第四章解析函数的幂级数表示法第一节复级数的基本性质课件
复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结
第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。
2.（定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。
3.（定理）收敛4.（定理）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。
5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N 时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10.优级数定义：称为的优级数。
11.（定理）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。
12.（定理积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。
15.（定理魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
2.（推论）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。
数学物理方法课件解析函数的幂级数展开
幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程 的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展 开，然后代入积分方程中求解系数，最后得 到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入 积分方程中求解系数a_n，得到解。
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幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂 级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较 相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区 间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会 逐渐增大。
数学物理方法课件解析函 数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无 穷级数的方式，其中每一项都是该函 数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得 到微分方程的解。
第4章、解析函数的幂级数表示法
第四章 解析函数的幂级数表示法本章将介绍复数项级数及复函数项级数一些相关性质，此章学习要注意和实数项级数和实函数项级数概念性质做类比，这里很多内容与数学分析是一致的。
第一节 复级数的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：111222,,n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+L在这里，z n 是复数，Re ,Im n n n n z a z b ==一般简单记为{z n }。
按照{| z n | }是有界或无界序列，我们也称{z n }为有界或无界序列。
设z 0是一个复常数。
如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{z n }收敛或有极限0z ，或者说{z n }是收敛序列，并且收敛于0z ，记作lim z z n n =+∞→。
如果序列}{n z 不收敛，则称{z n }发散，或者说它是发散序列。
令z 0=a+ib ，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||n n n n b b z z a a b b -≤-≤-+-容易看出，0lim n n z z →+∞=等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{z n }收敛的充分必要条件是：序列{a n }收敛（于a ）以及序列{b n }收敛（于b ），即复数列可转化成实数列研究。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{z n }收敛于z 0，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给z 0的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，z n 在这个邻域内。
注3、两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
复数项级数就是......21++++n z z z或记为1n n z +∞=∑，或∑n z ，其中n z 是复数。
复变函数幂级数
z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
整理课件
30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
整理课件
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义 若n收 敛 ， 则称n为 绝 对 收 敛 ；
n1
n1
若n发 散 ，而n收 敛 ， 则称n为
n1
n1
n1
条 件 收.敛
整理课件
9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
整理课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(i) f(z)在 zR内 解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z
第四章解析函数的幂级数表示法
(z)
f (m) (a)
f (m1) (a) (z a)
m! (m 1)!
即可。充分性是明显的。
• 例4.7 考察函数
f (z) z sin z
在原点 z 0 的性质。
• 解 显然 f (z) 在 z 0 解析，
且 f (0) 0
• 定义 4.5 设函数 fn (z) (n 1,2, )
定义于区域 D 内，若级数（4.2）在
内D任一有界闭集上一致收敛，则称此级 数在 内D内闭一致收敛。
3.解析函数项级数
• 函数项级数能逐项求导的条件时苛刻的， 然而解析函数项级数求导的条件却比较 宽些，这就是下面的维尔斯特拉斯定理。
充要条件为： f (z) 在 D 内任一
a 点
的邻域内可展成幂级数，即泰
勒级数。
• 2． 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状 况
• 定理4.16 如果幂级数的收敛半径 R 0
且
f (z) cn (z a)n ,(z K : z a R)
n0
则在收敛圆周上至少有一奇点。
3! 5!
3! 5!
如在 z a R 内的解析函数 f (z)
a 不恒为零，
为其零点，则必有
a 的一个邻域，使得 f (z) 在其中无
异于 a 的零点。
（简单说来就是：不恒为零的解析函数的 零点必是孤立的。）
（4） 1 z 2 z 4 z9
解 当ｎ是平方数时， cn 1 其他情形 cn 0 。因此，相应有，
n cn 1或0 于是数列 n cn
的聚点是0和1，从而
l 1, R 1
第4章级数
(2)定理 定理: 定理 收敛,则 若 ∑ | z | 收敛 则 ∑ z 也收敛
∞
∞
k =1
n
k =1
n
绝对收敛的级数,本身一定是收敛的 注:绝对收敛的级数 本身一定是收敛的 绝对收敛的级数
4.判级数收敛方法 判级数收敛方法: 判级数收敛方法 1)用必要条件 或充要条件 用必要条件,或充要条件 用必要条件 或充要条件; 2)判绝对收敛 判绝对收敛. 判绝对收敛 判别下列级数的收敛性: 例:判别下列级数的收敛性 判别下列级数的收敛性
收敛半径: 三.收敛半径 收敛半径
1.定义 定义: 定义 ∞ Cn (z1 z0 )n 若存在一个正数R,使得幂级数 若存在一个正数 使得幂级数 ∑
n=1
在|Z-Z0|<R内处处收敛 而|Z-Z0|>R时处处发散 内处处收敛,而 时处处发散, 内处处收敛 时处处发散
Cn (z1 z0 )n 的收敛半径为 的收敛半径为R. 则称 ∑
内复变函数项级数. 为D内复变函数项级数 内复变函数项级数 2.前n项和 S n ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f n ( z ) 项和: 前 项和 3.级数收敛 若lim S n ( z0 ) = S ( z0 ) 存在 则称级数在 z0 处收 级数收敛:若n→∞ 存在,则称级数在 级数收敛 ∞ 就是其和,即 敛. S ( z0 )就是其和 即 ∑ f n ( z0 ) = S ( z0 ) n =1 若级数在D内处处收敛 级数的和是D内一个函数 内处处收敛,级数的和是 内一个函数, 若级数在 内处处收敛 级数的和是 内一个函数 ∞ 即 ∑ fn ( z) = S ( z)
复变函数论第4章
n1
n
当z 2时,
原级数成为
n1
1, n
调和级数，发散.
