圆一
圆,一中同长也的意思
圆,一中同长也的意思
以《圆，一中同长也的意思》为标题，写一篇3000字的中文文章
中国文化历史悠久，文化传统深厚，流传下来的诸多文言文精致，而其中“圆，一中同长也”是古人智慧所见，人们常常说“圆”有着多种解释，但本文将从更精致的历史文化角度来探讨这一概念。
首先，从词语本身看，“圆”的意思是“完美”，可见古人以它来形容人们的境遇是完美的，而“一中同长也”则表示这种完美是全体人民共享的，而非个别统治者或集团独断把持。
其意义还可以形容更为精致，即指一种道德理想，这个理想就是：让所有人都能够像圆一样，没有边角、没有尖锐处，生活在温馨和谐的氛围里，朝气蓬勃，追求着理想、道德和自由；实现真正的友爱、理解和服务，在某种程度上可以说，”圆，一中同长也“的意思也可以称为“天下太平”的抽象含义。
其次，从历史文化角度，“圆，一中同长也”让我们看到中国历史文化的珍贵智慧：古人追求的是多元文化的一种和谐，它将一切因素、一切民族纳入平等的大圆中，以和谐的方式表达出极大的价值。
如果人们能够每天把这句话放在心中，做到宽容和友善，尊重他人，重视文化多元性，则可以真正营造出一个文化合一、宽容和谐、友善美好的社会环境。
综上，“圆，一中同长也”的意思深远，真正的实现也并不容易，可以说它更多的是一种情感，是做人做事的准则，使社会变得更加和
谐美满。
只有把它融入到日常生活中，落实到社会实践中，才能体现出它的本质，才能发挥出它的价值，从而让中国人民拥有一个安和谐的家园。
北师大版六年级第一单元圆的知识点、考点整理(黄海成)(word文档物超所值)
3、下列图形中，对称轴最多的图形是（）A、长方形B、正方形C、圆形4、下列图形中，对称轴最少的图形是（）A、长方形B、正方形C、圆形六、考点6：圆的周长、圆周率、直径（半径）的概念和关系。
1、圆（）的长度就是圆的周长。
圆的周长总是直径的（）倍，圆的周长除以直径的商（圆的周长与直径的比值）是一个（）,我们把它叫做（）,用字母（）表示,π是一个（），为了计算简便，通常取近似值（）。
判断：1、圆的周长是它直径的3.14 倍。
（）2、圆的周长是它半径的6.28倍。
（）3、两个圆的周长不同，是因为它们的（）。
A、圆心的位置不同B、圆周率不同C、半径不同七、考点7：圆的周长公式及其应用。
（一）、告诉直径，求周长。
1、一个直径是10米的圆形花坛，它的周长是（）米。
2、一种压路机的前轮直径是1.6米，每分钟转10圈，压路机每分钟前进多少米？（二）、告诉半径，求周长。
1、一种钟表时针长5厘米，走一昼夜走了（）。
2、一个挂钟的时针长3厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（）A、18.84cmB、37.68cmC、75.36cm3、汽车车轮的半径是0.3米，它滚动1圈前进多少米？滚动1000圈前进多少米？（三）、告诉周长，求直径。
1、一根长25.12分米的绳子正好绕一树干10圈，这个树干的直径是（）分米。
2、用一个硬纸板做成的圆在直尺上滚动一周，经过的距离是15.7dm，这个圆的直径是（）。
3、一根长12.56米的绳子正好绕一树干10周，树干横截面的直径是多少？（四）、告诉周长，求半径。
1、用圆规画一个周长是25.12cm的圆，圆规两脚之间的距离应是（）。
A、8cmB、4cmC、2cm2、用圆规画一个周长是18.84cm的圆，圆规两脚之间的距离应是（）。
A、6cmB、3cmC、4cm3、某景点有一棵古树，周长35分米的绳子绕它一圈，还剩下3.6分米，你能计算出这棵古树横截面的半径吗？八、考点8：圆的面积公式及其应用。
（一）、告诉半径，求面积。
圆是一种平面图形
八、圆（一）圆是一种平面图形，在日常生活中到处可见.如：圆桌、圆凳、盛菜的圆盘，车辆的轱辘，以及游戏用的棋子、飞盘、呼啦圈等.由于圆有着本身独特的性质，在某些地方是其他形状所不能代替的，车轱辘就是一个很好的例子。
圆的形成是：当线段OA的端点O固定不动，然后线段OA绕O运动一周，另一端点A所经过的封闭曲线就是圆（如图1），固定点O 叫做这个圆的圆心；线段OA的长叫做这个圆的半径，通常圆心用字母O表示，半径用字母R或r表示，此外我们把通过圆心并且两端都在圆上的线段，叫做直径，直径通常用字母d表示，而圆上的任意两点连结的线段叫做弦，那么最长的弦就是圆的直径。
圆还具有两种对称性：（1）圆的点对称性（或叫做中心对称性）.即圆周上任意一点，关于圆心都有一个对称点.所谓对称点就是这两个点都在过圆心的直线上，图1中点A与点B；点C与点D都是这样的对称点.（ 2）圆的轴对称性（或叫做直线对称性），即当把一个圆沿着任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就能够完全重合（一个图形沿某一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，则这个图形称为关于这条直线的轴对称图形），圆的每一条直径都是它的对称轴。
有了圆的概念，自然就会想到圆周长和圆所围成的面积，我们作一个半径为r的圆，然后用一根绳子绕圆一周，发现绳子的长是圆半径的六倍多，也就是直径的三倍多，如果我们将半径换成具体数字，也相应量绳子的具体长度，我们就会算出圆周长与圆直径的比值（圆直径除圆周长）是一个无限不循环小数3.1415926……我们称之为“圆周率”，即圆的周长等于圆的直径与圆周率的乘积.如果用字母C 表示圆周长，字母π表示圆周率，那么有：C=πd或 C=2πr。
这就是圆的周长公式.下面再看看圆的面积.在圆内作圆内接正多边形（即顶点在圆周上，各边长相等的多边形），如图2所示，圆内接正多边形的面积小于圆面积，但当正多边形的边数增加时，正多边形的面积就越来越接近圆的面积.这个圆内接正多边形的面积是由若干个小三角形的面积相加得到的，这在图2上看得很清楚.换句话说，圆内接正多边形的周长（各边长之和）当边数增加时，它就越来越接近圆的周长，所以我们可以利用这个重要的特点来求得圆的面积.三角形的面积应该是底乘高的一半，若把组成圆内接正多边形的所有三角形的面积相加就得到了圆面积的近似值.如图3，a表示三角形的高，l 表示正多边形的边长之和，即正多边形周长，那么这些三角形的面积之和，即正多边形边形边数很多时，l近似于圆周长2πr，a近似于圆半径r，所以S正就相似等于圆面积S；要求得精确值，只需将l换成 2πr，a换成r即可，如此得到圆面积公式：即，圆面积等于半径的平方与圆周率的乘积。
圆1总结
圆（1）知识结构图：基础知识归纳：（留心常用辅助线，注意总结）1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角定理：弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．（一等皆等四量关系）在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等．(3)三角形的重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．垂径定理是圆的内容中一个重要定理，这个定理及其推论都有广泛的应用．为此首先需要着重研究它们的基本图形的结构特征与基本关系有哪些？如图所示，从垂径定理中得到下列性质：(1)有 4对全等的直角三角形：Rt△CAD与Rt△CBD；Rt△OAD与Rt△OBD； Rt△OAM与Rt△OBM； Rt△MAD与Rt△MBD．特别在Rt△CAD与Rt△CBD中，直径CD是它们公共的斜边，AM、BM是CD上的高．(2)有3个等腰三角形；△CAB、△OAB、△DAB．弦AB是它们的公共底边，直径CD是它们的顶角平分线与底边AB的中垂线．(3)有3条弧相等：(4)添辅助线方法：连接半径或作垂直于弦的直径(或弦心距)，是两种重要的添线方法可见垂径定理及其推论为证明线段相等、角相等、垂直关系与利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据．在学习垂径定理及其逆定理的过程中，同学们常常议论：垂径定理究竟有几个逆定理？垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图所示，垂径定理可叙述为：在⊙O中，存在弦AB、直线CD，且AB与CD相交于M点：从构造逆命题的方法入手，为了使逆命题正确的个数尽可能的多，从而采用等个数的交换，即一个换一个或两个换两个．这样可以得到以下9个逆命题：即这个命题可叙述为：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧．这个命题可叙述为：垂直平分弦的直线经过圆心，并平分弦所对的弧．也就是说：弦的垂直平分线必经过圆心，并平分弦所对的弧．这个命题可叙述为：垂直于弦并平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并平分弦和平分弦所对的另一条弧．这个命题可叙述为：平分弦和平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并垂直于弦和平分弦所对的另一条弧．这个命题可叙述为：平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并垂直平分这条弦．再把命题二、四、五中的条件④和结论⑤进行对换，又分别得到3个逆命题，这样就有9个逆命题．可以证明，以上9个逆命题都是真命题．当然，从构造逆命题的方法来看，也可以由题设条件和结论进行不等个数的交换．如用1个条件换2个(或3个)结论，可得6个(或2个)逆命题；用2个条件换1个(或3个)结论，可得3个(或1个)逆命题，这样可共得12个逆命题．但这12个逆命题中，要么不正确；要么是正确的，但有多余的条件，去掉多余的条件就与前面9个真命题中的某个逆命题相同．所以真命题只有上述9个．总之，垂径定理共有12个逆命题，其中只有9个是逆定理．综上所述，已把垂径定理及其逆命题的条件与结论分析清楚，以便使同学们对垂径定理及其逆命题能真正理解与利于记牢．。
中考数学《圆（一）》专题练习含答案解析
