2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 第五节 平面向量应用举例(第二课时)示范教案 新人教A版必修4

2019-2020年高中数学第二章平面向量第五节平面向量应用举例（第二课时）示范教案新人教A版必修4教学分析向量与物理学天然相联．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．用向量研究物理问题的相关知识．(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生位移的数量积．用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．(1)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(2)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．三维目标1．通过力的合成与分解的物理模型，速度的合成与分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识．2．通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力．体会数学在现实生活中的重要作用．养成善于发现生活中的数学，善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯．重点难点教学重点：1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法．教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(章头图引入)章头图中，道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系．章引言说明了向量的研究对象及研究方法．那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样，是一条解决物理问题的高速公路．在学生渴望了解的企盼中，教师展示物理模型，由此展开新课．思路 2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．由此自然地引入新课．应用示例例1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？活动：这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题．这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题．只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力)，就得到了问题的数学解释．图1在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响．由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证．用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．解：不妨设|F 1|＝|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道cos θ2＝12|G||F 1|⇒|F 1|＝|G |2cos θ2. 通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，θ2由0°到90°逐渐变大，cos θ2的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1，F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．点评：本例是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验．本例的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本例活动中所完成的事情．教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础．得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现.图2，实际风速为v .端，子弹击中砂箱后，陷入箱内，使砂箱摆至某一高度h .设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ，求子弹的速度v 的大小．图3解：设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度，由于水平方向上动量守恒，所以m |v |＝(M ＋m )|v 0|. ①由于机械能守恒，所以12(M ＋m )v 20＝(M ＋m )gh . ② 联立①②解得|v |＝M ＋m m2gh . 又因为m 相对于M 很小，所以|v |≈M m 2gh ， 即子弹的速度大小约为M m2gh . 知能训练1．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3小时，该船实际航程为( )A ．215 kmB ．6 kmC.84 km D ．8 km答案：B点评：由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理，所以要通过作高来求．2．如图4，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________ N ；若在图示坐标系中，用坐标表示合力F ，则F ＝________.图4 答案：41 (5,4)3．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．答案：如图5所示，设OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的速度，OC →表示船的实际速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 km/h.图5因为OACB 为矩形，所以|OA →|＝|AC →|·cot30°＝|OB →|·cot30°＝53≈8.66 km/h，|OC →|＝|OA →|cos30°＝5332＝10 km/h. 答：水流速度为8.66 km/h ，船的实际速度为10 km/h.点评：转化为数学模型，画出向量图，在直角三角形中解出．课堂小结1．与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤．①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．2．与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型．①力、速度、加速度、位移都是向量；②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；③)动量m v 是数乘向量，冲量Δt F 也是数乘向量；④功是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s .作业1．课本习题2.5 A 组3、4，B 组1、2.2．归纳总结物理学中哪些地方可用向量．设计感想1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．备课资料一、向量与重心问题假如有两个质点M 1，M 2，它们的质量分别是m 1，m 2，由物理学知识，这两个质点的重心M 在线段M 1M 2上，并且分此线段为与质量成反比例的两部分，即M 1M MM 2＝m 2m 1，或m 1M 1M →＝m 2MM 2→. 现设点M 1、M 2、M ，对应的向量分别是r 1、r 2、r ，则上式可以写成m 1(r －r 1)＝m 2(r 2－r )．所以r ＝m 1r 1＋m 2r 2m 1＋m 2，点M 处的质量为m 1＋m 2. 现求三个质点的重心问题．三个质点M 1、M 2、M 3的质量分别是m 1、m 2、m 3，所对应的向量分别是r 1、r 2、r 3，我们可设M 1，M 2的重心在点D 处，该处对应的向量为r D ＝m 1r 1＋m 2r 2m 1＋m 2，该点的质量为m 1＋m 2，然后求点D 与点M 3的重心M 所对应的向量r ，易得r ＝m 1r 1＋m 2r 2＋m 3r 3m 1＋m 2＋m 3. 二、备用习题1．作用于同一点的两个力F 1和F 2，|F 1|＝5，|F 2|＝3，夹角为60°，则F 1＋F 2的大小为________．答案：72．一条渔船距对岸为4 km ，现正以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km ，求河水的流速.答案：解：如图7所示，设AB →表示船垂直于对岸的速度，则AB →＋BC →＝AC →，图7知AC →就是渔船实际航行的速度．因为航行的时间为4÷2＝2(h)，所以在Rt△ABC 中，|A B →|＝2 km/h ，|AC →|＝8÷2＝4 km/h ，则|B C →|＝2 3 km/h.答：河水的流速为2 3 km/h.3．在半径为15 cm 的均匀铁板上，挖出一个圆洞，已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm ，圆洞的半径是5 cm ，求挖去圆洞后所剩下铁板的重心．答案：解：如图8所示，建立平面直角坐标系，两圆的圆心分别为O 1(0,0)，O 2(8,0)，圆O 2是挖去的圆，不妨设铁板的密度为ρ＝1，则小圆的质量m 1＝25π，挖去圆洞后，铁板的质量为m 2＝(225－25)π＝200π，设所求的重心为O 3.图8根据物理学知识，知O 3在直线O 1O 2上，即可设O 3(x 3,0)，且满足O 3O 1→＝λO 1O 2→，其中λ＝m 1m 2＝25200＝18.由定比分点坐标公式知0＝x 3＋18×81＋18，解得x 3＝－1， 即O 3(－1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心．4．