第四课时24.1.4圆周角
24.1.4圆周角
O B
C O B E
A
B
O2 O1
C D
E
A
C
O F G
C
A
A
8. 已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。 圆心角为60度
O
圆周角为 30 度 或 150 度。
A
B
A
9.如图，四边形ABCD内接于 ⊙O，∠AOC=100°则 130° 50° ∠B=______∠D=______
已知： CO 是△ABC
1 且CO= 2 AB 的AB边上的中线，
求证： △ABC 为直角三角形. 证明： 以AB为直径作⊙O，
1 ∵AO=BO，CO= AB, 2
C
A · O B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径, ∴∠ACB= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形.
合作交流
如图，如何确定一个圆形纸片的圆心吗？交流一下．
练一练
6.如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠OBC的度数。
练一练
7. 如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点, 若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40°
B
C
6.如图:A、P、B、C是圆O上的四点 ， ∠APC= ∠CPB=60度，判断三角 形ABC的形状并证明你的结论。
（3）圆心在∠BAC的外部.
作直径AD. ∠DAB= 1 ∠DOB 2
1 ∠DAC= 2∠DOC ∠DAC-∠DAB= 1 （∠DOC-∠DOB） 2 1 ∠BAC= 2 ∠BOC
A O D C B
A O B C B
A
O C
24.1.4圆周角(人教新课标九年级上)
C O
B A
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB
（2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有
怎样的关系？为什么？
A
Qp O
B
小结：
本节课你学会了什么?
1、圆周角的定义； 2、圆周角定理及证明； 3、圆周角定理的运用； 4、圆内接多边形的定义； 5、圆内接四边形的性质。
一、圆周角概念
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两 边都与圆相交的角叫做圆周角。
图中的∠ACB、∠ADB 和∠AEB是圆周角 C
D A
O·
E
B
课本P88-1判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？ 并说明理由。
P
PPຫໍສະໝຸດ PP不是 不是
顶点不 顶点不 在圆上。 在圆上。
是
不是
顶点在圆 上，两边 和圆相交。
两边不和 圆相交。
24.1.4 圆周角
教学目标
1．理解圆周角的概念，会识别圆周角。 2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算。 3.能推导和理解 圆 周 角 定理的两个推论，并能利用这两个推论解决 相关的计算和证明等问题。 4.知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形 都有外接圆。 5.能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算 和证明等问题。 6.经历观察、类比、猜想、合作交流等数学活动，体会运用分类讨 论、转化、完全归纳法等数学思想方确法解决问题,培养学生分析问题和 解决问题的能力。
∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：连接OD
∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》教学设计
人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》是本节课的主要内容。
圆周角定理是圆周角定理系列中的重要定理之一，也是后续学习圆的性质和圆的方程的基础。
本节课的内容包括圆周角定理的证明和应用。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握圆周角定理，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质，对角的性质有一定的了解。
但是，对于圆周角定理的理解和运用还需要进一步引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察和操作，发现和总结圆周角定理的规律。
三. 教学目标1.了解圆周角定理的内容和证明过程。
2.能够运用圆周角定理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
四. 教学重难点1.圆周角定理的证明过程。
2.圆周角定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察和操作，发现和总结圆周角定理的规律。
2.运用多媒体辅助教学，展示圆周角定理的证明过程，增强学生的直观感受。
3.通过例题和练习题，让学生在实际问题中运用圆周角定理，巩固所学知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.圆规、直尺等绘图工具。
3.相关例题和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式，引导学生回顾相似三角形的性质和角的性质。
让学生思考：在圆中，圆周角和圆心角之间有什么关系？2.呈现（10分钟）展示圆周角定理的证明过程，引导学生观察和理解证明方法。
通过多媒体动画演示，让学生更直观地感受圆周角定理的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些与圆周角定理相关的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）呈现一些例题和练习题，让学生独立解答。
教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：圆周角定理在实际问题中的应用。
24.1.4-圆周角-教案-新人教版
24.1.4圆周角教学时间课题课型 新授教 学 目 标知识和 能力1．了解圆周角与圆心角的关系．2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 3．能运用圆周角的性质解决问题．过程和 方法1．通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力． 2．通过观察图形，提高学生的识图能力．3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力． 4．学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题．情感态度价值观 引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 教学重点 探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．教学难点发现并论证圆周角定理．问题与情境师生行为二次备课 [活动1 ]演示课件或图片：问题1 如图：同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C ，他们的视角（AOB ∠和ACB ∠）有什么关系？问题2如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和E ，他们的视角（ADB ∠和AEB ∠）和同学乙的视角相同吗？教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆．教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB 观看窗内的海洋动物．教师结合示意图，给出圆周角的定义．［活动2］问题1同弧（弧AB ）所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB 的大小关系是怎样的？ 问题2 同弧（弧AB ）所对的圆周角∠ACB 与圆周角∠ADB 的大小关系是怎样的？ O BACBO AC D E教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论． 在活动中，教师应关注：1．学生是否积极参与活动；2．学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确．［活动3］问题1在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ (课件：折痕与圆周角的关系)问题2当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？问题3另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论．教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充． 教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．