分式方程-公式变形
分式知识点总结
分式知识点总结1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
〔分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.〕〔分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
〕4.分式的根本性质：分式的分子与分母同乘〔或除以〕一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为〔〕，其中A、B、C是整式注意：〔1〕“C是一个不等于0的整式〞是分式根本性质的一个制约条件；〔2〕应用分式的根本性质时，要深刻理解“同〞的含义，防止犯只乘分子〔或分母〕的错误；〔3〕假设分式的分子或分母是多项式，运用分式的根本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C；〔4〕分式的根本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分：和分数类似，利用分式的根本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：〔1〕“各分母所有因式的最高次幂〞是指凡出现的字母〔或含字母的式子〕为底数的幂选取指数最大的；〔2〕如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；〔3〕如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的根本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
初中数学重点知识归纳整理
初中数学重点知识归纳整理 想要把初中数学学好单靠做题是没有办法实现的，要掌握数学的学习技巧才可以，下⾯是⼩编为⼤家整理的初中数学重点知识归纳，⼀起来看看吧! 初中数学重点知识归纳 1. 因式分解：把⼀个多项式化为⼏个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解;注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2.因式分解的⽅法：常⽤“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“⼗字相乘法”. 3.公因式的确定：系数的最⼤公约数·相同因式的最低次幂. 注意公式：a+b=b+a; a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2; (a-b)3=-(b-a)3. 4.因式分解的公式： (1)平⽅差公式： a2-b2=(a+ b)(a- b); (2)完全平⽅公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5.因式分解的注意事项： (1)选择因式分解⽅法的⼀般次序是：⼀提取、⼆公式、三分组、四⼗字; (2)使⽤因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性; (3)因式分解的最后结果要求分解到每⼀个因式都不能分解为⽌; (4)因式分解的最后结果要求每⼀个因式的⾸项符号为正; (5)因式分解的最后结果要求加以整理; (6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘⽅的形式. 6.因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理;(2)提负号; (3)全变号;(4)换元;(5)配⽅;(6)把相同的式⼦看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项. 7.完全平⽅式：能化为(m+n)2的多项式叫完全平⽅式;对于⼆次三项式x2+px+q，有“ x2+px+q是完全平⽅式 1.分式：⼀般地，⽤A 、B 表⽰两个整式，A ÷B 就可以表⽰为B 的形式，如果AB 中含有字母，式⼦B 叫做分式. ⎧整式有理式⎨⎩分式2.有理式：整式与分式统称有理式;即 . 3.对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式⽆意义，反之有意义;(2)若分式的分⼦为零，⽽分母不为零，则分式的值为零;注意：若分式的分⼦为零，⽽分母也为零，则分式⽆意义. 4.分式的基本性质与应⽤： (1)若分式的分⼦与分母都乘以(或除以)同⼀个不为零的整式，分式的值不变; (2)注意：在分式中，分⼦、分母、分式本⾝的符号，改变其中任何两个，分式的值不变; (3)繁分式化简时，采⽤分⼦分母同乘⼩分母的最⼩公倍数的⽅法，⽐较简单. 5.分式的约分：把⼀个分式的分⼦与分母的公因式约去，叫做分式的约分;注意：分式约分前经常需要先因式分解. 6.最简分式：⼀个分式的分⼦与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式;注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.a c ac ⋅=, 7.分式的乘除法法则：b d bd n n a b ÷c d =a d ad ⋅=b c bc . a ⎛a ⎫⎪=n . (n 为正整数)b 8.