福州市高考数学二模试卷(理科)(II)卷
福建省福州市高三数学毕业班第二次质量3月检测试卷理
福建省福州市高中毕业班第二次质量检测数学（理）试题（完卷时刻：120分钟；总分值：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，全卷总分值150分，考试时刻120分钟，第I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共1 0小题，每题5分，共50分．在每题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知全集等于A．[-2 ,0）B．[-2,0] C．[0,2）D．（0,2）2．在平面直角坐标系中，已知角的极点与点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边一点M的坐标为的值是A．B。
0 C．0．5 D．13．在等差数列，那么a5的值是4．假设的大小关系为A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a5．执行如下图的程序框图，输出S的值为A．-l B．1C．0 D． -20146．一征棱长为3的正方体内任取一点P，那么点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为7．“直线l垂直于平面”的一个必要不充分条件是A．直线l与平面内的任意一条直线垂直B．过直线l的任意一个平面与平面垂直C．存在平行于直线l的直线与平面垂直D．通过直线l的某一个平面与平面垂直8．的取值范围9．假设函数关于函数10．某医务人员说：“包括我在内，咱们社区诊所医生和护士共有16名．不管是不是把我算在内．下面说法都是对的，在遮些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护。
士；至少有一名男医生，”请你推断说话的人的性别与职业是A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士第Ⅱ卷（非选择题共l00分）二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上。
）11．已知12．展开式的常数项为280，那么正数a= .13．已知抛物线的核心为F，P是的准线上一点，Q是直线PF与的一个交点．假设那么直线PF的方程为。
福建省福州市2024届高三2月质量检测数学含解析
1（在此卷上答题无效）2023～2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}1,1,1A x x B =<=-，则A B =U A.(],1-∞ B.(),1-∞ C.{}1- D.{}1,1-2.已知点()2,2A 在抛物线2:2C x py =上，则C 的焦点到其准线的距离为A.12B.1C.2D.43.已知1e ，2e 是两个不共线的向量，若122λ+e e 与12μ+e e 是共线向量，则A.2λμ=- B.2λμ=- C.2λμ= D.2λμ=4.在ABC △中，2AB =，4AC =，BC =ABC △的面积为A.2B. C.4D.A. B. C. D.22227.甲、乙、丙三个地区分别有%x ，%y ，%z 的人患了流感，且,,x y z 构成以1为公差的等差数列.已知这三个地区的人口数的比为5:3:2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x 的可能取值为A.1.21B.1.34C.1.49D.1.518.已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()='g x f x .若()2g x -的图象关于点()20，对称，且()()()22112---=-g x g x g x ，则下列结论一定成立的是2A.()()2f x f x =-B.()()2g x g x =+C.()20241==∑n g n D.()20241n f n ==∑二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
福建省福州市高考数学二模试卷(理科)
福建省福州市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·湘潭模拟) 已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x ，x∈R}，则集合∁U（M∪N）等于（）A . （﹣∞，﹣1]B . （﹣1，2）C . （﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D . [2，+∞）2. （2分） (2016高三上·安徽期中) 已知复数z满足i﹣z=1+2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A .B .C .D . 53. （2分） (2017高三上·漳州期末) 在平面直角坐标系中，不等式组，（a是常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a的值为（）A . 3 +2B . ﹣3 +2C . ﹣5D . 14. （2分）如图是把二进制数化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A . i>4B . i≤4C . i>5D . i≤55. （2分）(2018·河北模拟) 已知等差数列的前项和为，且，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二上·福建期末) 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y= （x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若 =m ，则m的值为（）A .B .C . 2D . 37. （2分）函数的最小正周期为π，则f（x）的单调递增区间可以是（）A . (-,)B . (-,)C . (,)D . (,)8. （2分） (2016高一下·连江期中) 如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．此人停留期间空气质量优良的天数只有1天的概率（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·石门期末) 在平行四边形ABCD 中，AC与BD 交于点O，E 是线段 OD的中点，AE 的延长线与CD 交于点F．若 = ， = ，则（）A . +B . +C . +D . +10. （2分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x4y=0,则该双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高二上·邯郸期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是（）A .B .C .D .12. （2分）函数的零点所在的大致区间为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·赤峰期末) 已知的展开式中的系数为，则 ________．14. （1分） (2017高一下·东丰期末) 已知四棱锥的三视图如图所示，正视图是斜边长为4的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则四棱锥四个侧面中，面积最大的值是________15. （1分）定义在区间[x1 ， x2]长度为x2﹣x1（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最长长度时a的值是________16. （1分）(2018·江西模拟) 定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，.当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则 ________．三、解答题 (共5题；共45分)17. （10分） (2017高二上·大连开学考) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若，求a+c的最大值．18. （5分）(2017·兰州模拟) 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）若点E为A1C上的点，且满足 =m （m∈R），若二面角E﹣AD﹣C的余弦值为，求实数m 的值．19. （5分）若X～N（μ，σ），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．在2010年黄冈中学理科实验班招生考试中，有5000人参加考试，考生的数学成绩服X～N（90，100）．（Ⅰ）在5000名考生中，数学分数在（100，120）之间的考生约有多少人；（Ⅱ）若对数学分数从高到低的前114名考生予以录取，问录取分数线为多少？20. （10分）(2016·江西模拟) 已知圆C1：（x+1）2+y2=25，圆C2：（x﹣1）2+y2=1，动圆C与圆C1和圆C2均内切．（1）求动圆圆心C的轨迹E的方程；（2）点P（1，t）为轨迹E上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与轨迹E交于A，B两点，直线PA，PB斜率互为相反数，则直线AB斜率是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21. （15分） (2016高二下·佛山期末) 已知函数f（x）=alnx﹣x2 ，a∈R，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（3）设a＞0，若A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=f（x）上的两个不同点，满足0＜x1＜x2，且∃x3∈（x1，x2），使得曲线y=f（x）在x=x3处的切线与直线AB平行，求证：x3＜．四、选做题 (共2题；共20分)22. （10分） (2018高二下·巨鹿期末) 已知曲线：，直线：（为参数）.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.23. （10分）(2016·兰州模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、四、选做题 (共2题；共20分) 22-1、22-2、23-1、23-2、。
福州市高三第二次质检理科数学试卷及答案
