上海市封浜高中2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题及答案

2014学年度上海市封浜高中第二学期高一年级期末考试
数学试卷
2015.6
完成时间：90分钟 满分100分
一、
填空（每题3分，共36分）
1. 角α的终边经过点()34P -，，则cos α=____________________
2. 已知扇形的圆心角60°，半径为2，则扇形的面积为____________________
3. 函数cos 24y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的单调递减区间为____________________ 4. 已知tan 24x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，则tan tan 2x
x =____________________ 5. 函数2sin 2cos 3y x x =---的最小值为____________________
6. 已知函数()arccos 1y x =-，则该函数的定义域为____________________
7. 已知数列{}n a 中，1123n n a a a -==+， (
)*
2n n N
≥∈，，则n
a
=_____________
8. 函数()2cos 02y x x π=≤≤和2y =的图像围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图
形的面积为____________________
9. cos cos ABC a A b B ∆=中，，则ABC ∆的形状是____________________ 10. ()cos cos5f x x =，则()sin =f x ____________________
11. 已知()sin 1f x ax b x =++，若()57f =，则()5f -= ____________________ 12. 下列结论中：
1） 函数()()sin y k x k Z π=-∈ 为奇函数 2） 函数tan 26y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 3） 函数cos 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像的一条对称轴为23
x π=-
4） 若()tan 2x π-=，则2
1cos 5
x =
其中正确的结论序号为____________________ 二、
选择题（每题4分，共16分）
13. 下列函数中，以π为周期的偶函数是 ……………………………（ ）
A. sin 2y x =
B. cos
2
x y =
C. sin
2
x y =
D. cos 2y x =
14. 把函数cos 22y x x = 的图像经过变化而得到2sin 2y x =的图像，这个变化
是…………………………………………………………………（ ）
A. 向左平移12
π
个单位
B. 向右平移12
π
个单位
C. 向左平移
6
π
个单位 D. 向右平移
6
π
个单位
15. 设x 为任意实数，则下列各式正确的是……………………………（ ）
A. ()tan arctan x x =
B. ()arcsin sin x x =
C. ()sin arcsin x x =
D. ()cos arccos x x =
16. 数列{}n a 满足111
21
n n a a a +==-
+，，则2015a 等于…………………（ ） A. 2
B. 13-
C. 32
-
D. 1
三、 解答题（17题12分，18题8分，19题、20题各9分，21题10分，共48分）
17. 解三角形方程（每小题4分）
1） 2sin 16x π⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
2） tan 214x π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
3） sin 2sin x x =
18. 已知锐角α满足3cos 5α=，()5
cos 13
αβ+=-，求cos β.（8分）
19. 已知()()22cos 2f x x x a a R =+∈
1） 若x R ∈，求()f x 的单调递增区间（3分）
2） 当02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 时，()f x 的最大值为4，求a 的值（3分） 3） 在2）的条件下，求满足()=1f x 且[],x ππ∈-的x 集合（3分）
20. 某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30°，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，40
分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°，求这时货轮到灯塔S 的距离.
21. 已知函数()()()sin 00f x x ωϕωϕπ=+><<，的周期为π ，图像的一个对称中心为
04π⎛⎫
⎪⎝⎭
，，将函数()f x 图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移
2
π
个单位长度后得到函数()g x 的图像.
(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；（5分）
(2)若()266x h x f g x ππ⎛⎫⎛
⎫=-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，α是第一象限的角，且()h α= ，求
2
2sin 2
α
的值.（4分）
2014学年第二学期高一数学期末试卷答案
一、填空题 1.
35
2.
2
3
π
3. ()5,88k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+∈⎢⎥⎣
⎦
4.
4
9
5. 5-
6. []02，
7. ()31n n N +
-∈
8. 4π
9. 等腰或直角三角形
10. sin 5x
11. 5-
12. 1,3,4
二、选择题 13. D 14. B 15. A 16. B
三、简答题
17. （1）()
1,6
6k
x x x k k Z π
π
π⎧⎫∈=+--
∈⎨⎬⎩
⎭
（2）,24k x x x k Z ππ⎧⎫
∈=
+∈⎨⎬⎩⎭
（3）22,33x x x k x k k Z πππ⎧⎫
∈==
+∈⎨⎬⎩
⎭
或 18.
()5cos 13αβ+=-
()1212
sin 1313
αβ∴+=
或- （2分） ()
()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα
=+-=+++ （2分）
当()12
sin 13
αβ+=
时， ()()5312433
cos cos cos sin sin =13513565
βαβααβα=+++-
⨯+⨯=（2分） 当()12
sin 13
αβ+=-
时， ()()5312463
cos cos cos sin sin =13513565
βα
βααβα
=+++-
⨯-⨯=-（2分） 19. 1）()2
2cos 2=cos 2212sin 216f x x x a x x a x a π⎛
⎫
=++++=+
++ ⎪⎝
⎭
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
可得(),36x k k k Z π
πππ⎡⎤
∈-
+∈⎢⎥⎣
⎦
2）当6
x π
=
时，()f x 取最大值
=2sin 13=462f a a ππ⎛⎫
++=+ ⎪⎝⎭
1a ∴=
3）由()2sin 226f x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭可得1sin 2=62x π⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭ 可解得5,,,2
626
x π
πππ
=-
-
20. 2
36243
AB =⨯
=海里 30,45A S ∠=∠=
由正弦定理可得，
sin sin SB AB A S =
12SB ∴=
可得SB =
此时，货轮到灯塔S
的距离为
21. （1）由函数()()sin f x x ωϕ=+的周期为20=
2T
π
πωω>=，，得
又曲线()y f x = 的一个对称中心为(),004πϕπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，， 故sin 2044f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得=2πϕ ，所以()cos2f x x = 将函数()f x 图像上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变， 可得cos y x = 的图像， 再将cos y x =的图像向右平移2
π
个单位长度后得到函数()cos 2g x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像， 所以()sin g x x =
（2）()=cos sin 26636x h x f g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+--+-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
11
=cos sin cos 2222x x x x x ++-=
()h α=得到3sin 5α=，因为α是第一象限角，所以4cos 5α=
2
1
2sin 1cos 25
x x ∴=-=。