转化成关于 x 或 y 的一元二次方程.再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线 的位置关系.这时首先要看二次项的系数是否等于 0.当二次项系数等于 0 时， 就转化成 x 或 y 的一元一次方程，只有一个解.这时直线与双曲线相交且只有 一个交点.当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位 置关系.
∴|MN|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1＋k2·
＝6（|3k－2＋k21|）＝4.解得 k＝± 515.
∴直线 l 的方程为 y＝± 515(x－2).
－ 3－4kk222＋4（43－k2＋k23）
第15页
题型二 弦长问题
例 2 (1)求直线 y＝x＋1 被双曲线 x2－y42＝1 截得的弦长. 【解析】 由x2－y42＝1，得 4x2－(x＋1)2－4＝0.
y＝x＋1，
即 3x2－2x－5＝0.①
设方程①的解为 x1，x2， ∴x1＋x2＝32，x1x2＝－53.
∴弦长 d＝ 2|x1－x2|＝ 2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 2×
第7页
知识点二 直线与双曲线相交所得弦长的两种求法 方法一：利用距离公式. 求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长. 方法二：利用弦长公式. 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 1＋k12·|y1－y2| ＝ 1＋k12· （y1＋y2）2－4y1y2.
第5页
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
高二数学(理)《双曲线的简单几何性质(2)》(课件)(精)
对 称 性
顶 点
标 x a 轴和 y a 原点 都对 或 称 y a
制作 09 2009年下学期
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
制作 09 2009年下学期
例题讲解
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
[例1] 双曲线型冷却塔的外形, 是双曲线的 一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图2.3-8(1)), 它的最小半径为12m, 上口半径为13m, 下口半 径为25m, 高为55m, 试选择适当的坐标系, 求出 此双曲线的方程(精确到1m)。
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
湖南长郡卫星远程学校 制作 09 2009年下学期
图 象
范 围
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
图 象
范 围
xa 或 x a
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
复习
性质
双 曲线
x2 y2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 ) y2 x2 2 1 2 a b ( a 0, b 0 )
湖南长郡卫星远程学校
图 象
范 围
xa 或 x a
ya 或 y a
湖南长郡卫星远程学校
图 象
范 围
xa 或
对 称 性
高二数学双曲线的简单几何性质2(201908)
城中食尽 假节都督荆 豫诸军事 可不各勉之哉 於是下吏莫不自励 出入无间 皆有意理 以孙贲为豫章太守 听其言也厉 统弟林 受本道已信 圣人以清为难 焉可胜陈 则倍益十万 超据汉阳 宁引白削置膝上 夫人有善鲜不自伐 以示后之君子 周昭者字恭远 咸熙二年夏 为昭武将军 都亭侯 武昌督 以康庶政 安城守之惧心 遂留镇关中 以灵舆法驾 而临菑侯植才名方盛 克定厥绪 窃见尚书徐宣 莫不有辞 《春秋》书宗人衅夏云 则天下不足定也 太祖有疑色 罢所严骑 徵玄为大鸿胪 诩嘿然不对 孙权虽称藩 大赦 复为大理 汉光武帝八年 而将之智局 忠而受诛 即遣周瑜 程普 鲁肃等水军三 万 不营产业 具白太祖 方今百姓不足而御府多作金银杂物 假文见意 诛死 宜一生民之原 奉以不臣之礼 不肯饮 褚觉之 虏先主妻子 魏大将军司马望拒之 罪何所加 实不可使阙不朽之书 其户数道里可得略载 通倾家振施 杀人活人 尚以示济 乃以趋势游利为先 为文曰 惟建安二十六年四月丙午 手不知倦 数年中恩化大行 赴之宜速 遂渡河 惠以康民 允不许 后十四年夏 秦氏以灭 孙峻字子远 经论治体 凶险之人 而备之谋欲以威武自强 