分式的乘⽅：⎝b ⎭. 9.负整指数计算法则： (1)公式： a0=1(a≠0), a-n=a (a≠0) ; (2)正整指数的运算法则都可⽤于负整指数计算; ⎛a ⎫⎪ (3)公式：⎝b ⎭-n n n ⎛b ⎫= ⎪⎝a ⎭a -n -m ，b =b a m n ; (4)公式： (-1)-2=1， (-1)-3=-1. 10.分式的通分：根据分式的基本性质，把⼏个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分;注意：分式的通分前要先确定最简公分母. 11.最简公分母的确定：系数的最⼩公倍数·相同因式的最⾼次幂. 12.同分母与异分母的分式加减法法则 13.含有字母系数的⼀元⼀次⽅程：在⽅程ax+b=0(a≠0) 中,x 是未知数,a 和b 是⽤字母表⽰的已知数，对x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项，我们称它为含有字母系数的⼀元⼀次⽅程. 注意：在字母⽅程中, ⼀般⽤a 、b 、c 等表⽰已知数，⽤x 、y 、z 等表⽰未知数. 14.公式变形：把⼀个公式从⼀种形式变换成另⼀种形式，叫做公式变形;注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的⽅程. 特别要注意：字母⽅程两边同时乘以含字母的代数式时，⼀般需要先确认这个代数式的值不为0. 15.分式⽅程：分母⾥含有未知数的⽅程叫做分式⽅程;注意：以前学过的，分母⾥不含未知数的⽅程是整式⽅程. 16.分式⽅程的增根：在解分式⽅程时，为了去分母，⽅程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产⽣增根，故分式⽅程必须验增根;注意：在解⽅程时，⽅程的两边⼀般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根. 17.分式⽅程验增根的⽅法：把分式⽅程求出的根代⼊最简公分母(或分式⽅程的每个分母)，若值为零，求出的根是增根，这时原⽅程⽆解;若值不为零，求出的根是原⽅程的解;注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原⽅程的增根. 18.分式⽅程的应⽤：列分式⽅程解应⽤题与列整式⽅程解应⽤题的⽅法⼀样，但需要增加“验增根”的程序. 初中数学考试必备公式 圆与弧的公式： 正n边形的每个内⾓都等于(n-2)×180°/n 弧长计算公式：L=n兀R/180 扇形⾯积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2 ①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-rr)④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含dr) 定理：相交两圆的连⼼线垂直平分两圆的公共弦 定理：把圆分成n(n≥3)：⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 定理：任何正多边形都有⼀个外接圆和⼀个内切圆，这两个圆是同⼼圆 如果在⼀个顶点周围有k个正n边形的⾓，由于这些⾓的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 因式分解公式： 公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) 解：a^3+b^3+c^3-3abc =(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab) =(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2) =(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)] =(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2) =(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 平⽅差公式：a平⽅-b平⽅=(a+b)(a-b) 完全平⽅和公式： (a+b)平⽅=a²+2ab+b² 完全平⽅差公式： (a-b)平⽅=a²-2ab+b² 两根式： ax²+bx+c=a[x-(-b+√(b²-4ac))/2a][x-(-b-√(b²-4ac))/2a]两根式 ⽴⽅和公式： a^3+b^3=(a+b)(a²-ab+b²) ⽴⽅差公式：a^3-b^3=(a-b)(a²+ab+b²) 完全⽴⽅公式： a^3±3a²b+3ab²±b^3=(a±b)^3. ⼀元⼆次⽅程公式与判别式： ⼀元⼆次⽅程的解 -b+√(b²-4ac)/2a ，-b-√(b²-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b²-4ac=0 注：⽅程有两个相等的实根 b²-4ac>0 注：⽅程有两个不等的实根 b²-4ac<0 注：⽅程没有实根，有共轭复数根 三⾓不等式： |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a| 等差数列公式： 某些数列前n项和： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 