圆（一）一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．513．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为度．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=°．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=度．三、解答题（共5小题）26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．圆（一）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形．【专题】几何图形问题．【分析】由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．【解答】解：∵⊙O的直径是AB，∴∠ACB=90°，又∵AB=2，弦AC=1，∴sin∠CBA=，∴∠CBA=30°，∴∠A=∠D=60°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值．2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．【解答】解：连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答．【解答】解：A、∠A=∠D，正确；B、，正确；C、∠ACB=90°，正确；D、∠COB=2∠CDB，故错误；故选：D．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理．5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再利用互余得∠ACD=90°﹣∠DCB=70°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解．【解答】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°【考点】圆周角定理．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=52°，∴∠A=90°﹣∠ABD=38°；∴∠BCD=∠A=38°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连结OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=144°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数．【解答】解：连结OB，如图，∠BOC=2∠A=2×72°=144°，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠BCO=（180°﹣∠BOC）=×（180°﹣144°）=18°．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．【解答】解：∵∠ABC=∠AOC，而∠ABC+∠AOC=90°，∴∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB 与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°【考点】圆周角定理．【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，==，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，∴AD=BD，=，∠MAN=90°（①②③正确）∵=，∴==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确）∵∠MAE=∠AME，∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，∴AE=EF，∴AE=MF（⑤正确）．正确的结论共5个．故选：D．【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．13．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】圆周角定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=50°，故选C【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，∴∠BOC=2∠A=136°．∵OB=OC，∴∠OBC==22°．故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】根据∠DOB=140°，求出∠AOD的度数，根据圆周角定理求出∠ACD的度数．【解答】解：∵∠DOB=140°，∴∠AOD=40°，∴∠ACD=∠AOD=20°，故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣50°=130°故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】圆周角定理．【分析】先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，∴∠OAC=45°，∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴∠B=∠AOC=45°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理．【分析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC=100°，∴∠ADC=∠AOC=50°，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是①②④．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；弧长的计算．【专题】压轴题．【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．【解答】解：连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；∵AD是∠BAC的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．故答案是：①②④．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等．利用了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角求解．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为25度．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连接OA，OB，根据题意确定出∠AOB的度数，利用圆周角定理即可求出∠ACB 的度数．【解答】解：连接OA，OB，由题意得：∠AOB=50°，∵∠ACB与∠AOB都对，∴∠ACB=∠AOB=25°，故答案为：25【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=40°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故答案为40．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为2．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．【解答】解：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=，在Rt△ACD中，∵sinD==，∴AC=AD=×8=2．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为42°．【考点】圆周角定理．【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=48°，∴∠OAB=∠OBA=48°，∴∠AOB=180°﹣48°×2=84°，∴∠C=∠AOB=42°，故答案为：42°．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．解决本题的关键是熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=28°．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】由AD=AC，可得∠ACD=∠ADC，由∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，可得∠BAC的度数，由∠D=∠BAC即可求解．【解答】解：∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC，∵∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，∴∠BAC=∠BOC=×112°=56°，∴∠D=∠BAC=28°．故答案为：28°．【点评】本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质，解题的关键是找出∠D与∠BOC 的关系．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=150度．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．【分析】根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形，再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°，解答即可．【解答】解：∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BAC+∠ABC=30°，∴∠ACB=150°，故答案为：150【点评】此题考查了圆心角、圆周角定理问题，关键是根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形．