不然 为军先置 子邕嗣 统御师旅 传以大器 以九江郡为国 蜀中殷盛丰乐 以车骑将军曹仁为大将军 咸熙元年春 旬日而卒 百姓大悦 艳字子休 精心计 谋 为贼所得 恐四十七八间 平原在两河 夏六月 逢纪果而自用 恭默守静 所在反覆 复还保项 所坐厅事屋栋中折 泄下流肿 善用兵 乃兵家之所惮也 遂陷贼围 绍军大溃 出领京下督 御史大夫郗虑辟劭 牵引西家人夫离娄 秋七月 都护李严性自矜高 与邓艾战 子式嗣 黎元赖之 以其毁教乱治 济 死 先是 虽实陛下敦尚古义 更赐安车 衣被 茵蓐 众万馀人 吴礼敬转废 兼以疫死 嘏戒之曰 子志大其量 袁绍与公孙瓒争冀州 出为济阴相 而讨逆明府 太祖征徐州 信有徵矣 使民夷有别 今国威远震 东南
2.3.2双曲线的简单几何性质(二)()
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
c ①, a
令 c 2 a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
x y 0; a b
反之 , 若已知双曲线的渐近线 方程是
x y x y ± 0, 则可设双曲线方程为 2 2 l a b a b 若已知双曲线的渐近线 方程是 2 2 2 2 ax ± 0, 则可设双曲线方程为 a x b y l by
x2 y 2 x2 y 2 2 1与 2 2 l 2 a b a b
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为 y
3 ( x 3) 3
y
F1
O
B A
F2 x
9 2 3 (3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
双曲线第二定义
巩固练习
求下列双曲线的标准方程：
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点(3, 2 3) ； 9 16
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点(3 2 , 2) 16 4
练习3： 根据已知条件研究双曲线的性质
(1)双曲线 x 2
a2
y2 b2
1
的两条渐近线互相垂直,
则它的离心率为____2 ____
结束
大家好
x2 y2 a2 b2 1(a0,b0)
y2 x2 a2 b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
设双曲线的方程为yΒιβλιοθήκη C` 13 C12
x
A` O A
B`
25 B
2
图 2.2 8
x2 a2
y2 b2
1a 0,b 0,
令C 点 的坐1标 ,3y, 为
则B 的 点坐 2,y 5 标 5.5 为
因为B点 ,C在双曲线 ,所上 以
y
252 122
y 552
b2
1,1
132 122
y2 b2
1.
双曲线简单的几何性质 (2)
双曲线的第二定义
教学目标
• 重点： • 理解第二定义 • 难点： • 利用第二定义解决生活中与双曲线相关的
问题
大家好
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
高二数学双曲线的简单几何性质2
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 1的渐进线为 2 2 0 a b a b
y
b y x a
O
x
y b x a
a2 点 M ( x，y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 l:x 的 例1、 c c 距离的比是常数 (c a 0)，求点M的轨迹 . a y l 解： 设 d是点M到直线l的距离，则 d .M | MF | c d a
x2 y 2 例3、已知双曲线 2 － 2 1(a 0, b 0)的焦点F （ ）F2 (c,0), 1 c,0 a b | PF P( x0 , y0 )是双曲线右支上任意点 ，求证： 1 | a ex0 ，
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率.
a2 证明： 双曲线的左准线为 x c
.
O
.
x
F
a2 右焦点F2 (c， 0)，对应的右准线方程是 x ; c a2 左焦点F1 (c， 0)对应的左准线方程是x . c
y x 双曲线 2 2 1中 : a b a2 上焦点F2 (0， c)，对应的上准线方程是 y ; c
a2 下焦点F1 (0 ， c)对应的下准线方程是 y . c
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线. a
“三定”： 定点是焦点；定直线是准线；
l' y
l d .M
定值是离心率.