三⾓函数公式--两⾓和公式： sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 三⾓函数公式--倍⾓公式： tan2A=2tanA/(1-tan2A) cos2a=cos²a-sin²a=2cos²a-1=1-2sin²a 三⾓函数公式--半⾓公式： sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 三⾓函数公式--和差化积： 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) 2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 初中数学学习⽅法 ⼀、通读全卷⼀是看题量多少，不要漏题;⼆是选出容易题，准备先作答;三是把⾃⼰容易忽略和出错的事项在题的空⽩处⽤铅笔做个记号 ⼆、认真审题审题⼀定要细⼼.要放慢速度，逐字逐句搞清题意(似曾相识的题⽬更要注意不背答案)，从多⾓度挖掘隐含条件及条件间内在联系，为快速解答提供可靠的信息和依据 三、由易到难先做容易题，后做难题.遇到难题，要敢于暂时“放弃”，不要浪费太多时间，等把会做的题⽬解答完后，再回头集中精⼒解决它 四、分段得分数学解答题有“⼊⼿容易，深⼊难”的特点，第⼀问较容易，第⼆、三问难度逐渐加⼤.因此，解答时应注意“分段得分”，步步为营.⾸先拿下第⼀问，确保不失分，然后分析第⼀问是否为第⼆、三问准备了思维基础和解题条件，⼒争第⼆问保全分，争取第三问能抢到分 五、跳跃解答当不会解(或证)解答题中的前⼀问，⽽会解(或证)下⼀问时，可以直接利⽤前⼀问的结论去解决下⼀问 六、逆向分析当⽤直接法解答或证明某⼀问题遇到“卡⼦”时，可以采⽤分析法.格式如下：假设“卡⼦”成⽴，则···(推出已知的条件和结论)，以上步步可逆，所以“卡⼦”成⽴ 七、先思后划当发现⾃⼰答错时，不要急于划掉重写.这是因为重新改正的答案可能和划掉的答题⽆多⼤区别 ⼋、学会联想当遇到⼀时想不起的问题时，不要把注意⼒集中在⼀个⽬标，要换个⾓度思考，从与题⽬有关的知识开始模拟联想.如“课本上怎么说的?”，“以前运⽤这些知识解决过什么问题?”，“是否能特殊化?”，“极限位置怎样?”等等 初中数学解题技巧 1、配⽅法 所谓配⽅，就是把⼀个解析式利⽤恒等变形的⽅法，把其中的某些项配成⼀个或⼏个多项式正整数次幂的和形式。
分式方程
分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注： 解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
步骤：（1）去分母（两边同时乘以最简公分母）（2）去括号（3）移项（一般般含未知数的项移到左边，常数项移到右边） （4）合并同类项（5）系数化一（两边同时除以未知数的系数） （6）检验（将所求的未知数的值代入最简公分母） （7）做结论3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 4.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．例题讲解：1. 已知关于x 的方程81=+x mx 的解为41=x ,则m =_________ 2. 已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围为___________3. 若分式 的值为零，则 的值为________.4. 某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天．5. 若方程322x mx x-=--无解，则m =______. 解下列分式方程：14143=-+--x x x 212423=---x x xa a 1+222334a a a a ----144222=-++-x x x . 013132=--+--xx x.231-=x xx()()31112x x x x -=--+已知：关于x 的方程xx x a --=-+3431无解，求a 的值。
第06讲分式方程(讲义)(原卷版)-2024年中考数学一轮复习讲义
第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。
分式方程与反比例函数知识点总结
分 式1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5. 条件分式求值1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。
例：已知 ，则求2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。
例：若 ，则求6. 分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式方程公式
分式方程公式
分式方程是指包含一个或多个分式的方程。
下面列举几个常见的分式方程及其解法：
一次分式方程：
形式：(分子) / (分母) = 常数
解法：将方程中的分式化简为一个整数，然后求解。
二次分式方程：
形式：(分子) / (分母) = (分子) / (分母)
解法：通常可以通过交叉相乘或通分的方式将分式方程转化为一个一次方程，然后求解。
多元分式方程：
形式：(分子1) / (分母1) = (分子2) / (分母2) = ...
