最新高考数学(理)第九章直线和圆的方程 9-2-2习题及答案

1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－5
3
或－
3
5
B．－
3
2
或－
2
3
C．－5
4
或－
4
5
D．－
4
3
或－
3
4
答案 D
解析圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3,2)，半径r＝1.如图，作出
点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得
|k－－2－2k－3|
1＋k2
＝1，即|5k＋5|＝1＋k2，整得12k2＋25k＋12＝0，即(3k
＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－4
3
或k＝－
3
4
.故选D.
2.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
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A．(1,3) B．(1,4)
C．(2,3) D．(2,4)
答案 D
解析当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以0<r<5；所以当直线l的斜率存在时，这样的直线l有2条即可．设A(x1，y1)，
B(x
2，y2)，M(x0，y0)，则
⎩
⎨
⎧x1＋x2＝2x0
y
1
＋y2＝2y0
.
又
⎩
⎨
⎧y21＝4x1
y2
2
＝4x2
，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，k AB＝
y
1
－y2
x
1
－x2
＝
4
y
1
＋y2
＝2
y 0.设圆心为C(5,0)，则k CM＝
y
x
－5
.因为直线l与圆相切，所以
2
y
·
y
x
－5
＝－1，
解得x0＝3，于是y20＝r2－4，r>2，又y20<4x0，即r2－4<12，所以0<r<4，又0<r<5，r>2，所以2<r<4，选D.
3．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 B．4 2
C．6 D．210
答案 C
解析由题意得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆C的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a －1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故选C.
4．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A.4π
5
B.
3π
4
C ．(6－25)π D.
5π4
答案 A
解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝
4
5
. ∴圆C 面积的最小值为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝4
5
π.故选A.
解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离
等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．
由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．
要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．
由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半．
因此，圆C 半径的最小值为r min ＝45
×12＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min
＝π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2552＝4π
5.
5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
答案 (x －1)2＋y 2＝2
解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.
6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.
答案 2
解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2
＝cos45°＝2
2，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.
7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．
答案
255
5
解析 圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝
|2＋
－－3|12＋22＝3
5
，所求弦长l ＝2r 2－d 2
＝2
4－95＝2555
. 8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B
两点，且△ABC 为等边三角形，则实a ＝________.
答案 4±15
解析 由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线
ax ＋y －2＝0的距离d ＝
|a ＋a －2|
1＋a
2
＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15. 9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，
B .
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(1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明由．
解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．
(2)由垂径定知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝
⎛
⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.
故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2
＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53＜x ≤3.
(3)联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5
3
，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －322
＋y 2
＝94，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝5
3，y ＝±253.
不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，
253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－
257，kPP 2＝25
7
. 当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
32k －4k k 2
＋1＝3
2，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－34，34∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－257，
257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。