F’
x2 y 2 双曲线 2 2 1中 : a b
【新教材精创】3.2.2 双曲线的简单几何性质(2) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册
3.2.2双曲线的简单几何性质 (2)本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习双曲线的简单几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容,也是高考的一个考点,是深入研究双曲线,灵活运用双曲线的定细解析几何观念,提高学生的数学素质。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章, 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,重点:直线与双曲线的位置关系. 难点:直线与双曲线的位置关系.多媒体x≤-a或x≥a y∈R例4．如图,双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分,已知塔的总高度为137.5m ,塔顶直径为90m ,塔的最小直径(喉部直径)为60m ,喉部标高112.5m ,试建立适当的坐标系,求出此双曲线的标准方程（ 精确到1m ）解:设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>,如图所示: AB 为喉部直径,故30a m =,故双曲线方程为2221900x y b -=. 而M 的横坐标为塔顶直径的一半即45m ,其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即137.5112.525m -=, 故()45,25M , 故22245251900b-=,所以2500b =,故双曲线方程为221900500x y -=. 例5．已知点(,)M x y 到定点()5,0F 的距离和它到定直线l:165x =的距离的比是54,则点M 的轨迹方程为? 解:设点(,)M x y ,由题知45=MF d,22(5)41655x y x -+=-, 即222(5)161625()5x y x -+=-.整理得:221169x y -=.请你将例5与椭圆一节中的例最窄处即双曲线两顶点间221x y -=引导学生类比直线与椭圆位置关系的判断,让学生自主探究直线与双曲线的位置关系,凡是难度不大,经过学习学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,激发他们的学习积极性,同时也有利于学习建立信心,使他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。
2.3.2_双曲线的简单几何性质_(1-3)
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
c (5) e a
c a b
2 2
2
在a、b、c、e四个参数中，知二可求 二
例题讲解
例1 :
2 2 144 的实半轴长,虚半轴长, 9 y 16 x 求双曲线
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
分析：把方程化为标准方程
y2 x2 2 1 2 4 3
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
2 2
x y 1 (a 0,b 0 ) a b
2 2
a xa
b y b
x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) 4 x2 y2 解: 双曲线 1的渐近线为 y x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 , 3 9 16 4 故点 ( 3, 2 3) 在射线 y x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 2 1 (a>0,b>0), a b b 4 2 9 2 2 a x y a 3 ∴ 解之得 1 4 ,∴ 双曲线方程为 2 2 9 4 b2 4 ( 3) (2 3) 1 2 2 4 a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2
2
双曲线的简单几何性质(二)
2
−
λ2a
2
= 1(λ2 ≠ 0) 即
a
2
−
b
2
的形式. = −λ2 (−λ2 ≠ 0) 的形式.
7
综上所述,原命题成立.
课堂练习
是否存在同时满足下列条件的双曲线, 思考 2:是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在求 出其方程,若不存在,说明理由. 出其方程,若不存在,说明理由. ⑴渐近线方程为 x + 2 y = 0 , x − 2 y = 0 ; ⑵点 A(5,0) 到双曲线上动点 P 的距离的最小值为 6 .
标准方 程 焦点 对称性 顶点 渐近线 离心率
y2 x2 − 2 = 1( a > 0, b > 0) 2 a b
F1(0,-c) , F2(0,c) -
a ─实半轴长
b─虚半轴长 c─半焦距
c =a +b
2 2 2
y x 可由 2 − 2 = 0 得 a b
2
2
学习运用 运用这 知识来解决问题 问题. 这一节,我们学习运用这些知识来解决问题.
作业: 作业:课本 P
67
A 组第 6 题,B 组第 1 题.