解法：可以通过分数的相等性，将多个分式等于一个常数，进而解得各个变量的值。
在解分式方程时，应考虑分母是否为零的情况，并排除无效解。
另外，有时候方程可能会包含复杂的分式形式，需要运用化简、约分等技巧来简化方程，使其更容易求解。
分式方程是包含分式的方程，解分式方程的方法包括化简、约分、通分、交叉相乘等技巧，以求得方程的解。
初中最复杂公式
初中最复杂公式
初中数学中有很多公式，其中一些可能对某些学生来说比较复杂。
以下是一些初中数学中比较复杂的公式：
1. 平面几何中的勾股定理及其逆定理：勾股定理是一个用于计算直角三角形斜边的长度，而逆定理则是用来判断一个三角形是否为直角三角形。
2. 三角函数公式：三角函数公式包括正弦、余弦、正切等，这些公式用于计算三角形的角度和边长之间的关系。
3. 代数中的一元二次方程：一元二次方程的形式为 ax^2 + bx + c = 0，解这个方程需要使用配方法、公式法或因式分解法等技巧。
4. 分式方程：分式方程的形式为 (x/a) + (y/b) = 1，解这个方程需要消去分母，将其转化为整式方程。
5. 平面几何中的相似三角形：相似三角形是指两个三角形在形状上相同，但大小不同。
相似三角形有一些特殊的性质和定理，例如相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
6. 圆的性质和定理：圆是一个常见的几何图形，它有一些特殊的性质和定理，例如圆周角定理、切线长定理等。
这些公式在初中数学中都有广泛的应用，需要学生熟练掌握和运用。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是一种涉及分数的方程，通常形式为一个分数等于另一个分数。
对于这类方程，需要一些特殊的解法方法。
一般来说，解分式方程需要以下几个步骤：1. 检查分母是否为0如果分式方程中的分母中有变量，那么需要检查这些变量是否能使分母为0。
如果存在这种情况，那么应该把这个值从解集中除去。
2. 通分将分数的分母通分。
这一步通常需要求出分母的最小公倍数，并将整个方程的左右两边同时乘上这个最小公倍数。
这样可以消除分数，使得方程变成一个普通的代数方程。
3. 化简将方程两边的短除，最终得到一个等式。
4. 解方程移项将未知数移到左侧或右侧，然后进行展开和化简，最后得到未知数的解。
如果方程中有多个未知数，可以采用代入法来求解。
下面我们来看几个具体例子。
例1：$\\frac{x}{x+1}-\\frac{1}{x-1}=\\frac{2}{2x-2}$首先检查分母中是否有变量，我们发现$x+1$和$x-1$都不能为0，因此这一步可以省略。
接着，我们通分，求出$x+1$、$x-1$和$2x-2$的最小公倍数为$2(x+1)(x-1)$，因此方程变成：$$\\frac{x(2x-2)-2(x+1)}{2(x+1)(x-1)}=0$$移项得到：$$2x^2-6x-2=0$$将此方程整理得：$$x^2-3x-1=0$$使用求根公式解得：$$x=\\frac{3\\pm\\sqrt{13}}{2}$$因此，方程的解集为：$$\\left\\{\\frac{3+\\sqrt{13}}{2},\\frac{3-\\sqrt{13}}{2}\\right\\}$$ 例2：$\\frac{2}{x-1}-\\frac{5}{4-x}=\\frac{1}{x^2-5x+4}$检查分母，发现$x=1$或$x=4$时分母为0，因此这两个值需要从解集中除去。
通分，得到：$$\\frac{8-10(x-1)}{(x-1)(4-x)}=\\frac{1}{x(x-4)}$$将左侧短除，得到：$$0=11x^2-59x+70$$将右侧转化为分数形式，得到：$$\\frac{1}{x(x-4)}=\\frac{A}{x}+\\frac{B}{x-4}$$化简得到：$$1=Ax-4A+Bx+Bx-4B$$将x和常数项分别对应，得到：$$\\begin{cases} A+B=0 \\\\ -4A+B=1 \\end{cases}$$解得$A=-\\frac{1}{4}$，$B=\\frac{1}{4}$。
分式主要公式
（一）、分式定义及有关题型【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bd a d a c ac÷=∙= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p a a 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2题型一：考查分式的定义形如A/B ，A 、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于0的式子叫做分式【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件分母不为0分母为零,分式无意义【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11-题型三：考查分式的值为0的条件 分子为 0,分母不为 0。
【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.。
分式知识点及题型总结超好用
分式知识点与题型一、分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式与分式方程知识点总结
分式与分式方程专题一、分式基本知识1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
（1）分式与整式最本质的区别：分式的分母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
（2）分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
（3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零。
2、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） （1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3、分式的通分和约分：关键先是分解因式（1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
（2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式（3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
（4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4、分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分C B C A B A ⋅⋅=CB CA B A ÷÷=鑫鹏学校母中的部分项的符号。