三、解答题26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．【考点】圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°．∴BD==5cm．（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】计算题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．【解答】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∵S△APB=AB•（PE+CF），∴S四边形APBC当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，=×2×=．∴S四边形APBC【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．【分析】（1）解直角三角形求出OB，求出AB，根据圆周角定理求出∠ACB，解直角三角求出AC即可；（2）求出△ACF和△AOF全等，得出阴影部分的面积=△AOD的面积，求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF +S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．【点评】本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，能求出△AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键．30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∵，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴的长=．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10×．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．。
《圆的认识(一)》圆PPT
自主学习反馈
1、指出下面各圆的半径和直径。
直径d
半径r
自主学习反馈
填一填
1 2
3
（1）（ ）2 号线段表示直径。
（2）（ ）3 号线段表示半径。
（3）两端都在圆上的线段中， （ 直）径最长。
探究新知
探究一：
哪种方式更公平？
不公平
不公平
公平
圆上的任意一点到圆的中心点的距离都相等。
探究新知
探究二：
想一想，画一画，圆的大小与什么有关系？圆的位置与什么有关系？
圆的大小与半径的长短有关系。 圆的位置与圆心有关系。
知识运用
为什么车轮都要做成圆的？ 车轴装在哪里？
知识运用
为什么车轮都要做成圆的？ 车轴装在哪里？
知识运用
分别用硬纸板做成下面的图形。
A
A
A
知识运用
描出滚动过程中A点留下的痕迹。
A
知识运用
互动新授
想一想，画一画，圆的大小与什么有关系？圆的 位置与什么有关系？
互动新授
合作做一做，想一想
车轮为什图形，代替车轮。
互动新授
互动新授
你发现了什么？
行驶起来平稳 圆在滚动时，圆心在一条直线上，正方 形和椭圆形的中心到图形边上各点的距离不 相等，运动的轨迹是波浪形。
课堂小结
在 同 圆 或 等 圆
圆的认识(一)
圆心（O）：决定圆的位置
直径（D）：无数条、相等 d=2r
半径（r）：决定圆的大小、 无数条、相等
六年级上册
圆的认识（一）
情境导入 你从中读出哪些数学信息？
本节目标
1．结合生活实际和丰富多彩的活动，在观察和操作中体会圆的结构特征。 2．在画圆的过程中，理解同圆中半径、直径以及直径和半径之间的关系，体会圆心和半 径的作用，会用圆规画圆。 3．能用圆的知识解释生活中的简单现象，感受数学与生活密切相关。
人教版数学九年级上册《24.1.1圆》说课稿3
人教版数学九年级上册《24.1.1圆》说课稿3一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.1圆》这一节的内容，主要介绍了圆的定义、圆心、半径等基本概念，以及圆的性质。
这是学生学习圆相关知识的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于圆这一概念，学生可能在生活中有所接触，但对其精确的数学定义和性质可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生从生活实例中抽象出圆的数学定义，进一步理解和掌握圆的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解圆的定义、圆心、半径等基本概念，掌握圆的性质，能够运用圆的知识解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过观察、实验、推理等方法，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.重点：圆的定义、圆心、半径等基本概念，圆的性质。
2.难点：圆的性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组讨论法等，引导学生主动探究，合作学习。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高学生的空间想象能力和理解能力。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中常见的圆的实例，引导学生思考圆的数学定义，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍圆的定义、圆心、半径等基本概念，引导学生理解圆的性质。
3.实例分析：通过几何画板展示圆的性质，引导学生观察、实验、推理，加深对圆的理解。
4.小组讨论：让学生分组讨论圆的性质，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
5.总结提升：对圆的性质进行总结，引导学生掌握圆的知识。
6.课堂练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
7.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程。
北师大六年级上册数学第一单元《圆》知识点
第一单元 《圆》一、圆的认识1. 画圆时，固定的点叫圆心，它到圆上任意一点的线段叫作半径。
点O 是圆心，线段OA 是半径，通常用字母r 表示；线段BC 是直径，通常用字母d 表示。
2. 半径：从圆心到圆上任意一点的线段叫作圆的半径，一般用r 表示。
直径：通过圆心且两端都在圆上的线段叫作圆的直径，一般用d 表示。
3. 圆有无数条半径，圆有无数条直径。
在同圆（或等圆）中，所有的半径相等，所有的直径相等。
4. 同圆（或等圆）中，直径是半径的2倍，半径是直径的21。
用字母表示：r d 2=。
5. 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
6. 圆中最长的线段是直径。
7. 画圆时，圆规两脚之间的距离是圆的半径。
8. 圆是曲线图形，圆是轴对称图形。
圆有无数条对称轴。
直径所在的直线是圆的对称轴。
9. 一个圆的半径扩大到原来的2倍，那么圆的直径扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍。
一个圆的半径扩大到原来的3倍，那么圆的直径扩大到原来的3倍，周长扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍。
一个圆的半径扩大到原来的n 倍，那么圆的直径扩大到原来的n 倍，周长扩大到原来的n 倍，面积扩大到原来的2n 倍（平方倍）。
二、圆的周长1. 圆的周长：圆一周的长度。
（从起点开始绕一圈回到起点。
）2. 测量圆的周长时，我们可以用滚圆法、绕线法……3. 圆的周长与直径有关，圆的周长总是直径的π倍。
4. 圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14。
π不等于3.14，π大于3.14。
5. 圆的周长＝圆周率×直径，用字母表示为πd =C 或πr 2=C 。
ππ÷==C C d ； ）（2πC 2ππ2÷=÷÷==C C r 三、圆的面积1. 把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形或长方形。
拼成的周长的一半，高相当于圆的半径。
北师大版六年级第一单元圆 的知识点、考点整理(黄海成)
π是一个（
），为了计算简便，通常取近似值（
）。
判断：1、圆的周长是它直径的3.14 倍。
（
）
2、圆的周长是它半径的6.28倍。
（
）
3、两个圆的周长不同，是因为它们的（ ）。
A、圆心的位置不同 B、圆周率不同 C、半径不同
七、考点7：圆的周长公式及其应用。
（一）、告诉直径，求周长。
1、一个直径是10米的圆形花坛，它的周长是（
的倍数，而面积扩大倍数的平方倍。 在周长相等的长方形，正方形和圆中，（ 圆 ） 的面积大一些。
考点：
一、考点1：圆的基本概念，圆心、半径、直径。 判断：
1、通过圆心的线段是半径。
（）
2、旋转式水龙喷头的射程是8m，8m就是指圆的直径。 （ ）
二、考点2：圆心决定圆的位置，半径（直径）决定圆的大小。
十二、考点12：周长和面积大小比较。
1、周长相等时,(
)的面积最大；面积相等时,(
)的周长最小。
2、周长相等的正方形，长方形和圆，（ ）的面积最大。
判断：3、用三根同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，圆的面
积最大。（ ）
4、一个圆和一个正方形的周长相等，它们的面积比较（ ）
A、圆的面积大 B、正方形的面积大 C、一样大
9、一个环形的外圆直径是10cm,内圆直径是8cm,它的面积是 ( )平方厘米.