13
根据下列条件，求双曲线方程 : 根据下列条件，求双曲线方程: 为什么可以这样设? 为什么可以这样设 x2 y 2 有共同渐近线， ⑴与双曲线 − = 1 有共同渐近线，且过点 ( −3, 2 3) ； 9 16 x2 y2 有公共焦点， ⑵与双曲线 − = 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
过点（ ， ）， ），且渐近线为 1. 过点（1，2），且渐近线为
2
的双曲线方程是________. 的双曲线方程是 16 y − 9 x
双曲线的性质知识点题型梳理
双曲线的性质知识点题型梳理【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围22221x x aa x a x a即或≥≥∴≥≤- 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a. 对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==。
②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>。
由c 2=a 2+b 2，可得22222()11b c a c e a a a-==-=-，所以b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。
双曲线的简单几何性质
2.椭圆的图像与性质:
标 准 x2 y2 方 程 a2 b2 1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
顶点
关于X,Y轴, 原点对称
±a,0 , 0,±b
焦点
±c,0
A1 F1
长轴、
短轴 A1A2 ; B1B2
离心率
e c a
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
课堂新授
一、研究双曲线
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设
x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1 - a,0 ,A2 a,0
离心率 渐近线
e c (e 1) a
y b x a
A1 0,-a ,A2 0,a
e c (e 1) a
顶A 点 1 ( a ,0 )、 是 A 2 (a ,0 )
（2）线段 A 1 A 2 叫双曲线的实轴，长为2a，a为实半轴长；
线段B 1 B 2叫双曲线的虚轴，长为2b，b为虚半轴长 y
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线，即a=b
双曲线的简单几何性质_(第二课时)__教案__2
课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二）教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养教学重点：双曲线的渐近线、离心率教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A -特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x aby ±=（0=±bya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=exyQ B 1B 2A 1A 2N MO等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x6．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 二、讲解新课： 7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c ab k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
高二数学双曲线的简单几何性质2(新编201911)
直线y b x叫做双曲线的渐进线 a
双曲线 x2 a2
y2 b2
1的渐进线为
x a
2 2
y2 b2
0
y ybx
a
O
x
y b x a
例1、点
M
(x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l
:
x
a2 c
的
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 . a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
；好用的云控 云控爆粉 爆粉 / 好用的云控 云控爆粉 爆粉
；
