河南省南阳市2013届高三年级上学期期终质量评估文科数学试题

南阳市2013届高三年级期终质量评估数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．、1．复数z ＝131i i－＋的虚部是 A ．2 B ．2i C ．－2i D ．－22．一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是（单位cm 3）A ．πB ．2π C ．3π D ．4π 3．设实数x ，y 满足1,230,,x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≥－y ＋≥≥则x ＋2y 的最小值等于A ．3B ．6C ．9D ．124．有下列命题：①设集合M ＝{x ｜0＜x ≤3}, N ＝{x ｜0＜x ≤2}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件；②命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的逆否命题是：若b ∈M ，则a ∉M ；③若p 且q 是假命题，则p ，q 都是假命题；④命题P ：“存在x 0∈R, 20x －0x －1＞0”的否定⌝P ：“任意x ∈R ，2x －x －1≤0” 则上述命题中为真命题的是A ．①②③④B ．①③④C ．②④D ．②③④5．已知公差不为0的等差数列{n a }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，n S 为{n a }的前n 项和，则3253S S S S －－的值为 A ．15B ．2C ．3D ．46．如图给出的是计算12＋14＋16＋……＋120的值的一个程 序框图，其中判断框内应填入的条件是A ．i ＞10?B ．i ＜10?C ．i ＞20?D ．i ＜20?7．双曲线2221x a b 2y －＝（a ＞0，b ＞0213b a ＋的最小值为A ．3B ．1C ．3D ．2 8．设A 、B 、C 是圆21x 2＋y ＝上不同的三个点，且OA ·OB ＝0，存在实数λ，μ使OC ＝λOA ＋μOB ，实数λ，μ的关系为A ．221λμ＋＝B ．111λμ＋＝ C ．1λμ⋅＝ D ．1λμ＋＝ 9．将函数y ＝f （x ）cosx 的图像向左平移4π个单位后，再作关于x 轴的对称变换得到函数y ＝2x 2cos －1的图像，则f （x ）＝A ．－2cosxB ．2cosxC ．－2sinxD ．2sinx10．在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC AC ＝AP ＝2，PA ⊥底面ABC,若P ，A ，B ，C 落在以O为球心的球面上，那么球O 的体积为A ．8πBC ．83πD 11．已知[x]表示不超过x 的最大整数，如： [－0.1]＝一1，[0．5]＝0，现从[3log 1]，[3log 2]，[3log 3]，[3log 4],…，[3log 81]中任取一个数，其中该数为奇数的概率为A ．25B ．727C ．1727D ．202712．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f （x ＋4）＝f （x ），且当x ∈[－2，0]时，f （x ）＝1()2x －1，若在区间（－2，6]内关于x 的方程f （x ）－log (2)a x ＋＝0（a ＞1）恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是A ．（1，2）B ．（2，＋∞）C ．（1D ．2）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应位置．13．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。

按男女比例用分层抽样的方 法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．14．已知函数f （x ）＝220,,0,x x x x ,⎧⎨⎩－log ＞1－≤则不等式f （x ）＞0的解集为_____________． 15．设f （x ）＝3x ＋2ax －bx ＋1的导函数()f x '满足(1)f '＝1，(2)f '＝2，其中常数a ，b ∈R ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为______________．16．已知斜率为2的直线L 过抛物线2y ＝px （p ＞0）的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为l ，则P ＝______________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cosC ＝14, （1）求△ABC 的周长；（2）求cos （A ＋C ）的值．18．（本题满分12分）数列{n a }是等差数列，a 1＝－2，a 3＝2．（1）求通项公式n a ；（2）若n b＝2n a ＋，求数列{(4＋n a )·n b }的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．19．（本小题满分12分）四棱锥P －ABCD 中，，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．（Ⅰ）求证：PA ∥面EFG ；（Ⅱ）求三棱锥P －EFG 的体积．21．（本题满分12分）已知圆C 的圆心为C （m ，0），m ＜3C 与离心率e ＞12的椭圆E ：2221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0）的其中一个公共点为A （3，1），F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点P 的坐标为（4，4），试探究直线PF 1与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线PF 1的方程；若不能，请说明理由．22．（本题满分12分）已知函数f （x ）＝ln （x e ＋a ）（a 为常数）是实数集R 上的奇函数，函数g （x ）＝λf （x ）＋sinx 是区间[－1，1]上的减函数．（1）求a 的值；（2）求关于x 的方程ln ()x f x ＝2212x ex e e －＋＋的根的个数； （3）若g （x ）≤2t ＋t ＋1在x ∈[－1，1]上恒成立，求t 的取值范围．数学（文）参考答案一、选择题：1-5 DBACB 6-10 ACACB 11-12 DD 二、填空题： 13. 12 14. (-1，1) 15． x-y+3=0 16.___4___三、解答题17.解：（1）由余弦定理得，c=2，∴△ABC 的周长为5. L L 5分（2）由（1）得，cos(A +C )=-cosB=-cosC=14-. L L 10分 18.解：（1）a n =2n-4 L L 6分（2）,21-=n n b n n n n b a 2)4(∙=∙+利用错位相减法得，22)1(1+∙-=+n n n S L L 12分19.解：（1）由于5.8)(61654321=+++++=x x x x x x x ， .80)(61654321=+++++=y y y y y y y 所以2505.82080=⨯+=-=x b y a ，从而回归直线方程为20250y x =-+。

