实变函数与泛函分析52-54.docx
实变函数与泛函分析
开 G n ， 集 E 使 G n 且 m ( G 得 n E ) 1 n
令O
n 1
Gn
,则 O为 G型集， EO 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 , L
故m(OE)0
例： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的G 型集或 F 型集。
可测集可由 G 型集去掉一零集， 或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O 且 m (O E )0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
(2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使F 得 E且 m(EF)
(1)若 E可测 ， 则 0,开G 集 ， (2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使E 得 G且 m(GE) 使F 得 E且 m(EF)
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
0 , 开 G ， 集 E c 使 G 且 m ( G 得 E c )
令 O n 1 G n ， 则 O 为 G 型 集 ， E O 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 ,
故m(OE)0 从 而 E O (O E ) 为 可 测 集
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小
测度集的开集和闭集。E{r1,r2,r3,}
取F=G c，则F为闭集 FE
且 m (EF )m (E F c)
m (E (c)c F c)m (F cE c)m (G E c)
实变函数与泛函分析
Rieman积分的缺陷：
D (x ) = 1 0 x x 为 为 [ [ 0 0 , , 1 1 ] ] 中 中 无 有 理 理 数 数 时 时 不 可 积
n
(L)
[a,b]
f (x)dxlim
0 i1D(i )|来自Ii| 不存在
因为i全取有理数时极限为1
i全取无理数时极限为0
Rieman积分缺陷产生的根源：
n
(L) f(x)dxlim
[a,b]
0i1
imiE
5
实现新思路的攻关路线：
首要问题：如何规定不规那么集合
E i{x:yi 1f(x)yi}的长度？
〔第三章：测度论〕 遗憾：不能对所有集合规定测度
退而求其次：探索哪些函数满足
对 任 意 y i 1 , y i , E i { x : y i 1 f ( x ) y i } 皆 为 可 测 集
2.?实变函数与泛函?的特点〔二 〕
例题少、定理、定义、引理、推论多， 理论性强：
理论性强是由于实变函数与泛函分析的内容
构造所决定的，因它只做一件事：恰当的改造积
分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数
与泛函分析的绝大局部篇幅都是在作理论上的准
备，很少有应用、例题的原因。但从另一个角度
讲，实变函数论的习题几乎全是证明题，而定理、
引理、推论的证明本身就是一些典型的，带证明
示范性的例子。
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3.学习?实变函数与泛函?的方法〔三〕
由于?实变函数与泛函?高度抽象、理论性强，对于每 一个尚未证明的结论都应持慎重态度，不能简单类比后就盲 目成认和否认，必须严格论证或举出反例，否那么就有可能 出现例１、例２类似的错误。
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3.学习实变函数与泛函的方法〔二〕
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
实变函数与泛函分析5.2-5.4
wangwhzk@§5.2非负简单函数的勒贝格积分定义 设qE R ⊆为可测集，()x ϕ为E 上一个非负简单函数，即E 表示为有限个互不相交的可测集12,,...k E E E 之并，而在每个i E 上，()x ϕ取非负常值i c ，也就是说1()()iki E i x c x ϕχ==∑ , 这里()i E x χ是i E 上的特征函数.()x ϕ在E 上的勒贝格积分（简称L 积分）定义为1()kiiEi x dx c mE ϕ==∑⎰定理1 设qE R ⊆为可测集，()x ϕ为E 上一个非负简单函数.我们有 （i ） 对于任意的非负实数c,()()EEc x dx c x dx ϕϕ⋅=⎰⎰;（ii ）设A 和B 是E 的两个不相交的可测子集，则()()()A BABx dx x dx x dx ϕϕϕ=+⎰⎰⎰（iii ）设1{}n n A ∞=是E 的一列可测子集，满足①121n n A A A A +⊆⊆⊆⊆⊆,②n 1n A E ∞==则lim()()nA En x dx x dx ϕϕ→∞=⎰⎰定理2 设qE R ⊆为可测集，()x ϕ和()x ψ都是E 上的非负简单函数.则 （i ）()()(()())EEEx dx x dx x x dx ϕψϕψ+=+⎰⎰⎰;(ii)对于任意的非负实数αβ和，有()()(()())EEEx dx x dx x x dx αϕβψαϕβψ+=+⎰⎰⎰.§5.3非负可测函数的勒贝格积分定义 设qE R ⊆为可测集，()f x 是E 上一个非负可测函数， ()f x 在E 上的勒贝格积分定义为{}()sup():()0()()EEf x dx x dx x E x E x f x ϕϕϕ=∈≤≤⎰⎰是上的简单函数且时，. 显然0()Ef x dx ≤≤+∞⎰，如果()Ef x dx <+∞⎰，则称f(x)在E 上勒贝格可积.定理1 设qE R ⊆为可测集，()f x 为E 上一个非负可测函数.我们有 （i ） 若mE=0，则()0Ef x dx =⎰（ii ） 若()0Ef x dx =⎰，则f(x)=0 a.e.于E ；（iii ） 若()Ef x dx <+∞⎰，则0()f x ≤<+∞ a.e.于E ；（iv ）设A 和B 是E 的两个不相交的可测子集，则()()()A BABf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.定理2 设qE R ⊆为可测集，()f x 和()g x 都是E 上的非负可测函数.我们有 （i ）若()()f x g x ≤ a.e.于E ，则()()EEf x dxg x dx ≤⎰⎰，这时，若()g x 在E 上L可积，则()f x 也在E 上L 可积；（ii ）若()()f x g x = a.e.于E ，则()()EEf x dxg x dx =⎰⎰；特别地，若()0f x = a.e.于E ，则()0Ef x dx =⎰.定理3（列维Levi ）设qE R ⊆为可测集，1{}n n f ∞=是E 上的一列的非负可测函数.当x E ∈时对于任一自然数n ，有1()()n n f x f x +≤，令()lim ()n n f x f x →∞=，x E ∈，则()()n EEf x dx f x dx =⎰⎰.定理4 设qE R ⊆为可测集，()f x 和()g x 都是E 上的非负可测函数，αβ和都是非负实数，则(()())()()EEEf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰.特别地()()EEf x dx f x dx αα=⎰⎰，(()())()()EEEf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰定理5（逐项积分定理）qE R ⊆为可测集，1{}n n f ∞=是E 上的一列的非负可测函数，则11(())()n n EEn n f x dx f x dx ∞∞===∑∑⎰⎰.定理6【法图（Fatou ）引理】qE R ⊆为可测集，1{}n n f ∞=是E 上的一列的非负可测函数，则lim(())lim ()n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰.§5.4一般可测函数的勒贝格积分定义 qE R ⊆为可测集，()f x 为E 上的可测函数.令()max(()0)()max(()0).f x f x f x f x +-==-，，，则f +和f -都是E 上的非负可测函数，当x E ∈时()()(),()()()f x f x f x f x f x f x +-+--=+=若()Ef x dx +⎰和()Ef x dx -⎰中至少一个有限，则称f 在E 上积分确定，称()()EEf x dx f x dx +--⎰⎰为f 在E 上的勒贝格积分，简称L 可积.定理1 设qE R ⊆为可测集，我们有 （i ） 若E ≠∅但0mE =，则E 上的任何实函数f 都在E 上L 可积且()0Ef x dx =⎰；（ii ） 若()f L E ∈，则(+)0mE f =∞=，即()f x <+∞a.e.于E ；（iii ）设f 在E 上积分确定，则f 在E 的任一可测子集A 上也积分确定，又若E AB =,这里A 和B 都是E 的可测子集且A B =∅，则()()()EABf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰；（iv ）设f 在E 上积分确定且()()f x g x = a.e.于E ，则g 也在E 上积分确定且()()EEf x dxg x dx =⎰⎰；（v ） 设f 和g 都在E 上积分确定且()()f x g x ≤ a.e.于E ，则()()EEf x dxg x dx ≤⎰⎰特别地若mE <+∞且()b f x B ≤≤ a.e.于E ，则()EbmE f x dx BmE ≤≤⎰；（vi ） 设f 在E 上L 可积，则f 也在E 上L 可积，且()()EEf x dx f x dx ≤⎰⎰；（vii ）设f 是E 上的可测函数，g 是E 上的非负可积函数且()g()f x x ≤ a.e.