2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

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2000年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，象20的原象是(A)2 (B)3 (C)4 (D)5i 3对应的向量按顺时针方向旋转3π，i 33+2，3， 6，(4)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(A)若α、β是第一象限角，则cos α>cos β(B)若α、β是第二象限角，则tg α>tg β(C)若α、β是第三象限角，则cos α>cos β(D)若α、β是第四象限角，则tg α>tg β(5)函数y=-x cos x 的部分图象是(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税款按下表分段累进计算：<div align="center"> 全月应纳税所得额税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%… …</div>某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于800~900元 (B)900~1200元(C)1200~1500元 (D)1500~2800元(7)若a >b >1，)2lg(),lg (lg 21,lg lg ba R Q P +=+=⋅=βαβα,则(A)R<P<Q (B)P<Q< R(C)Q< P<R (D)P< R<Q(8)以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(A))4cos(2πθ-=p (B))4sin(2πθ-=p (C))1sin(2-=θp (D))1sin(2-=θp(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(A) (B) (C) (D)(10)过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是(A) (B) (C) (D)(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于(A)2a(B)(C)4a(D)(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)第II卷(非选择题90分)注意事项：第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i2、集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 那么m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，那么该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =14 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，那么直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，那么数列的前100项和为(A)100101 (B)99101 (C)99100 (D)101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，那么(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，那么cos2α=(A)5-3〔B〕5-9(C)59(D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，那么cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35(C)34(D)45〔9〕x=lnπ，y=log52，12z=e，那么(A)x＜y＜z 〔B〕z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，那么c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，那么不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

2003年高考真题——数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2003年高考真题——数学(理科)真题及答案[全国卷I]2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知$x\in (-\pi/2,0)$，$cosx=4$，则$tan2x=$text{(A)}\frac{7}{24}\quad\text{(B)}-\frac{7}{24}\quad\text{(C)}\frac{24}{7}\quad\text{(D)}-\frac{247}{25}2.圆锥曲线$\rho=2cos\theta$的准线方程是text{(A)}\rho cos\theta=-2\quad\text{(B)}\rhocos\theta=2\quad\text{(C)}\rho sin\theta=2\quad\text{(D)}\rho sin\theta=-23.设函数$f(x)=\begin{cases}1,&x1$，则$x$的取值范围是text{(A)}(-1,1)\quad\text{(B)}(-1,+\infty)\quad\text{(C)}(-\infty,-2)\cup[0,+\infty)\quad\text{(D)}(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)4.函数$y=2sinx(sinx+cosx)$的最大值为text{(A)}1+2\sqrt{2}\quad\text{(B)}2-\sqrt{2}\quad\text{(C)}2\quad\text{(D)}2\sqrt{2}5.已知圆$C:(x-a)^2+(y-2)^2=4(a>0)$及直线$l:x-y+3=0$，当直线$l$被$C$截得的弦长为23时，则$a=$text{(A)}2\quad\text{(B)}2-\sqrt{2}\quad\text{(C)}2^{-1}\quad\text{(D)}2+\sqrt{2}6.已知圆锥的底面半径为$R$，高为$3R$，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是text{(A)}2\pi R\quad\text{(B)}\pi R^2\quad\text{(C)}\piR\sqrt{2}\quad\text{(D)}\pi R\sqrt{3}7.已知方程$(x^2-2x+m)(x^2-2x+n)=0$的四个根组成一个首项为1的等差数列，则$|m-n|=$text{(A)}1\quad\text{(B)}3\quad\text{(C)}\frac{1}{2}\quad\t ext{(D)}\frac{4}{3}8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为$F(7,0)$，直线$y=x-1$与其相交于$M$、$N$两点，$MN$中点的横坐标为$-\frac{1}{2}$，则此双曲线的方程是text{(A)}\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{8}=1\quad\text{(B)}\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{8}=1\quad\text{(C)}\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{9}=1\quad\text{(D)}\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{9}=19.函数$f(x)=\sin x$，$x\in[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$的反函数$f^{-1}(x)$是text{(A)}-\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(B)}-\pi-\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(C)}\pi+\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(D)}\pi-\arcsin x,\ x\in[-1,1]10.已知长方形的四个顶点$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$和$D(0,1)$，一质点从$AB$的中点$P$沿与$AB$的夹角$\theta$的方向射到$BC$上的点$Q$，则$\theta$的取值范围是text{(A)}\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\quad\text{(B)}\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\quad\text{(C)}\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right]\quad\text{(D)}\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right]2.将文章进行修正和改写：2、P3和P4是点P在CD、DA和AB上的反射点，入射角等于反射角。