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
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铃
例3 求幂级数 (cosin)zn的收敛半径:
n0
解
因为
cn
cos in
cosh n
1 (en 2
en ),
所以
lim cn1 n cn
n1 n
解 (1) 因为 lim cn1 lim ( n )3 1,
n cn
n n 1
或
1
lim n
n
cn
lim n n
n3
lim 1 1. n n n3
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铃
所以收敛半径 R 1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
铃
补充求：等比级数
ar n1 的敛散性。
n1
解：等比级数的部分和为：
Sn
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) 1 r
已利用等比数列求和公式：
Sn
a1 anq 1 q
当公比|r|<1时，lim n
Sn
lim
n
a(1 rn ) 1 r
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
R min( r1, r2 )
第四章 解析函数的级数表示PPT课件
2020/12/4
3
第四章 解析函数的级数表示
▪ 本章的主要内容是：复数项级数和复变函数项级 数的一些基本概念和性质；重点介绍复变函数项 级数中的幂级数和由正、负整次幂项所组成的洛 朗级数.
▪ 关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和 定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围内 的直接推广，因此，在学习中结合高等数学中无 穷级数部分的复习，并在对此中进行学习．
n 1
n1
n1
证明：Snz1z2 zn ( x 1 x 2 x n ) i ( y 1 y 2 y n )
n in, n 和 n 分 别 为 实 数 项 级 数 x n 和 y n 的 部 分 和 ，
n 1 n 1
由 定 理 1 可 知 数 列 { S n } 有 极 限 的 充 要 条 件 是 { n } ， { n } 有 极 限 存 在 ，
lnimzn z0.
2020/12/4
7
• 例1．下 列 复 数 列 是 否 收 敛 ？ 如 果 收 敛 ， 求 出 其 极 限 .
(1)zn
(1
1)ein n
,
解：
(1)zn
(1
1)ein n
(2)zn ncosin,
(3)zn
(11)(cosisin)
nn n
(13i )n. 6
x n (1 1 n )c o s n,yn (1 1 n )sin n,
lnimxn x0, 同 理 可 得 ： lni m yny0.
充分性 已 知 ln i m xnx0,ln i m yny0 ，
0 , N N , 当 n N 时 ， 都 有 x n x 0 2 ,( y n y 0 ) 2 ，
09第四章解析函数的级数表示
第四章 解析函数的级数表示§1. 复数项级数 一. 复数序列的极限定义： 设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=， 又设000y i x z +=为一个复定值. 若,0,0>∃>∀N ε使得,N n >∀有不等式ε<-0z z n恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称{}n z 以0z 为极限，记作0l i m z z n n =∞→ 或()∞→→n z z n 0.如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散.定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=∞→∞→∞→.lim ,limlim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.二. 复数项级数定义： 设{}n z 为一个复数序列，表达式 +++++n z z z z 321称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列() 2,1321=++++=n z z z z S n n有极限S S n n =∞→l i m （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极限，则称级数是发散的. 例1.当1<z 时，判断级数++++++nz z z z 321是否收敛？定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛.定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两 个实级数的敛散性.定理3 （级数收敛的必要条件）若级数++++n z z z 21收敛，则0lim =∞→n n z . 定理4 若级数+++++=∑∞=n n n z z z z z 3211收敛，则级数+++++=∑∞=n n nz z z z z3211一定收敛.定义： 若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛， 则称级数++++=∑∞=n n nz z z z 211绝对收敛，若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211发散，而级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛，则称级数 ++++=∑∞=n n nz z z z211条件收敛.例2.判断下列级数的敛散性：（1）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n n i n ；（2）∑∞=1n nni ；（3）∑∞=12n nn i.§2. 复变函数项级数一. 复变函数项级数定义： 设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序列，称以()z f n 为一般项的复级数 ()()()()+++++z f z f z f z f n 321为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点，若极限()()00lim z S z S n n =∞→存在，则称该复变函数项级数在0z 点收敛，()0z S 为其和，即()()01z S z f n n=∑∞=.