于E ，则f 也在E 上L 可积且()()()EEEf x dx f x dxg x dx ≤≤⎰⎰⎰.定理2 设qE R ⊆为可测集，设f 和g 都是E 上的L 可积函数，则 （i ） 对于任意的R λ∈，f λ在E 上L 可积且()()EEf x dx f x dx λλ=⎰⎰（ii ） f g +在E 上L 可积且(()())()()EEEf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰（iii ） 对于任意的,,R f g αβαβ∈+在E 上L 可积，且(()())()()EEEf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰定理3（积分的绝对连续性）设qE R ⊆为可测集，()f L E ∈,则对于任意的0ε>.存在0δ>.使得对于任意的可测集A E ⊆，只要m A δ<，就有()()EEf x dx f x dx ε≤<⎰⎰定理4（积分的可数可加性）设qE R ⊆为可测集，1n n E E ∞==,这里每个n E 都是可测集且i j ≠时ij E E =∅，设f 在E 上积分确定，则1()()nn EE n f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰定理5（勒贝格控制收敛定理）设qE R ⊆为可测集，1{}n n f ∞=是E 上的一列可测函数.F 是E 上的非负L 可积函数，如果对于任意的自然数n ，()()n f x F x ≤ a.e.与E 且lim ()()n n f x f x →∞= a.e.于E ，则（i ）lim()()0n En f x f x dx →∞-=⎰； （ii ）lim()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.定理6 设qE R ⊆为可测集，(1,2,3,)n f f n =和都是E 上的可测函数，F 是E 上的非负可积函数，如果()()n f x F x ≤ a.e.与E 且n →∞时n f f ⇒，则 (i) lim()()0n En f x f x dx →∞-=⎰;(ii) l i m ()()n E En f xdx f x dx →∞=⎰⎰；定理7 设qE R ⊆为可测集，1{}n n f ∞=是E 上的一列L 可积函数.如果正项级数1()En f x dx ∞=∑⎰收敛，则函数项级数1()n n f x ∞=∑在E 上a.e.收敛，其和函数在E 上L 可积，且11(())()n n EEn n f x dx f x dx ∞∞===∑∑⎰⎰定理8 设qE R ⊆为可测集，(,)f x t 是(,)E a b ⨯上的是函数.如果对于任意的(,),(,)t a b f x t ∈作为x 的函数在E 上L 可积，对于a.e.的x E ∈，(,)f x t 作为t 的函数在(,)a b 上可导且(,)()f x t F x t∂≤∂，这里F 是E 上某个非负L 可积函数，则(,)E f x t dx ⎰作为t 的函数在(,)a b 上可导，且(,),)E E d f x t dx f x t dx dt t∂=∂⎰⎰（.。
实变函数与泛函分析
实变函数与泛函分析长春理工大学数学研究生入学加试《实变函数与泛函分析》考试大纲一、总体要求考生应按本大纲的要求，掌握Lebesgue的测度论，实变量的可测函数理论，Lebesgue 积分理论与微分理论，掌握度量空间和赋范线性空间的概念和例子，有界线性算子和连续线性泛函的概念和例子，掌握Hilbert空间的基本性质。
较好的掌握测度论与抽象积分理论，并且在一定程度上掌握集合的分析方法。
二、教材《实变函数与泛函分析基础(第二版）》，程其襄等，高等教育出版社,2003.三、考试内容（一）集合1. 掌握集合的概念，集合的包含和相等的关系和判定方法；2. 熟练掌握集合的和、交、差、余的运算，掌握上限集、下限集和收敛集的定义3. 会求集合的和、交、差、余，会求集合族的上限集、下限集，会判定集合列是否收敛；4. 理解集合基数的概念，对等的概念，掌握Bernstein定理，会用Bernstein定理判定集合对等；5. 掌握可数集合与具有连续基数的不可数集合的概念、例子和运算性质，能够利用已知的例子和运算性质去确定集合为哪类无限集合；6. 知道不存在具有最大基数的集合。
（二）点集1. 理解距离和距离空间的概念，懂得Euclid空间是距离空间；2. 掌握邻域的概念与性质，掌握点列收敛、点集距离、有界集和区间的概念；3．深入理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的定义，理解并掌握集合的开核、导集、边界、闭包的概念及相关的性质；4. 熟练掌握开集、闭集的概念和相关性质，掌握紧集的概念，完备集的概念，掌握有限覆盖定理；5. 理解直线上开集、闭集的构造定理，掌握Cantor集的性质。
（三）测度论1.深入理解并熟练掌握外测度，L-可测集的定义和基本性质，并掌握典型的例子2.理解σ代数的定义，掌握Borel集、Gδ型集、Fσ型集的定义，明确可测集和Borel集、Gδ型集、Fσ型集之间的关系，掌握L-可测集类；（四）可测函数1. 理解并掌握可测函数的定义与等价条件，掌握简单函数的概念，几乎处处收敛的概念，理解简单函数与可测函数的关系；2. 理解Egorov定理，Lusin定理；3. 理解并掌握依测度收敛的定义，理解Riesz定理，Lebesgue定理，会利用这两个定理去解决实际问题。
教学大纲_实变函数与泛函分析
教学大纲_实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析是高级数学中的一门重要课程，主要涉及实变函数的性质及其应用，以及泛函分析中的函数空间与算子的概念和性质。
本教学大纲旨在培养学生对实变函数与泛函分析的基本理论和方法的理解与应用能力。
一、课程目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.了解实变函数的定义、性质和基本的分析方法；2.掌握实数的完备性和实变函数的连续性、可微性等基本概念与定理；3.熟悉重要的实变函数序列收敛的理论和方法；4.理解一元多项式空间及其上的内积、范数等概念；5.了解泛函分析的基本概念，如线性算子、单射、满射、闭算子等；6.掌握泛函分析中重要的泛函空间和赋范向量空间的性质与应用。
二、教学内容1.实变函数的性质与基本分析方法（12学时）1.1实数的完备性与实变函数的极限概念1.2实变函数的连续与可导性质1.3实变函数的积分与微分概念与定理2.实变函数的序列收敛理论与方法（16学时）2.1一致收敛性与收敛级数理论2.2函数项级数的收敛理论与方法2.3 Weierstrass逼近定理的证明与应用2.4傅里叶级数的概念、性质及展开方法3.一元多项式空间与泛函分析基础（14学时）3.1一元多项式空间及其上的内积与范数3.2一元多项式空间中的正交多项式与勒让德多项式3.3泛函分析的基本概念与定理4.泛函空间与线性算子（18学时）4.1泛函空间的定义与性质4.2无穷维度空间的收敛性与紧性4.3线性算子的基本性质与分类4.4线性算子的连续性与有界性5.算子的谱理论与泛函方程（20学时）5.1线性算子的谱理论与应用5.2巴拿赫空间的定义与性质5.3泛函方程的基本理论与应用5.4泛函方程的解的存在唯一性定理三、教学方法1.理论教学：通过讲述与讲解基本概念与定理，引导学生掌握基本原理和方法。
2.解题指导：通过典型例题和习题，引导学生独立思考问题，掌握解题方法和技巧。
3.讨论与交流：鼓励学生参与讨论，提问和回答问题，促进学生之间的交流与合作。
实变函数与泛函分析基础完整版
bi
ai
bi ai
f(x), 当xF,
g(x)f(ai)
f(bbi)i afi(ai（ ) xai),当x(ai,bi),ai,bi有限 ,,
f(ai), 当x(ai,bi),bi , f(bi), 当x(ai,bi),ai .
则g(x)满足要求，且在R上连续.（参见课本p91）
0 ,及 E i ， 每 E i中 作 个 的 F i ， m ( 闭 E i 使 F i) n 子 ( i 1 ,2 , 集 ,n
当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两
两不交闭集，故f(x)在 n 上连续，显然F为闭集，
且有
F
i 1
Fi
m ( i n 1 E i i n 1 F i) m ( i n 1 ( E i F i) )i n 1 m ( E i F i) i n 1 n
kj
若 fk:Ek R为连续f函 (x)数 fk(x)， :xE 令 k，f则 (x)： k 1Ek R上的连
事实上x0， k 1， 由 Ek, 于 x0为开 (k 1， 集 Ek)c的内点，
kk0
kk0
20，使U 得 (x0,： 2） (k 1， Ek)c，即 U(x： 0,2） k 1， Ek。
注2：鲁津定理的逆定理成立。
设f(x)为E上几乎处处有限的实函数，若 0,闭F 集 E，
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续，则f(x)在E上为可 测函数。
证明： 1n,则闭集 Fn F,使得m： (EFn)1n, f(x)在Fn上连续（可测函数
k
，必有
实变函数与泛函分析全册精品完整课件
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五大论：
集合论-着重介绍 Cantor 关于集合的势论的知识.
测度论-讲解 Lebesgue 测度的思想与方法.
积分论-讲解 L 积分的定义、性质、极限定理和 L 可积函数空间，积分与微分的关系.
空间论-主要讲述无穷维赋范空间和内积空间，以 及与共轭空间有关的知识. 算子论-主要讲述三大基本定理（共鸣定理、开映 射定理、闭图像定理），共轭算子以及算子谱理
论.
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教学目的
使学生掌握 L 测度与 L 积分的基本理论、基本思想 与方法，为今后进一步使用现代分析普遍应用的这 一基本工具打下基础。
使学生掌握有关空间和算子的基本理论和思想方法 . 认识和理解现代数学中公理化、抽象与具体、理 论和应用密切联系的特点并加以应用.