［活动4］问题1半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（课件：圆周角定理推论）A O BC 1C 2C 3问题2 90°的圆周角所对的弦是什么? 问题3 在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？ 问题4在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所学生独立思考，回答问题，教师讲评．问题1提出后，教师关注：学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数． 问题2提出后，教师关注：学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所对的弦是直径．问题3提出后，教师关注： 学生能否得出正确的结论，并能说明理由． 问题4提出后，教师关注：学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等．问题5提出后，教师关注： 学生是否准确找出同弧所对的圆对的弧一定相等吗？为什么？问题5如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？问题6如图，⊙O的直径AB 为10 cm，弦AC 为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．周角．［活动5］问题通过本节课的学习你有哪些收获？教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容．作业设计必做教科书P87：4、5、6选做教科书P89：13、14、15教学反思。
24.1.4圆周角
C
B
P
A
C B
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上 时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关 系.
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
B A O C
1 即∠A= ∠BOC 2
分析论证
你能证明第2种情况吗？
提示：作射线AO交⊙O于D。转 化为第1种情况 A O B D C
知识回顾
1.什么叫圆心角? 顶点在圆心的角叫圆心角 2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的 一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等， 那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 O
.
A
B
探 究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察 得到的∠ACB有什么特征？ C
D
8 7
解： ∠1＝∠4 ∠3＝∠6
∠2＝∠7 ∠5＝∠8
A
1 2 3 4 6 5
B
C
探究与思考：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
C1
A
C2
C3 B
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是 直角，那么∠AOB是 180° 。 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周角 所对的弦是直径。
证明：由第1种情况得
1 ∠BAD＝ ∠ BOD 2 1 ∠CAD＝ ∠ COD 2
1 1 ∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
分析论证
你能证明第3种情况吗？
证明：作射线AO交⊙O于D。
人教版数学九年级上册教学设计24.1.4《圆周角》
人教版数学九年级上册教学设计24.1.4《圆周角》一. 教材分析《圆周角》是人教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了圆周角的定义、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质，并能够运用圆周角解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的定义、半径、直径等。
同时，学生也具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但是，对于圆周角的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角的定义，掌握圆周角的性质，并能够运用圆周角解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析和归纳，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆周角的定义和性质。
2.运用圆周角解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解圆周角的定义和性质，引导学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析具体案例，让学生更好地理解圆周角的运用。
3.小组讨论法：通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.课件：制作相关的课件，包括圆周角的定义、性质和应用等方面的内容。
2.案例：准备一些具体的案例，用于分析和解决实际问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用课件呈现圆周角的定义和性质，让学生初步了解并掌握相关知识。
3.操练（15分钟）让学生通过观察和分析具体的案例，运用圆周角的知识解决问题，巩固所学内容。
4.巩固（5分钟）让学生完成一些练习题，检查对圆周角知识的掌握程度，并对存在的问题进行讲解和辅导。
5.拓展（5分钟）引导学生进一步思考和探讨圆周角在实际问题中的应用，培养学生的解决问题的能力。
人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》教学设计
人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》教学设计一. 教材分析《圆周角》是人民教育出版社九年级数学上册第24章《圆》的第四节内容。
本节主要让学生通过探究圆周角的性质，掌握圆周角定理及其推论，并能在实际问题中运用。
圆周角定理是圆的内接四边形定理的重要组成部分，对于学生理解圆的性质，解决与圆有关的问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。
但学生对于圆周角的理解和应用还不够深入，需要通过本节内容的学习，进一步巩固和提高。
同时，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，需要在教学过程中加强引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握圆周角定理及其推论，能运用圆周角定理解决简单问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：圆周角定理及其推论。
2.难点：圆周角定理的证明和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、分析、推理，从而得出圆周角定理。
2.运用案例教学法，让学生通过实际问题，运用圆周角定理解决问题。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的几何模型和图片，以便于学生观察和分析。
2.准备一些实际问题，供学生练习和应用。
3.准备PPT，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些与圆有关的实际问题，引导学生思考圆周角的概念。
2.呈现（10分钟）利用PPT展示圆周角定理的内容，让学生初步了解圆周角定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，通过观察、分析、推理，证明圆周角定理。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生运用圆周角定理解决一些实际问题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生进一步探索圆周角定理的推论，了解圆周角定理在几何中的应用。
24.1.4 圆周角
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
新课导入
教学目标
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
2
∴∠ACB=2∠BAC
证明：
8. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC，
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
圆心O在∠BAC的内部
圆心O在∠BAC的外部
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；
圆周角定理
要点归纳
互动探究
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
∴∠BAC=∠BDC
答：相等.