如果该复变函数项级数在D 内处处收敛，则称该复变函数项级数在D 内收敛，由此所定义的函数()z S 称为和函数，记作()∑∞=1n n z f .即 ()()∑∞==1n n z f z S 二. 幂级数定义： 形如()()()()+-++-+-+=-∑∞=nn n nnz z C z z C z z C C z z C 02020100的复变函数项级数称为幂级数，其中n C 与0z 均为复常数. 定理5如果幂级数()∑∞=-00n nn z z C 在点()011z z z ≠ 收敛，则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛.推论 如果幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在点2z 发散，则在区域020z z z z ->-内发散.定义：若存在圆R z z <-0，使得幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在此圆内绝对收敛，在此圆外发散，则称该圆为幂级数的收敛圆，称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径. 结论：对幂级数()∑∞=-10n nn z z C 而言，一定存在某一圆R z z <-0，使得该幂级数在此圆内绝对收敛，在此圆外发散.达朗贝尔比值判别法——若 λ=+∞→n n n C C 1lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .柯西根值判别法——若 λ=∞→nnn C lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .例3. 求级数∑∑∑∞=∞=∞=1210,,n nn nn nn z nzz 的收敛半径. 例4.求级数()∑∞=-11n nnz 的收敛半径.说明：达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法都只是充分条件，而非必要条件. 例5. 把函数z 1表示成形如()∑∞=-02n nn z c 的幂级数. 性质 (1)幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数在收敛圆内一定解析；(2)在收敛圆内，幂级数()∑∞=-00n nn z z C 可以逐项积分或求任意阶导数，所得到的幂级数在该圆内也收敛，且相应的和函数即为对幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数进行积分或求相应阶导数所得的结果.例6 求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数，并计算级数∑∞=122n n n 之值.§3. 泰勒级数定理6 (泰勒定理) 设函数()z f 在区域D 内解析，0z 为D 内的一点，设R 为0z 到D 的边界的距离，则当R z z <-0时，()z f 可展为幂级数()()∑∞=-=00n nn z z C z f 其中()() 2,1,0!10==n z f n C n n .称该幂级数为()z f 在区域D 内以0z 为心的泰勒级数.说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?);, , )( .200z d z d D z f -=αα即之间的距离一个奇点到最近等于则内有奇点在如果4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. 结论：函数在()z f 点0z 解析的充分必要条件是在0z 点()z f 可展成幂级数.根据结论，解析函数()z f 在点0z 可展成泰勒 级数，其展开法分别是直接展开法和间接展开法.直接展开法是指由泰勒展开定理计算系数间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.例7．将()0==z e z f z在处展开为泰勒级数.例8. 将()0sin ==z z z f 在处展开为泰勒级数.;,0.30级数级数也可称为麦克劳林时当=z,2,1,0,)(!10)(==n z f n c n n .)( 0展开成幂级数在将函数z z f例9．将()z z f -=11在z =0的邻域展开.例10. 求函数()0112=+=z zz f 在的邻域内的泰勒 展开式.例11. 例12. 求函数()21-=z z f 在1-=z 的邻域内的泰勒展开式.例13.将函数()()211z z f -=展开为i z -的幂级数.例14.求对数函数ln (1+z )在z =0处的泰勒展开式.例15. 将函数()ze zf -=11展开为z 的幂级数.§4. 洛朗级数引例 求函数()122-+-=z zz z f 的展开式..0arctan 的幂级数展开式在求=z z定理7 设函数()z f 在环域201R z z R <-<内解析，则()z f 在此环域内一定可以展成()()∑∞-∞=-=n n n z z C z f 0， 其中()()() 2,1,02110±±=-=⎰+n d z f i C C n n ςςςπ.C 为此环域内绕0z 的任意一条简单闭曲线. 称此级数为环域内的解析函数的洛朗级数. 说明:环域201R z z R <-<内的解析函数则()z f 在此环域内一定可以展成惟一的洛朗级数. 例16． 将函数 ()()()211--=z z z f分别在圆环域(1)10<<z ;(2)21<<z ;(3)+∞<<z 2内展开为洛朗级数.例17. 将函数()2z shz z f =在+∞<<z 0内展开为洛朗级数.例18. 试求()211z z f +=以z =i 为中心的洛朗级数.。
第四章-幂级数
因此 z 2k (k 0, 1,...) 都是 f ( z) sin z 1 的二阶零点
2
解析函数零点的孤立性，唯一性定理
• 定理：设函数 f ( z ) 在 z a R 解析，且不恒 为零，a为其零点，则必有a的一个邻域， 使得 f ( z ) 在其中没有a之外的零点。
的系数
cn
满足
cn 1 l cn
（2）
lim n cn l
n
（3） 则幂级数 c ( z a) 的收敛半径
n
lim n cn l
n
n 0
n
1 l , l 0, l R 0, l , l 0
cos(in)( z 1) 例.
