大物 3

2 =
t 时刻 x＝0 处 ， y 0 = 0 ，取 则 y 2 t = A cos⎜ 2π 三、计算题
π
2
⎛ ⎝
3 ⎞ + π ⎟ ，波形如上右图所示。 λ 2 ⎠
x
1. 如图所示， S 为点波源， 振动方向垂直于纸面，S1 和 S 2 是 屏 AB 上的两个狭缝， S1 S 2 ＝a。 SS1 ⊥AB，并且 SS1 ＝b。 S x 轴以 S 2 为坐标原点，并且垂直于 AB。在 AB 左侧，波长 在 AB 右侧， 波长为 λ2 。 求 x 轴上干涉加强点的坐标。 为 λ1 ； 解：坐标为 x 的 P 点，两列波引起的分振动的位相差为
B
波节位置满足 2π
π
λ
= (2n + 1) , n = 0, 1, 2L ， 2 2
π
3. 如图所示，一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，BC 为波 密介质的反射面。波由 P 点反射，OP = 3λ/4，DP = λ/6。 在 t＝0 时， O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运 动。求 D 点处入射波与反射波的合振动方程。(设入射波 和反射波的振幅皆为 A，频率为ν 。) 解：以 O 点为坐标原点，设入射波方程式为
10λ − 3λ r −r ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 − 2π 2 1 = ϕ 2 − ϕ1 − 2π 3 =0
λ
λ
2 3 5. 已知一驻波在 t 时刻各点振动到最大位移处，其波形如图(A)所示，一行波在 t 时刻的 波形如图(B)所示。试分别在图(A)、(B)上注明所示的 a、b、c、d 四点此时的运动速度的 方向(设此波为横波)。
解：设另一波的波动方程为 y 2 = 2.0 × 10 −2 cos⎢100π ⎜ t −
⎤ x ⎞ ⎟ +ϕ⎥ 20 ⎠ ⎦
4π ⎞ ⎞ ⎛ ϕ− ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎟ ⎟ cos ⎜ 100 π t + 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠
则驻波方程为
4π ⎛ +ϕ ⎜ y = y1 + y 2 = 4 .0 × 10 − 2 cos ⎜ 5π x − 3 2 ⎜ ⎜ ⎝
⎛x t ⎞ 在 x＝0 处发生反射， 反射点为一固定端。 + ⎟， ⎝λ T ⎠
(3) 波腹和波节的位置。
(2) 合成的驻波的方程式；
解：(1)反射点是固定端，反射时有半波损失，且振幅不变，所以反射波的方程式为
⎡ ⎛x t⎞ ⎤ y 2 = A cos⎢2π ⎜ − ⎟ + π ⎥ ⎣ ⎝λ T ⎠ ⎦
(D) y 2 = 2.0 × 10 −2 cos⎢100π ⎜ t −
(A) y 2 = 2.0 × 10 −2 cos ⎢100π ⎜ t −
⎡
⎛ ⎝
x ⎞ π⎤ ⎟+ 20 ⎠ 3 ⎥ ⎦
(SI) (SI) (SI) (SI)
⎡ ⎣
⎛ ⎝
x ⎞ 4π ⎤ ⎟− 20 ⎠ 3 ⎥ ⎦ ⎡ ⎣ ⎛ ⎝
2
2
。
R 1 1 A1 , = 2 ， 又平均能流 P = ρ A 2ω 2 u 2 ∆ S ⊥ ， r A2 R1 2
2 2
所以
P1 A R = 1 2 = 22 P2 A2 R1
3. 如图所示， S1 和 S 2 为同相位的两相干波源，相距为 L，P 点距 S1 为 r；波源 S1 在 P 点引起的振动振幅为 A1 ，波源 S 2 在 P 点引起的振动 振幅为 A2 ，两波波长都是 λ ，则 P 点的振幅 A ＝
《大学物理 AII》作业
一、选择题
No.3 波的干涉
1. S1 和 S 2 是波长均为 λ 的两个相干波的波源，相距 3 λ /4，S1 的相位比 S 2 超前 π 2 。若 两波单独传播时，在过 S1 和 S 2 的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度 都是 I 0 ，则在 S1 、 S 2 连线上 S1 外侧和 S 2 外侧各点，合成波的强度分别是 [ D ] (A) 4 I 0 ， 4 I 0 。 (C) 0， 4 I 0 。 (B) 0，0。 (D) 4 I 0 ，0。
O
.
入射
D
反射
.