10、完成下表。
2、 判断题（每小题2分，共12分）
1、两端都在圆上的线段是直径。
（
）
2、所有的直径都相等，所有的半径都相等。 （
）
3、旋转式水龙喷头的射程是8m，8m就是指圆的直径。（
）
4、圆的周长是它直径的π 倍。
《圆1》教案
《圆1》教案教学目标1、让学生初步掌握圆的特征，会用各种方法画圆。
2、体验数学与日常生活密切相关，能用圆的知识来解释生活中的现象或用生活中的现象来解释圆的特征。
3、使学生通过想象与验证、观察与分析、动手操作、合作交流等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展学生思维能力和初步的空间观念。
教学重难点进一步认识圆的特征及其内在联系，使学生深切体会圆的特征与我们的生活紧密相连,并学会用圆规画标准圆。
学具准备圆形纸片、圆规、直尺、表面是圆形的物体（如：硬币、瓶盖等）线等。
教学过程出示课件（例一）师：说一说，生活中哪些物体的形状是圆的？一、画圆导入：事先画好一个圆1、指着图形问：同学们，这认识吗？生：认识，圆形。
2、师：同学们，生活中你在哪儿见到过圆？生：硬币、光盘、圆桌、车轮……师：同学们，这样说下去，你们觉得能说完吗？生：说不完！师：呃！正所谓“圆无处不在”3、师：今天老师也给同学们带来了一些。
问：见过平静的水面吗？生：见过师：（手指着图片）看！现在扔一块小石子，发现了什么？生：圆师：其实呀，这样的现象在大自然中随处可见。
师：（看图片）瞧！十五的月亮，美丽的光环……师：同学们，在这里你找到圆了吗？这些图片美吗？生：很美。
师：的确，圆是一个很完美的几何图形。
同学们，你们想不想画一个？4、师：给你一支粉笔你会画圆吗？生：会。
5、谁能到黑板前快速画一个圆。
师：他画得怎么样？生：不够圆。
看来只用一支粉笔，是不太容易把圆画好的。
想画好，咱们就得借助工具。
课前老师叫你们准备了带圆形的、可以画圆的工具，你们带来什么？生：硬币、瓶盖……师：现在就请你动手试一试，利用手中的工具来画圆，看谁的方法最多。
（学生画圆，教师指导。
）6、师：画完了吗？谁来给大家介绍一下你是怎样画圆的？（提问的时候有意识的先问利用圆形物体画的同学，最后才问用圆规画的）师：当然我们可以用不同工具画圆，但最常用的还是圆规。
师：谁来向大家介绍一下用圆规画圆的方法？师根据学生口答边画圆边归纳方法：（1）定长（2）定点（3）旋转8、师：刚才老师看到有的同学用圆规画，画得不够理想，甚至到现在还没有画完，你们猜猜看他可能是什么问题？生：针尖没有定好、手没有拿在上面的小圆柄上……师：其实呀，这都是我们用圆规画圆时需要注意的地方。
六年级上册数学教案-第1单元圆｜北师大版
六年级上册数学教案－第1单元圆｜北师大版教案：六年级上册数学教案－第1单元圆｜北师大版一、教学内容本节课的教学内容来自于北师大版六年级上册数学教材，主要涵盖第一单元“圆”的相关知识。
本节课的主要内容包括：圆的定义、圆的直径与半径、圆的周长与面积的计算、以及圆的画法。
二、教学目标1. 让学生理解圆的定义，掌握圆的基本属性，如直径、半径等。
2. 让学生学会计算圆的周长和面积，并能应用于实际问题中。
3. 培养学生动手操作能力和团队协作能力，提高学生的数学思维能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：圆的周长和面积的计算公式的推导过程，以及如何应用于实际问题中。
2. 教学重点：圆的定义，圆的直径与半径的关系，圆的周长和面积的计算方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、圆规、直尺、绳子、圆形的实物等。
2. 学具：学生用书、练习本、圆规、直尺、绳子、圆形的实物等。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的圆形物体，如篮球、地球仪等，引导学生思考圆的特点和性质。
3. 圆的直径与半径：通过实际操作，让学生了解直径和半径的定义，并掌握它们之间的关系。
4. 圆的周长：引导学生探究圆的周长计算方法，引导学生使用圆规和直尺测量圆的周长。
5. 圆的面积：引导学生探究圆的面积计算方法，引导学生使用圆规和直尺测量圆的面积。
6. 圆的画法：引导学生学习圆的画法，如使用圆规画圆，并掌握圆的画法技巧。
7. 应用与拓展：出示一些与圆相关的实际问题，让学生运用所学的知识解决。
六、板书设计板书设计如下：圆的定义：所有点到圆心的距离相等的图形圆的直径：通过圆心，两端都在圆上的线段圆的半径：从圆心到圆上的线段圆的周长：C = 2πr圆的面积：A = πr²七、作业设计1. 题目：计算下面圆的周长和面积。
半径：5cm答案：周长：C = 2πr = 2π × 5 = 31.4cm面积：A = πr² = π × 5² = 78.5cm²2. 题目：画一个半径为8cm的圆。
同步课----圆(1)
圆面积定义
面积公式推导
实践应用
圆所占平面的大小就是圆的面积。
将圆分成若干等分
3 4 5 6
2
7
1 16 15 14
13 12
11
8 9 10
将圆分成若干等分
C 2
1 2 3 4 5 6 7 8
r
16 15 14 13 12 11 10 9
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 C 2
r
C 2
＝
πr
r
因为: 长方形面积 = 长 × 宽
所以: 圆 的 面 积 = πr × r 2 ＝ πr
圆的面积计算公式：
S ＝ πr
2
r
例1
一个圆的半径是4厘米。它 的面积是多少平方厘米？
S ＝ πr
2
3.14×42
＝3.14×16 ＝50.24(平方厘米) 答：它的面积是50.24平方厘米。
例2
光盘的银色部分是一个圆环， 内圆半径是2cm，外圆半径是 6cm。它的面积是多少？
r
因为
C π 2r
2 πr π d
C
所以 C
选择填空
1.圆周率是一个（ C ）。 A 有限小数 B 循环小数 C 无限不循环小数 2.车轮滚动一周，前进的距离是求车轮的 （ C ）。 A 半径 B 直径 C 周长 3.圆的周长是直径的（ B ）倍。 A 3.14 Bπ C3
4.在下列各式中，正确的是（ A ）。 A π>3.14 B π<3.14 C π=3.14 5.圆周率与直径的关系是（ A ）。 A 圆周率与直径的长短无关。 B 直径越长，圆周率也就越大。 C 直径越短，圆周率也就越小。
0.48
【章节讲义】第一单元《圆》—2021-2022学年数学六年级上册章节复习精讲精练
章节复习讲义（北师大版）2021-2022学年北师大版数学六年级上册章节复习精讲精练第一单元《圆》知识互联网知识点一：圆的认识OABrCd1.圆的圆心、半径和直径分别用字母O 、r 、 d 表示。
2.常用的画圆的方法有：手指画圆、绕绳画圆、圆规画圆。
3.同圆或等圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的一半，用字母表示：d ＝2r ，12r d =。
4.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
5.圆的对称性：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
6.找轴对称图形的对称轴的方法：① 观察轴对称图形由哪些常见的轴对称图形组成； ② 再把轴对称图形对折，直到完全重合， ③ 折痕所在的直线就是我们要找的对称轴。
7.利用圆可以设计出美丽、有趣的图案，设计图案： ①先观察、分析图案的组成，②再单独或综合运用平移、旋转和轴对称等知识。
知识点二：圆的周长1.圆的周长就是围成圆一周的曲线的长。
2.常用的圆周长的测量方法：滚动法、绕线法。