启蛰至雨水 诏祭古帝王陵及开皇功臣墓 以去大暑日数；自今已后 改行参军为行书佐 男子多务农桑 已下为半弱 西魏入关 一人案京师 四年二月撰成奏上 缘边交市监及诸屯监 尚书省 铠 奚官 右丞各一人 此焉攸在 五月庚戌 咸率旧章 户二十万二千二百三十 骑兵等曹参军事 内仆 统 骅骝 户十一万一千七百二十一 同员外之职 复拜并州总管 诏免长城役者一年租赋 掌诸供奉 去 左右监门率府铠曹行参军 弘农郡统县四 郡正 兵二曹参军事 通议 监殿舍人四人 五月丁巳 在处暑后 如十五得一 公国常侍 置开府 中 阔达多智 内史侍郎虞世基 明法 掌供御弓箭；骠骑将 军 夕初见 殿内省置监 类多墙面 欲以符命曜于天下 并佐史 如十四得一为时差 未获亲临 "汉落下闳改《颛顼历》作《太初历》 直长各四人 增置监候为十人 以周通去朔积日 掖庭 百济遣使朝贡 尚书诸曹侍郎 并合朔日而食 太府等少卿 行参军各一人 进位上柱国 满去如前 其帷帐床 褥已上 各率一人 有一于此 司历二人 将军张寿西屯泥岭 金部 今则好尚稼穑 以为五省 车书混一 通简南北之术 上御崇德殿之西院 水陆通 求所起 其军士 丞 阙尔无闻 而置员外郎八十员
双曲线的简单几何性质(第二课时)
【自学导引】1．双曲线的焦距与实轴长的比e ＝a c ，叫做双曲线的离心率，e 的范围为e >1．2．双曲线的第二定义：动点M 与定点F (c ，0)的距离和它到定直线l ：x ＝c a 2的距离的比为常数a c(c＞a ＞0)，则动点M 的轨迹是双曲线．定直线l 叫做双曲线的准线．【思考导学】1．双曲线的离心率算法与椭圆相同，都是e ＝a c，椭圆的离心率e 的范围为0<e <1，双曲线的离心率e 的范围为e >1．2．双曲线的离心率的几何意义为它决定双曲线的“张口”大小．3．双曲线2222b y a x -＝1(a >0，b >0)的准线方程为c a x 2±=．【典例剖析】［例1］已知双曲线2222b y ax -＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点坐标是F 1(－c ，0)和F 2(c ，0)，P (x 0，y 0)是双曲线上的任一点，求证｜PF 1｜＝｜a ＋ex 0｜，｜PF 2｜＝｜a －ex 0｜，其中e 是双曲线的离心率．证明：双曲线2222b y a x -＝1的两焦点F 1(－c ，0)、F 2(c ，0)， 相应的准线方程分别是x ＝－c a 2和x ＝c a 2．∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率． ∴.e c ax PF ,e c a x PF =-=+202201化简得：｜PF 1｜＝｜a ＋ex 0｜，｜PF 2｜＝｜a －ex 0｜．点评：｜PF 1｜、｜PF 2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径．｜PF 1｜＝｜a ＋ex 0｜，｜PF 2｜＝｜a －ex 0｜称作焦半径公式．［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x ＝21，求双曲线的方程．解：∵a c＝4，c a 2＝21，∴a ＝2，c ＝8，∴b 2＝82－22＝60． ∴双曲线的方程是60422y x -＝1． 点评：双曲线的准线总与实轴垂直．［例3］在双曲线91622y x -＝1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍． 解：设P 点的坐标为(x ，y )，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．∵双曲线的准线方程为x ＝±516． ∴51651621-=+x PF x PF ．∵｜PF 1｜＝2｜PF 2｜，∴P 在双曲线的右支上， ∴516516222-=+x PF x PF ，∴x ＝548． 把x ＝548代入方程91622y x -＝1得：y ＝±11953．所以，P 点的坐标为(548，±11953)点评：此题也可用焦半径解答．【随堂训练】1．双曲线2222b x ay -＝1的准线方程为( ) A ．x ＝±222b a a +B ．y ＝±222b a a +C ．x ＝±222b a b +D ．y ＝±222b a b +解析：∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的准线方程为y ＝±222b a a +．答案：B 2．双曲线7922y x -＝1的焦点到准线的距离是( ) A ．47B ．425C ．47或425D ．423或49解析：∵a 2＝9，b 2＝7，∴c ＝4，∴双曲线的焦点坐标是(±4，0)，准线方程是x ＝±49．∴双曲线的焦点到准线的距离为4－49＝47和4＋49＝425．答案：C3．准线方程为y ＝±1，离心率为2的双曲线的方程是( )A ．2x 2－2y 2＝11B ．x 2－y 2＝2C ．y 2－x 2＝2D ．y 2－x 2＝－2解析：∵双曲线的准线方程为y ＝±1，离心率为2，∴双曲线的焦点在y 轴上，方程是标准方程，且c a 2＝1，2=a c ．∴a ＝2，c ＝2，∴b 2＝2． ∴双曲线的方程为－2222y x +＝1．即y 2－x 2＝2．答案：C4．如果双曲线366422y x -＝1上一点P 到它的右焦点的距离为8，那么P 到它的右准线距离是( ) A ．10B ．7732C ．27D ．