复变函数与积分变换第三版答案_华中科技大学数学
复变函数与积分变换(第三版)答案
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复变函数第三版习题答案
复变函数第三版习题答案复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的概念和性质在数学中有着广泛的应用，涉及到物理、工程、计算机科学等领域。
而《复变函数》第三版是一本经典的教材，它提供了丰富的习题，帮助读者巩固和深化对复变函数的理解。
下面将给出一些《复变函数第三版》习题的答案，希望能对读者的学习有所帮助。
1. 习题1.1题目：计算函数 $f(z)=z^2+2z+1$ 在复平面上的奇点和极点。
答案：这是一个多项式函数，它在复平面上的所有点都是解析点，因此没有奇点和极点。
2. 习题2.3题目：计算函数 $f(z)=\frac{1}{z}$ 的留数。
答案：函数 $f(z)=\frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处有一个一阶极点，因此它的留数为$Res(f,0)=1$。
3. 习题3.2题目：计算积分 $\int_{|z|=2} \frac{e^z}{z^2} dz$。
答案：根据留数定理，积分等于函数在奇点处的留数之和。
函数$f(z)=\frac{e^z}{z^2}$ 在 $z=0$ 处有一个二阶极点，因此它的留数为$Res(f,0)=\frac{d}{dz}(z^2 \cdot \frac{e^z}{z^2})|_{z=0}=2$。
所以积分的结果为$2 \cdot 2\pi i = 4\pi i$。
4. 习题4.1题目：证明函数 $f(z)=e^z$ 在复平面上的任意闭合路径上的积分为零。
答案：根据柯西—黎曼方程，函数 $f(z)=e^z$ 在复平面上是解析的。
因此，根据柯西—黎曼定理，它的实部和虚部的偏导数满足拉普拉斯方程。
由于$e^z$ 是指数函数，它的实部和虚部都是调和函数。
而调和函数的积分在闭合路径上总是为零，因此函数 $f(z)=e^z$ 在复平面上的任意闭合路径上的积分为零。
5. 习题5.3题目：计算积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2+1} dx$。