如图6所示，重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板的压力最小，求木板与斜面间夹角θ的大小.图6答案：解：对小球的受力分析如图6所示，重力为G ，斜面弹力为N 2(垂直于斜面向上)，木板弹力N 1(垂直于木板)，其中N 1与N 2的合力的大小恒为|G′|，方向向上，N 2的方向始终不变，随着木板的转动，N 1的方向始终垂直于木板，N 1的大小在变化，且满足|N 1|sin α＝|G′|sin θ，又|G′|＝|G |，∴|N 1|＝|G |sin αsin θ.∴当sin θ取最大值1时，|N 1|min ＝|G |sin α，此时θ＝π2.2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 第四节 平面向量的数量积（第二课时）示范教案 新人教A 版必修4教学内容分析以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律．本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》(A 版)第二章、第4节第1课时．它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具．本节的知识结构：学生学习情况分析本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用．但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然．通过情境创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容．利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆．利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点．由向量的线性运算迁移，引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望．设计思想《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求．《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标．为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题、研究问题，并解决问题．重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观．教学目标通过师生互动、学生的自主探究：(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2)掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算；(3)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系；(4)通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想；通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯．教材重点和难点重点是平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用．难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用．教学过程情境1问题回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功W等于多少？图3设计意图以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念作铺垫．师生互动生：W＝|F||s|cosθ(其中θ是F和s的夹角)．师：功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量来确定？显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念．情境21．定义向量数量积．弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？2．如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？设计意图使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及几何意义．同时加深对投影的认识．师生互动1．仿照物理问题建构“数学模型”，引入“向量数量积”的概念：已知两个非零向量a与b，把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作：a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(其中θ是a与b的夹角)．|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．图42．规定：零向量与任何向量的数量积为0.3．(1)数量积运算结果的符号取决于a与b的夹角θ(θ∈[0，π])的大小；(2)两个向量的数量积是一个数量，它与两个向量的长度及其夹角有关；(3)符号a·b不能写成ab 或a×b的形式；(4)找向量的夹角时，应将两向量的起点平移到同一个点上．4．探究其性质：(1)a⊥b⇔a·b＝0(a与b都是非零向量)；设置情境：若a·b＝0，则向量a与b至少有一个是零向量．类比a，b∈R时，若ab＝0⇔a＝0或b＝0.而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用．(2)当向量a与b共线同向时，a·b＝|a||b|；当向量a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.特别地a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a·a＝a2(与二次根式性质：a2＝|a|进行类比)．这是求向量长度的又一重要方法．情境3由学生自主学习来完成书本例题1.设计意图通过计算巩固对数量积定义的理解，进一步引导学生对|a·b|和|a||b|的大小关系进行一般的研究比较．师生互动从例1容易得出性质|a·b|≤|a||b|和数量积的几何意义．情境4给学生2～3分钟时间，阅读教材，并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结．设计意图培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯．把课堂还给学生，体现师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学生服务的，都在同步配合学生的学习和探索．师生互动学生通过自主阅读、总结并发表自己的看法，老师可以有针对性的进行学习方法点拨，并指出对学习过程进行及时反思的重要性．情境5运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律．设计意图通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和研究问题的能力．师生互动1．回顾实数运算中有关乘法的运算律．类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究．已知向量a、b、c和实数λ，则(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．对向量数量积的运算律进一步研究．(1)a(b·c)＝(a·b)c成立吗？显然，等式左边与向量a共线，右边与向量c共线，而向量a与c不一定共线，因此结论不一定成立；(2)由a·b＝b·c能否推出a＝c？(反例：当a＝0，b⊥c时，有a·b＝b·c＝0.但不能得到c＝0)．结合实数a，b，c(b≠0)，有ab＝bc⇒a＝c进行类比，辨析．3．老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算具有不同的运算律，体会到数学的法则与法则之间的区别与联系．同时注意利用学生的错误这一重要资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识．情境6例2、例3、例4的教学．设计意图1．要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工．2．学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律带来的优越性．3．上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化．师生互动1．老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比．2．让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练，进一步体现向量的工具作用．情境7课后反思：让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法．设计意图让学生整理相关的学习内容，使得“知识系统性、技能熟练性”得到更加充分的体现，体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力．教学反思本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算．使得学习内容直观、生动，抓住重点．使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力．在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开．但自我感觉“讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出现的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导．。