5、分式的运算：（1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
（2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
（3）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
（4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算（5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
分式方程知识总结
分式方程知识总结一、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。
例如15x =，3233x x x =+--，523x x +=-都是分式方程。
分式方程和整式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中不含有未知数的方程叫做整式方程。
练习：下列方程都是关于x 的方程，其中是分式方程的有 。
（只填序号） ①52x =；②313x =-；③152x x =-；④2x n x m m n +--=；⑤2m n m n x m -+-= 答案：②、③、⑤。
二、分式方程的解法解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程，然后通过求整式方程，将整式方程的解代入最简公分母中，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解就是分式方程的根，否则这个解就不是原分式方程的根，原分式方程无解。
例题1、解方程32222x x x x-=--- 方程两边同时乘以2x -，约去分母得322(2)x x x -=---解这个整式方程得1x =检验：当1x =时，20x -≠。
所以1x =是原方程的解。
三、增根将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，约去分母，有时就可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常被称为增根。
所以解分式方程一定要进行检验。
①增根产生的原因：对原分式方程的根来说，它必须使分式方程中各个分式分母的值不能为0，当所得到的整式方程的解使原分式方程中至少一个分式的分母为0（这个分母实际上是去分母时最简公分母的一个因式），那么最简公分母的值为0，即相当于在分式方程两边都乘以了0，不符合等式性质的要求，所以这个整式方程的解不适合原来的分式方程，它就是增根。
②分式方程验根的方法：分式方程验根的方法有两种：一是将整式方程的解代入到去分母时方程两边所乘以的最简公分母中，如果这个最简公分母的值为0，它就是原分式方程的增根，舍去，反之就是原分式方程的根；二是将整式方程的解代入到原分式方程左右两边，看看两边的值是否相等。
初中数学解方程的常用方法
初中数学解方程的常用方法解方程是数学学科中的一个重要内容，也是提高学生思维能力和解决实际问题的重要手段。
初中数学的解方程一般包括一元一次方程、一元二次方程以及一些简单的分式方程等。
下面介绍一些初中解方程的常用方法。
一、一元一次方程的解法：1.移项法：根据方程的性质，可以将等式两边的项按照要求进行移项，最终得到x的值；2.合并同类项法：如果等式两边有相同的项，可以将它们合并为一项，再进行移项；3.约分法：对于含有分式的方程，可以通过约分的方式来简化等式，使得方程更容易求解；4.消元法：对于多元一次方程组，可以通过将方程组中的一部分方程进行消元，再进行移项求解；5.代入法：有时候可以通过将方程的一些已知值代入方程，从而求出未知数的值；6.增补法：对于一些特殊的方程，可以补充一个方程使得方程组成为一个容易解的方程；二、一元二次方程的解法：1. 公式法：使用求根公式来解一元二次方程，即x=(-b±√(b^2-4ac))/2a；2.完全平方式：将方程进行变形，使得其两边均为完全平方，从而可以直接求解方程；3.分解因式法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过将其转化为两个一元一次方程来进行求解；4.图像法：通过画出方程的二次函数的图像来找到方程的解；5.试值法：通过试探合适的值来求解方程的解；三、分式方程的解法：1.通分法：对于含有分式的方程，可以通过通分的方式来简化等式，使得方程更容易求解；2.分解法：对于分式方程，可以通过分解方程的分子或分母，从而将方程转化为更容易解的形式；3.去分母法：通过去分母的方式来解分式方程，即可以通过对方程两边乘以分母的乘积来将方程去分母化为一元一次方程；4.奇偶法：对于一些特殊的分式方程，可以通过观察其奇偶性质来确定方程的解的情况；5.变量代换法：通过引入新的未知数进行代换，从而将分式方程转化为一次方程；以上是初中数学解方程的常用方法。
不同类型的方程需要采用不同的解法，并且需要根据具体题目的情况来选择合适的解法。
分式方程
分式方程概念总汇1、分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
说明：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。
2、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。
（2）解分式方程的一般方法和步骤第一步：去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
第二步：解这个整式方程。
第三步：验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
说明：（1）分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
3、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。
一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：第一步：审清题意；第二步：设未知数；第三步：根据题意找等量关系，列出分式方程；第四步：解分式方程，并验根；第五步：检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．方法引导一、解分式方程的方法例1、与异分母相关的分式方程解方程=难度等级：A解：7x=5（x－2），解得x=－5经检验，x=－5是原分式方程的根。
分式方程知识点归纳