前言
课程的重要性 课程讲授的主要内容 教学目的 难易程度 考核方式
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《实变函数与泛函分析》的重要性 在20世纪初期产生并发展起来的学科，是整 个分析数学中最年轻的学科之一 从“经典理论”向“现代理论”转折的关口 是联系各门课程的纽带
通过与其他学科的联系，加强学生对于数学思想方 法的内在联系和一致性的认识，从整体上提高学生 的数学素养
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课程难度与考核方式
内容抽象，难度较大 平时表现分+考试分数， 比例 认真学习则无须担心考核
实变函数与泛函分析要点
实变函数与泛函分析概要之蔡仲巾千创作第一章集合基本要求：1、理解集合的包括、子集、相等的概念和包括的性质.2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质.3、会求已知集合的并、交、差、余集.4、了解对等的概念及性质.5、掌握可数集合的概念和性质.6、会判断己知集合是否是可数集.7、理解基数、不成数集合、连续基数的概念.8、了解半序集和Zorn引理.第二章点集基本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念.2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念.掌握聚点的性质.3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质.4、会求己知集合的开集和导集.5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质, 掌握一批例子.6、会判断一个集合是非是开（闭）集, 完备集.7、了解Peano曲线概念.主要知识点：一、基本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原则：P0是E的聚点⇔ P0的任一邻域内, 至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}, 使P n→P0 （n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A⊂B, 则A་⊂B་, ·Ａ⊂·Ｂ,－Ａ⊂－Ｂ.T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E⊂Rⁿ, Ė是开集, E´和―Ｅ都是闭集.（Ė称为开核, ―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集, 则CE是闭集；设E是闭集, 则CE是开集.T3：任意多个开集之和仍是开集, 有限多个开集之交仍是开集. T4：任意多个闭集之交仍是闭集, 有限个闭集之和仍是闭集.T5：（Heine-Borel 有限覆盖定理）设F 是一个有界闭集, ℳ 是一开集族{Ui}i єI 它覆盖了F （即F с∪ｉєＩUi ）, 则 ℳ 中一定存在有限多个开集U1, U2…Um, 它们同样覆盖了F （即F ⊂ｍ∪ Ui ）（i єI ）4、 开（闭）集类、完备集类.开集类：R ⁿ, Φ, 开区间, 邻域、Ė、P о闭集类：R ⁿ, Φ, 闭区间, 有限集, E ΄、E 、P完备集类：R ⁿ, Φ, 闭区间、P二、基本方法：1、判断五种点的界说；2、利用性质定理, 判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明.第三章 测度论 基本要求：1、 理解外测度的概念及其有关性质.2、 掌握要测集的概念及其有关性质.3、 掌握零测度集的概念及性质.4、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集, 掌握一批可测集的例子.5、 会利用本章知识计算一些集合的测度.6、 掌握“判断集合可测性”的方法, 会进行有关可测集的证明. 要点归纳：外测度：①界说：E ⊂R ⁿ Ii （开区间）∞∪ Ii כE m*（E ）=inf ∑ｉ│Ii │②性质：(1) 0≤m*E ≤+∞（非负）（2）若A сB 则m*A ≤ m*B （单调性）（3）m* （∞∪Ai ）≤∞∑m*Ai （次可列可加性）③可测集：E ⊂R ⁿ 对任意的T єR ⁿ有：m*（T ）= m*（T ∩E ）+ m*（T ∩CE ）称E 为可测集, 记为mE 其性质：1）T1：E 可测⇔∀ A ⊂E B ⊂CE 使m*（A ∪B ）= m*A+ m*B2）T2：E 可测⇔CE 可测④运算性质：设S 1、S 2可测⇒S 1∪S 2可测（T3）；设S 1、S 2可测⇒S 1∩S 2可测 （T4）；设S 1、S 2可测⇒S 1-S 2可测 （T5）.⑤S1、S2…Sn 可测⇒∪Si可测（推论3）∩Si可测（T7）⑥S1、S2…Sn…可测, S i∩S j=φ⇒∪S i可测m(∪S i)= ∑m(S i)(T6)⑦S i递增,S1⊂S2⊂S3⊂…⇒lim(∪S i)=lim mS i=Ms(T8)⑧S i递降可测, S1כS2כS3כ…当mS1<+∞⇒limm(∩S i)=lim mSn (T9)⑨可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q、[0, 1] ∩Q、Ф、P零测度集的子集是~, 有限个、可数个零测度集之并是~.2）区间是可测集 mI=│I│ 3）开集、闭集；4）Borel集界说, 设G可表为一列开集的交集, 且称G为Gδ型集如[-1, 1]；设F可表为一列闭集之并, 则称为Fσ型集, 如[0, 1]Borel集界说：从开集动身, 用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不超越可数次）的集合.T6：设E是任一可测集, 存在Gδ集, 使E⊂G, 且m（G-E）=0T7：设E是任一可测集, 存在Gσ集, 使F⊂E, 且m（F-E）=0可测集是存在的.第四章可测函数基本要求：1、掌握可测函数的概念和主要性质.2、掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、几乎处处收敛…）的概念.3、掌握一批可测函数的例子.4、掌握判断函数可测性的方法, 会进行关于可测函数的证明.5、理解叶果洛夫定理和鲁金定理.6、了解依测度收敛的概念及其性质.7、理解三种收敛之间的关系.(一)基本概念1可测函数：ƒ是界说在可测集E Rⁿ上的实函数, 任意的α∈RE[ƒ>α]是可测集, 称ƒ（x）是E上的可测函数ƒ可测⇔任意的α∈R E[ƒ≧α]是可测集⇔任意的α∈R E[ƒ<α]是可测集⇔任意的α∈R E[ƒ≦α]是可测集⇔任意的α, β∈R E[α≤ƒ<β]是可测集 （ │ƒ│<+∞）几乎处处成立2连续函数、简单函数3依测度收敛、收敛 、一致收敛（二）基本结论：可测函数的性质（8个定理）（1） 充要条件（T 1）4 个等价条件（2） 集合分解T 3（2）, ƒ在Ei 之并S ∪E i 上, 且在Ei 上可测=>ƒ在S ∪E i 上可测（3） （四则运算）ƒ , g 在E 上可测ƒ+g, ƒg , │ƒ│, 1/ ƒ在E 上可测.（4） 极限运算 { ƒn }是可测函数列, 则μ=inf ƒn λ（x ）=sup ƒn 可测（T5）⇒F=lim ƒn G=──lim ƒn 可测（5） 与简单函数的关系：ƒ在E 上可测 ⇒ƒ总可以表成一列简单函数{φn }的极限函数 ƒ=lim n φn , 而且可以办到│φ1│≤│φ2│≤│φ3│≤…2.ЕгopO в定理：mE<+∞ƒn 是E 上a .e 于一个a .e 有限的函数ƒ的可测函数 ⇒ 对任意的δ>0 存在子集E δ⊂E 使得ƒn 在E δ上一致收敛且m （E-E δ）<δ3Лузин定理：ƒ是E 上a.e 有限可测函数,任意δ>0 ∃闭子集E δ⊂E 使得ƒ在E δ上连续 且m （E-E δ）<δ即在E 上a.e 有限的可测函数是：“基本上连续”的函数.4可测函数类：连续函数（T2）、简单函数、R 上单调函⇒f于列;fn ⇒f(x) 在此mE<+∞条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛弥补定理(见复旦§3.2 T5) mE<+∞,fn 是E 上可测函数列fn ⇒f ⇔{fn} 的（任何子列）∀fn i , 总可以找到子子列（∃） fn ij →三、基本方法 ：1判函数可测（1） 集合判别法, 任意的a ∊R E[f>a] 是可测集（2） 集合分解法, E=∪E i E i ∩E j =Ф f 在E i 上可测（3） 函数分解法, f 可表为若干函数的运算时（4） 几乎处处相等的函数具有相同的可测性（§1, T 8）（5） 可测函数类2判断三种函数之间的关系第五章 积分论 基本要求：1、 了解可测分划、年夜（小）和、上（下）积分、有界函数L 可积和L 积分的概念.2、 掌握有界函数L 积分的性质.3、 理解非负函数L 积分与L 可积的概念.4、 理解一般函数的L 积分确定、L 积分与L 可积的概念.5、 掌握一般函数的L 积分的性质.6、 掌握L 积分极限定理.7、 弄清L 积分与R 积分之间的关系.8、 熟练掌握计算L 积分的方法.9、 会利用L 积分极限定理进行有关问题的证明.10、了解有界变差函数的概念及其主要性质.11、 了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质.Lebesgue 积分1、 Riemann 积分 分割、作和、取确界、求极限.2、 Lebesgue 积分界说1：E=ｎ∪Ei,各Ei 互不相交, 可测, 则称{E i }为E 的一个分划, 记作D={E i }界说2：设f 是界说在E ⊂R ⁿ（mE <∞）上的有界函数, D={E i }令B і=ｓｕ ｐｘєＥｉf （x ） bi=ｉｎ ｆｘєＥｉf （x ）年夜和S（D, f）=∞∑BimEi = S（D, f）小和ş（D, f）=∞∑bimEi=ş（D, f）ş（D, f）≤S（D, f）界说3：设f是界说在E⊂Rⁿ（mE<∞）上的有界函数上积分：–∫Ｅf（x）dx=inf{ S（D, f）}下积分：∫–Ｅf（x）dx=sup ş（D, f）若上下积分相等, 则称f 在E上可积, 其积分值叫做L积分值, 