2 0 0 8 年福州市高三第二次质检数学（理科）试卷（考试时间：120分钟；满分150分）注意事项:1 •本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学 校、班级、学号、姓名；2•本试卷分为第I 卷（选择题）和第H 卷（非选择题）两部分，全卷满分 150分，考试时间 120分钟. 参考公式：如果事件 A 、B 互斥，那么 P (A + B )= P (A )+ P ( B )如果事件 A 、B 相互独立，那么 P （A-B ）= P （A ） P （ B ）•如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n （k ）二C ：p k （1-p 严•球的表面积公式 S=4「:R 2,其中R 表示球的半径. 4 ,球的表体积公式 V 二-二R 3，其中R 表示球的半径.3第I 卷（选择题共60 分）、选择题（本大题共 12小题, 每小题 5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答1 •若（1 一 J3i ）z 为实数，则;复数 z 有可能等于 A • 1-询 B .1 W i2•已知集合M，N r=2 x丄<2曲I 2 A • { -1,1)B . 1-1 I ）( )•C .)•案是正确的）C•3. 函数y log 2 x（1 ：：： x < 2）的反函数是A . y =2x1(0 ：：：x ：：：1)B . y=1C . y =2x ：1(o ：：：x ：：：1)D . y =2心(1 ：：： x ：：：2)的个数是(7.已知a,b,c 为三条不同的直线，且 a 平面M ， 定不垂直；②若 a//b ，则必有a//c ；③若a 丄b , a 丄c 则必有M 丄N 以上的命题中正确的是D .②③8 .如果把圆C:x 2+y 2=1沿向量a = (1,m )平移到C 1且C •与直线3x-4y=0相切则m 的值为24.直角坐标系xOy 中，AB=(2,1),- (3,k)，若三角形 ABC 是直角三角形，则k 的可能值A. 1B. 2C. 3D. 45.不等式ax 1 2 -x 亠c 0的解集为｛x|-2 ：：： x ：：：1｝，则函数y=ax 24x 、c 的图象大致为(n 项和S n 0成立的最大自然数A . 40174014C . 4016D . 4018b 平面N , M Q N =c .①若a 不垂直于C .③ o正数的等差数列 6. 已知首项为 A .2y-2满足：a 2008 y0 , a 2008a 2009 ：:: 0，贝).-1'a 2009A . y =2x1(0 ：：：x ：：：1)B . y=11D . -2 或-—29.某电视台连续播放 5个广告，其中有 3个不同的商业广告和 2个不同的奥运宣传广告, 放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有10 .已知函数 y=sin 寸在区间b,t 1上至少取得2次最大值，则正整数上一定( )12 .在平面直角坐标系xOy 中，A(1,0) , B(1,1) ,C(0,1)，映射f 将xOy 平面上的点 P(x, y)对应到A . 120 种B . 48 种C . 36 种D . 18 种11.已知函数f (x) =x 2-2ax ■ a ，在区间(-〜1)上有最小值，则函数g(x)仝x在区间(1,•：：)要求最后播t 的最小值是(A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数— 2 2一— _另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'(2xy,x - y )，则当点P沿着折线A-B-C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是( )A. B . C. D .第口(非选择题共90分)卷二.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上.)x_1,I 一13. 在平面直角坐标系中，不等式组 _______________ <x + y兰0, 表示的平面区域面积是.x —y-4 兰014. 已知(ax 1)n的展开式中，二项式系数和为 ___ 32，各项系数和为243，则a = .15. 一个四面体的所有棱长都为____________________________ 2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为.16. 已知定义在R上的函数f(x)满足f (x • 5) - - f (x) • 2，且当x (0, 5)时，f(x) = x，则f (2008)的值为__________ .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写岀文字说明、证明过程或演算过程)17 .(本小题满分12分)已知函数f (x) =2acos2x+bsinxcosx - 一3，且f (o) =—3，f (上)=1 .2 2 4 2(1) 求f (x)的解析式；(2) 求f (x)的单调递增区间;(3)函数f (x)的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数?18 .(本小题满分12分)三个人进行某项射击活动，在一次射击中甲、乙、丙三人射中目标的概率分别为(1)一次射击后，三人都射中目标的概率是多少？(2)用随机变量表示三个人在一次射击后射中目标的次数与没有射中目标的次数之差的绝对值, 求随机变量'的分布列及数学期望.19 .(本小题满分12分)如图，直三棱柱A1B1C1 —ABC 中，C1C=CB=CA=2，AC丄CB . D、E分别为棱C1C、B1C1的中(1) 求AB 与平面A !C I CA 所成角的大小; (2) 求二面角 B — A I D — A 的大小； (3) 试在线段 AC 上确定一点F ,使得20 .(本小题满分 12分)数列的前n 项和为S n ,满足关系:nN .(1)求 的通项公式：21 .(本小题满分 12分)已知点A (- 2,0), B (2,0),动点P 满足：/ (1)求证：动点 P 的轨迹Q 是双曲线;若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，说明理由. 22.(本小题满分 14分)已知函数f (x) = xln x.(1) 求函数f (x)的单调区间和最小值；1(2) 当b 时，求证:b b - (-)e (其中e=2. 718 28…是自然对数的底数)；e (3) 若 a 0,b0,证明:f (a) (a b)ln 2 一 f (a b)「f (b).2008年福州市高三第二轮质检 数学(理科)试卷评分标准与参考答案 一•选择题1-5 BBDBC 6-10 CBACC 11-12 DA二•填空题占八、、•(2)设 b n =1log 2 a 2n 3 log 2 a 2n 12a n，计算lim (0亠①亠 亠b n ).n _^c(2)过点B 的直线|与轨迹Q 交于两点M , N •试问x 轴上是否存在定点C ,使 CM CN 为常数,13. 1 ; 14. 2;15.3 ；16. -1APB=2 二，且|PA||PB|sin 20 =2三、解答题(2) 由 f (x )n=sin ( 2x+).3 又由nn n 5 n JI +2k < 2x+ w S — +2k n ，+k nW x W +k23212 12 5 n TT• f (x )的单调递增区间是［—一+k n ，— +k n ( k € Z )12 12n(3) T f (x ) =sin2 (x+ )，6n•函数f ( x )的图象右移后对应的函数可成为奇函数. ............ 12分618 •解：(1) 一次射击后，三人射中目标分别记为事件 1111 P(A 1A 2A 3^P(A 1)P(A 2)P(A 3^-- • ...... 4 分2 43 24一 一 1•一次射击后，三人都射中目标的概率是. ....... 5分24能取值为3、2、1、0，所以•可能取值为1、3, ........................ 6分则 P( =3)二P( AA 2A 3) +P(AA 2A 3)一 一 一 11113 2 7二P (A )P (A 2)P (A0 P(A)P(A 2)P(A 3)r --------………8 分2 43 24 3 24• P(f P —3円土唱，………10 分 •CC 1丄底17•解：(1)由 f ( 0)三，得2亠」2 ,••• 2a= .3，贝U a= —3 •2 2 2n1 由f ()=—，得42亠，-b=—,2 2 • f (x ) 2cos x+sinxcosx -3 <31---- = cos2x+ — sin 2x=s in2 22(2x+ -)3A 1， A 2， A 3,由题意知A 1，A 2，A 3互相独立，且1 1P(A) S ，P (A 2)H ，P (A ) (2)证明：一次射击后，射中目标的次数可能取值为 0、1、2、3,相应的没有射中目标的的次数可1C ( 0, 0), B (2 , 0 , 0)(0, 2, 0),C i (0,2), B i (2, 0,2)A i (0, 2, 2),i ),E (i , 0, 2).―IBD=(~2,0,1),TBA =(22,2),设平面A i BD的法向量为n = (1, '),n =(i, —i, 2)••• . BA 1C 为A )B 与平面A i C i CA 所成角,BC 二 arcta n — AC• A i B 与平面A i C i CA 所成角为arctan 丄2 - ................................ 3分2(2)分别延长 AC , A i D 交于G .过C 作CM 丄A i G 于M ,连结BM , •/ BC 丄平面ACC i A i ，• CM 为BM 在平面A i C i CA 内的射影,• BM 丄A i G ，• / CMB 为二面角 B — A i D — A 的平面角,• CG=2, DC=i 在直角三角形CDG 中，.CM即二面角 B — A i D — A 的大小为 arctan .5 .(3) ...............................................................................................取线段 AC 的中点F ，贝U EF 丄平面 A i BD . ..........................................................9 分 证明如下:•••A i B i C i — ABC 为直三棱柱，• B i C i //BC ,•••由(I) BC 丄平面 A i C i CA , • B i C i 丄平面 A i C i CA , .................................... iO 分 ••• EF 在平面A i C i CA 内的射影为C i F ,当F 为AC 的中点时， C i F 丄A i D , • EF 丄A i D .同理可证EF 丄BD ,• EF 丄平面A i BD . .................................. i2分 解法二：(i )同解法一 ................. 3 分(2)丁 A i B i C i — ABC 为直三棱柱， C i C=CB=CA=2 , AC 丄CB , D 、E 分别为C i C 、B i C i 的中点. 建立如图所示的坐标系得：二 arcta nBAC 平面A i C i CA 中, C i C=CA=2 , D 为 C i C 的中点,_ 2 5 , . tan CMB =£5 .5=2 •丄2n 1 2n 32n 2n 12n 2n 3 2n21 .解：(1)依题意，由余弦定理得：2 2 2AB = PA +|PB -2 PA PB cos2日，……2分 即 16=|PA 2 +|PB 2 —2 PA PB (1 —2sin 2日)= (PA _ PB)2 8.13 (2 n 3) 2n12分1 j ^6平面ACC 1A 1的法向量为 m = (1，0，0)， cosc n,mx ——=——V 6 6宀 76 即二面角 B — A 1D — A 的大小为 arccos ——6(3) F 为AC 上的点，故可设其坐标为(0, b , 0),••• EF‘ = (_1,b, -2).由(2)知n =(1,_1,2)是平面A I BD 的一个法向量,欲使EF 丄平面A 1BD ，当且仅当FE // n .……10分••• b =1，二当F 为AC 的中点时，EF 丄平面A1BD . 