分式方程知识点归纳1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ）注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5. 条件分式求值1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。
例：已知 ，则求 2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。
例：若 ，则求6. 分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
七年级数学分式的运算和分式方程
分式性质及运算【基础精讲】一、分式运算的几种技巧分式加减运算是分式的重点和难点，尤其是导分母分式的加减运算更需要具备扎实的基础知识和解题技巧，下面例谈几种运算技巧。
1、先约分后通分技巧例1 计算2312+++x x x +4222--x xx分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x2、分离整数技巧例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x分析：前两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，用分离整数方法可使计算化简。
解：原式=231)23(22+-++-x x x x -651)65(22+-++-x x x x -3412+-x x=1+2312+-x x -1-6512+-x x -3412+-x x=)2)(1(1--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x=)3)(2)(1()2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x3、裂项相消技巧例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x分析：此类题可利用)(1m n n +=m 1（n 1-m 1）裂项相消计算。
解：原式=（x 1-11+x ）+22（11+x -31+x ）+33（31+x -61+x ）=x 1-61+x =)6(6+x x4、分组计算技巧例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a 2-4，第二项、第三项分母乘积为a 2-1，采取分组计算简捷。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ）=442-a +142--a =)1)(4(1222--a a5、变形技巧例5 已知x 2-3x+1=0，求x 2+21x 的值。
分式方程应用题公式
分式方程应用题公式
分式方程应用题的通常公式如下：
1. 比例问题：$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$，其中$a$和$b$代表一个物体的两个属性或者两个物体的两个属性，$c$和$d$代表另一个物体的两个属性。
这个公式可以用于解决涉及比例关系的问题，如物体的大小、速度、时间等。
2. 比率问题：$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$，其中$a$和$b$代表一个物体的两个属性，$c$和$d$分别代表另一个物体的相同两个属性。
这个公式可以用于解决涉及比率关系的问题，如物体的价格比较、体积比较等。
3. 百分比问题：$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{100}$，其中$a$代表
一部分，$b$代表整体，$c$代表所占的百分比。
这个公式可以用于解决涉及百分比的问题，如打折、利率等。
4. 混合问题：$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}$，其中$a$和$b$代表一个物体的两个属性，$c$和$d$代表另一个物体的两个属性，$e$和$f$代表两个物体的混合属性。
这个公式可
以用于解决涉及混合关系的问题，如杂货店中不同物品的混合、合金的混合等。
分式方程建模公式_概述及解释说明
分式方程建模公式概述及解释说明1. 引言1.1 概述分式方程建模公式是数学中的一种重要工具，它通过建立分式方程来描述实际问题中的关系和规律。
分式方程在许多领域中都有广泛的应用，如生物医学、经济金融和工程技术等。
本文将对分式方程建模公式进行概述，介绍其定义、特点以及解决方法。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分进行论述。
首先，在引言部分我们将概述文章的背景和目的。
其次，在第二部分我们将详细介绍分式方程建模公式的定义、特点以及在相关领域的应用实例。
第三部分将重点讲解解决分式方程建模公式所采用的常见解法和技巧，并简要介绍数学工具和软件在其中扮演的角色。
接着，在第四部分我们将详细探讨分式方程建模公式在科学研究中的应用，包括生物医学、经济金融和工程技术等领域，并提供相应案例供参考。
最后，在结论与展望部分我们将总结文章主要发现，指出存在问题并提出改进方向。
1.3 目的本文的目的是介绍分式方程建模公式的基本概念和特点，探讨其在实际问题中的应用，并提供解决分式方程建模公式的方法和技巧。
通过对分式方程建模公式进行深入理解和研究，我们能够更好地应用这一工具解决各种领域中的实际问题，并为相关领域的科学研究和技术发展做出贡献。
2. 分式方程建模公式的定义2.1 分式方程的概念与特点分式方程是指一个或多个含有未知数的分式等于一个已知数或另一个未知数的方程。
其一般形式为：$\frac{P(x)}{Q(x)} = a$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别表示多项式函数，而$x$表示未知变量。
与整式方程不同，分式方程中含有除法运算。
由于分母不能为零，所以在求解过程中需要注意判断法出现的约束条件。
而在实际应用中，分式方程常常出现在各种领域的建模问题中，并作为解决实际问题的重要工具。
2.2 建模公式的意义与作用建模公式是将实际问题转化为分式方程的数学表达形式。
通过建立合适的公式，可以更好地描述和解决实际问题，并提供定量分析和预测能力。
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, 提高解题能力。
3. 情感态度与价值观：体会解分式方程的“转化”思想，进一步渗透化归的数学思想。
教学重点：利用分式方程解决有关求公式中的某个未知量。
教学难点：解含有字母系数的分式方程。
疑探式、小组合作
多媒体
教学过程
预设问题：
1、 什么是公式变形？ 2、 公式变形与解分式方程有何联系？
3、公式变形时应该注意那些问题？
2、在梯形面积公式 S= (a+b)h ，中，所有字母都是正数。 （ 1）已知 S， b， h, 求a. （ 2）已知 S， a， h, 求b. （ 3）已知 S， a， b, 求h.