记（L）∫Ef（x）dxT1：设 f是界说在E⊂R q（mE<∞）上的有界函数, 则f在E上L 可积‹═›任意的ε＞ 0S（D, f）- ş（D, f）＜εT2：f在E上L可积⇔f在E上可测（*）对有界函数而言, L可积⇔可测T3：f, g有界, 在E上可测, f±g, fg, f/g, │f│可积T4：f在[a, b]上R可积═›L可积, 且值相等*L积分的性质：T-1（1）：f在E上L可积, 则在E的可测子集上也L可积；反之,E=E1∪E2 E1∩E2=φ E1、E2可测, 若f在E i上L可积, 则f在E上可积∫Efdx= ∫E1fdx+ ∫E2fdx （积分的可加性）（2）f, g 在E上有界可测∫E（f+g）dx=∫Efdx+∫Egdx （3）任意cєR ∫Ecfdx=c∫Efdx（4）f, g在E上L可积, 且f≤g 则∫Efdx≤∫Egdx特别地, b≤f≤B ∫Efdx є[bmE, BmE]推论1：（1）当mE=0 ∫Efdx=0（2）f=c ∫Efdx=cmE（5）f在E上可积, 则│f│可积, 且│∫Efdx│≤∫E│f│dx T-2 （1）设f在E上L可积f≥0 ∫Efdx=0 则于E （2）f在E上L可积, 则对任意的可测集A属于E使ｌｉｍｍＡ→０∫Afdx=0 （绝对连续性）则∫Efdx=∫E g dx证明思路: E=E1∪E2 E1∩E2=φ E1=E[f≠g]∫E (f- g)dx = ∫E1 +∫E2 (f- g)dx=0注:1)在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值,甚至在E的一个零测度子集0E 上无界说亦可.2)从E 中除去或添加有限个或可数个点L 积分值不变 一般函数的积分一、 非负函数：f, E ⊂E ｑ二、 界说:f ≥0 E ⊂E ｑ mE <∞[f(x)]n={ｆｎｆ≤ｎｆ＞ｎ称[f]n 为（E 上）截断函数 性质：（1）∀ [f(x)]n 有界非负, f ≤n（2）单调 [f]1≤[f]2≤[f]3≤…（3）ｌｉｍｎ→∞[f]n=f （x ） 界说1：设f 为非负（于E ）可测（mE <∞）称∫Efdx =∫E ｌｉｍｎ→∞[f]nd x （若存在含无穷年夜）为f 在E 上的L 积分当∫E ｌｉｍｎ→∞[f]nd x 为有限时, 称f 为在E 上的非负可积函数注：①非负可积一定存在分② L 积分三、 设f 在E （mE<+∞）上可测, f ＋ f － 在E 上非负可测, 则│f │可测∫Ef ＋ dx ∫Ef －dx 存在 f= f ＋- f －∫Ef dx=∫Ef ＋ dx-∫Ef －dx界说 2：设f 在E （mE<+∞）上可测, 若∫Ef ＋ dx 和∫Ef －dx 分歧时为+∞则称f 在E 上积分确定当∫E f dx<+∞时, 则称f 在E 上L 可积注：①f 可测 f 可积②有界函数 −←+f f mE<+∞L 积分的性质：定理1-（1）：若 mE=0, 则 ∫E f dx=0（2）：f 在E 上可积⇒mE[f=+∞]=0 f 有限a .e于E同（R ）（3）：f 在E 上积分确定⇒ f 在可测子集E 1⊂E 上积分确定12E E E fdx fdx fdx=-⎰⎰⎰ E=E1∪E2(4):f 在E 上积分确定,f=g a .e 于E 则f,g 的积分确定且相等几乎处处相等的函数具有相同的可积性(值相等)同(R)(5):f,g 在E 上非负可测⇒∫E (f+g) dx=∫E f dx+∫E fgdx 同(R)(6): f,g 在E 上积分确定f ≤g ⇒∫E f dx ≤∫E fgdx L 可积性质定理2:有界可积函数性质仍成立(5条)(略)积分极限定理T-1 L 控制收敛定理设1）{fn}是E 上一列可测函数2）│fn │≤f （x ） f 为L 可积函数3）fn ⇒f （fn →f a.e 于E ）则f 是E 上L 可积函数,且ｌｉｍｎ→∞∫E fnd x=∫E fd x L 有界收敛定理 设1）{n f }是E 上一列可测函数, mE<+∞2）│n f │≤K （常数）3）n f ⇒f （n f →f a.e 于E ）则f 是E 上L 可积函数,且ｌｉｍｎ→∞∫E n f dx=∫E f dx T-2(Levi)设{n f }是E 上一列非负可测函数,n f ≤1n f +则ｌｉｍｎ→∞∫E n f dx=∫E ｌｉｍｎ→∞n f dx T-3设{n f }是E 上一列非负可测函数,则∫E ∑∞=1n n f ndx=∑∞=1n ∫E n f dx (逐项积分定理) T-4(积分的可数可加性)f 在可测集E ⊂E ｑ 上的积分确定,且E=∞∪Ei其中E i 为互不交的可测集, 则 f dx=∞∑∫E i f dx有界变差函数分划:T:a=x0 <x1<x2<…<xn=b 若E{∑│()if x-1()if x-│}为界则称f在[a,b]上是有界变差函数 ,上确界称为全变差,记V ba（f）=sup∑=ni1│f（xi）-f（xi-1）│有限闭区间上满足Lipschtz条件的f是有界变差有限闭区间上单调有限函数是有界变差V ba（f）=│f（b）-f（a）│T-2性质：1）()()b c ba a cf fV V V=+（f）可加性2）f在[a,b]上是有界变差⇒f有界3）f, g有界变差⇒f±g, f g有界变差T-3（Jordan分解）f∈V[a, b] ⇔f可分解为两个有限增函数之差有界变差函数不连续点至多可列个, f∈V[a, b],V ba（f）=0=>f=constT-4(Lebesgue)设f∈V[a, b],则1)在[a, b]上几乎处处存在导数f'(x)2)f'(x)在[a, b]上可积3)若f是增函数,有∫ｂａ f'(x)dx≤f(b)-f(a)不定积分界说1:设f在[a, b]上L可积, f∈L[a, b]∫[a,x]f dx称为f在[a, b]上的不定积分界说2:设F(x) 是[a, b]上的有界函数,∀ε>0 , ∃δ>0 [a i,b i]不交,只要∑=ni1( bi- ai)< δ就有∑=ni1│F(bi)-F(ai)│<ε,则称f 为[a, b]上的绝对连续函数(全连续函数)定理1：f∈[a, b] F（x）=∫[a,x]f dx+C为绝对连续函数绝对连续⇒一致连续且有界变差f满足Lipschtz条件⇒f全连续T2：F（x）为[a, b]上绝对连续函数, F'（x）=0 a.e于[a, b]则F（x）=constT3:f∈绝对连续函数F（x） ,使F'（x）= （x）于[a, b](只需取F（x）=∫[a,x]f dx)T4: f是[a, b]上绝对连续函数,则几乎处处有界说的F'（x）在[a, b]上可积, 且 F（x）= F（a）+ ∫[a,x]f dx即F（x）总是[a, b]上可积函数的不定积分.F是[a, b]上绝对连续函数⇔F是一可积函数的不定积分对绝对连续函数,微分再积分也还原(至多差一常数)T5:(分部积分)f在[a, b]上绝对连续,λ(x)在[a, b]上可积且 g(x)-g(a)=⎰xaλ(x)dx 则有∫ｂａf（x）λ(x)dx=f（x）λ(x)│ｂａ-∫ｂａf'（x）λ(x)dx弥补：（见南京年夜学教材）fє V[a, b], 则f（x）=φ（x）+r（x）+s（x）φ（x）为全连续；r΄（x）为奇异函数；s（x）为跳跃函数f（x）=p（x）-n（x）+f（a）p（x）为正变分；n（x）为负变分.第六章怀抱空间和赋范线性空间基本要求：1、熟练掌握怀抱空间的界说, 理解一些怀抱空间的例子.2、掌握可分空间的概念, 弄清几个罕见空间的可分性.3、了解连续映照的概念及等价条件.4、掌握完备怀抱空间、柯西点列的概念, 弄清一些罕见空间的完备性.5、掌握范数、线性赋范空间的有关概念, 一些罕见的空间范数界说.6、掌握巴拿赫空间的界说及一些罕见的例子.7、了解有限维线性赋范空间的主要性质.怀抱空间1、距离界说：1） d（x, y）≥0 当 x=y 时, d（x, y）=02）d（x, y）≤d（x, z）+d（z, y）三点不等式等价界说, 距离公理：1）d（x, y）≥0非负性；2）d（x, y）= d（x, y）对称性；3）d（x, y）≤ d（x, z）+ d（z, y）三点不等式Rｎ中罕见的三种距离：d（x, y）=[ｎΣ（ξi-ηi）²]½d（x, y）=ｎΣ│ξi-ηi│d（x, y）=max│ξi-ηi│2、可分性：界说：X是怀抱空间, N和M是X的两个子集, 如果N⊂M,N⊂M, 称集M在集N中浓密, 当N=X时, 称M为X的一个浓密子集, 如果X有一个可列的浓密子集, 则称X为可分空间.Rｎ是可分空间：坐标为有理点的全体是可列浓密子集.离散距离空间X可分充要条件X是可列集.事实上X中无浓密真子集, X中唯一的浓密只有X自己自己.反例, l∞为不成份, 按d（x, y）=sup│ξi-ηi│3、连续映照界说：设X=（X, d） Y=（Y, d）是两个怀抱空间, T是X到Y中的映照, xοєX, 如果对任意的ε>0, 存在δ>0 使d（x, xο）<δ时, d（Tx, Txο）<ε则称T在xο连续用邻域描述：对Txο的ε-邻域N, 存在xο的某个δ—邻域Nο, 使T Nο⊂NT-1：设T是怀抱空间X=（X, d）到Y=（Y, d）中映照, T在xο连续⇔当x n→xο时, 有Tx n→Txο界说2：T在X的每一点连续, 则称T是X上的连续映照, 称集合{x∣x∈X, Tx⊂M}MсY 为集合M在映照T下的像, 简记为T－１MT-2：怀抱空间X到Y中的映照T是X上连续映照⇔Y中任意开集M的原像T－１M是X中的开集（利用T－１（CM）=C （T－１M）, 可将定理中开集改成闭集）4、柯西点列界说：X=（X, d）是怀抱空间, {xn}∞ｎ＝１是Ｘ中的点列, 对∀ε>0∃Ｎ（ε）, 当ｎ, ｍ>Ｎ时, 必有ｄ（xn, xｍ）<ε则称{xn}∞ｎ＝１是Ｘ中的柯西 （Cauchy ）点列或基本点列, 如果（X, d ）中每一个柯西点列都收敛, 则称（X, d ）是完备的怀抱空间．有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备, 而l ∞是完备的怀抱空间．怀抱空间中任一收敛点列是柯西点列；反之, 怀抱空间的柯西点列未必收敛．Ｔ－１：完备怀抱空间的子空间Ｍ, 是完备空间的 <=> Ｍ是Ｘ中的闭子空间Ｐ［ａ, ｂ］（［ａ, ｂ］上实系数多项式全体作为Ｃ［ａ,ｂ］的子空间）是不完备的怀抱空间．