12分20•解：(1)据题意：1-S n 彳=a n -a n “ n ・ N”* ?1-S n=a n 二…a * n_2,n ，N两式相减,有：S n 1 -S^ =a nd -2a n ' a n-1a n1川an1"n “2an"订万"-2川 N .1又由 S 2=a 1 a 2^ 1「(a 1 • a ?) =a 1「a ?,解得 a^ 21屮a n 二班(n N ).• fa n ［是以1为首项,1丄为公比的等比数列，•2(2)b nlog 2 a 2n 3 log 2 a 2n 1(n)假设存在定点 C(m,0)，使CMCN 为常数.(1)当直线I 不与x 轴垂直时,设直线I 的方程为y 二k(x -2),代入x 2 - y 2 =2整理得：(1 -k 2) x 2 4k 2x -(4k 2 2) =0 .2 24k 2 设 M (x^yj ,于是,CM CN =(% -m) (x 2 -m) k 2(x “ -2) (x 2 -2)4(Vm)m 2 2(1 — 2m).k - -110分要使CM CN 是与k 无关的常数，当且仅当m = 1，此时(2)当直线|与x 轴垂直时，可得点 M (2,、、2) ,N(2, r 2), 当 m=1 时，CM CN =(1r .2) (1^x2H -1 .故在x 轴上存在定点C (1,0),使CM CN 为常数. ............ 12分22.解：(1) f (x) = In x 1(x0),令f (x) 一 0,即 In x 一 -1 = In e ； .........1 分1 同理，令f (x)空0可得x(0,-].e 1 1••• f ( x )单调递增区间为[一「：：)，单调递减区间为(0,—] . ........................ 3 分e e由此可知 y 二 f (X)min 二 f J) _ -1. .................................................. 4 分e e1 1(2)由(I )可知当 b 0时，有 f(b) - f(x)min ,. blnb _e e即 In(b b )ln(—)e .e e二(PA — PB)2 =8,即卩 || PA — PB| =2V2V 4=|AB (当动点P 与两定点A, B 共线时也符合上述结论).动点P 的轨迹Q 是以代B 为焦点，实轴长为2、2的双曲线•其方程为 x 2-y 2 =2.(3)设函数 g (x) = f (x) f (k _x), (k . 0)‘,k •••函数g(x)在［?,k )上单调递增，在 k kk(0,—］上单调递• g(x)的最小值为g(2)，即总有g(x) 一g(2).k k k k而g()二f( ) f(k ) = kin k(lnk - In2) = f (k) - kin 2,2 2 2 2即f(x) f (k -x) _ f (k) -kin 2.令x 二a, k「x 二b,则k = a b.f(a) (a b)ln2 _ f(a b) - f(b).1C . -2 或一。
福建省福州市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷
福建省福州市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知函数（为自然对数的底），，记为从小到大的第个极值点，数列的前项和为，且满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A ．B ．1或6C ．D ．1第(3)题将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．第(4)题已知，，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．第(5)题国际数学教育大会（，简称）每四年召开一次，是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，2015年6月6日，国际数学教育委员会正式宣布，在中国上海、美国檀香山和澳大利亚悉尼三个竞标城市中，中国上海赢得2020年第14届国际数学教育大会的主办权．后因疫情原因大会延于2021年7月在上海华东师范大学举办，这是大会首次在中国举办．大会会标设计的基本思想来自我国古代的“河图”．河图、洛书一般认为是中华文明之始．《易经系辞》曰：“河出图，洛出书，圣人则之”，后世的太极、八卦、风水等皆可追源至此．河图与洛书包含了数的奇偶分类、“等差”“等和”的排列、幻方等数学内容，本质上是古人对数与数学的朴素的认识．这个会标，你看懂了么？请从以下陈述中选出你认为正确的表述．①会标中位于中心的弦图是三国时期的数学家赵爽给出的勾股定理的一个绝妙证明，现在是中国数学会的徽标，也代表会议主办方中国数学会．②弦图外的圆圈表示河图中的带十个点的圈．但会标只突出画了南方（上方）的阴数2和阳数7的点列．寓意着本届大会的届数．③主画面右下方标明“”，它下方的“卦”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数字3745，换算成10进制就是2020，表示预计开会的年份．④八进制数字3745，换算成10进制就是2021，表示开会的年份．⑤从四个“卦”中也可以读出二进制码：．换算成10进制就是2020，表示预计开会的年份．⑥主画面呈“S”型，表示会议举办地在上海，并呈向前的动感，表示中国张开双臂，欢迎来自世界各地的与会者，也代表中国向世界开放的姿态．以上陈述中你认为正确的表述的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第(6)题在中，已知，，D 为BC 的中点，则线段AD 长度的最大值为（ ）A．1B ．C ．D ．2第(7)题已知等比数列的公比的平方不为，则“是等比数列”是“是等差数列”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题已知复数为z的共轭复数，则（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
福建省福州市二检2023届高三数学试卷
准考证号________________ 姓名____________________（在此卷上答题无效）2023年福州市普通高中毕业班质量检测数 学 试 卷（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}12A x x =−，{}22xB x =，则A B =A ．112x x ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭ B ．{}12x x−C ．12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{}3x x2. 已知()1i 24i z +=−，则z =A ．2B C ．4 D ．103. 若二项式2413nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中存在常数项，则正整数n 可以是A ．4B ．5C ．6D ．7 4. 为培养学生“爱读书、读好书、善读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为A ．13B ．12C ．23D ．345. 已知2=|b ||a |，若a 与b 的夹角为120︒，则2−a b 在b 上的投影向量为A ．3−bB ．32−bC ．12−b D ．3b6. 已知⊙()()221:234O x y −+−=，⊙1O 关于直线210ax y ++=对称的圆记为⊙2O ，点,E F 分别为⊙1O ，⊙2O 上的动点，EF 长度的最小值为4，则a =A ．32−或56B ．56−或32C ．32−或56−D ．56或327. 已知三棱锥P ABC −的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC AB ===，2π3ACB ∠=，则球O 的体积为 A ．3π B ．27π8 C ．9π2D ．9π 8. 已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +是奇函数，且()()12f x g x −+=，()()32f x g x +−=，则A ．()f x 为奇函数B ．()g x 为奇函数C ．()20140k f k ==∑D ．()20140k g k ==∑二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则A ．()f x 在区间,02π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦单调递增B ．()f x 在区间[]0,π有两个零点C ．直线12x π=是曲线()y f x =的对称轴 D. 直线43y x 2π=+是曲线()y f x =的切线10. 已知曲线222:1424x y C m +=−.A ．若m C 是椭圆B ．若m <，则C 是双曲线C ．当C 是椭圆时，若m 越大，则C 越接近于圆D ．当C 是双曲线时，若m 越小，则C 的张口越大11. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱BC ，1CC 的中点，P 为线段EF 上的动点，则 A ．线段DP 长度的最小值为2 B ．三棱锥1D A AP −的体积为定值 C ．平面AEF 截正方体所得截面为梯形D ．直线DP 与1AA 所成角的大小可能为π312. 若,x y 满足223x xy y ++=，则 A. 223x y+B. 21x y +−C. 228x y xy +−D. 221yx y x −+第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 若3cos 5α=−，α是第三象限角，则tan 2α=___________.14. 利率变化是影响某金融产品价格的重要因素.经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%.则该金融产品价格上涨的概率为___________.15. 已知曲线32362y x x x =−++在点P 处的切线与在点Q 处的切线平行，若点P 的纵坐标为1，则点Q 的纵坐标为___________.16. 已知椭圆22:1126yx C +=，直线l 与C 在第二象限交于A ，B 两点（A 在B 的左下方），与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，且||:||:||1:2:3MA AB BN =，则l 的方程为___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2222b a c −=.（1）求tan tan BA的值；（2）求C 的最大值.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是梯形，AB CD ，AD CD ⊥，24CD AB ==，PAD △是正三角形，E 是棱PC 的中点.（1）证明：BE 平面PAD ； （2）若AD =平面PAD ⊥平面ABCD ，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）欧拉函数()n ϕ（*n ∈N ）的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如：()11ϕ=，()42ϕ=.（1）求()23ϕ，()33ϕ；（2）令()132n n a ϕ=，求数列3log n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．20. （本小题满分12分）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例.某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17.（1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计.（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且()217,XN σ，其中2σ近似为（1）中计算的总样本方差.现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ−+≈，()220.9545P Xμσμσ−+≈4.7≈4.8≈，30.158650.004≈.21. （本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过点(2,0)−的两条直线12,l l 分别交E 于,A B 两点和,C D 两点.当1l 的斜率为23时，||AB = （1）求E 的标准方程；（2）设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 必在定直线上.22. （本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x x ax a =+−+.（1）若2a =，试判断()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）若1x >，()0f x >恒成立.（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）设11111232n a n n n n=+++⋅⋅⋅++++，[]x 表示不超过x 的最大整数.求[]10n a . （参考数据：ln 20.69≈）。