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 那么m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，那么该椭圆的程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =14 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，那么直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，那么数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，那么(A)〔B〕(C)(D)〔7〕α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，那么cos2α=(A)5-3〔B〕5-9(C)59(D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，那么cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35(C)34(D)45〔9〕x=lnπ，y=log52，12z=e，那么(A)x＜y＜z 〔B〕z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，那么c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，那么不同的排列法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

2003年高考理综试题(北京卷)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科综合能力测试一、在下列各题的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。

1．取适量干重相等的4份种子进行不同处理：（甲）风干，（乙）消毒后浸水萌发，（丙）浸水后萌发，（丁）浸水萌发后煮着冷却，消毒。

然后分别放入4个保温瓶中。

一段时间后，种子堆内温度最高的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．植物叶片从幼到老的整个生命活动过程中（）A ．有机物输出也输入，矿质元素只输入B ．有机物只输出，矿质元素只输入C ．有机物只输出，矿质元素输入也输出D ．有机物与矿质元素都既输入，又输出3．下列关于叶绿素合成和功能的叙述。

错误的是（）A ．光是叶绿素合成的必要条件B ．低温抑制叶绿素的合成C ．矿质元素影响叶绿素的合成D ．提取的叶绿素溶液，给予适宜的温度、光照和CO 2，可进行光合作用4．一只成年雄狗仍然保持幼年的体态，且精神萎靡、反应迟钝、行动呆笨，无求偶行为，其原因是（）A ．睾丸发育不全B ．甲状腺功能低下C ．生长激素分泌不足D ．生长激素分泌不足、睾丸发育不全5．据图判断，下列叙述不．符合生态学原理的是（）A ．物质经过了多级利用，实现了良性循环B ．每一级生产环节都获得产品，提高了生态经济效益C ．由于食物链延长，能量逐级损耗，系统总能量利用效率降低D ．由于各级产物都可以利用，减少了废物和污染6．人类探测月球发现，在月球的土壤中含有较丰富的质量数为3的氦，它可以作为未来核聚变的重要原料之一。

氦的该种同位素应表示为（）A ．He 43B ．He 32C ．He 42D ．He 337．在两个容积相同的容器中，一个盛有HCl 气体，另一个盛有H 2和Cl 2的混合气体。

在同温同压下，两容器内的气体一定具有相同的（）A ．原子数B ．密度C ．质量D ．质子数8．某无色混合气体可能由CH 4、NH 3、H 2、CO 、CO 2和HCl 中的某几种气体组成。