解:连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
数学人教版九年级上册24.1.4圆周角及其定理和推理
24.1．4圆周角及其定理和推理一、学习目标：（一）、知识技能1、理解和识别圆周角概念，理解掌握圆周角定理及其推理2、会运用圆周角定理及其推理定理进行简单的论证和计算。
（二）、数学思考：1、通过定理的证明探讨过程，促进观察，分析、概括能力，进一步提高应用和思维能力。
（三）、问题解决1、在解决几何问题时，会添加辅助线，能建构基本几何图形，运用相关性质定理及其推理解决问题。
（四）、情感态度1、培养科学的思维方法和数学品质，欣赏数学的变化美和逻辑美，进一步发现数学的乐趣。
2、学会交流合作，并能与他人交流思维的过程和结果，形成严谨求实科学态度和感受解决问题的愉悦。
二、重难点：重点：圆周角定理及其推理理解和应用。
难点：圆周角定理及其推理的证明。
三、教学过程：（一）复习旧知：(1)什么是圆心角？（特点：顶点在圆心上）(2)圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？（知一推三）（二）引入新知------圆周角定义1、由圆心角定义引入圆周角定义：（1）圆周角定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。
（2）一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.2、学生游戏--分组回答，巩固对圆周角定义的理解（三）探究新知------圆周角定理1、问题引入：同弧（或等弧）所对的圆周角和圆心角有怎样的数量关系? （1）、教师：我们先来研究同弧的情况，从下面三个方面来考虑：（2）①共同探讨：同弧所对圆周角和圆心角的数量关系(详见多媒体展示)②得出结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.（3）①教师：在等弧的情况下，以上结论结论仍成立吗？②共同探讨，得出结论：等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.2、归纳：圆周角定理：一条弧(同弧或等弧)所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.3、运用圆周角定理：随堂练习：说说下图∠AOB、∠C、∠D的数量关系:（四）探究新知------圆周角定理的推理1、①教师：同弧或等弧所对的圆周角相等吗?②探究（多媒体展示）：师生运用圆周角定理推导③得出结论：（在同圆或等圆中），同弧或等弧所对的圆周角相等．2、①提出疑问：以上推理的逆命题---在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？②探究，得出结论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等3归纳：4、运用新知---圆周角定理的推理（五）反馈小结（共4点，详见如下图片展示）1.圆周角定义2. 圆周角定理 3．圆周角定理（推理）4. 利用圆周角定理及其推论证明时常用的思路(知一推四)（六）布置课后练习和作业四、板书设计24.1．4圆周角及其定理和推理 （一）、复习旧知 （四）、探究新知---圆周角定理的推理（二）、引入新知---圆周角定义 （五）、反馈小结 （三）、探究新知---圆周角定理 （六）、布置课后练习和作业。
24.1.4_圆周角课件PPT
6
A O P
10
D
B
24.1.4 圆周角
复习
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆 心角、弧、弦三个量之间关系的 B C 一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量 相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 O
.
问题
什么是圆周角？
定义
顶点在圆上,并且两边 都与圆相交的角,叫做 圆周角.
你能用文字来描述这个定理吗?
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: ∠ABC = ∠AOC.
1 2
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A C
●
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB 分别是什么角？它们有什么关系？ 同弧所对的圆周角都相等
B
C
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求 ∠A的大小. 解: ∠A 25°.
C
●
O
B
A D O
=
1 ∠COD, 2
●
C
∠AOC.