L L 6分（2）设工厂获得的利润为L 元，依题意得25.361)433(20100033020)25020(4)25020(22+--=-+-=+--+-=x x x x x x L当且仅当25.8=x 时，L 取得最大值。

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润。

L L 12分20.证明：(1)因为点F ，M 分别是C 1D ，C 1B 的中点，所以FM ∥BD.又FM ⊂平面EMF ，BD ⊄平面EMF,所以BD ∥平面EMF. L L 4分(2)在菱形ABCD 中，设O 为AC ，BD 的交点，则AC ⊥BD.所以在三棱锥C 1-ABD 中，C 1O ⊥BD,AO ⊥BD.又C 1O ∩AO=O,所以BD ⊥平面AOC 1，又AC 1⊂平面AOC 1，所以BD ⊥AC 1. L L 8分(3)连接DE ，C 1E ，在菱形ABCD 中，DA=AB ，∠BAD=60°,所以△ABD 是等边三角形.所以DA=DB.因为E 为AB 中点，所以DE ⊥AB.又EF ⊥AB,EF ∩DE=E ，所以AB ⊥平面DEF ，即AB ⊥平面DEC 1.又C 1E ⊂平面DEC 1，所以AB ⊥C 1E.因为AE=EB,AB=4,BC 1=AB,所以AC 1=BC 1=4. L L 11分由此知，三棱锥1C ABD -是正四面体。

L L 12分21. 解：（1）由已知可设圆C 的方程为22()5(3)x m y m -+=<，将点A 的坐标代入圆C 的方程，得2(3)15m -+=.即2(3)4m -=，解得15m m ==，或，∵3<m ， ∴1=m .∴圆C 的方程为5)1(22=+-y x . ……4分（2）直线1PF 能与圆C 相切，依题意设直线1PF 的方程为4)4(+-=x k y ，即044=+--k y kx ， 若直线1PF 与圆C 相切，则514402=++--k k k .∴0112442=+-k k ，解得21211==k k ，或. ……7分 当211=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为1136，不合题意，舍去. 当21=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为4-， ∴)0,4()0,4(421F F c ，，-=.∴由椭圆的定义得： 262251)43(1)43(2222221=+=+-+++=+=AF AF a ， ∴23=a ，∴12e ==> ，故直线1PF 能与圆C 相切.……10分 直线1PF 的方程为042=+-y x ，椭圆E 的方程为121822=+y x . ………12分 22．解：（1）)ln()(a e x f x +=是奇函数，则)ln()ln(a e a e x x +-=+-恒成立..1))((=++∴-a e a e x x即.0,0)(,112=∴=++∴=+++--a a e e a a ae ae x x x x 2分（2）由（1）知22ln 1(),2,x f x x x ex e x e =∴=-++方程为令2212ln 1(),()2x f x f x x ex e x e ==-++，Q 121ln ()x f x x -'=，当],0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴≥'∈上为增函数； 11[,),()0,()[,)x e f x f x e '∈+∞≤∴+∞时在上为减函数，当e x =时，.1)()(1max 1ee f x f == 而221()()f x x e e=-+， ∴2min 21()().f x f e e== ∴22ln 12()x x ex e f x e=-++方程只有一个根. 6分 （3）又Q ()g x 在[－1，1]上单调递减，,1sin )1()(max --=-=∴λg x g且()cos 0g x x λ'=+≤∈对x [-1,1]恒成立∴1λ≤- ,11sin 2++≤--∴t t λλ只需.)1(011sin )1(2恒成立其中-≤≥++++∴λλt t令),1(11sin )1()(2-≤++++=λλλt t h 则⎩⎨⎧≥+++--≤+,011sin 1012t t t 221sin10,sin10t t t t t ≤-⎧∴-+≥⎨-+≥⎩而恒成立 1-≤∴t . 12分。