福建省福州市数学高三理数二模考试试卷
福建省福州市数学高三理数二模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2016·山东理) 若复数z满足2z+ =3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A . 1+2iB . 1﹣2iC . ﹣1+2iD . ﹣1﹣2i3. （2分）(2017·万载模拟) 在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是（）A .B .C .D .4. （2分）某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭.在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则在此次分层抽样调查中，被抽取的总户数为（）A . 20B . 24C . 36D . 305. （2分）(2017·山东) 已知cosx= ，则cos2x=（）A . ﹣B .C . ﹣D .6. （2分）(2017·山东) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A . a=2bB . b=2aC . A=2BD . B=2A7. （2分）(2018·银川模拟) 下列函数中，满足在上单调递减的偶函数是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·焦作期中) 在△ABC中，内角A= ，P为△ABC的外心，若=λ1 +2λ2，其中λ1与λ2为实数，则λ1+λ2的最大值为（）A .B . 1﹣C .D . 1+9. （2分）(2018·山东模拟) 将函数的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右平移个单位，得到函数的图象，则函数在区间上的对称中心为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·中山月考) 已知函数，若存在实数，满足，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分）点为圆的弦的中点,则直线的方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·长春期中) 函数与函数的图象关于（）A . 直线对称B . 点对称C . 原点对称D . 轴对称二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·衡阳期末) 一个几何体的三视图如图所示（单位： )，则该几何体的体积为________ .14. （1分）(2019·长宁模拟) 在的二项展开式中，常数项为________（结果用数值表示）15. （1分）已知函数（3﹣ax）（a≠0且a≠±1）在[0，2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．16. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知函数的最大值为1，最小值为-7，则函数的最大值为________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高二下·凯里期末) 如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）中，已知，点为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.18. （10分） (2017高二下·景德镇期末) 电商中“猫狗大战”在节日期间的竞争异常激烈，在刚过去的618全民年中购物节中，某东当日交易额达1195亿元，现从该电商“剁手党”中随机抽取100名顾客进行回访，按顾客的年龄分成了6组，得到如下所示的频率直方图．（1）求顾客年龄的众数，中位数，平均数（每一组数据用中点做代表）；（2）用样本数据的频率估计总体分布中的概率，则从全部顾客中任取3人，记随机变量X为顾客中年龄小于25岁的人数，求随机变量X的分布列以及数学期望．19. （10分）在数列{an}中，a1=1，an+1=1﹣，bn= ，其中n∈N* ．（1）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设cn= ，求数列{cn}的前n项和Sn．20. （10分）(2020·西安模拟) 已知椭圆：的上顶点为，右焦点为F ，连结TF并延长与椭圆交于点S ，且 .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与x轴交于点M，过点M的直线AB与交于A、B两点，点P为直线上任意一点，设直线AB与直线交于点N，记PA，PB，PN的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得恒成立？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.21. （10分） (2018高二下·如东月考) 已知函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上有1个零点，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．22. （10分） (2017高三下·凯里开学考) 在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2 cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．23. （10分） (2018高二下·黑龙江月考) 已知函数， . （1）解不等式；（2）若的定义域为，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
福建省福州市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(评估卷)模拟试卷
福建省福州市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A．B．C．D．第(2)题已知点，分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（）A．B．C．D．第(3)题已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C左支相交于A，B两点，若，，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．第(4)题已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（）A．B．C．D．第(5)题已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（）A．B．C．D．第(6)题设，，，则（）A．B．C．D．第(7)题等差数列：，，，，满足，，则（）A．5.4B．6.3C．7.2D．13.5第(8)题函数在开区间的零点个数为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（）A．函数的最小正周期为B ．点为曲线的一个对称中心C ．直线为曲线的一条对称轴D．函数在区间上单调递增第(2)题已知函数，则（）A．f（x）是单调递增函数B．C．D．第(3)题如图，在四面体中，，，，为的中点，点是棱的中点，则（）A．平面B．C．四面体的体积为D．异面直线与所成角的余弦值为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题若从一副张的扑克牌中随机抽取张，放回后再抽取张，则两张牌都是的概率为____________．（结果用最简分数表示）．第(2)题的展开式中的系数为______（用数字作答）.第(3)题已知数列满足：对任意，，且，，其中，则使得成立的最小正整数为________.四、解答题（本题包含5小题，共77分。
福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检)数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ）A．B．C．D．2.已知函数，若，，，则的大小关系是（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝（ ）.A．B ．C ．45D ．554. 已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．5. 《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》是我国著名的四大古典小说，某学校图书室将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》各一本赠送给三个不同的同学，每人至少一本，则《西游记》和《红楼梦》被分给同一个同学的概率为（ ）A．B．C．D．6. 根据如下样本数据：12345-10.52.5得到的回归方程为.样本点的中心为，当增加1个单位，则近似A ．增加0.8个单位B ．减少0.8个单位C ．增加2.3个单位D ．减少2.3个单位7. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 已知函数，若有且仅有两个整数、使得，，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 已知当时，，则（ ）A．B．C．D．福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测（二检）数学试题 (2)福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测（二检）数学试题 (2)三、填空题四、解答题10.