1 ∴ ∠ABC = 2
B
A
3.当圆心角和圆周角(∠ABC)的外部时,
C
●
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小
关系会怎样?
O
B
A
过点B作直径BD.由1可得:
1 ∠AOD,∠CBD 2 1 = 2∠COD,
C
∠ABD =
∴
B
●
O
∠ABC =
1 ∠AOC. 2
C A B
24.1.4圆周角
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
B
AD BC 2 AC 2 10 5 2(cm).
2
2
归纳 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条 件，则考虑构造直角三角形来求解.
合作交流探究新知
四 圆内接四边形
圆内接四边形的定义 若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
合作交流探究新知
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四 边形ABCD的对角线.
（3）若若ACAC是是半直圆径，， ∠ADC= 90°，
∠ABC= 90° .
推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 反之，直角所对的弦是直径.
范例研讨运用新知
三 圆周角定理及其推论的运用
典例精析
例：如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长；
合作交流探究新知
试一试： 1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在 直线的同侧，∠BAC=35º. (1)∠BOC= 70 º， 理由是 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 ; (2)∠BDC= 35 º，理由是 同弧所对的圆周角相等 .
合作交流探究新知
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四
反馈练习巩固新知
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （× ） （3）900的角所对的弦是直径 （ ×） （4）同弦所对的圆周角相等 （ ×）
反馈练习巩固新知
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°, 则∠BCD=＿＿50＿°_.
人教版九年级数学上册第24章第24.1.4圆周角(教案)
a.在证明圆周角定理时，学生可能难以理解为什么通过等腰三角形的性质可以推导出圆周角定理。此时，教师应通过动画或实物模型，逐步展示证明过程，强调每一步的合理性。
b.对于圆周角定理的应用，学生可能在面对复杂问题时不知如何下手。教师应提供多个示例，包括简单和复杂的问题，引导学生如何从问题中提取关键信息，运用圆周角定理进行解答。
4.圆周角的应用：解决实际问题，如测量圆形物体的直径或周长等。
本节课将围绕以上内容展开教学，帮助学生掌握圆周角的概念、定理及在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过圆周角定理的推导与应用，使学生掌握逻辑推理的方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2.强化空间观念：借助圆周角与圆的相关性质，帮助学生建立空间观念，理解几何图形之间的关系。
2.教学难点
-圆周角定理的证明：理解证明过程中的每一步逻辑推理，特别是如何利用等腰三角形的性质和圆的性质来证明圆周角定理。
-圆周角的应用：在实际问题中，如何正确识别和应用圆周角定理，特别是涉及多步骤计算的问题。
-空间观念的建立：对于一些空间想象能力较弱的学生，理解圆周角与圆上其他元素的关系可能存在困难。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角的基本概念。圆周角是圆上任意两点与圆心所构成的角。它在几何学中有着重要作用，可以帮助我们解决与圆相关的问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析圆周角定理在实际中的应用，展示如何利用圆周角解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角的定义和圆周角定理这两个重点。对于难点部分，如圆周角定理的证明，我会通过举例和逐步推导来帮助大家理解。
三、教学难点与重点
人教版数学九上24.1.4 圆周角 说课课件(共21张PPT)
D
BF
三、总结提升---解题方法总结
常见解法
等腰直角三角形
角平分线、四边形
C
F A EO
A B
D C
A
A
O
B
D
常见思路，但没有充 分运用特殊角的条件
C
12
E O
CD
12
O E
A B
C
12
O
D C
12
B
A
O
E
E B A E
B
C
12
O E
D
F B
D D
充分利用特殊角构造 等腰直角三角形
从角平分线入手，构 造角平分线基本图形， 再由特殊角得到特殊
如图，以ABC 的BC 边上一点O为圆心的圆经过
A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半
圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC FC.
A
求证：B 2C 90
等弧、半径
B
OF
E
C
垂径定理
连接AO
D
BC OD
等腰OAD
RtODF
三、总结提升---模型归纳
在 O 中，AB是直径，弦AC与弦BC交圆于C 点C，
24.1.4圆周角
题目：
九年级上册 87页 24.1.4圆周角 例4
如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交于⊙O点D，求 BC，AD，BD的长.