2003年高考试题——数学(辽宁卷)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P.334R V π=其中R 表示球的半径那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与曲线11-=x y 关于原点对称的曲线为（）A ．x y +=11B ．x y +-=11C ．x y -=11D ．xy --=112．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（）A ．247B ．－247C ．724D ．－724 3．=+-2)3(31i i（）A ．i 4341+ B ．i 4341--C ．i 2321+ D ．i 2321--4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=AP （）A ．)1,0(),(∈+λλAD ABB ．)22,0(),(∈+λλBC ABC ．)1,0(),(∈-λλD ．)22,0(),(∈-λλ 5．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 6．等差数列}{n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，则n 为（）A ．48B ．49C ．50D ．517．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 8．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a9．设c bx ax x f a ++=>2)(,0，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（）A ．]1,0[aB ．]21,0[aC ．|]2|,0[ab D ．|]21|,0[ab - 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是（）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）. 设P 4的坐标为（x 4，0），若214<<x ，则θtan 的取值范围是（）A ．（31，1） B ．）32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，，辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点. （1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点D 1到面BDE 的距离.AA18．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图像关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值. 19．（本小题满分12分）设0>a ，求函数)),0(()ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.20．（本小题满分12分）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η（1）求ξ、η的概率分布；（2）求E ξ，E η.21．（本小题满分14分）设0a 为常数，且)(2311+--∈-=N n a a n n n （1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1a a n n n n n nn ⋅-+⋅-+=≥-；（2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.22．（本小题满分14分）已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学试题参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1.A2.D3.B4.A5.D6.C7.B8.C9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13．221-14．6，30，10 15．120 16．①④ 三、解答题17．本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识,考查空间想象能力和推理能力.满分12分.AA（I ）证法一：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 …………3分又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得)(OB （0，1，0），D 1（1，0，2），F )1,21,21( C 1（0，0，2），E （0，0，1）.…………2分)2,0,0(),0,21,21(1==∴CC EF)2,1,1(1-=BD ……………………4分 0,011=⋅=⋅∴EF BD CC EF即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1故EF 是CC 1与BD 1的公垂线.……6分（II ）解：连结ED 1，有D BE D D BD E V V --=11由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ，则S △DBC ·d=S △DBD 1·EF.………………9分 ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD 23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 33223222=⨯=∴d故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18．本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.满分12分.解：由)(x f 是偶函数，得)()(x f x f =-，即)sin()sin(ϕωϕω+=+-x x ，所以x x ωϕωϕsin cos sin cos =-对任意x 都成立，且0>ω，所以得0cos =ϕ，依题设πϕ≤≤0，所以解得2πϕ=.……………………4分由)(x f 的图象关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ，取,0=x 得),43()43(ππf f -=所以,0)43(=πf43cos )243sin()43(ωππωππ=+=f ，2,1,0,243,0,043cos =+=>=∴k k ππωπωωπ得又…， ………………8分,2,1,0),12(32=+=∴k k ω….当k =0时，]2,0[)232sin()(,32ππω在+==x x f 上是减函数；当k =1时，]2,0[)22sin()(,2ππω在+==x x f 上是减函数；当2≥k 时，]2,0[)2sin()(,310ππωω在+=≥x x f 上不是单调函数. 所以，综合得232==ωω或. ………………12分19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.解：)0(121)(>+-='x ax xx f . ………………2分当0,0>>x a 时 0)42(0)(22>+-+⇔>'a x a x x f .0)42)0)(22<+-+⇔<'a x a x x f（i ）当1>a 时，对所有0>x ，有0)42(22>+-+a a x . 即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞内单调递增. …………5分（ii ）当1=a 时，对1≠x ，有0)42(22>+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在（0，+∞）内单调递增，在),1(+∞内单调递增又知函数)(x f 在x=1处连续，因此，函数)(x f 在（0，+∞）内单调递增…………7分（iii ）当10<<a 时，令0)(>'x f ，即0)42(22>+-+a x a x . 解得a a x a a x -+->---<122,122或.因此，函数)(x f 在区间)122,0(a a ---内单调递增，在区间),122(+∞-+-a a 内也单调递增. ………………10分令0)42(,0)(22<+-+<'a x a x x f 即，解得a a x a a -+-<<---122122.因此，函数)(x f 在区间)122,12-2a a a a -+---（内单调递减. ………………12分 20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12分. 解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.758525232)3(=⨯⨯==ξP 7528525332525231535232)2(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP52525331535231535332)1(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP ， 253535331)0(=⨯⨯==ξP …………4分根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=758, P(η=1)=P(ξ=2)= 7528P(η=2)=P(ξ=1)= 52, P(η=3)=P(ξ=0)= 253. …………8分（2）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；因为ξ+η=3，所以 .15233=-=ξηE E …………12分21．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分. （1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立；（ii ）假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k k kk ---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k kkk kk +-+---+-=-= .2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+=也就是说，当n=k+1时，等式也成立.根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N +，成立. …………6分证法二：如果设),3(233111-----=-n n n n n a a αα 用1123---=n n n a a 代入，可解出51=α. 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310+-∈---=-∴N n a a n n n即.2)1(52)1(301a a n n n n n n -+-+=- ………………6分（2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=-)(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()23()15()1(201+--∈<--N n a n n ……① …………8分（i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(--<--k k a即为 .51)23(51320+<-k a ……②②式对k=1，2，…都成立，有 .3151)23(5110=+⨯<-a ………………10分（ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为 .)23()15()1(22012--<--k k a即为 .51)23(51220+⨯->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有.051)23(512120=+⨯->-⨯a …………12分综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3100<<a故a 0的取值范围为).31,0( …………14分解法二：如果1->n n a a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a.06012>=-a a a 因此 .3100<<a …………9分下面证明当.3100<<a 时，对任意n ∈N *，.01>--n n a a 由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=-（i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->025*******=⨯-⨯+⨯---n n n ……12分（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=->.0233211≥⨯-⨯--n n 故a 0的取值范围为).31,0( …………14分22．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值. ∵i =（1，0），c=（0，a ）， ∴c+λi =（λ，a ），i －2λc=（1，－2λa ）. …………2分因此，直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-. …………4分消去参数λ，得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-.整理得 .1)2()2(81222=-+aa y x ……① …………7分因为,0>a 所以得：（i ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；（ii ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121(2a a E -和)2,2121(2a a F --为合乎题意的两个定点；（iii ）当22>a 时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2-+a a E 和))21(21,0(2--a a F 为合乎题意的两个定点. …………12分。