数列首项，对一切正整数，都有，则（ ）A ．对一切正整数都有B ．数列单调递减C ．存在正整数，使得D ．都是数列的项11. 一个袋子中有编号分别为的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）A．B ．事件与事件相互独立C．D．事件与事件互为对立事件12.已知等差数列的前项和为，则（ ）A．数列可能是等差数列B ．数列一定是等差数列C．D．13. 在平面直角坐标系中，已知双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为________．14. 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为______.（不用计算，写出表达式即可）15.若，则_________．16. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：函数有且仅有2个零点．17. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）以为直径的圆与轴交于，两点，若，求的取值范围.18.求函数的周期．19. 2024年是弗拉基米尔•伊里奇•列宁逝世100周年.列宁同志短暂而又波澜壮阔的革命生涯，留给我们的宝贵遗产不仅是博大精深的思想，还有矢志不移的理想信念、坚韧不拔的革命意志和崇高的精神品格.为增加全体同学对列宁同志的了解，某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A ，B 两个信封中，A 信封中有6道选择题和3道论述题，B 信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封.(1)若同学甲从B 信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；(2)若同学乙从A 信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B 信封，接着同学丙从B 信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A 信封中取出的是2个论述题的概率.20. 如图所示，直三棱柱的各棱长均相等，点为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.21. 已知动圆过点，且被轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线.过点的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.(1)求曲线的方程；(2)证明：直线过定点；。
2024年福建省高三数学2月模拟大联考试卷附答案解析
2024年福建省高三数学2月模拟大联考试卷2024.2考试时间120分钟，总分150分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}225201A x x x B x x =-+<=>，，则A B = （）A．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．()1,22．已知i 为虚数单位，1i12i -=-（）A．B．D．3．已知a ，b为单位向量，若a b -= ，则a ，b 的夹角为（）A．6πB．π3C．2π3D．5π64．设直线()300x y m m -+=≠与双曲线22221(0)x y a b a b -=>>分别交于A B 、两点，若线段AB 的中点横坐标是45m ，则该双曲线的离心率是（）B．C．25．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为()22()20ex I x I μσ--=，其中I 为输出信号功率最大值（单位：mW ），x 为频率（单位：Hz ），μ为输出信号功率的数学期望，2σ为输出信号的方差，3dB 带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。
现已知输出信号功率为()2(2)20ex I x I --=（如图所示），则其3dB 带宽为（）B．C．D．6．已知12345,,,,a a a a a 成等比数列，且2和8为其中的两项，则5a 的最小值为（）A．32-B．16-C．132D．1167．如图，在三棱锥-P ABC中，,2AB BC BA BC PA PB PC ==⊥===，点M 是棱BC 上一动点，则PM MA +的取值范围是（）A．4⎤⎥⎦B．2⎡⎤⎣⎦C．⎤⎥⎣⎦D．⎣8．方程22014π2cos2cos2cos cos41x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭所有正根的和为（）A．810πB．1008πC．1080πD．1800π二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是（）A．若,A B 两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==-，则A 组数据比B 组数据的相关性较强B．若样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为2，则数据12621,21,,21x x x --⋅⋅⋅-的方差为8C．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数D．某人解答5个问题，答对题数为X ，若()5,0.6X B ，则()3E X =10．对于函数()ln xf x x =，下列说法正确的是（）A．()f x在e x =处取得极大值1e ；B．()f x 有两个不同的零点；C．()()()43f f f π<<D．44ππ<11．已知nM 是圆()222*:220n O x y nx ny n n +--+=∈N 上任意一点，过点()1,n P n -向圆nO 引斜率为()0n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n Q x y ，点()3,n A n n ，则下列说法正确的是（）A．1n =时，1k =B．n y n =+n n x y n ⎛⎫< ⎪-⎝⎭D．12n n n n M A M P +的最小值是312n +三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13151n nS S a n n +-==+，，则2024a =．13．设函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有两个零点，则ω的取值范围是．14．如图，在SBE △中，1SE BE ==，在直角梯形BEDC中，2BE DE CD BE CD DE ⊥==，∥，，，DE SE ⊥，记二面角S DE B --的大小为θ，若π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则直线SC 与平面SDE 所成角的正弦值的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足24n n S a n =+-．(1)证明：数列{}1n a -是等比数列；(2)设()21log 1n n b a +=-，求数列(){}1nnb a-的前n 项和n T ．16．在三棱柱111ABC A B C -中，113AA =，在底面ABC 中，有AB BC ⊥，且86AB BC ==，，点D 为等腰三角形1B AC的底边AC 的中点，在1BB D△中，有112cos 13BB D ∠=．(1)求证：1BC B D ⊥；(2)求直线1AB 与平面1B BC所成角的正弦值．17．甲、乙两俱乐部进行羽毛球团体赛，比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打、女子单打共五个项目进行，规定每个项目均采取三局两胜制，且在上述五项中率先赢下三项的俱乐部获胜（后续项目不再进行比赛）．已知在男双项目、女双项目、男单项目这三项的每局中，甲俱乐部获胜的概率均为0.7；在混双项目、女单项目这两项的每局中，乙俱乐部获胜的概率均为0.8，假设每局比赛之间互不影响．（注：比赛没有平局，且所有结果均保留一位小数．）(1)求甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率；(2)记比赛结束时所完成的比赛项目数量为随机变量X，求X 的分布列和数学期望．18．已知椭圆E 的方程为22221(0),x y a b A a b +=>>为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，E 的离心率为12ABO ,△(1)求E 的方程；(2)过点()2,1P -的直线交E 于M N 、两点，过点M 且垂直于x 轴的直线交直线AN 于点H ，证明：线段MH 的中点在定直线上．19．已知函数()ln a f x x x =-．(1)当1a =-时，求()f x 的极值；(2)若存在实数0102x <<，满足()20001x f x f x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()2f a 的取值范围．1．D【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.【详解】解不等式22520x x -+<，得122x <<，即1{|2}2A x x =<<，而{}1B x x =>，所以{|12}A B x x =<< .故选：D2．B【分析】由复数的除法和模的定义求解.【详解】()()()()1i 12i 1i 3i 12i 12i 12i 55-+-+==--+.故选：B 3．C【分析】利用两边平方的方法化简已知条件，从而求得a ，b的夹角.【详解】设a ，b的夹角为θ，由a b -=22123,2a a b b a b -⋅+=⋅=-，1cos cos 2a b a b θθ⋅=⋅⋅==-，由于0πθ≤≤，所以2π3θ=.故选：C 4．A【分析】根据给定条件，联立直线与双曲线方程，借助中点横坐标列式求解即得.【详解】由线段AB 的中点横坐标是45m ，得线段AB 的中点纵坐标是35m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22222230x y m b x a y a b -+=⎧⎨-=⎩消去x 得2222222(9)6()0b a y b my b m a --+-=，422222222222364(9)()4(9)0b m b b a m a a b b m a ∆=---=+->，因此212226695b m my y b a +==-，整理得224a b =，显然0∆>成立，所以该双曲线的离心率e ===.故选：A5．D【分析】根据给定信息，列出方程并求解即可作答.【详解】依题意，由01()2I x I =，2(2)20()e x I x I --=，得2(2)2002e 1x I I --=，即2(2)22e x -=，则有2(2)2ln 2x -=，解得12x =22x =，所以3dB带宽为21x x -=故选：D 6．B【分析】结合题意，5a 取最小值时为负数，且48a =，利用等比数列的基本量运算即可求解.【详解】由题意，要使5a 最小，则135,,a a a 都是负数，则2a 和4a 选择2和8，设等比数列的公比为(),0q q <，当428,2a a ==时，242842a q a ===，所以2q =-，所以516a =-；当422,4a a ==时，2422184a q a ===，所以12q =-，所以51a =-；综上，5a 的最小值为16-.