５、等距同构界说：设（X, d ）, （～Ｘ, ～ ｄ）是两个怀抱空间, 如果存在从X 到～Ｘ上的保距映照T, 则称（X, d ）与（～Ｘ, ～ ｄ）等距同构, 此时T 称为～Ｘ上的等距同构映照T ：（怀抱空间完备化定理）设（X, d ）是怀抱空间, 那么一定存在完备怀抱空间（～Ｘ, ～ ｄ） 使（X, d ）与（～Ｘ, ～ ｄ）的某个浓密子空间W 等距同构, 而且～Ｘ在等距同构下是唯一的.即若（ˆX , ˆd ）也是一个完备的怀抱空间, 且X 与ˆX的某个浓密子空间等距同构, 则（～Ｘ, ～ ｄ）与（ˆX , ˆd ）等距同构. T ´：设X=（X, d ）是怀抱空间, 那么存在唯一的完备怀抱空间～Ｘ=（～Ｘ, ～ ｄ）, 使X 为～Ｘ的浓密子空间6、压缩映照界说：X 是怀抱空间, T 是X 到X 的映照, 如果存在一个数α,0<α<1, 使对所有的x, y єX 成立d （Tx, Ty ）≤α d （x, y ） 则称T 为压缩映照T-1（压缩映照定理）设X 是完备的怀抱空间, T 是X 上的压缩映照, 那么T 有且仅有一个不动点（方程Tx=x, 有且只有一个解）注：本定理在方程的解的存在性和唯一性证明中起重要作用.T-2设f (,)x y 在带状域：a ≤x ≤b -∞‹y ‹+∞ 中处处连续, 且处处有关于y 的偏导y f (,)x y , 如果还存在常数m 和M, 满足0＜m ＜y f '(,)x y ≤M, m <M 则方程f (,)x y =0在区间[a, b]上必有唯一的连续函数y =φ（x ）作为解： f （x, φ（x ））≡0 x є [a, b]证明过程作映照A ：A φ=φ-M 1f （x, φ（x ））7、线性空间X 是线性空间, Y 是X 的非空子集, 任意x, y єY 及任意αєR=>x+y єY αx єYY 是X 的子空间, X 和{0}是平凡子空间. 线性相关, 无关概念M 是X 的非空子集, M 中任意有限个向量线性组合全体记为spanM 称为由M 张成的包界说：X 是线性空间, M 是X 中线性无关子集, 若spanM=X, 则称M 的基数为X 的维数, 记为dimX, M 称为X 的一组基, M 的基数是有限时, 则称为有限维线性空间, 如果X 只含有零元素, 则称X 为0维线性空间.8、线性赋范空间界说：设X 为实（复）线性空间, 如果对每一个向量x єX, 有一个确定的实数, 记为║x ║ 与之对应, 而且满足：i ║x ║≥0 且║x ║=0 <=>x=0ii ║αx ║=α║x ║其中α为任意实（复）数iii ║x+y ║≤║x ║+║y ║ x, y єX则称║x ║为向量x 的范数, 称X 按范数║x ║成为线性赋范空间{xn}∞ｎ＝１是Ｘ中的点列, 如果存在x єX, 使║xn -x ║→0 （n →∞）则称{xn}∞ｎ＝１依范数收敛于x, 记为xn →x （n →∞）或ｌｉｍｎ→∞xn= x令d （x, y ）=║x-y ║ 是由范数导出的距离, 由此观之线性贱范空间实际上是一种特殊的怀抱空间. 若d 由║·║导出, 对任意的αєR, x, y єX, 有：（a ） d （x-y, 0）= d （x, y ）； （b ）d （αx, 0）=|α| d （x, 0）反之, X 是线空间, d 是距离, 满足（a ）和（b ）, 那么一定可以在X 上界说范数║x ║使d 是由范数导出的距离, ║x ║=d （x, 0）║x║是x的连续函数, 事实上, 任意x, yєX, 由范数条件2）和3）易证| ║y║-║x║|≤║y-x║, 所以, 当║xn -x║→0时║xn║→║x║完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间（Banach Spaces）1）Rｎ║x║=（ｎΣ|ξi| ²）½构成Banach空间2）C[a, b] ║x║=sup|x（t）| 构成Banach空间3）∞ℓ:║x║=sup|ξi|构成Banach空间4）L ｐ[a, b] ║f║p=（∫ｂａ|f（x）|ｐdx）1/p构成Banach空间 p≥1证明需用到引理1 和2引理1：（Hölder不等式）设p>1, 1/p+1/q=1, fє Lｐ[a, b] g є Lｑ[a, b]那么f, g在[a, b]上L可积且成立：∫ｂａ|f（x）g（x）|dx≤║f║p║g║q引理2：（Minkowsky不等式）设p≥1, f, gє Lｐ[a, b], 那么f+gє Lｐ[a, b] 且成立：║f+g║p≤║f║p+║g║pT-2：Lｐ[a, b] （p≥1）是Banach空间5）lｐ║x║=（ｎΣ|ξi|ｐ）1/p是Banach空间T-3设X是n维线性赋范空间, （e1, e2, …en）是X的一组基,则存在常数M和Mˊ使对一切 x=ｎΣξi e i成立M║x║≤(ｎΣ|ξi| ²）½≤M′║x║推论1:设在有限维线性空间上,界说了范数║x║和║x║1那么必存在常数M和Mˊ使得M║x║≤║x║1≤M′║x║界说2:设R是线性空间,║x║1和║x║2是R上两个范数,如果存在正数c1,c2,使对一切xєR,成立: c1║x║2≤║x║1≤c2║x ║2则称(R, ║x║1)和(R, ║x║2)是拓扑同构的推论2:任何有限维赋范线性空间都和欧氏空间拓扑同构,相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构.第七章线性赋范空间和线性连续泛函基本要求：1、理解线性算子、线性泛函的概念.2、掌握线性有界算子的概念和有关性质, 以及二者这间的关系.3、了解算子的范数的概念, 熟悉一些线性有界算子的例子, 并知道无界算子是存在的.4、了解线性有界算子空间的概念和性质.5、掌握共轭空间的概念和性质, 知道一些特殊空间的共轭空间.算子界说：线性赋范空间X到Y的映照T被称为算子, 如果Y是数域, 则被称为泛函线性算子和线性泛函 T1：设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间, D(Đ)是X的线性子空间, T为D到Y中的映照, 如果对任意的x, y ∈D , 及数α, 成立：T（x+y）=Tx+Ty （1） T（αx）=αTx （2）则称T为D到Y中的线性算子, 其中D称为T的界说域, 记为D （T）, T D称为T的值域记为R(T), 当T取值于实（或复）数域时, 称T为实（或复）线性泛函几种罕见的线性泛函： 1、相似算子Tx=αx当α=1时, 恒等算子, 零算子；2、P[0, 1]是[0, 1]上的多项式全体, 界说微分算子, 若t0∈[0, 1],对∀x∊P[0, 1], 界说f（x）=x´（t0）则f是P[0, 1]上的线性泛函.3、积分算子 x∈C[a, b] Tx（t）=∫ｔａx()τdτf x=∫ｂａx()τdτ则f是由积分线性性质知T为线性泛函, 若令()C[a, b]中的线性泛函4、乘法算子 Tx（t）=tx（t）5、Rｎ中的线性变换是线性算子线性有界算子界说：设X和Y是两个线性赋范空间, T是X的线性子空间D（T）到Y中线性算子, 如果存在常数c, 使对所有x∈D（T）, 有：║Tx║≤c║x║, 则称T是D（T）到Y中的线性有界算子, 当D（T）=X时, 称T为X到Y中的线性有界算子,简称为有界算子.否则, 称为无界算子.T-1：设T是线必性赋范空间X到线性赋范空间Y中的线性算子, 则T为有界的充要条件是T是X 上的连续算子.T-2：设X是线性赋范空间, f是X上线性泛函, f是X上连续泛函的⇔f的零空间ℕ（f）是X中的闭子空间.界说：T为线性赋范空间X的子空间D（T）到线性赋范空间Y中线性算子, 称║Tx║=s u p ║Tx║/║x║为算子T在D（T）上的范数x≠0,x∈D（T）引理：T是D（T）上线性有界算子, 成立║T║=s u p ║Tx║/║x║=║Tx║=s u p ║Tx║/║x║x∈D（T）,║x║=1 x∈D（T）,║x║≤1 线性算子空间和共轭空间X和Y是两个线性赋范空间,以ℬ(X→ℬ(X→Y)时,α是所讨论的数域中的数时,界说ℬ(X→Y)中加法运算如下:对任意的x∈X,令(A+B)x=Ax+Bx(αA)x=αAx则ℬ(X→Y)依照如上加法和数乘运算和算子范数构成线性赋范空间.T:当Y是Banach空间时,ℬ(X→Y)也是Banach空间一般地,设X是线性赋范空间,如果在X中界说了两个向量的乘积,而且满足║xy║≦║x║║y║ x,y∈X 则称X为赋范代数,当X完备时,则称X为Banach代数,由T知,当X完备时,ℬ(X→Y)是Banach代数.共轭空间:设X是线性赋范空间,令X′暗示X上线性连续泛函全体所成的空间,称X为共轭空间.T:任何线性赋范空间的共轭空间是Banach空间.界说:设X和Y是两个线性赋范空间,T是X 到Y中的线性算子,而且对所有的x∈X,有║Tx║=║x║则称T是X 到Y中的保距算子, 如果Ｔ又是映照到Ｙ上的, 则称Ｔ是同构映照, 此时称Ｘ与Ｙ同构．第八章内积空间和希乐伯特空间基本要求：1、掌握内积空间, 希乐伯特空间的概念, 熟悉一些具体例子.2、理解内积与其诱导范数之间的关系.3、理解许瓦兹不等式和平行四边形法则.4、了解凸集的概念, 掌握正交的有关概念.5、掌握直交补空间的界说与性质.6、理解投影算子的概念, 掌握投影算子的性质.内积空间和希尔伯特空间界说：设Ｘ是复线性空间, 如果对Ｘ中任何两个向量ｘ,ｙ, 有一复数‹ｘ, ｙ›与之对应, 而且满足下列条件:ⅰ≺x,y ≻≥0 ≺ｘ, ｙ≻=0当且仅当x=0,x∈X;ⅱ≺αｘ+βｙ,z≻=α≺ｘ, z≻+β≺ｙ,z≺ x y z∈X,αβ∈C(复数)ⅲ≺ｘ, ｙ≻=≺ｙ,x≻ x,y ∈X则称≺ｘ, ｙ≻为x与y的内积,X为内积空间内积引出的范数‖x‖=√‹ｘ, ｘ›引理(Schwarz不等式)设X按内积≺ｘ, ｙ≻成为内积空间,则对X 中任意向量x,y,成立不等式∣≺ｘ, ｙ≻∣≤‖x‖‖y‖当且仅当x与y线性相关时取等号.易得出:范数不等式‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖内积导出的范数‖x‖构成线性赋空间,若完备,则称Hilbert空间.