3.圆的周长＝直径×圆周率，C d π＝或C r π＝2圆周率是圆的周长除以直径的商，用字母π表示，计算时通常取3.14。
知识导航4.求组合图形或不规则图形的周长时，可以采用转化法把它转化成规则图形。
知识点三：圆的面积C ÷2长宽r1.圆的面积的估算方法：将圆剪拼成“平行四边形”再求面积。
2.圆的面积的计算公式：圆的面积=圆周率×半径的平方，用字母表示为S=πr2。
3．求阴影部分的面积有时可以将阴影部分转化成已学过的平面图形来计算； 4．计算环形面积的关键是找出内圆半径和外圆半径。
一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）1．(本题2分)（2021·辽宁六年级课时练习）圆是平面上的（ ）。
A ．直线图形B ．曲线图形C ．无法确定2．(本题2分)（2019·深圳市龙华区锦华实验学校六年级期中）下列图形中对称轴条数最多的是（ ）。
圆的认识(一)》PPT课件[1]
![圆的认识(一)》PPT课件[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/3ded6d400242a8956aece47f.png)
1 •知识目标：认识圆的各部分名称，理解在同一个圆内直径与半径的关2•能力目标：了解、掌握画圆的多种方法，初步学会用圆规画圆；转变同学们学习的方式，养成在交流、合作中获得新知的习惯。
你能找岀哪些园和以前学过的图形有什么不同呢?圆是平面上的曲线图形我们学过的其他图形都是直线图形12严你能想办法画—个圆吗?画一个半径为2厘米的圆。
a )用圖规圆一、定长（半径）二、定点（圆心）三、一只脚SSK-周画一个半径为2厘米的圆。
XX.X用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母o表示。
芙连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，半径的长度就是圆规两个脚之间的距离。
折过若干次后，可以发现什么？小组讨论下圖心通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径 > 用字母d表示。
d=2r或r=4/2dfTpiiiiiiii|iiiiiilii|iiiiiiiii|iii2 3 4 5心到圆上任意一点的距离都相等。
魁O魁魁O魁小组讨论「⑴圆的住置与打什么有关糸？(2丿0的大小与么有关糸？丿圆的确定半径.直径确定圆的大小画 直径d的知识。
我知 ,用i •表示 （直径）。
我还学会了画 II 规两脚分开的距离是 定‘ （1）今天我学习了櫃 道用。
表示（圆心）（半径），用d 表示 ，针尖一脚 Z/孜—^的一点是（圆心）O 园 我的收获指出下面各圖的半橙和直径。
半径「径d(2)号线段表示直径。
(3)号线段表示半径。
两端都在圆上的线段中, (直径)最长。
半径是射线，直径是直线。
（X ） 所有圆的直径都相等。
（X ） 直径是圆内最长的线(4) 对的打“7”错的打"X”的大小。
（7）段。
（7 ）圆心决定圆的位置，半径决定圆在边长为2厘米的正方形里画出一个最大的圆，可以怎样确定它的圆心和半径？快试一试吧！+本课小结圆各部分的定义（圆.2、用圆规画3、半径与直径的关系4、确定心、半径、直径）。
初三数学总复习专题训练(圆一)_2
初三数学总复习专题训练（圆一）班级______姓名__________座号 评分：_______一、选择题：1、如图1，经过⊙O 上的点A 的切线和弦BC 的延长线相交于点P ，若∠CAP=40°， ∠ACP=100°，则∠BAC 所对的弧的度数为（ ） A.40° B. 100° C. 120° D. 30°2、如图2，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 为AB 延长线上一点，∠CBE=40°，则 ∠AOC 等于（ ）A.20°B. 40°C. 80°D. 100°（图1）PA（图2）E3、△ABC 内接于⊙O ，∠A=30°，若BC=4cm ，则⊙O 的直径为 （ ） A.6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm4、AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ， ∠PCB=29°，则∠ADC= （ ）A.109°B. 119°C. 120°D. 129°5、直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为5，则r 的取值范围是（ ） A 、r>5B 、r=5C 、r<5D 、r ≤56、已知圆的半径为6.5cm ，圆心到直线l 的距离为4.5cm ，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（ ） A 、0B 、1C 、2D 、不能确定 7、等腰△ABC 的腰AB ＝AC ＝4cm ，若以A 为圆心，2cm 为半径的圆与BC 相切，∠BAC 的度数为（ ） A 、300B 、600C 、900D 、12008、已知AB 是⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点B ，AC ＝2AB ，则（ ） A 、∠ACB ＝60° B 、∠ACB ＝30° C 、ACB ＝45° D 、BAC ＝30°9、已知圆的半径为6.5cm ，如果一条直线和圆心距离为6.5cm ，那么这条直线和这个圆和位置是（ ） A 、相交B 、相切C 、相离D 、相交或相离10、如下左图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C ，又⊙O 与BC 的另一交点为D ，则线段BD 的长为（ ）A 、1B 、21 C 、 31 D 、 41二、填空题：1、 Rt △ABC 的斜边AB ＝4，直角边AC ＝2，若AB 与⊙C 相切，则⊙C 的半径是 。
圆内一点到圆的最大距离和最小距离
圆内一点到圆的最大距离和最小距离圆是几何学中的基本图形之一，它具有无限多个点组成的特点。
在圆内任取一点，这个点到圆的距离是一个非常有趣的问题。
我们可以通过一些简单的几何推理，来求解这个问题。
让我们看一下最大距离的情况。
我们可以将这个问题转化为求解圆心到圆上任意一点的距离的最大值。
根据圆的性质，我们知道圆心到圆上任意一点的距离等于这个点与圆心连线的长度。
而圆上的点与圆心连线的长度最大值就是圆的半径。
因此，圆内任意一点到圆的最大距离就是圆的半径。
接下来，让我们来看一下最小距离的情况。
同样地，我们可以将这个问题转化为求解圆心到圆上任意一点的距离的最小值。
为了方便推导，我们假设圆的半径为r，圆心坐标为(x0, y0)，任取一个圆上的点坐标为(x, y)。
根据两点之间的距离公式，我们可以得到圆心到圆上任意一点的距离的表达式：d = √((x - x0)^2 + (y - y0)^2)为了求解最小距离，我们需要最小化上述表达式。
根据数学的最优化理论，我们可以通过对表达式进行求导来求解最小值。
由于这个公式相对复杂，我们这里省略求解过程，直接给出结果。
经过推导和计算，我们得到最小距离的表达式为：d_min = r - √((x - x0)^2 + (y - y0)^2)最小距离发生在圆心和圆上的切点处，即圆上的点与圆心连线垂直于圆。
这时，最小距离等于圆的半径减去圆心到圆上的点的距离。
通过以上的推导，我们得到了圆内一点到圆的最大距离和最小距离的表达式。
这些表达式可以帮助我们在几何问题中快速求解相关的距离。
同时，这些表达式也揭示了圆的性质和特点，加深了我们对圆的认识和理解。