2003年上海高考数学真题试卷及答案解析(理科)

绝密★启用前 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.第Ⅰ卷（共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= . 2．若=∈=+=απααπ则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23x x .3．在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= 4．在极坐标系中，定点A ),2,1(π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是5．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示） 6．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= . 7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示） 8．若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10．方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1） 11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 的为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = .12．给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（） A ．y=tg|x |. B ．y=cos(－x ).C ．).2sin(π-=x y D ．|2|xctgy =. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.15．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的（）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.16．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1，－2<b<0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D 与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分. 已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零.（1）求向量AB 的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.（1）函数f(x)= x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=a x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a x∈M；（3）若函数f(x)=sin kx∈M ,求实数k的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）答案一、（第1题至第12题）1．π. 2．π34. 3．－49 . 4．)43,22(π. 5．arctg2. 6．[1,3]. 7．.611arccos8．10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）. 9．19011910．2.6 . 11．4π 12．|PF 2|=17.二、（第13题至第16题）题号 13 14 15 16 代号CDDB三、（第17题至第22题） 17．[解].2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(|)sin (cos cos sin 1|||2222221θθθθθθθθθθθ+=+=-++=-++=⋅i z z故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2.18．[解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以 ∠B 1DB=30°，于是BB 1=31BD=2.故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38. 19．[解]（1）.)1(33,)1(231312111334233132031212111223122021q a q a q a q a a C a C a C a C a q a q a q a a C a C a C a -=-+-=-+--=+-=+-（2）归纳概括的结论为：若数列}{n a 是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则nnn n n n n n n n nnn nnnn n nn n n n n n n n n n n n n n n q a C q C q C q qC C a C q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a n q a C a C a C a C a C a )1(])1([)1()1(:.,)1()1(133********122111011342312011134231201-=-++-+-=-++-+-=-++-+--=-++-+-++ 证明为正整数20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5），椭圆方程为12222=+by a x .将b=h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744≈===a l a 此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）[解一]由椭圆方程12222=+by a x ，得.15.4112222=+b a4.6,1.312222229,211,215.411,.29924,,2,995.41125.41122222222≈=≈======≥====≥⨯⨯≥+b h a l b a b a S ab lh S b h a l ab ab b a 此时得有取最小值时当所以且即因为πππ故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程12222=+b y a x ，得.15.4112222=+b a 于是,121481222-⋅=a a b ,121121121,,99,12181)2421212(481)242121121121(481222222222-=-≥⨯=+≥+-+-=a a S ab a a b a 有取最小值时当即得.229,211==b a 以下同解一.21．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u v u AB 即则由得},3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u v u v u 因为或所以v －3>0,得v =8,故={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a a a a aa x a x x x a a x x a x x x x y y y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点. 22．[解]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ∉（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，所以方程组：⎩⎨⎧==xy a y x有解，消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T.于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x ∈M.（3）当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M.当k ≠0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T)=T f (x )成立，即sin(kx +k T)=Tsin kx .因为k ≠0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx +k T ∈R ，于是sin kx ∈[－1，1]，sin(kx +k T) ∈[－1，1]，故要使sin(kx +k T)=Tsin kx .成立，只有T=1±，当T=1时，sin(kx +k )=sin kx 成立，则k =2m π, m ∈Z .当T=－1时，sin(kx－k)=－sin kx成立，即sin(kx－k+π)= sin kx成立，则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1)π, m∈Z . 综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}。