满足平行四边形法则. ‖x+y‖２+‖x-y‖２=2（‖x‖２+‖y‖２）（内积空间范数的特征性质）如 L２[a, b] l２是Hilbert空间, 当p≠2时 l p不成为内积空间C[a, b]按范数‖x‖=ｍａｘａ≤ｔ≤ｂ∣x（t）∣不成为内积空间极化恒等式（内积与范数关系式）（内积可用范数暗示）﹤x, y﹥=1/4（‖x+y‖２-‖x-y‖２+i‖x+iy‖２-i‖x-iy‖２）当X 为实内积空间时, ﹤x, y﹥=1/4（‖x+y‖２-‖x-y‖２）由Schwarz不等式, 立得﹤xn, yn﹥→﹤x, y﹥界说：设X是怀抱空间, M是X的非空子集, x是X中一点, 称infy∈M d（x, y）为点x到M的距离, 记作d（x, M）在线性赋范空间中 d（x, M）=infy∈M‖x-y‖设X是线性空间, x, y是X 中的两点, 称集合{z=αx+（1-α）y；0≦α≦1} 为X中联结点x和y的线段, 记为[x, y], 如果M是X 的子集, 对M中任意两点x, y必有[x, y]⊂M则称M为X中的凸集定理：（极小化定理）设Ｘ是内积空间, Ｍ是Ｘ中非空凸集, 而且按Ｘ中由内积导出的距离完备, 那么, 对每一个x∈X,存在唯一的y∈M, 使‖x-y‖= d（x, M）推论1：设X是内积空间, M是X 的完备子空间, 则对每个x∈X, 存在唯一的y∈M, 使‖x-y‖= d（x, M）（应用于微方、现代控制论、迫近论）界说：设X是内积空间, x, y是X中两向量, 如果﹤x, y﹥=0 则称垂直或正交, 记为x⊥y如果X的子集A中每个向量与子集B中每个向量正交, A⊥B x⊥y ⇒‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2引理1：设X是内积空间, M是X的线性子空间, x∈X, 若存在y∈M使‖x-y‖= d（x, M）, 那么x-y⊥M界说2：直接和：Y和Z是X的子空间, 对每一个xєX, 存在唯一的yЄY, Zєz 使x=y+z, 则称x为y和z的直接和.y和z称为一对互补子空间.Z称为Y的代数补子空间. 易知互补子空间必线性无关.界说3：设X 是内积空间, M是X 的子集, 称集合M⊥={xєM│x⊥M}为M在X 中直交补 M⊥是X 中闭线性子空间定理2：设Y是Hilbert空间的闭子空间, 那么成立 X=Y+Y⊥直接和记作：X=Y⊕Z x=y+z, y是x在Y中的直交投影.投影算子 Px=y 具有性质：ⅰ①P是X到Y上的线性有界算子, 且当Y≠{0}时, ‖P‖=1②PX=Y, PY=Y, PY┴=0③P2=P P是投影算子⇔ P=P*=P2设X是内积空间, M是X的子集, 记（M⊥）⊥=M⊥⊥显然有 M⊂M⊥⊥反之有：引理2：设Y是Hilbert空间X的闭子空间, 则成立 Y=Y⊥⊥引理3：设M是Hilbert空间X中非空子集, 则M是线性包SpanM 在X中浓密的充要条件是M⊥={0}界说4：设M是内积空间中不含零的子集, 若M中向量两两直交, 称M为X中直交系, 又若M 中向量范数为1, 则称M为X 中的就范直交系.直交系的基赋性质：①‖x1+x2+...+x n‖2=‖x1‖2+‖x2‖2+...‖x n‖2②直交系M 是X 中线性无关子集界说5:设X 是线性赋范空间,x i , i=1,2,...是X 中一列向量,α1,α2,...αn 是一列数,作形式级数∞ ∑αi x i 称S n =n ∑αi x i 为n项部份和若存在x єX,使S n →x 则称级数收敛,并称x 为其和,记作x=∑∞=1i αi x i界说6:设M 为内积空间X 中就范直交系, x єX,称数集 {﹤x, e ﹥│e єM}为向量x 关于就范直交系M 的富里叶系数集,而称﹤x, e ﹥为x 关于e 的Fourier 系数引理:设X 是内积空间,M 是X 中就范直交系,任取M 中有限个向量e 1,e 2,...e n 那么:(1) ‖x-n ∑﹤x, e i ﹥e i ‖2=‖x ‖-n ∑│﹤x, e i ﹥│2≥0 (2) ‖x-n ∑αi e i ‖≥‖x-n ∑﹤x, e i ﹥e i ‖≥其中αi 为任意的n个数定理(Bassel 不等式)设{e k }是内积空间X 中的有限或可列就范直交系,那么对每一个x єX,成立不等式∞ ∑│﹤x, e i ﹥│2≤‖x ‖2 若上式等号成立,则称为Parseval 等式引理：设{ e k }为Hilbert 空间X 中可列就范直交系, 那么成立：（1）∞ ∑αi e i 收敛的充要条件是∞ ∑│αi │2收敛（2）若x=∞ ∑αi e i 则αi =﹤x, e i ﹥ i=1,2,...故x=∞ ∑﹤x,e i ﹥e i(3) 对任意的x єX,级数∞ ∑﹤x, e i ﹥e i 收敛推论1: 设{ e k }是X 中可列就范直交系, 则对任意的x єX , lim n →∞﹤x, e n ﹥=0界说:设M 是内积空间X 的就范直交系,如果 spanM=X 则称M 是X 中的完全就范直交系.定理:设M 是Hilbert 空间X 中就范直交系, M 完全的充要条件是M ┴={0}定理:M 是Hilbert 空间X 中完全就范直交系的充要条件是, 对所有x єX,Parseval 等式成立.满足定理条件的M X 中的x 可展成x=∞ ∑﹤x, e ﹥e称为向量x关于就范直交系M的Fourier展开式.推论2: (Cтeклов定理)M是Hilbert空间X中就范直交系,若Parseval等式在某个浓密子集N上成立,则M完全.引理3:设{xi}是内积空间X中有限或可列个线性无关向量,那么必有X中就范直交系{e1,e2,...},使对任何正整数n,有span{e1,e2,...e n}= span{x1,x2...x n}本定理的证明过程称为Gram-Schmidt正交化过程定理4；每个非零Hilbert空间必有完全就范直交系.界说5：设X和～Ｘ是两个内积空间, 若存在X到～Ｘ的映照T, 使对任意的x, y∈X以及数α, β, 满足T（αx+βy）=αTx+βTy‹Tx, Ty›=‹x, y›则称X和同构, 并称T为X 到～Ｘ上的同构映照定理5：两个Hilbert空间X与～Ｘ同构的充要条件是X与～Ｘ有相同的维数.推论3：任何可分的Hilbert空间必和某个Rｎ或l２同构定理（Riesz定理）设X是Hilbert空间, f是X上线性连续泛函, 那么存在唯一的z∈X, 使对每一个x∈X 有f（x）=‹x, z›而且‖f‖=‖z‖对每个y∈X令Ty=fy其中fy为X上如下界说的泛函：fy（x）=‹x, y › , x∈X显然fy是X上线性连续泛函, 由Riesz定理, T是X到X٭上的映照, X٭是X上线性连续泛函全体所成的Banach空间, 又‖Ty‖=‖y‖.易看出, 对任意的x, y∈X以及数α, β, 成立：T（αx+βy）= αTx+βTy （٭）事实上, 对任何z∈X, 有T（αx+βy）（z）=‹z, αx+βy›=αTx（z）+βTy（z）=（αTx+βTy）（z）所以（٭）成立.称满足（٭）的映照T是复共轭线性映照,Ty= fy 是X到X٭上保范共轭线性映照,称为复共轭同构映照,若存在H空间X到～Ｘ上的复共轭同构映照,则称X与～Ｘ是复共轭同构,此时将X当做～Ｘ,当X是H空间时,X=X٭,即X是自共轭的.定理：设X和Y是两个H空间, A∈ℬ(X→Y), 那么存在唯一的A٭∈ℬ(X→Y), 使对任何的x∈X, y∈Y, 成立‹ Ax, y›=‹x,创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日 A ٭y › 且‖A ‖=‖A ٭‖界说：设A 是H 空间X 到H 空间Y 中的线性有界算子, 则上定理中算子A ٭为A 的Hilbert 共轭算子, 简称共轭算子.共轭算子有下列基赋性质：①（A+B ）٭=A ٭+B ٭②（αA ）٭=α A ٭③ （A ٭）٭=A④‖AA ٭‖=‖A ٭A ‖=‖A ‖ A ٭A=0等价于A=0⑤ 当X=Y 时, （AB ）٭=B ٭A ٭界说：T 为H 空间X 到X 中的线性有界算子, 若T=T ٭, 则称T 为X 上的自伴算子；若TT ٭=T ٭T, 则称T 为X 上正常算子；若T 是X 到X 上的一对一映照, 且T ٭=T －１, 则称T 是X 上的酉算子. 引理：T 为复内积空间X 上线性有界算子, 那么T=0⇔对一切x ∈X,成立 ≺ Tx, x ≻=0定理：设T 为复H 空间X 上线性有界算子, 则T 为自伴算子的⇔对一切的x ∈X,≺ Tx, x ≻ 是实数.自伴的和与差仍为自伴, 下面有：定理：T1和T2是H 空间X 上两个自伴算子, 则T1·T2自伴的充要条件是T1·T2=T2·T1定理：设{Tn}是H 空间X 上一列自伴算子, 而且ｌｉｍｎ→∞Tn=T, 那么T 仍为X 上自伴算子.定理：设U 及V 是H 空间X 上两个酉算子, 那么（1）U 是保范算子, 即对任何x ∈X, 成立 ‖Ux ‖=‖x ‖；（2）当X ≠{0}时, ‖U ‖=1（3）U －１是酉算子；（4）UV 是酉算子；（5）若Un, n=1, 2, …是X 上一列酉算子, 且Un 收敛于有界算。
实变函数与泛函分析课件
巴拿赫空间的性质
巴拿赫空间与连续线性映射
连续线性映射
连续线性映射的定义
连续线性映射的性质
线性算子的谱理论
03 空间上的算子与变换
有界线性算子
有界线性算子的定义：在某空 间上有界且线性
重要性质：有界线性算子可以 扩展为全空间上的有界线性算
子
谱定理：有界线性算子的谱分 解定理
空间上的算子与变换部分的习题与解答
01
02
总结词：空间上的算子 与变换部分主要涉及线 性算子、有界算子、 紧 算子等不同类型的算子 的定义、性质和计算方 法，以及空间上的变换 和约化定理的应用。
详细描述
03
04
05
1. 线性算子的定义和性 2. 有界算子和紧算子的 质，包括线性算子的有 定义和性质，以及在各 界性、紧性、谱性质等， 种空间中的存在性和构 以及在各种空间（例如， 造方法。 Hilbert空间、Banach 空间等）中的应用。
映射与变换
序关系
介绍映射的概念及基本性质，如一一映射、 满射、单射等。
讨论集合中的序关系，如偏序、全序、反 对称序等，以及相关的概念如最大元、最 小元、上界、下界等。
实数函数
01
函数的定义
介绍函数的概念及基本性质，如定 义域、值域、单调性等。
函数的极限
介绍函数极限的定义、性质及其计 算方法。
03
02
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
《实变函数与泛函分析》教学大纲-数学专业
实变函数与泛函分析教学大纲应用数学与信息计算等专业使用修订单位：山东财政学院统计与数理学院修订时间： 2009年8月修订课程中文名称：实变函数与泛函分析课程英文名称：Real Analysis and functional Analysis课程号：30001001学时数：68学分数：4先修课程：数学分析、线性代数适用专业：应用数学与信息计算等专业。