故选：B.7．A【分析】把平面PBC 展开，判断出当M 与C 重合时，PM MA +最大；PM MA +的最小值为AP ，利用余弦定理即可求解.【详解】如图所示，把平面PBC 展开，使A、B、C、P四点共面.当M 与B重合时，24PM MA +=<；当M 与C 重合时，224PM MA +=+=最大；连结AP 交BC 于1M ，由两点之间直线最短可知，当M 位于1M 时，PM MA +最小.此时，4sin CBP ∠==，所以π14cos cos sin 24ABP CBP CBP ⎛⎫∠=+∠=-∠=-⎪⎝⎭.由余弦定理得：AP ==PM MA +的取值范围为4⎤⎥⎦.故选：A.8．C【分析】易得222014π2cos2cos2cos cos412cos 22x x x x x⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22014πcos2,cos a x b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得到1,1a b ==或1,1a b =-=-讨论求解.【详解】解：222014π2cos2cos2cos cos412cos 22x x x x x⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22014πcos2,cos a x b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()2222a a b a -=-，即1ab =，所以1,1a b ==或1,1a b =-=-，当1,1a b ==时，即22014πcos21,cos 1x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以111007ππ,Z,Z x k k x k k =∈=∈，因为1007=11953⨯⨯，所以=π,19π,53π,1007πx ，当1,1a b =-=-时，即22014πcos21,cos 1x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()()211121π2014π4028π,Z,,Z21π2212k x k x k k k +=∈==∈++，因为21k +是奇数，所以1402821k +也是奇数，不成立；所以方程所有正根的和为：π+19π+53π+1007π=1080π,故选：C 9．BCD【分析】对于A，由由相关系数的意义即可判断；对于B，由方程的性质即可判断；对于C，3022% 6.6⨯=，2822% 6.16⨯=结合30个样本数据互不相同即可判断；对于D，由二项分布均值公式即可判断.【详解】对于A，因为0.970.99A B r r =<=，即A 组数据比B 组数据的相关性较弱，故A 错误；对于B，若样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为22s =，则数据12621,21,,21x x x --⋅⋅⋅-的方差为222128s s ==，故B 正确；对于C，将这原来的30个数从小大大排列为1230,,,a a a ，则3022% 6.6⨯=，所以原来的22%分位数为672a a +，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据为229,,a a ，则2822% 6.16⨯=，所以剩下28个数据的22%分位数为782a a +，由于1230,,,a a a 互不相同，所以C 正确；对于D，某人解答5个问题，答对题数为X，若()5,0.6X B，则()50.63E X=⨯=，故D正确.故选：BCD. 10．AC【分析】A选项，对函数()ln xf xx=求导，可以判断出单调区间，即可求得极值；B选项，令函数()ln0xf xx==，求得零点；C选项，根据A选项得到的单调性来比较大小即可；D选项，根据单调性可知()()4f fπ<，代入即可比较大小.【详解】()f x的定义域为()0,∞+，且()21ln xf xx-'=.令()0f x'=，得()e.x f x=∴在()0,e上单调递增，在()e,+∞上单调递减，因此()f x在ex=处取得极大值()1e,Aef=正确.令()0f x=，解得1x=，故函数()f x有且仅有一个零点，B错误.由()f x在()e,+∞上单调递减，得()()()43f f fπ<<，则C正确.因为()()4f fπ<，即ln4ln4ππ<，所以4ln4lnππ<，则44,Dππ<错误.故选：AC.11．BCD【分析】对于A，直接由直线与圆相切，列方程验算斜率即可；对于B，首先由直线与圆相切，联立方程组得判别式为0，由此可得nk=C，首先得nnxy n==-()f x x x=，结合导数即可判断；对于D，由12n n n nM A M C=结合三角形三边关系即可求解.【详解】当1n=时，圆1O的方程为()()22111x y-+-=，圆心为()1,1，半径为1，过点()11,1P-向圆1O引切线，根据题意可知，切线斜率存在，设切线方程为()11y k x=++，即10kx y k-++=，1=，又因为nk>，所以1k=，故A不正确；设直线():1n nl y k x n=++，由()2221220ny k x nx y nx ny n⎧=++⎨+--+=⎩，得()()22221220nnn k x k n x k ++-+=，由Δ0=，即()()222222410nn n knk k --+=，又因为0n k >，所以n k =2211n n n n k n x k n -==++，所以()111n n n n y k x n n n n ⎫=++=++=⎪+⎭，故B 正确；因为n n x y n=-，令()f x x x=，()1f x x='，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()10f x x ='<，所以()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因为π04<，而()00f =，所以()00f f <=n n x y n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故C 正确；设3,2n n C n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时12n n n n M A M C =，故而13||||||||||122n n n n n n n n n n M A M P M C M P C P n +=+≥=+，等号成立当且仅当n M 在n n C P 上，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：关键是由直线和圆的位置关系得,,n n nk x y 关于n 的表达式，由此即可顺利求解.12．4047【分析】由题意可知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，由n S 与n a的关系求出其通项公式可解.【详解】因为111n nS S n n +-=+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，所以11nS a n n =+-，则21n S n n na =-+，所以3136S a =+，2122S a =+，又332145a S S a =-=+=，可得11a =，且2n S n =，所以22202420242023202420234047a S S =-=-=.故答案为：404713．58,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】根据题意，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】由()0,πx ∈，得πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有两个零点，所以π2ππ3π3ω<+≤，解得5833ω<≤，所以ω的取值范围是58,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：58,33⎛⎤⎥⎝⎦.1-【分析】根据题意以,EB ED 和过点E 垂直于平面BED 的直线建立空间直角坐标系E xyz -，可知BES ∠为二面角S DE B --的平面角，设出点S 的坐标，由线面角的空间向量法求解最值.【详解】如图，以,EB ED 和过点E 垂直于平面BED 的直线建立空间直角坐标系E xyz -，则()()()1,0,0,0,,2,,B DC 由BE DE ⊥，DE SE ⊥，可知BES ∠为二面角S DE B --的平面角，又1SE =，π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设(S a ，2ππ11cos ,cos ,3322a ⎡⎤⎡⎤∈=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则(((),2,ES a SC ED ==-=，设平面SDE 的法向量为(),,n x y z =r，则00n ED n ES ax ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，则z y ==，所以n ⎛⎫= ⎝ ，设直线SC 与平面SDE 所成角为α，则()2222221sin cos ,212311n SC a aa n SC a n SCaa a a α⋅-+-====-⋅+⋅-++--，其中()213324224423222a a a a a a -=-++≤--+=----，53222a -≤-≤-，当且仅当322a a -=-，即23a =-时，取得最大值,则sin α的最大值为()24233131-=-=-.故答案为：31-【点睛】思路点睛：根据题意设出点S 的坐标，从而由空间向量法表示出线面角的正弦值，利用基本不等式求解最值.15．(1)证明见解析；(2)12n n T n +=⋅.【分析】（1）利用1,2n n n a S S n -=-≥变形给定的递推公式，再利用等比数列的定义推理即得.（2）由（1）求出nb ，再利用错位相减法求和即得.【详解】（1）数列{}n a 中，24n n S a n =+-，当2n ≥时，1125n n S a n --=+-，两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，又11123a S a ==-，则13a =，112a -=，所以数列{}1n a -是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知11222n n n a --=⨯=，1212log (1)log 21n n n b a n ++=-==+，(1)(1)2nn n b a n -=+⋅，则23223242(1)2nn T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ，于是234122232422(1)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ ，两式相减得231112(12)22(222)(1)22(1)2212n n n n n n T n n n +++--=⨯++++-+⨯=+-+⨯=-⋅- ，所以12n n T n +=⋅.16．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用余弦定理求出1B D，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、性质推理即得.