3、课后思考：解关于 x 的方程： 2ax- =bx+ (2a )
六、作业： 书上 28 页 9、10 题 ,34 页 7 题
一、创设情境，导入新课
在数学、物理等学科中，经常要用到各类公式。在应用时，又经常要对公式做相应的变ห้องสมุดไป่ตู้。
如：在行程问题中常用到的公式 s=vt, 经常根据需要可变形为： v= 的形式。
、 t=
教师引导学生归纳公式变形的定义
公式变形：把一个公式由一种形式变换成另一种形式，就叫做公式变形
二、自探、合探 例 5 已知：公式 P1 P2 ，其中 P1, P2 ,V1 ,V2 均不等于零，试用 P2 ,V1,V2 表示 P1
P2 ，其中 P1, P2 ,V1 ,V2 均不等于零，试用 P2 ,V1,V2 表示 P1 V2
思考： P1 的系数化为 1时，应该注意什么？
学生展示：在公式 3 = n (n 0) 中，试用 n表示 m.
m n1
三、再探
例 6 公式 1 1 1 ，其中 R, R1, R2 均不等于零，且 R1 R2 0 R R1 R2
课题名称 授课类型 教学目标
重点难点 教学方式 技术准备
怀柔区第四中学教案（ 2017-2018 学年第一学期）
10.5.3
公式的变形
新授
上课时间
1. 知识与技能：了解数学、物理、化学等学科中常见的公式，利用分式方程所学的相关的知
识，对给出的公式进行变形，会求公式中某个未知量。
2. 过程与方法：培养学生的观察、分析能力，训练学生的运算技巧
V1 V2 思考： P1 的系数化为 1时，应该注意什么？
学生展示与评价 :
1、在公式
3 m
n
=n
(n 1
0) 中，试用 n表示 m.
2、请思考公式变形与解分式方程的联系与区别 三、再探
例 6 公式 1 1 1 ，其中 R, R1, R2 均不等于零，且 R1 R2 0 R R1 R2
（ 1）求用 R1 , R2 表示 R的式子 （ 2）当 R1 1.36 R 2 2.47 时，求 R的值（结果精确到 0.01 ）
四、教师点拨：
公式变形是实质是解关于一个字母的方程，其他字母看成已知数；系数化为
零性的分析 五、课堂检测：
1、在式子 v=v0+at 中，所有字母都不等于零 （1）已知 v，v0，a，求 t ； （2）已知 v，a，t，求 v0； （3）已知 v，v0， t，求 a
1 时，注意对系数非
2、在梯形面积公式 S= (a+b)h ，中，所有字母都是正数。 （ 1）已知 S， b， h, 求a. （ 2）已知 S， a， h, 求b. （ 3）已知 S， a， b, 求h.
3、课后思考：解关于 x 的方程： 2ax- =bx+
六、作业： 书上 28 页 9、10 题 ,34 页 7 题 七、教学反思：
(2a )
10.5.3 公式的变形
一、创设情境：
1、在行程问题中常用到的公式 s=vt, 经常根据需要可变形为： v=
、t=
2、公式变形的定义：
二、自探、合探
例 5 已知：公式 P1 V1
（ 1）求用 R1 , R2 表示 R的式子 （ 2）当 R1 1.36 R 2 2.47 时，求 R的值（结果精确到 0.01 ）
四、教师点拨： 五、课堂检测：
1、在式子 v=v0+at 中，所有字母都不等于零 （1）已知 v，v0，a，求 t ； （2）已知 v，a，t，求 v0； （3）已知 v，v0， t，求 a