说题流程
一、审题分析 二、解题过程 三、总结提升 四、评价分析
一、审题分析
题目背景
题
知
方思
材
识
法想
背
背
背背
景
圆周角知识点
24.1圆（第四课时） 24.1.4圆周角◆随堂检测1、如图，点A B C ，，都在O 上，若34C = ∠，则AOB ∠的度数为（ ） A 、34B 、56C 、60D 、682、如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ ） A 、80° B 、50° C 、40° D 、20°3、如图，AB 是O 的直径，点C D ，是圆上两点，100AOC ∠=，则D ∠=_______.4、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？O CFG DE◆典例分析A ，B 是圆O 上的两点，60AOB ∠=，C 是圆O 上不与A 、B 重合的任一点，求ACB ∠的度数是多少？分析：由于AOB ∠的度数一定，所以我们常常会认为点C 在圆O 上任意一点时，ACB ∠的度数都是相等的.其实,这是没有看透题目的本质，所以导致解题过程出现漏洞.本题中,60AOB ∠=，的劣弧的度数为60，对应的优弧的度数应为300 .所以应有两解才对. 解：分两种情况:（1）当C 点在劣弧AB 上时，如图所示，A ，B 是圆O 上两点，60AOB ∠= ，所AB 的度数为60，优弧AOB 的度数为300，又因为ACB ∠的度数是优弧AOB 的度数的一半，所以150ACB ∠=. （2）当点C 在优弧ADB 上时，ACB ∠=21AOB ∠=30 . 综上所述ACB ∠为30或150.◆课下作业●拓展提高1、如图，O 是ABC △的外接圆，已知50ABO ∠=，则ACB ∠的大小为（ ） A 、40B 、30C 、45D 、502、如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A 、45°B 、60°C 、75°D 、90°3、如图，ABC △内接于O AD ，是O 的直径，30ABC ∠=，则CAD ∠=______.D4、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝2cm ，CD ＝4cm ．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD ＝90°，求圆心O 到弦AD 的距离．5、如图,∆ABC 内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD 为⊙O 的直径,AD=6,求BC 的长.●体验中考1、(2009，宁夏)如图，AB 为O ⊙的直径，AB ACBC =，交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点45E BAC ∠=，°．（1）求EBC ∠的度数；（2）求证：BD CD =．2、（2009，荆门市）如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD． （1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：BM ＝ND ．ADFM N D CB AAD参考答案：◆随堂检测1、D．2、D.3、40°．4、解：BD=CD.理由如下:连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵AC=AB，∴△ABC是等腰三角形，∴BD=CD.◆课下作业●拓展提高1、A．2、A．3、60°．4、解：由已知条件易证Rt△AOB≌Rt△ODC，可得OB=CD=4cm,∴在Rt△AOB中=∴在Rt△AOD中,AD∴圆心O到弦AD5、解：∵∠BAC=120,AB=AC ，∴BCA=30，又∵BD 为直径，∴∠BAD=90，∴∠DAC=30，∵∠BDA=∠BCA=30，∴∠BDA=∠DAC ，∴BD//AC ，∴ABDC 是等腰梯形，∴BC=AD=6. ●体验中考1、（1）解：AB 是O ⊙的直径，∴90AEB ∠=°．又45BAC ∠= °，∴45ABE ∠=°．又AB AC = ，∴67.5ABC C ∠=∠=°．∴22.5EBC ∠=°． （2）证明：连结AD ．AB 是O ⊙的直径，∴90ADB ∠=°．∴AD BC ⊥．又AB AC = ，∴BD CD =．2、（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°． ∴∠AEC＋∠AFC＝180°．∴A、E 、C 、F 四点共圆.（2）解：由（1）可知，圆的直径是AC ，设AC 、BD 相交于点O ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 为圆心． ∴OM＝ON ．∴BM＝DN ．。
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》教案
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示圆周角定理的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
此外，学生小组讨论环节，我发现大家在讨论“圆周角在实际生活中的应用”这一主题时，思路较为局限。为了拓宽学生的思维，我今后可以多提供一些与圆周角相关的实际案例，让他们在讨论时有更多的借鉴和启发。
最后，总结回顾环节，我希望通过提问的方式了解学生对课堂内容的掌握情况。但从学生的回答来看，他们对圆周角知识点的掌握还不够扎实。因此，我计划在接下来的课堂中，增加一些针对性的练习，帮助他们巩固所学知识。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角的定义、圆周角定理以及它们在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆周角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角的基本概念。圆周角是由圆上两条半径或弦所夹的角。它是研究圆的重要几何性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。
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AB是直径