除了理论分析，我们还可以通过实际的例子来验证这些结论。
例如，我们可以取一个圆和一个圆内的点，通过测量来求解最大距离和最小距离。
在实际操作中，我们可以使用尺子或者其他测量工具来测量距离，保证测量的准确性。
总结起来，圆内一点到圆的最大距离就是圆的半径，最小距离等于圆的半径减去圆心到圆上的点的距离。
圆第1课
24.1圆学习目标：从不同的角度理解圆的概念；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等有关的概念；掌握有关概念间的区别与联系；能够根据圆的概念进行简单的证明与计算．学习重点：圆的相关概念，弦和弧的概念、弧的表示方法学习难点：容易混淆圆的概念的辨析，对弧及优弧、劣弧的概念的感知与理解学习过程1.探究新知1.圆的概念：（1）我们用圆规画圆时，把圆规的一个脚固定，另一个脚绕着它转动一周就画出了一个圆（如图①）．由此，我们可以得到圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__________.（如图②），固定的端点0叫做__________（确定圆的位置）．线段OA叫做_________ （确定圆的大小）．以点0为圆心的圆，记作__________，读作 ________．（2）由图②我们可以发现OA的长度始终不变，由此得出：①⊙0上所有的点到0点的距离均等于_______________．②到0点的距离都等于r的点都在__________ 上.所以说：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离_________ 定长r的点组成的图形．用集合的观点定义圆：到定点的距离等于定长的点的集合叫做_________2.理解与圆有关概念如图③，A、B、C是⊙O上的三个点，且A、0、B在同一直线上，我们通过图③认识与圆有关的概念．连接圆上任意两点的_________叫做弦(如图③中的AC、AB)；经过圆心的________ 叫做直径(如图③中的AB)；圆上任意两点间的________ 叫做圆弧，简称弧（如图④，以A、C为端点的弧记作，读作“圆弧AC”或“弧AC”），以A、B为端点的弧记作_______；圆的任意一条_______ 的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，半圆是一种特殊的弧，大于_______ 的弧叫做优弧（如图③中_______的），小于_______ 的弧叫做劣弧(如图③中_______)，优弧、劣弧都是弧，但是优弧大于半圆，劣弧小于半圆（弧的表示如图④，优弧ABC记作，半圆弧AB记作，劣弧AC记作）；在同圆或等圆中，能够互相_______的弧叫做等弧，能够_______ 的两个圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不同的两圆思考：画圆需要两个条件（圆是由圆心和半径确定的，圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小），圆是圆面吗？同圆或等圆的半径有什么关系?3.注意事项:圆中容易混淆的“两组”基本概念(1)弦与直径①直径是弦，是圆中最长的弦，而弦不一定是直径．②弦是连接圆上任意两点的线段，而直径是经过圆心的弦．(2)弧与半圆①半圆是弧，而弧不一定是半圆．②圆上任意两点分圆成两段弧，其中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆．4.设AB=4cm，作出满足下列要求的图形.①到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形；②到点A的距离小于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形；③到点A的距离大于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形．分析：①分别以A点和B点为圆心，3cm和2cm作⊙A与⊙B，则它们的交点为所求；②分别以A点和B点为圆心，3cm和2cm作⊙A与⊙B，则它们的公共部分为所求（边界除外）；③分别以A点和B点为圆心，3cm和2cm作⊙A 与⊙B，则⊙B中除掉它们的公共部分为所求（边界除外）解：①如图1，点P和点Q为所求；②如图2，阴影部分为所求（不含边界）；③如图3，阴影部分为所求（不含边界）5.练一练：（1）下列说法正确的序号是（）①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定比劣弧长；⑤长度相等的两条弧是等弧（2）判断题：①直径是弦，弦是直径；②弦是圆上两点间的部分；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④直径相等的两个圆是等圆；⑤等于半径两倍的线段是直径（3）确定一个圆需要________和 ________两个因素（4）平面上，与已知点P的距离为3cm的所有点组成的图形是____________________例题：如图，矩形ABCD对角线AC与BD相交于点O．求证：A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．二自我测试1.判断题①圆是一条封闭曲线，它上面的任何一点到某个定点的距离都等于定长( )；②圆的任何一条弦的两端点，把圆分成两条弧，所以一条弦对两条弧( )；③到圆心的距离小于半径的点在圆上( )；④直径是弦，且圆内最长的弦是直径( )；⑤半圆是弧，弧小于半圆( )2.以已知点D为圆心，可以画_______ 个圆；以已知线段R为半径画圆可以画 _______个圆；以已知点0为圆心，已知线段R为半径画圆，能且只能画_______ 个圆．3.A、B是⊙O上不同的两点，⊙O的半径为r，则弦AB的取值范围是________4.已知⊙O中最长的弦为16 cm，则⊙O的半径为____ cm5.如图，若点0为⊙0的圆心，则线段______ 是⊙O的半径；线段_____是⊙O的弦，其中最长的弦是______；______ 是劣弧；______是半圆6.如图，点A、O、D及点B、O、C分别在一条直线上，则圆中弦的条数是（）条 A.2 B．3 C．4 D．57.如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=720，AE交⊙O于B，AB=OE,求∠A的度数8.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E、 F、G、H分别为OD、OA、OB、OC的中点，试说明E、F、G、H四个点在以点O为圆心、OE为半径的同一个圆上9.如图，OA、OB为OO的半径，C、D分别为OA、 OB上的点，且AC=BD，求证：AD=BC三达标测评1.填空：①已知圆上有3个点以其中每两个点为端点的弧共有②在半径是5cm的圆O内有一条弦AB，∠AOB=900，则AB＝③在半径为R的圆中，弦长为d,则d 的取值范围是2.下列说法错误的是( ) A.直径相等的两个圆是等圆 B．圆中最大的弦是通过圆心的弦C．同圆中，优弧和劣弧的和等于一个整圆 D．直径是圆中最长的弦3.下列图形中，四个顶点一定在同一圆上的是( )A．矩形、平行四边形 B．菱形、正方形 C．正方形、直角梯形 D．矩形、正方形4.若d为⊙O的直径，m为⊙O的一条弦长，则d与 m的大小关系是____．5.以A为圆心，可以画____个圆；以3cm为半径可以画____个圆；以A为圆心，以3cm为半径可以画____个圆6.点P到圆上的最大距离为20cm ,最小距离为10cm ,求⊙O的半径，并说明如何找到最大距离和最小距离7.如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA＝∠DOB＝600,与线段OA相等的线段有_________8.如图,在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD，求证：OCD是等腰三角形9.如图，AB是⊙O的直径，AB=4,AC=AD, ∠CAD=30度,求点O到CD的距离OE10.如图，在⊙O中，AB，CD为直径，求证：AD∥BC11.求证：直径是圆中最大的弦12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于D，若OC=3，CD=2，求O到弦AB的距离四课内小结。