1、幂级数 各项均为幂函数的复变项级数
(*)
其中 ，都是复常数，这样的 级数叫做以 z0 为中心的幂级数。 2、幂级数的收敛性，收敛半径 先看由上级数各项的模所组成的正项级数
应用正项级数的比值判别法可知，如果
则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记 号
即，如果 果 ，则
则原级数绝对收敛，如
即级数后面的项的模越来越大，不满足级数
eiz eiz 2i
(eiz i)2 0, eiz i
2
2 k
(k 0, 1,...)
这是 f ( z) sin z 1 的全部零点 注意到
(sin z 1) ' z 2 k cos z z 2 k 0
2 2
(sin z 1) '' z 2k sin z z 2k 1
n z 2 z3 z 4 z f 0 ( z ) (ln( z 1))0 z ... (1) n1 ... 2 3 4 n
复变函数解析函数的幂级数表示法
又 n (a n a ) i (bn b ) (a n a ) 2 (bn b ) 2 an a n 故 a n a , bn b. lim lim
n n
bn b n
n 0 n n 0
n 0
3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：
(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。
( iii ) 0, 使 得 cn n收 敛,
4. 收敛半径的求法
1 / 0 cn1 定理2 若 lim ，则 R 0 (比值法) n cn 0 cn 1 z n 1 cn 1 证明 ( i ) 0, lim lim z z n n n c cn z n 1 当 z 1时,即 z 时, cn z n绝 对 收 敛 ；
---级数的部分和 若z0 D lim sn ( z0 ) s( z0 ), 称 级数 1)在z0收 敛, (
n
其 和为 ( z0 ), sn ( z0 )不 存在 ， 称 级数 )发 散, s lim (1
n
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数
s( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )＋ ---级数(1)的和函数
n 1 n 1 n 1 n 1
2 2 证明 n an ibn an bn 2 2 an an bn , 2 2 bn an bn
n n
第四章 复级数
重要推论: lim n 0 级数 n发散.
n n1
n ? 0 判别级数的敛散性时, 可先考察 lim n
例 如 ， 级 数 e in : 因为 lim n lim e in 0,
n 1
n n
不满足必要条件, 所以原级数发散.
17
级数 n 绝对收敛： 如果级数
发散，所
9
二、 复数项级数的收敛性及其判别法
所谓通项为复数 n an bni 的复数项级数就是
n 1
n
1 2 n
(1.2)
前n项的和
Sn k 1 2 n
k 1 n
称为级数的部分和.
10
级数收敛与发散的概念 如果该部分和数列{ Sn } 收敛到S，则称上 述复数项级数收敛，且称 S 为该级数的和， 记为 n S
的任何点z，此幂级数在该点不仅收敛，而且绝对收 敛。
k c ( z z ) 推论 若幂级数 k 0 在点z1发散，则它在满足 k 0
| z z0 || z1 z0 |
处发散．
29
证明
不妨设z0＝0.因为级数
n n c z 收敛 , 有 lim c z 0， n1 n 1＝ n 0 n
知
n
所以
k 1
2 2 ak bk ak bk , k 1 k 1
n
n
, a 与 b 绝 对 收 敛 时
n 1 n n 1 n
. 也绝 对 收 敛
n 1 n
综上可得:
. 绝 对 收 敛 a 与 b 绝 对 收 敛
04_解析函数的幂级数展开
可交换性： 绝对收敛级数经改变项的位 置后构成的级数仍绝对收敛，而且与原 级数有相同的和. 若复数项级数 p 与 q 都绝对收敛，其 和分别为S 和 ，则它们的Cauchy乘 积 p q (p q p q ) (p q p q p q ) 也是绝对收敛的，且为S 。
孤立奇点的分类
孤立奇点分类：可去奇点、极点和本性 奇点
极点与零点的关系
第六节 解析函数在无穷远点的性态
定义
若 函 数 f ( z ) 在 无 穷 远 点 z 的 某 邻 域 R | z | 内 解 析 则 称 为 f ( z )的 孤 立 奇 点 .