（2）以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，连接BD ，由AB BC ⊥，点D 为AC的中点，得152BD AC ===，在1BB D △中，222111112cos BD B B B D B B B D BB D =+-⋅∠，即222111251321313B D B D =+-⨯⨯，解得112B D =，由22211169BD B D B B +==，得190B DB ∠=，即1B D BD ⊥，由11B A B C =，点D 为AC 的中点，得1B D AC ^，而,,AC BD D AC BD ⋂=⊂平面ABC ，因此1B D ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1BC B D⊥.（2）在平面ABC 内过点D 分别作AB ，BC 的平行线，交AB ，BC 于点E ，F ，由（1）知1B D ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，显然直线1,,DE DF DB 两两垂直，以点D 为坐标原点，直线1,,DE DF DB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(3,4,0),(3,4,0),(3,4,0),(0,0,12)D A B C B --，11(3,4,12),(6,0,0),(3,4,12)AB CB BB =-==--，设平面1B BC的法向量(,,)n x y z =，则16034120n CB x n BB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，得(0,3,1)n = ，令直线1AB 与平面1B BC 所成的角为θ，因此111||sin|cos,|||||AB nAB nAB nθ⋅=〈〉===，所以直线1AB与平面1B BC所成角的正弦值是121065.17．(1)甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率为0.8；(2)分布列见解析，X的数学期望为4.3．【分析】（1）设事件甲俱乐部在男子双打项目中第i局获胜为事件iA，利用iA表示事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜，结合概率加法和乘法公式求解；（2）确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可其分布列，再利用期望公式求其期望.【详解】（1）设事件甲俱乐部在男子双打项目中第i局获胜为事件iA，1,2,3i=，则()()()1230.7P A P A P A===，则事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜可表示为12123123A A A A A A A A++，所以事件甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率为()121231230.70.70.70.30.70.30.70.70.7840.8P A A A A A A A++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈，（2）由（1）可得甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率约为0.8，同理可得甲俱乐部在女子双打项目中获胜的概率约为0.8，甲俱乐部在男子单打项目中获胜的概率约为0.8，设事件甲俱乐部在女子单打项目中第i局获胜为事件iB，1,2,3i=，则()()()1230.2P B P B P B===，则事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜可表示为12123123B B B B B B B B++，所以事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜的概率为()121231230.20.20.20.80.20.80.20.20.1040.1P B B B B B B B B++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≈，所以事件甲俱乐部在女子单打项目中获胜的概率约为0.1，同理可得事件甲俱乐部在混合双打项目中获胜的概率约为0.1，由已知X的取值可能为3,4,5；()30.80.80.10.20.20.90.1P X==⨯⨯+⨯⨯=，比赛进行了4个项目，甲俱乐部获胜的概率为()0.80.80.90.80.20.10.20.80.10.80.4864⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=，比赛进行了4个项目，乙俱乐部获胜的概率为()0.20.20.10.20.80.90.80.20.90.20.0584⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=，()40.48640.05840.54480.5P X ==+=≈，()50.80.80.90.20.80.20.10.20.80.20.90.8P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0.20.80.10.20.20.80.90.80.20.20.10.80.35520.4+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=≈，所以X 的分布列为X345P0.10.50.4所以随机变量X 的数学期望()30.140.550.4 4.3E X =⨯+⨯+⨯=.18．(1)22143x y +=(2)证明过程见解析【分析】（1）由题意11,22c ab a ==,,a b c 的平方关系即可求解.（2）由题意设直线MN 方程为210kx y k -++=，()()1122,,,M x y N x y ，联立椭圆方程，用韦达定理、直线交点坐标以及中点坐标表示出T 的坐标，证明22TTy x +为定值即可.【详解】（1）因为离心率为12ABO,△11,22c ab a ==又因为222a b c =+，所以224,3a b ==，即E 的方程为22143x y +=.（2）由题意过点()2,1P -的直线斜率存在，设为210kx y k -++=，设()()1122,,,M x y N x y ，联立22210143kx y k x y -++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()()2224382182210k x k k x k k +++++-=，可得()()122212282143822143k k x x k k k x x k ⎧++=-⎪+⎪⎨+-⎪=⎪+⎩，所以()()()121112212142y y k x k x k x x k +=+++++=+++()()()()222224243821621434343k k k k k k k k ++++=-+=+++，且()()122112212121x y x y x k x x k x ⎡⎤⎡⎤+=+++++⎣⎦⎣⎦()()()()2212122221622182124221(*)434334k k k k k kkx x k x x k k k +-+-=+++=-=+++，()()()()2222122196264213242031k k k k k k k ∆+=+=>---⇒<+，直线()22:22y AN y x x =++和1x x =联立，得()()2211112122,221,22,y y x y x H x Tx x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+++ ⎪ ⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦⎝⎭，T 为MH 的中点，令[]()()()211221*********,2,22222 y x x x y x y y y y x x y x ⎡⎤+=∈-=+=⎢⎥+⎣+⎦+++，此时()()()1222122122222x y x y y y yx x x +++=+++，化简得()()122112121222224x y x y y y yx x x x x +++=++++，将(*)代入上式得()()()()2224122123282211621443k k yx k k k k k -++==++--+++，所以线段MH 的中点T 在定直线3260x y -+=上.【点睛】关键点点睛：本题的关键是得出()2111212,22y x T x y x ⎛⎫⎡⎤++ ⎪⎢⎥ ⎪+⎣⎦⎝⎭，再结合韦达定理证明22TT y x +为定值即可顺利得解.19．(1)()f x 的极小值为1，无极大值；(2)()22ln 2,∞-+.【分析】（1）利用导数研究函数单调性，从而求极值；（2）利用函数()f x 的导数可知a<0，且20001x a x x <-<-，从而1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，再求范围即可.【详解】（1）当1a =-时，()()1ln ,0f x x x x =+>，则()22111x f x x x x ='-=-，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以当1x =时，()f x 取极小值为()11f =，无极大值；（2）由()ln a f x x x =-，则()221(),0a x af x x x x x '+=+=>，若0a ≥，则()0f x '>恒成立，函数()f x 单调递增，若()20001x f x f x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则20001x x x =-，解得00x =或012x =，与题意不符，所以a<0，当0x a <<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x a >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以当x a =-时，()f x 取极小值为()()ln 1f a a -=-+，又0102x <<，则()200000012011x x x x x x --=>--，所以20001x x x >-，而()20001x f x f x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭所以201x a x x <-<-，设21(),0,12x g x x x ⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，则()()22()01x x g x x --'=>，所以()g x 为增函数，则11()(22g x g <=，所以1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()2211ln 2ln f a a a a a =-=--，令()()112ln,,02h x x xx⎛⎫=--∈-⎪⎝⎭，则()221,xh xx'+=可知()0h x'>，所以()h x为增函数，且112ln222ln2, 22h⎛⎫⎛⎫-=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()()22ln2,h x∞∈-+，即()()222ln2,f a∞∈-+.【点睛】思路点睛：第（2）问中，根据条件，利用导数可分析出21x a xx<-<-，从而先确定a的取值范围，再求()2f a的取值范围．。