圆内一点到圆的最大距离和最小距离
圆内一点到圆的最大距离和最小距离在我们的日常生活中，我们经常会遇到与圆相关的问题。
圆是一个非常特殊的几何形状，具有许多有趣的性质和应用。
其中一个常见的问题是，给定一个圆和一个圆内的点，我们如何确定该点到圆的最大距离和最小距离呢？让我们来看看最大距离。
通过直觉，我们可以猜测最大距离应该是从该点到圆的圆心的距离。
这个猜测是正确的。
为了证明这一点，让我们假设有一个点A在圆内，与圆的圆心O的距离为d。
现在我们要找到与点A最远的点B，使得B在圆上。
我们可以通过观察来找到这个点B。
根据圆的性质，圆上的任何一条半径都是圆的直径的一半。
因此，如果我们从圆心O画一条直线，与点A相交于点C，那么OC就是半径的一半。
换句话说，OC的长度是d/2。
现在让我们考虑点B。
我们可以看到，点B是位于OC线段的延长线上的一个点，且OB的长度等于OC的长度。
因此，OB的长度也是d/2。
由于OC和OB的长度相等，我们可以得出结论，点B是与点A 最远的点，它位于圆上。
因此，从点A到圆的最大距离就是点A到圆心O的距离d。
接下来，让我们来看看最小距离。
同样地，通过直觉，我们可以猜测最小距离应该是从该点到圆的切线的距离。
这个猜测也是正确的。
为了证明这一点，让我们再次考虑点A在圆内，与圆的圆心O的距离为d。
我们可以通过观察来找到与点A最近的点D，使得D在圆上。
根据圆的性质，圆上的切线与半径垂直。
因此，我们可以通过从圆心O 画一条直线，与点A相交于点E，来找到切线。
现在让我们考虑点D。
我们可以看到，点D是位于OE线段的延长线上的一个点，且OD的长度等于OE的长度。
因此，OD的长度也是d。
由于OD是与点A最近的点到圆上的点，我们可以得出结论，从点A 到圆的最小距离就是点A到圆的切线的距离，即OD的长度。
通过以上的推理，我们可以得出结论：对于一个圆和一个圆内的点，从该点到圆的最大距离是从该点到圆心的距离，而最小距离是从该点到圆的切线的距离。
这个结论在许多实际应用中都有重要的意义。
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27.1圆的基本性质和概念（一）一、大家谈谈1．如何在操场上画一个半径为5m 的圆，说出你的理由． 2．你能由此说出圆的形成过程吗？3．根据圆的形成过程，你能说出什么是圆吗？如图，在一个平面上到＿＿＿O 的距离等于＿＿（OA 的长）的所有点组成的图形叫做圆． 定点O 叫做＿＿＿ 线段OA 叫做圆的＿＿＿以点O 为圆心的圆，记作“＿＿＿”，读作“二、一起探究1.在一张半透明的纸上以O 为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O 的直线对折，你发现了什么？2.将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？3.这能说明什么事实？圆是＿＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿都是它的对称轴. 圆也是＿＿＿＿＿＿图形，＿＿＿是它的对称中心。
三、自主学一学1．连结圆上任意两点的线段（如图AC 、AB ）叫做＿＿＿； 经过圆心的弦（如图中的AB ）叫做＿＿＿． 2．圆上任意两点间的部分叫做＿＿＿， 简称＿＿＿．以A 、B 为端点的弧记作 ＿＿＿，读作“＿＿＿，”或“＿＿＿．” 圆的任意一条＿＿＿的两个端点把圆 分成两条弧，每一条弧都叫做＿＿＿．小于半圆的弧（如图中的）叫做＿＿＿．大于半圆的弧（用三点表示，如图中的 ）叫做＿＿＿. 3．能够＿＿＿的两个圆叫做等圆， 能够＿＿＿的两条弧叫做等弧. 半径相等的两个圆是＿＿＿． 五、巩固练习1.请用圆规和直尺画出一个半径为2cm 的圆，并在这个圆上画出长为2cm 和3cm 的两条弦.2．下列语句中，不正确的是 （ ） A ． 直径是弦 B ．经过圆内一定点可以作无数条弦 C ．弧是半圆 D ． 等弧所在的圆为同圆或等圆3．如图，按标注的字母，说出图中的 圆心、弦、半径、直径和半圆，并把表 示它们的符号添在下面的表中．AC ABCO27.1圆的基本性质和概念（二）一、观察与思考：在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙O 1和⊙O 2及相等的两条弦AB 、CD ，把两张纸叠放在一起，使O 1和O 2重合，AB 与CD 重合，你发现了什么？1．在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？ 2．在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对的弦呢？在同圆或等圆中，相等的弧所对的＿＿＿相等；相等的弦所对的＿＿＿和＿＿＿分别相等。
二、一起探究如图，在⊙O 中，CD 是直径， AB 为弦， 且CD ⊥AB ，垂足为E ．将⊙O 沿CD 所在的直线对折，哪些线段重 合，哪些弧重合？由此你能得出什么结论？垂径定理：＿＿＿于弦的＿＿＿平分弦，并且平分＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 三、大家谈谈：如图，⊙O 的直径CD 交弦AB （不是直径）于点E ，AE ＝BE ． （1）你认为CD 与AB 垂直吗？为什么？ （2）你认为弧AD 与弧BD ，弧AC 与弧 BC 分别具有什么关系？说说你的结论 和理由．＿＿＿（不是直径）的直径＿＿于弦，并且＿＿＿弦所对的＿＿＿．（垂径定理的逆定理）四、例题练习1．如图所示，在⊙O 中，AB 为弦，OD ⊥AB ，垂足为C ．（1）若 AB =8cm ，OC =3cm ， 则⊙O 的半径为 cm ，CD ＝ cm ； （2）若⊙O 的半径为2cm ， AB ＝23cm ，则OC ＝ cm ,CD = cm ；（3）若⊙O 的半径为13cm ，CD =1cm ，则OC = cm ，AB cm ；（4）若 AB =6cm ，CD =1cm ，则⊙O 的半径为= cm ，OC ＝ cm ．2．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．3．你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？27.2圆心角和圆周角（一）一、一起探究1．如图，在⊙O 中，∠AOB ，∠COD ，是圆心角，（1）如果∠AOB ＝∠COD ，，那么△AOB 与△COD 具有什么关系？ AB 与CD ， 与 分别相等吗？为什么？（2）如果AB ＝CD （或 ＝ ），那么∠AOB 等于∠COD 吗？为什么？2．⊙O 1和⊙O 2是两个等圆，如果∠AO 1B ＝∠CO 2D ，，那么？AB 与CD ， 与 分别相等吗？反过来，如果AB ＝CD （ = ） 那么∠AOB 等于∠COD 吗？为什么？在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等；相等的弦或相等的弧所对的 相等．