从 函 数 的 极 值 看 ， z 是 f ( z )的 可 去 奇 点 ， 极 点 或 本性奇点的充分必要条件分别是：
2内 收 敛
于 f 2 ( z ). D 1与 D 2 有 一 公 共 区 域 ， 如 图 所 示 阴 影 区 域 ， 且 在 这 个 公 共 区 域 重 两 级 数 相 等 ， 所 以 f 2 ( z ) 为 f 1 ( z )的 解 析 延 拓 函 数 .事 实 上 ， 它 们 不 过 是 同 一 解 析 函 数 域 中 的 T a ylo r 级 数 而 已 . 1 1 z 在不同
第四章 解析函数的幂级数展开
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
复数项级数与复变项级数 幂级数 解析函数的Taylor级数展开 解析函数的Laurent级数展开 孤立奇点 解析函数在无穷远点的性态 解析延拓
第一节 复数项级数与复变项级数
复数项级数概念
设有复数列 z ( k
k
k
k
k 1
复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1
复变函数课件1-1资料
10
法国著名的物理学家、数学家和 天文学家。1717 年11月 17 日生 于巴黎，1783年10月29日卒于同 地。他是圣让勒隆教堂附近的一 个弃婴 ，被一位玻璃匠收养，后
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
16
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
课程概况
课程名称 复变函数
教材 总学时
《复变函数论》 高教第三版(钟玉泉编)
76学时
1
第一章 复数与复变函数
8
第二章 解析函数
12
第三章 复变函数的积分
12
第四章 解析函数的幂级数表示法
10
第五章 解析函数罗朗展示与孤立奇点 12
第六章 留数理论及其应用
12
第七章 共形映射（选学）
10
2
课程简介
13
第一章 复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数 第四节 复球面与无穷远点
14
第一节 复数
•1 复数域 •2 复平面 •3 复数的模与辐角 •4 复数的乘幂与方根 •5 共轭复数 •6 复数在几何上的应用举例
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2021年数理方法课件 精美PPT 04第四章 解析函数的幂级数表示
1.函数项级数 fn(z) (1) n=0 • 称函数项级数 (1) 在点集 E 上收敛于函数 f(z)，
若对每点 zE 及任意ε>0，存在正数 N ( , z),
m
对每个 m N ( , z)，有 | fn(z) − f (z) | . n=0
• 当 N( , z)可不依赖于 zE 时，称此函数项级数
|
cn
|
(上极限)
上极限：对实数序列 {xn} ，若去掉前 n 项后的
子序列最小上界为 pn，则
lim sup
n→
xn
=
lim
n→
pn
•对
zn ,
lim
1/ n!
= lim n n! = , 收敛半径为 ∞
n=0 n! n→ 1 /(n + 1)! n→
例1：(1)
n=0
z2n 2n ,
zn (2) ,
n=0
1− z m→+ 1− z
m
对 0<ε<1/2，不等式 | zn − (1− z)−1 | n=0
的解为 m N (z, ) −1, N (z, ) = − ln( |1− z |)
− ln | z |
若
|z|≤ρ，则N (z,
)
ln[
(1−
)]
;
lim N(z, ) = +
ln
z → −1
➢ 柯西收敛准则
fn(z) 收敛 (一致收敛) 的充分必要条件：
n=0
对zE 及 0，存在 N( , z) 0, p m N( , z)
p
时 | fn (z) | .
N ( ) 0
第四章解析函数的级数表示(Therepresentationofpower
(The representation of power series of analytic function)
§4.1 复数项级数
§4.2 复变函数项级数
§4.3 泰勒（Taylo§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数
f z fnz n1
二、 幂级数
形如：
的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1,
c2 ,…, 都是复常数. 以上幂级数还可以写成如下形式
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn
n0
定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3) 在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆 K:|z-a|<|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛.
n1 n
n1
n
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, n1 n
(1)n 1收敛,
n1
n
故 原 级 数 仍 发 散.
定理4.3级数 收敛的必要条件是
其中zn xn yn
证明 因为级数 收敛的充分必要条件是
都收敛，再由实级数 收敛的必要条件是
定理4.4若级数 zn n 1
收敛，
则级数
z
n也收敛.
lim
n
zn
z0
.
此时也称复数列{zn }收敛于 z0 .
定理4.1设复数列n an ibn, a ib,则
lim
n
n
的充分必要条件是
证明
那末对于任意给定 0
就能找到一个正数N,
从而有
所以
lim
n
an
a.
同理
lim
n
bn