福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检)数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.80，乙中靶的概率为0.85，则恰好有一人中靶的概率为（ ）A ．0.85B ．0.80C ．0.70D ．0.292. 已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）A．B．C．D．3. 已知，则（ ）A．B．C．D．4. 命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．，D ．，5. 在中，为坐标原点，，则当的面积达最大值时，（ ）A．B．C．D．6.已知是方程的一个根，则的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67. 如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E 已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD 四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（）A ．12B ．24C ．48D ．848.已知，点P满足，直线，当点P 到直线l 的距离最大时，此时m 的值为（ ）A．B．C．D．9. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）A ．函数的周期为2B ．函数的图象关于对称C ．函数为偶函数D ．函数的图象关于对称10. 如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A ．的最小值为B．的最小值为C ．三棱锥的体积不变福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测（二检）数学试题(2)福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测（二检）数学试题(2)三、填空题四、解答题D ．以点为球心，为半径的球面与面的交线长11. 已知，，则（ ）A．B．向量与的夹角为C．D．12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．有极大值B ．有极小值C ．无最大值D ．在上单调递增13. 一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为______．14.设，函数若函数的最小值为0，则的取值范围是___________；若函数有4个零点，则的值是___________.15.若，则的最小值为_______________.16. 如图，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M 是PB 的中点，四边形OBCH 为正方形.(1)设平面平面，证明：；(2)设D 为OH 的中点，N 是线段CD 上的一个点，当MN 与平面PAB 所成角最大时，求MN 的长.17. 随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：包裹重量（单位：）12345包裹件数43301584公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围0~100101~200201~300301~400401~500包裹件数（近似处理）50150250350450天数6630126以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每件揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是公司老总，是否进行裁减工作人员1人？18. 在中，内角的对边分别为，且．(1)证明：是锐角三角形；(2)若，求的面积．19. 如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．20. 2017年3月27日，一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2017届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．(1)请将上述列联表补充完整；(2)判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?附：，21. 某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制，已知高三学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表.原始成绩85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级优秀良好及格不及格为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人.(1)求和频率分布直方图中的的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若该校高三学生共1000人，求竞赛等级在良好及良好以上的人数；(3)在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取2名学生进行学习经验介绍，求抽取的2名学生中优秀等级的学生恰好有1人的概率.。
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福州市高考数学二模试卷（理科）（II）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·东城模拟) 集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|x≤3}，则A∩B=（）
A . {1，2，3，4}
B . {1，2，3}
C . {2，3}
D . {1，4}
2. （2分）复数z=|（﹣i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）
A . 2﹣i
B . 2+i
C . 4﹣i
D . 4+i
3. （2分）已知向量满足：与垂直，且，则与的夹角为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）(2019·临沂模拟) 已知双曲线的一个焦点F(2，0)，一条渐近线的斜率
为，则该双曲线方程为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）已知φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=sin（2x+φ）为奇函数”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6. （2分）(2017·合肥模拟) 如图，若程序框图运行后输出的结果是57，则判断框中应填入的条件是（）
A . A＜4
B . A＜5
C . A≤5
D . A≤6
8. （2分） (2016高二上·杭州期末) 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A . 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
B . 若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n
C . 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
D . 若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n
10. （2分） (2017高二下·眉山期中) 已知函数f（x）= x3﹣（a﹣1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2017高二上·龙海期末) 有下列四个命题：
①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题．
其中真命题为（）
A . ①②
B . ①③
C . ②③
D . ③④
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2013·江苏理) 在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an 的最大正整数n的值为________．
15. （1分）(2017·四川模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为________．
三、解答题 (共7题；共60分)
17. （10分） (2019高二上·汇川期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c ＝2b.
（1）求角A的大小；
（2）若c＝，角B的平分线BD＝，求a.
18. （5分） (2016高二上·佛山期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥AE；
（Ⅱ）证明：PD⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．
19. （10分）(2019·黄冈模拟) 某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量（千克）与使用某种液体肥料的质量（千克）之间的关系如图所示.
附：相关系数公式，
参考数据：， .
（1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量限制，并有如下关系：
周光照量（单位：小时）
光照控制仪运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
20. （5分） (2019高二上·长沙期中) 已知椭圆（）的左右焦点分别为，
为椭圆上位于轴同侧的两点，的周长为，的最大值为 .
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若，求四边形面积的取值范围.
21. （10分）(2017·龙岩模拟) 已知函数f（x）=（x﹣）ex ， g（x）=4x2﹣4x+mln（2x）（m∈R），g （x）存在两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）．
（1）求f（x1﹣x2）的最小值；
（2）若不等式g（x1）≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．
22. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
23. （10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）﹣a＞2恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
8-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
15-1、
三、解答题 (共7题；共60分)
17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
21-2、22-1、
22-2、23-1、23-2、。