P
x
C
x⎞ ⎡ ⎛ ⎤ y1 = A cos⎢2π ⎜ν t − ⎟ + ϕ ⎥ λ⎠ ⎦ ⎣ ⎝
入射波在 P 点引起振动的振动方程为
3λ 4 ⎞ 3 ⎡ ⎛ ⎤ ⎛ ⎞ y1P = A cos⎢2π ⎜ν t − ⎟ + ϕ ⎥ = A cos⎜ 2πν t − π + ϕ ⎟ 2 λ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝
y 2 = A cos 2π (νt + x / λ ) 。叠加后形成驻波，其波腹位置的坐标为：
C ] (A) x = ± kλ 。 (C) x = ± kλ / 2 。 (B) x = ± (2 k + 1) λ 2 。 (D) x = ± (2k + 1)λ / 4 。
[
其中的 k = 0 , 1, 2, 3LL 。 解：驻波方程为 y = y1 + y 2 = 2 A cos ⎜ 2π
y
A
u
A
y
u x
⎞ + ϕ1 ⎟ λ ⎠ x
x π ⎞ ⎛ , y 1t＝ A cos ⎜ − 2π + ⎟ 2 λ 2⎠ ⎝
O
x
O
⎛ ⎝
解：设向右传播的波的波动方程为 y1 = A cos⎜ ω t − 2π
t 时刻 x＝0 处 y 0 = 0, v 0 < 0 ，所以 ω t + ϕ 1 =
π
欲形成驻波，向左传播的波应为
所以
ϕ 2 − ϕ1 = π
y
(A)
a
. .b . .b
y
a
. .b
u
O
y
.d . c
a
x
(B)
O
y
.d . c
a
x
. .b
c
u
解： (A)
O
.d . c
x
(B)
O
. .d x
不画四点速度方向，或 注明四点速度为零
6. 一简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 图中所示为该波 t 时刻的波形图， 欲沿 Ox 轴形成驻波， 且使坐标原点 O 处出现波节，在另一图上画出另一简谐波 t 时刻的波形图。
4. 如图所示，P 点距波源 S1 和 S 2 的距离分别为 3λ 和 10λ/3，
S1 S2
r1 = 3λ
λ为两列波在介质中的波长，若 P 点的合振幅总是极大值，则
两波源应满足的条件是 振动方向相同；频率相同。S2 的 相位比 S1 的相位领先 2π/3 。
r2 = 10 λ 3
P
解：两列波合成后有稳定的强弱分布，必须满足相干条件：振动方向相同；频率相同； 相位差恒定。
解：在 S1 的外侧，两波源引起的分振动的相位差
P
S1
S2
Q
v u
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 − 2π
合振动振幅
r2 − r1
λ
=−
π
2
−
3π = −2π ， l1 2 I = 4I0 ；
3λ 4
l2
A = 2 A0 ，波的强度
在 S 2 外侧，两波源引起的分振动的相位差
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 − 2π
所以合振动振幅
3π + =π ， 2 2 A = 0 ，波的强度 I = 0 。 r2 − r1
λ
=−
π
2. 沿着相反方向传播的两列相干波，其波动方程分别为 y 1 = A cos 2 π ( νt − x / λ ) 和
y 2 = A cos 2 π (ν t + x / λ ) 。在叠加后形成的驻波中，各处的振幅是 [ D ] (A) A; (B) 2A;
为了在此弦线上形成驻波，并且在 x＝0 处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，其表达 式应为： [ D ]
⎣ ⎡ x ⎞ 4π ⎤ ⎛ (B) y 2 = 2.0 × 10 −2 cos ⎢100π ⎜ t − ⎟+ ⎥ ⎝ 20 ⎠ 3 ⎦ ⎣ ⎡ x ⎞ π⎤ ⎛ (C) y 2 = 2.0 × 10 − 2 cos ⎢100π ⎜ t − ⎟− 20 ⎠ 3 ⎥ ⎝ ⎣ ⎦
3. 在一根很长的弦线上形成的驻波是 [ C ] (A) 由两列振幅相等的相干波，沿着相同方向传播叠加而形成的; (B) 由两列振幅不相等的相干波，沿着相同方向传播叠加而形成的; (C) 由两列振幅相等的相干波，沿着反方向传播叠加而形成的; (D) 由两列波，沿着反方向传播叠加而形成的。
解：驻波形成的条件：振幅相等的两列相干波沿同一直线相向（反方向）传播。 4. 有两列沿相反方向传播的相干波，其波动方程分别为 y1 = A cos 2π (ν t − x / λ ) 和
解出干涉加强点的坐标为
(k = 0, 1, 2L)