一、课程的性质和任务1. 课程性质《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。
《实变函数》课程结合抽象测度与积分理论, 介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。
通过本课程的学习, 应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法, 并且应用所学知识, 解决一些相关的理论和应用问题, 解决一些具有一定难度的习题。
同时, 通过本课程的学习, 要加深学生对数学分析课程中知识的理解, 培养学生严密的逻辑思维能力。
《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理，工程技术等领域有很大帮助。
学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供基础。
实变函数与泛函分析基础
实变函数与泛函分析知识点与模拟试卷（含答案）实变函数与泛函分析概要第一章集合基本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、会求已知集合的并、交、差、余集。
4、了解对等的概念及性质。
5、掌握可数集合的概念和性质。
6、会判断己知集合是否是可数集。
7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn引理。
第二章点集基本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。
掌握聚点的性质。
3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、会求己知集合的开集和导集。
5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。
6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。
7、了解Peano曲线概念。
主要知识点：一、基本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原则：P0是E的聚点⇔ P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A⊂B，则A⊂B，·Ａ⊂·Ｂ，－Ａ⊂－Ｂ。
T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和―Ｅ都是闭集。
（Ė称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。
T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F（即Fс∪ｉєＩUi），则ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F⊂ｍ∪ Ui）（iєI）4、开（闭）集类、完备集类。
实变函数与泛函分析
实变函数的定义
实变函数是定义在实 数集上的函数，其值
域也是实数集。
实变函数具有连续性、 可微性、可积性等性
质。
实变函数的定义域可 以是有限区间、无限 区间或者整个实数轴。
实变函数的值域可以 是有限区间、无限区 间或者整个实数轴。
实变函数的性质
实变函数是一类特殊的数学函数，具 有连续性、可微性和可积性等性质。
实变函数的连续性
实变函数的连续性与极限存 在性有关
实变函数在定义域内是连续 的
实变函数的连续性是函数的 一种基本性质
实变函数的连续性与可微性 密切相关
03 实变函数的应用
实变函数在数学物理方程中的应用
实变函数在求解偏微分方程中的应用 在解决波动方程、热传导方程等数学物理方程中的作用 实变函数在数值分析中的重要地位 实变函数在解决物理问题中的应用实例
求解中。
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05 泛函分析的应用
泛函分析在微分方程中的应用
微分方程的求解：通过泛函分析中的变分法，求解微分方程的近似解。 稳定性分析：利用泛函分析中的算子谱理论，研究微分方程解的稳定性。 近似方法：利用泛函分析中的逼近理论，构造微分方程的近似解。 数值计算：通过泛函分析中的数值分析方法，对微分方程进行数值模拟和计算。
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随机积分与微分 方程：在概率论 中，随机积分与 微分方程是非常 重要的研究方向， 而泛函分析中的 积分和微分理论 为此提供了重要
的数学基础。
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泛函分析在量子力学中的应用
描述了量子力学中的波函数和 概率幅
提供了量子力学中算子的表示 和分类方法
揭示了量子力学中的一些重要 定理和原理，如不确定性原理 和量子纠缠
研究对象：实变函数研究的是具体的、有限的、离散的数学对象，而泛函分析则研究 的是抽象的、无限的、连续的数学对象。
实变函数与泛函分析第1讲
三、集合与元素的关系
如果 是集合 的元素，则说 属于 ，记作 ,或说A含有a．
如果 不是集 的元素，则说 不属于 ，记作 ，或说A不含有a．
四、集合与集合的关系
1．包含：
是 的子集
若 且 ，就称A是 的真子集，规定空集是任何集的子集．
2．相等
材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集论知识．
一、集合的概念及其表示
集合也称作集,是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几
何学中的“点”、“直线"那样,只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：
“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称
由 个元素 所组成的集合，可表示为
由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为 ．
不含任何元素的集合称为空集，记作 ．
2．描述法
当集 是具有某性质 的元素之全体时，我们用下面的形式表示 ：
方程 的解x的全体组成的数集是
注：有时我们也把集 具有性质 改写成 具有性质 ．例如，设
是定义在集合 上的一实函数， 是一个实数，我们把集 写成
第一章 集合§1集合的表示
由德国数学家Cantor所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性
而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括
实变函数论)的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学
课程．因此,在现代数学教育中,对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教
为一个集合,其中每个个体事物叫做该集合的元素．”
一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合
实变函数与泛函分析.doc
《实变函数与泛函分析》教学大纲统计学（非师范类）专业用—、说明部分（一）课程性质、目的和教学任务本课程为统计学专业的专业限选课。
实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题, 其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。
（二）课程的教学原则和方法本课程的教学原则：理论课与习题课并重的原则：单项训练与综合训练相互结合的原则：经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则：直觉想象和审慎推敲相互结合和转化的原则。
教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。
（三）课程的主要内容学时分配《实变函数与泛函分析》安排授课共90学时。
第一章集合与测度12学时第二章可测函数12学时第三章Lebesgue积分16学时第四章线性赋范空间24学时第五章内积空间16学时第六章有界线性算子与有界线性泛函10学时二、正文部分第一章集合与测度（一）教学的目的和要求1.了解集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合;2.掌握度量空间的概念和度量空间中的点集3.理解直线上的测度和可测集4.掌握Lebesgue测度及相关理论；（二）教学重点集族的交并关系（三）教学难点度量空间的概念和测度及可测集的概念。
实变函数与泛函分析
(2) Hilbert旅馆问题
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
问下列情况是否能把新来的人安排下：
1 又来了有限个人{b1, b2, b3, … ，bn}
2 每个人带一个亲戚{b1, b2, b3, …, bn, …}
3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队） 4 又来了[0,1]个人
(1) Achilles追龟
0(甲)
甲的速度为1，乙的速度为1/2
½（乙）
3/4
7/8 15/16 1
n1
1 2n
1 2
1 22
1 2n
1
问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于 甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一 样，从而跑过的点的“个数”也一样。
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(2) Riemann可积的充要条件
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
xi-1 xi
b
n
n
b
a
f
( x)dx
lim ||T ||0