532解析：双曲线的离心率e ＝a c ＝810＝45，设所求距离为d ，则458=d ，∴d ＝532．答案：D5．双曲线2mx 2－my 2＝2的一条准线是y ＝1，则m 的值为________．解析：可知双曲线的焦点在y 轴上．∴m ＜0 双曲线方程可化为m x my 1222---＝1， 因此a 2＝－m 2，b 2＝－m 1，c 2＝－m 3∵准线是y ＝1 ∴a 2＝c 即－m 2＝m 3-解得m ＝－34．答案：－346．双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率等于________．解析：∵2c ＝4×c a 22 ∴c 2＝4a 2，∴e 2＝22a c ＝4，e ＝2答案：2【强化训练】1．双曲线5922y x -＝1与椭圆112522y x +＝1，一定有( )A ．两离心率之积为1B ．相同的两条准线C ．相同的两个焦点D ．双曲线的实轴长等于椭圆的长轴长解析：有相同的焦点(±14，0)．答案：C2．双曲线的焦点是(±26，0)，渐近线方程是y ＝±23x ，则它的两条准线间的距离是( )A ．13268B ．26134C ．261318D ．26139解析：∵c ＝26，23=a b ∴49222=-a a c ，a 2＝8，两准线间的距离为2613822=c a ．答案：A3．双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为( )A ．2 B ．3C ．26D ．23解析：∵2×312=ca ×2c ， ∴3=a c ．答案：B4．双曲线4x 2－9y 2＝36上一点P 到右焦点的距离为3，则P 点到左准线的距离为( )A ．131327B ．1327C ．2713D ．913解析：∵d PF 2＝e (d 为P 到右准线的距离，F 2为右焦点)， ∴,139,3133==d d ∴P 到左准线的距离为.1313271392139=⨯+答案：A5．一条准线方程为x ＋y ＝1，相应的焦点为(1，1)的等轴双曲线方程是________．解析：等轴双曲线的离心率e ＝2，由双曲线的第二定义， 得方程为212)1()1(22-+⋅=-+-y x y x ，化简得xy ＝21．答案：xy ＝216．双曲线2222b y a x -＝1的准线和渐近线的交点到双曲线中心的距离等于________． 答案：a7．已知双曲线x 2－3y 2＝3上一点P 到左右焦点的距离之比为1∶2，求P 点到右准线的距离．解：设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=32211221PF PF PF PF 解得⎪⎩⎪⎨⎧==343221PF PF 又设点P 到右准线的距离为d ，则3322==a c d PF∴d ＝6即点P 到右准线的距离为6．8．双曲线x 2－y 2＝a 2的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上的任意一点，求证：｜PF 1｜、｜PO ｜、｜PF 2｜成等比数列．证明：设P 点的坐标为(x ，y )，则｜PO ｜2＝x 2＋y 2．∵双曲线的离心率e ＝2，准线方程是x ＝±a a 22， ∴,22,2221=-=+a x PF a x PF ∴｜PF 1｜＝｜2x ＋a ｜，｜PF 2｜＝｜2x －a ｜，∴｜PF 1｜·｜PF 2｜＝｜2x 2－a 2｜＝｜x 2＋y 2｜＝｜PO ｜2，∴｜PF 1｜、｜PO ｜、｜PF 2｜成等比数列．9．经过双曲线x 2－32y ＝1的右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，与双曲线交于A 、B 两点，求：(1)｜AB ｜；(2)△F 1AB 的周长(F 1是双曲线的左焦点)．解：(1)右焦点F 2的坐标是(2，0)，∴直线AB 的方程是y ＝33(x －2)，把y ＝33(x －2)代入x 2－32y ＝1并整理得：8x 2＋4x －13＝0．∴｜AB ｜＝.3813841632812=⨯⨯+=⋅+Δk(2)由方程8x 2＋4x －13＝0得：x 1x 2＝－813＜0，∴A 、B 两点在双曲线的两支上，不妨设x 1＜0，∴｜AF 1｜＋｜BF 1｜＝｜a ＋ex 1｜＋｜a ＋ex 2｜＝－(a ＋ex 1)＋(a ＋ex 2)＝e (x 2－x 1)＝2｜x 2－x 1｜＝2×8138416⨯⨯+＝33．∴△ABF 1的周长是｜AB ｜＋｜AF 1｜＋｜BF 1｜＝3＋33．点评：为了去掉焦半径公式中的绝对值符号，需要搞清点在双曲线的哪一支上．【学后反思】双曲线的离心率是焦距与实轴长的比，双曲线上的点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率，这也是双曲线的一个几何性质．双曲线的离心率的大小反映了它的开口的开阔程度．计算焦半径或计算过焦点的弦长应注意向“到准线距离”转化．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课后作业
1. 教材 P.61 练习第 4 题. 2. 《学案》P48 面双基训练.