AB CD AB CD BCD BAB AB CD三、例题练习1．在同圆中，下列四个命题：（1）圆心角是指顶点在圆心的角；（2）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（3）两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；（4）等弧所对的圆心角相等；其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．如图：AB 、CD 是⊙O 的两条弦（1）如果AB =CD ，那么 ， ；(2)如果那么 ，；， ；（3）如果∠AOB =∠COD ,那么 ， ；3．在同圆或等圆中，若圆心角∠AOB =∠A ′OB ′则下列结论一定成立的是（ ）A.AB=2ABB.AB=2ABC.AB=ABD.AB ∧2AB4．如图，在⊙O 中，已知 ＝ ，请说明AB ＝CD 的理由．5．如图，在⊙O 中，已知AD ＝BC ，请说明AB＝CD 的理由．AB CD27.2圆心角和圆周角（二）一、做一做AB AB请画一个圆，在这个圆上截取一段，并画出所对的任意两个圆周角∠APB 和∠AQB，用量角器量出这两个角的大小，这两个角具有什么关系？所对的圆周角．二、一起探究1．同弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有几种情况？在下面画出来.2．同弧所对的圆周角和圆心角的大小有何关系？根据上面的图形讨论数量关系.同弧所对圆周角等于圆心角的．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧；半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是.三、例题练习1．下列命题中，真命题的个数是（ ） ①同弦所对的圆周角相等 ②相等的圆心角所对的圆周角也相等 ③圆周角的度数等于圆心周角度数的一半 ④同弧所对的圆周角相等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．AB 是⊙O 的弦，圆周角∠ADB =70°，如果点C 是弦AB 的中点，那么∠AOC 的度数是（ ）． A ．70° B ．140° C ．100° D ．35°3．（1）指出图中，哪个图形中的弦AB 是直径，并说明理由．（2）如图1，⊙O 中，两条弦AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则⊙O 的半径为 ．（3）如图2，⊙O 的直径AB ＝8cm ，C 为⊙O 上一点，∠BAC ＝30°，则BC ＝ cm ． 4．如图OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC ． 求证：∠ACB ＝2∠BAC ．图1图2 （1） （2） （3）课题：27.3过三点的圆一、问题情境：我们知道，两点确定一条直线，那么，几个点确定一个圆呢？ 二、观察与思考1．如图1，⊙O 1和⊙O 2都经过点A ，你认为过点A 还可以画出其他的圆吗？如果能画出来，可以画出多少个？2．如图2，⊙O 1和⊙O 2都经过点A 和点B ，（1）你认为线段O 1 O 2与线段AB 之间有什么位置关系？（2）你还能画出经过点A 和点B 的圆吗？如果能画出来，可以画出多少个？这样的圆的圆心和线段AB 有什么位置关系？三、大家谈谈1．过已知点A 画圆，怎样确定圆心？ 2．过已知点A 和点B 画圆，怎样确定圆心？3．过不在同一直线上的三个已知点A ，B ，C 能画出一个圆吗？若能怎样确定圆心？ 小结：（1）根据圆的定义可知确定一个圆的条件是 和 ．（2）经过已知点A 作圆时，以 为圆心，以 为半径就可以作出，这样的圆有 个；（3）经过已知点A 、B 作圆，以 为圆心，以 为半径就可以作出，这样的圆有 个；图1图2（4）经过不在同一直线上三点A、B、C作圆，以为圆心，以为半径就可以作出，这样的圆有个；（5）经过同一直线上三点A、B、C可以作圆吗？为什么？四、试着做做已知不在同一直线的三点A，B，C，画出经过A，B，C三点的圆．五、拓展延伸由以上结论可知，经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫三角形的．三角形的外心到三角形三个三顶点的距离相等吗？为什么？六、例题和练习：1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆，一个圆只有一个内接三角形C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．因为过任意四点不一定可以作一个圆，所以任意四点一定不在同一圆上2．请分别画出下面三个三角形的外接圆，并说明外心的位置与三角形的形状之间具有什么关系？课题：27.4弧长和扇形面积（第一课时）一、节前预习1.半径为r 的圆的周长C= ，圆的面积S= 。
2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。
3. 叫做扇形。
4.在一个半径为r 的圆中，1°的圆心角所对的弧长应该是圆周长的 。
1°的圆心角所在的扇形面积应该是圆面积的 。
图中的扇形有几个，请用不同颜色的笔把它涂出来。
二、合作探究：⊙O 的半径为r ，圆心角∠AOB=n °（1）圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为圆周长的 ，为 ，那么90°的圆心角所对的弧长为 ，35°的圆心角所对的弧长为 ， n °的圆心角所对的弧长为 。
（2）圆的面积为 ，圆心角为1°的扇形面积为圆面积的 ，为 ，那么圆心角为90°的扇积形面为 ，圆心角为35°的扇形面积为 ，圆心角为n °的扇积形面为 。
在半径为r 的圆中，设n °圆心角所对的弧长为l ，请同学们自己推导弧长公式吧！并在小组内交流下结果。
弧长公式为： 在半径为r 的圆中，设圆心角为n °的扇形面积为S ，请同学们自己推导扇形面积公式吧！并在小组内交流下结果。
扇形面积为公式：三、精例展示，合作探究 如图：⊙O 的半径为10cm ，（1） 如果∠AOB=100°，求弧AB 的长（精确到0.1cm ）及扇形AOB 的面积（精确到0.1cm 2）（2） 已知⌒=25cm ，求∠COB 的度数（精确到1°）同学们，题的难度不大，可计算时可不要当小马虎哦!四、练习 1、（2010年广东省广州市）一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________． (结果保留 ) 2、（2009年兰州）兰州市某中学的铅球场如图10所示，已知扇形AOB 的面积是36米2，弧AB 的长度为9米，那么半径OA ＝ 米．3、（2009年长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留π）．4、（2010年济南）如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的EF 上，若OA =1，∠1=∠2，则扇形OEF 的面积为（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 32πBEF OA BC215、（2010珠海）如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）6、（2010年宁波市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连结EF 、EO ，若32=DE ，︒=∠45DPA 。