圆周角定理的推论：
半圆(或直径)所对的圆周角是直 角，90°的圆周角所对的弦是直径。 直径对直角 C
直角对直径 A
O
A
如图，用直角曲尺检查半圆形的工 件，哪个是合格的？为什么？
见直角，想直径
已知：⊙O的直径为AB ，AC=AB
求证：BD=CD
见直径，想直角
A O
C
B
D
已知：⊙O直径AB为10，弦AC为6， ∠ACB的平分线交⊙O于D 求：BC、AD、BD的长． 见直径，想直角
已知：在△ABC中，AD⊥BC于D，以 AE为直径画⊙O，经过点B、C
求证：∠BAE=∠CAD
见直径，想直角
A
O
B E D C
已知： △ABC的三点都在⊙O上，
∠C=30°，AB=2 求：⊙O的半径 C
O
A
B
已知： △ABC 内接于⊙O，∠C=45° AB = 4
求：⊙O 的半径
O A
C
B
若一个多边形各顶点都在同一个 圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多
边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ BAD+BCD=360°
∴∠A＋∠ C＝ 180° A
D
同理：∠B＋∠D＝180°
B
O
C
定理：圆的内接四边形的对角互补。
性质定理1
圆内接四边形的对角互补
如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
探 究： 在⊙O中，AB是直径，你知道∠AC1B 的大小吗？
AB是直径 C1 A O B
∠AC1B=90°
圆周角定理的两个推论： ①半圆(或直径)所对的圆周角是直角 ② 90°的圆周角所对的弦是直径 C
A
O
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求圆周角∠ACB的度数：
C
求圆周角∠AOB的度数：
如图，点A、B、C、D在同一个圆上， 四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个
角，这些角中哪些是相等的角？ ∠1 = ∠ 4
∠5 = ∠8
∠2 = ∠7
∠3 = ∠6
如图，BD为⊙O的直径，∠A=30°
则∠ CBD的度数为 ( A、 30° ) B、 45°
C、
60°
D、 80°
B C
A
D
O
探究 二、如图，在⊙O中， ∠ACB=90°， 你知道弦AB有什么特殊吗？
C ∠ACB=90° A O A
性质定理2
圆内接边形的外角等于它的内角的对角。
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 那么它的四个顶点共圆.
若ABCD为圆内接四边形，则下列 哪个选项可能成立（ B ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 （C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则∠C=_____ 75°
A D O B C
圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。
已知：四边形ABCD是圆的内接四边形 并且ABCD是平行四边形 求证：四边形ABCD是矩形
A
O
B
D
C
已知：⊙O1与⊙O2都经过A、B两点.经过点
A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2
交于点D.经过点B的直线EF与⊙O1交 于点E,与⊙O2交于点F
求证：CE=DF
A
C E O
１
D O
2
F
B
分析：只要证明同旁内角互补即可！
并利用圆内接四边形的性质定理．
证明：连接AB． ∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴ ∠BAD＝∠E． 又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形， ∴ ∠BAD+∠F=180º ．
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆 心角的一半.
圆周角定理
同弧所对的圆周角的度数相等，并且
它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角
的度数的一半．
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，它们所对应的 其余各组量也相等． (1)圆心角； (2)圆心角所对的弧； 知一得三 (3)圆心角所对的弦; (4)圆心角所对弦的弦心距. (5)圆心角所对弦的圆周角. 知一得四
它们有什么共同的特点？ 它们都对着同一条弧
O B C
思考：同弧所对的圆心角、圆周角的关系？
⌒
圆周角与相应圆心角的位置关系:
C O A B
C O A
B
C O A B
圆心在 圆周角内部
圆心在圆 周角一边上
圆心在 圆周角外部
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半.
结论 :一条弧所对的圆周角等于它所对圆 心角的一半.
九年级
上册
24.1.4 圆周角
1、足球场上哪些位置射门命中率高？ 2、哪些位置射门命中率相同？ 3、针对球员在不同位置射门的威胁程度进行 研究，并绘制出球门的危险区域。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
A
⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？
A D
∴ ∠E+∠F=180º ．
∴ CE//DF ∴四边形CEFD是平行四边形 ∴CE=DF
C
O１
E B
O2
F
点A，B，C在⊙O上，∠ABO=32°，
∠ACO=38°，则∠BOC等于 度．
已知：⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°
求：∠A的度数
在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合 向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已 跟随冲到B点,从数学角度看,此时甲是自己直 接射门好,还是将球回传给乙,让乙射门好？