i 1
M ixi
lim
||T ||0
i 1
mi xi
a
f (x)dx
其中： M i sup{ f (x) : xi1 x xi} mi inf{ f (x) : xi1 x xi}
如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计 算总数，那就是Ri等理科教学》，2000.1）
0
1
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3.Lebesgue积分构思产生的问题
实变函数论、拓扑学与泛函分析
实变函数论、拓扑学与泛函分析微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。
数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。
也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。
比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。
以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。
又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。
十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。
后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。
这个证明使许多数学家大为吃惊。
由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。
人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。
这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。
比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？……上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。
以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。
它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。
什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。
也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。
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§ 5.2非负简单函数的勒贝格积分
定义设E匸疋为町测集，0(兀)为E上一个非负简单函数，即E表示为有限个互不相交
的可测集目,坊，••仗之并,而在每个&上,0(切取非负常值q,也就是说0(兀)=工"銘0)‘这里x E(X)是鸟上的特征函数•。
⑴在E上的勒贝格积分(简称L积分)定义为\(p{x)dx = Y c i mE>
定理1 设EqRQ为对测集，(p(x)为E上一个非负简单函数.我们有
(i)对于任意的非负实数c, [ c •(p(x)dx =c ((p(x)dx ;
(ii)设A和B是E的两个不相交的可测子集，则
(pMdx = £(p(x)dx
(iii)设(4}：=1是E的一列可测子集，满足
①人匸…,
00
②U AT
n=1
贝ijlim I (p(x)clx = [(p(x)dx
J九JE
定理2 设EyRQ为可测集，0(兀)和久兀)都是E上的非负简单函数.则
(i)£(p(x)dx + £i//(x)dx = £(/(x) + i//(x))dx;
(ii)对于任意的非负实数Q和0,有
a ^(p{x)dx + /3二](Q0(兀)+ 0p(x))dx .
§ 5.3非负可测函数的勒贝格积分
定义设EyRQ为町测集，/(兀)是E上一个非负可测函数，/(X)在E上的勒贝格积分定义为
•q
= sup ^(p{x)dx: 0(兀)是E上的简单函数l=L兀€ E吋,0 <(p(x) < /⑴.
显然()5 f /(xMxW+oo,如果f /(“/XV+00,则称f(x)在E上勒贝格可积.
JE JE
定理1 设Eo/?q为可测集，于(兀)为E上一个非负可测函数.我们有
(i) 若mE=0,则^f(x)dx = O
(ii) 若 f f(x)dx = 0 ,贝!J f(x)=O a.e.于E；
JE
(iii) 若f f(x)dx <+oo ‘ 贝ij 0 5 /(%) < -Ko a.e.于E；
J E
(iv) 设A和B是E的两个不相交的可测子集，则
打/⑴必="⑴必+ ”⑴必•
定理2 设£o/?q为可测集，/(兀)和g(x)都是E上的非负可测函数.我们有
(i)若/(兀)S g(x)ae于E,则£/(xX/x< 这时，若g(x)在E ± L
可积，则/(x)也在E±L可积；
(ii)若f(x) = g(x) a.e.于E,则f f(x)dx= f g(x)dx :特别地，若 /(%) = 0 a.e.
j£JE
于E,贝ij£/(x)Jx = O.
定理3 (列维Levi)设EyR®为可测集，{.九爲是E上的一列的非负可测函数•当xwE时
对于任一自然数m 有f n M<令/(x) = lim/,(%), xeE,则
"TOO
^f n(x)dx= £/(X)€/X.
定理4 设EyRq为可测集，/(兀)和g(x)都是E上的非负可测函数，Q和0都是非负实数，则
\£ («/(%) + 0g(x))dx = a [ fMdx + 0 j g(x)dx.
特别地 f(x)dx = a^ f(x)dx ,
[.(/(x) + g(Q)〃= [•/(兀)必+ (g ⑴必 定理5(逐项积分定理)EyRq 为可测集,{九鳥 是E 上的一列的非负可测函数,则
8 8 f n Mdx . "n=l n=l
定理6【法图(Fatou)引理】EgRq 为可测集,{/：}爲是E 上的一列的非负可测函数, LUm( f n M)dx <hm\ f n Mdx.
” "TOO "TOO "匕
§ 5.4 一般可测函数的勒贝格积分
定义 E 匸川为可测集，/(%)为E 上的可测函数.令 /+(x) = max(/(x),0) , / (x) = max(-/(%),0). 则r 和厂都是E 上的非负可测函数，当XGE 时 厂(X )-广⑴=/(X ), •厂(X )+广⑴=|/(兀)| 若\E f +(x)dx 和\E f-{x)dx 中至少一个有限，则称f 在E 上积分确定，称
f f\x}dx- f f-(x)dx 为f 在E 上的勒贝格积分，简称L 可积. JE
JE
定理1 设£匸川为可测集，我们有
(i)
若EH0但加E = 0,则E 上的任何实函数f 都在E±L 可积且£/(%X-r = O ； 若 f e L(E),则 mE(|/| = +oo) = 0,即 |/(x)| v+ooa.e.于 E ； 设f 在E 上积分确定，则f 在E 的任一可测子集A 上也积分确定，乂若E = A U B ,
这里A 和B 都是E 的可测子集且AC\B = 0f 则
fMclx+ \f(x)dx ； 设f 在E 上积分确定且/(x) = g(x) ae 于E,则g 也在E 上积分确定且
(ii) (iii) (iv) L
fMdx =L
(V ) 设f 和g 都在E 上积分确定且/(x) < g(x) a.e.于E,则^ f(x)dx < jg(x)dx 特别地若mE < 4-co 且(兀)a.e.于 E,贝J bmE < f f(x)dx < BmE ；
JE
(vi)
设 f 在E 上L 可积，则 |/| 也在 E±L 可积，且 \E f(x)dx < £|/(x)|t/x ； (vii) 设f 是E 上的可测函数，g 是E 上的非负町积函数_R|/(x)|<g(x) a.e.于E,则
f 也在 E ± L 可积K )£/(X )J X |< £|/(x)|t/x < £g(x)Jx.
定理2 设Eo/?q 为可测集，设f 和g 都是E 上的L 可积函数，则
(i)
对于任意的Z G /?, 2/在E 上L 可积且(入f (x)dx £ f(x)dx (ii)
/ + g 在 E 上 L 町积且[(/(兀)+ g(x))dx = [/(兀)心+ \ g(x)dx JE JE JE (iii) 对于任意的Q,0 w /?,&/*+ 0g 在E 上L AT 积，且
定理3(积分的绝对连续性)设Eo/?q 为町测集，/ G 厶(E),则对于任意的£〉0 .存在》〉0. 使得对于任意的可测集A^E f 只要说＜5,就有(f ⑴d* [A ⑴处＜£
定理4 (枳分的可数可加性)设EylV 1为可测集，E=UE “，这里每个乞都是口 J 测集H
定理5 (勒贝格控制收敛定理)设EyRQ 为可测集，｛九鳥 是E 上的一列町测函数.F 是E 上的非负L 可积函数，如果对于任意的自然数n, \f n (x)\＜F(x) a.e.与 E 且 lim f n (x) = f (x)a.e.于 E,则
定理6 设EyRq 为口J 测集，/和九5 = 1,2,3,…)都是E 上的可测函数，F 是E
上的非
(i) lim£|//l (x)-/(A ：)^x = O ；
负可积函数，如果伉(x)|< F(x)a.e.与E且“Too时九=> /，则
(i)lim £|/…(x)-/(x)|dx = 0;
(ii)lim [ f n(x)dx
W—»Q0 JE
定理7 设EyRq为可测集，｛.九｝；|是E上的一列L可积函数.如果正项级数
00 Q O
££|/(x)|^x收敛，则函数项级数£九⑴在E上ae收敛，其和函数在E上L可积，且
”=1n=l
8 8
£（S A（兀））〃兀=E£A（兀皿n=l w=l
定理8 设EyR®为可测集，/(x,r)是Ex(d,b)上的是函数.如果对于任意的
作为x的函数在E±L可积，对于ae的xwE, f(x,t)作为(的函数在⑺力)上可导IL —/(x,r) < F(x),这里F是E上某个非负L可积函数，则f f(x,t)dx作dt %
为(的函数在⑺小)上可导，11。