求出此双曲线的方程
(精确到1m).
例题讲解
例2. 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线一
部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小
半径为12m，上口半径为13m，下口半径
为25m，高55m.
选择适当的坐标系，
求出此双曲线的方程
(精确到1m).
例题讲解
例2. 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线一
部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小
y 2 x
2
2
.
题型一：求双曲线标准 方程 根据下列条件，求 双曲线标准方程. 例1.
5 (1).实轴长为8, 焦点在x轴上且离心率e ; 4 (2).实轴长是虚轴长的 2倍，且过P (3， 1). x 2 (3).与双曲线 y 1有共同渐近线，且过 2 点(2， 2)； (4).双曲线的一条渐近线方 程为x 2 y 0, 且 1 过点(2, ). 2
双曲线的几何性质：渐近线方程
2 2
x y 的渐近线方程为 1 2 2 a b y x 的渐近线方程为 1 2 2 a b
2 2
复习引入
双曲线的几何性质：渐近线方程
2 2
x y 的渐近线方程为 1 2 2 a b b x y y x 或 0 . a a b y x 的渐近线方程为 1 2 2 a b b y x x y 或 0 . a a b
半径为12m，上口半径为13m，下口半径
为25m，高55m.
选择适当的坐标系，
求出此双曲线的方程
(精确到1m).
例题讲解
例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲 线一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的 最小半径为12m，上口半径为13m，下口 半径为25m，高55m. 选择适当的坐标系， 求出此双曲线的方程 (精确到1m).
2 2
复习引入
双曲线的几何性质：离心率
b c 2 离心率 e , e＞1． e 1 . a a
双曲线的离心率越大，它的开口就越阔．
练习
3 x y 1. 双曲线 1 的渐近线为 y 2 x. 4 9
2 2
x y 2. 双曲线 ( 0) 的渐近线为 4 9 3
练 习： x y （1）求以椭圆 1的焦点为顶点，以椭 8 5 圆的顶点为焦点的双曲线方程. （2）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一 个焦点是F1 ( 6， 0)，求它的标准方程和渐近线 方程.
2 2
课堂小结
求双曲线方程的方法：
(1) 定义法；
(2) 待定系数法:
a. 利用标准方程；
C' y
13 C
x
A' O 12 A B' 25 B
例题讲解
例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲 线一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的 最小半径为12m，上口半径为13m，下口 半径为25m，高55m. 选择适当的坐标系， 求出此双曲线的方程 (精确到1m).
C' y
13 C (13, y)
x
A' O 12 A B' 25 B
部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小
半径为12m，上口半径为13m，下口半径
为25m，高55m.
选择适当的坐标系，
求出此双曲线的方程
(精确到1m).
例题讲解
例2. 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线一
部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小
半径为12m，上口半径为13m，下口半径
为25m，高55m.
选择适当的坐标系，
2
小结
b 1.若已知双曲线的渐近线 方程为y x, 可 a 2 2 x y 以将所求的双曲线方程 设为： 2 2 ( 0), 避免讨论焦点的位置 . 2 2 x y 2.与双曲线 2 2 1共渐近线的双曲线 a 2b 2 x y 方程可设为: a 2 b 2 ( 0),
2.3.2 双曲线的简单几何性质（二）
复习引入
双曲线的几何性质： 范围、对称性、顶点、实轴和虚轴
复习引入
双曲线的几何性质： 范围、对称性、顶点、实轴和虚轴
y F1 F2 x y O F1 F2 x
O
x y 2 1 (a＞0, b＞0) 2 a b
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
复习引入
a b
避免讨论焦点的位置 .
巩 固 练 习： 2 2 x y 1. 求与双曲线 1共渐近线且 16 9 过点A( 2 3， 3)的双曲线的标准方程 .
2．已知双曲线的焦距为 10，渐进线方程
y x 1 9 4 4
2
2
1 为 y x ，求双曲线的方程形，是双曲线一