2 2
x=
a2 −
[( a + b 2 [( a + b
2 2
2
2
) − b) λ
− b λ1 − k
1
]λ − k ]λ
2 2
k = 0 , 1, 2 L
(x ≥ 0 )
2. 设入射波的方程式为 y1 = Acos2π ⎜ 设反射时无能量损失，求： (1) 反射波的方程式；
x ⎛ ⎞ y 2 = A cos⎜ ω t + 2π + ϕ 2 ⎟, λ ⎝ ⎠
驻波方程为
x π⎞ ⎛ y 2t = A cos⎜ 2π + ϕ 2 − ϕ1 + ⎟ 2⎠ ⎝ λ
ϕ + ϕ1 ⎞ x ϕ − ϕ1 ⎞ ⎛ ⎛ y = y1t + y 2t = 2 A cos⎜ 2π + 2 ⎟ ⎟ cos⎜ ω t + 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ λ ϕ 2 − ϕ1
b
S1 S2
A
a x
B A
⎛ a 2 + b2 − b x − x 2 + a 2 ∆ϕ = 2π ⎜ + ⎜ λ1 λ2 ⎝
代入干涉加强的条件
2 2 2 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
S
b
λ1
S1 S2
a
B
λ2
P( x ) x
⎛ a +b −b x− x +a ⎞ ⎟ = 2kπ + 2π ⎜ ⎜ ⎟ λ λ 1 2 ⎝ ⎠
π 2
。
解：因为波的动能和势能同相位，所以弹性势能的相位也是 π 2 。 2. 一个点波源位于 O 点，以 O 为圆心作两个半径分别为 R1 和 R2 的同心球面。在两个球 面上分别取相等的面积 ∆S1 和 ∆S 2 ， 则通过它们的平均能流之比 P1 / P2 ＝ 解: 球面波振幅 A ∝
R2 / R1
⎛ ⎝
x⎞ ⎟ cos (2πν t ) λ⎠
x⎞ ⎛ cos⎜ 2π ⎟ = ±1, ⎝ λ⎠ 2π x = ± kπ ，
波腹处满足：
x⎞ ⎛ 2 A cos⎜ 2π ⎟ = ±2 A, ⎝ λ⎠
λ
所以
k x=± λ 2
(k = 0 ,1, 2LL)
(SI)
⎡ x ⎞ 4π ⎤ ⎛ 5. 在弦线上有一简谐波，其表达式为 y1 = 2 .0 × 10 − 2 cos ⎢100 π ⎜ t + ⎟− 20 ⎠ 3 ⎥ ⎝ ⎣ ⎦
r
S1
P
L
S2
L − 2r ⎞ ⎛ 2 2 A1 + A2 + 2 A1 A2 cos⎜ 2π ⎟ λ ⎠ ⎝
r2 − r1
。
解：P 点相位差： ∆ϕ = 2π
λ
= 2π
(L − r ) − r = 2π L − 2r ，
λ λ
P 点振幅 ：
⎛ L − 2r ⎞ 2 2 2 2 A = A1 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ = A1 + A2 + 2 A1 A2 cos⎜ 2π ⎟ λ ⎠ ⎝
反射时有半波损失， y 2 P = A cos⎜ 2πν t − 反射波方程式为
⎛ ⎝
π
⎞ +ϕ ⎟ ， 2 ⎠
⎤ ⎡ ⎛ ⎡ ⎛ ⎤ 3λ 4 − x ⎞ π x⎞ y 2 = A cos ⎢2π ⎜ν t − ⎟ − + ϕ ⎥ = A cos ⎢2π ⎜ν t + ⎟ + ϕ ⎥ λ λ⎠ ⎠ 2 ⎣ ⎝ ⎦ ⎦ ⎣ ⎝
又 x＝0 处为波腹有：
4π + ϕ = ±2kπ 3
(k = 0,1,2L)
4 取 k＝0，则 ϕ = − π 3
则另一波的波动方程为：
⎡ x ⎞ 4π ⎤ ⎛ y 2 = 2.0 × 10 − 2 cos ⎢100π ⎜ t − ⎟ − ⎥ ⎝ 20 ⎠ 3 ⎦ ⎣
Hale Waihona Puke Baidu
二、填空题 1. 机械波在介质中传播过程中，当一介质质元的振动动能的相位是 π 2 时，它的弹性势 能的相位是
(C) 2 A cos(2πx / λ ) ; 解: 两列波叠加后形成的驻波方程为 (D)
2 A cos (2π x / λ ) 。
x⎞ ⎛ y = y 1 + y 2 = 2 A cos ⎜ 2π ⎟ cos (2πν t ) = A ( x ) cos (2πν t ) , λ⎠ ⎝
振幅为
x⎞ ⎛ A(x ) = 2 A cos⎜ 2π ⎟ 。 ⎝ λ⎠
(2)合成的驻波的方程式为
x π⎞ ⎛ t π⎞ ⎛ y = y1 + y 2 = 2 A cos⎜ 2π + ⎟ cos⎜ 2π − ⎟ ⎝ λ 2⎠ ⎝ T 2⎠
(3) 波腹位置满足
2π
x
λ
x
+ +
π
2
= nπ
n = 1, 2, 3L ，
1⎛ 1⎞ x = ⎜ n − ⎟λ 2⎝ 2⎠ x= 1 nλ 。 2