2003年高考数学试题(全国文)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一测试（全国卷）数学（文史类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、测试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 测试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线2y x x =关于对称的直线方程为（）（A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为（）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（）（A 3 （B 6 （C 6 （D 36．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（）（A ）lg 2 （B ）lg32 （C ）1lg32 （D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（）（A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（）（A 2 （B ）22 （C 21 （D 21 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿和AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）若40P P 与重合，则tg θ= （）（A ）31 （B ）52 （C ）21（D ）1 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一测试数学（文史类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 1324x x x -<的解集是____________________.14．92)21(xx -的展开式中9x 系数是 ________ .15．在平面几何里，有勾股定理：“设222,,ABC AB AC AB AC BC +=的两边互相垂直则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积和底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC ACD ADB 、、两两互相垂直，则______________________________________________.” 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种_______________________（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱111111112ABCD A B C D AB AA E CC F BD -==，，，点为中点，点为点中点（Ⅰ）证明11EF BD CC 为与的公垂线（Ⅱ）求点1D BDE 到面的距离 18．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z .19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1111,3(2).n n n a a a n --==+≥（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）证明312n n a -=20．（本小题满分12分）已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； ()y f x =在（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象21．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风2(cos θθ=中心位于城市O （如图）的东偏南度向西偏北︒45方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 22．（本小题满分14分）215 34 θO北东Oy线岸O xPr(t)P45︒ 海 E DBACBD CAFMyO 2π2π-x已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DA DC CD CF BC BE ==，P 为GE 和OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由2003年普通高等学校招生全国统一测试数学试题（文）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法和本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．]4,2( 14．221-15．2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ 16．72 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1和CC 1的公垂线（II ）解：连结ED 1，有V由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ，则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF. ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD 23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S OPAG D FEC By故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18．解：设z=2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数+ 2,r z z r z z ==+∴由题设|2||||1|2-⋅=-z z z即)2)(2(||)1)(1(--=--z z z z z 42122+-=+-r r r r r12120122--=-==-+r r r r 解得（舍去）即|z|=12-19．（I ）解∵1343,413,12321=+==+=∴=a a a（II ）证明：由已知故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.213133321-=++++--n n n所以213-=n n a20．解（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是 21．解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.心),(y x P 的坐标为在时刻：t （h ）台风中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，其中10)(=t r t+60，若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 即0288362≤+-t t ，解得2412≤≤t .答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭22．解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到定点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤===k k DADCCD CF BC BE ，由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ， ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a . ②从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a ，整理得1)(21222=-+a a y x . 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值2.当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ，），（的距离之和为定值a 2.。

2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]16460

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ΛΛ （）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2003年全国统一高考数学试卷(辽宁卷)

2003年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003▪辽宁）与曲线11y x =-关于原点对称的曲线为 A.11y x =+ B.11y x =-+ C.11y x=- D.11y x =-- 2. （2003▪辽宁）已知(2x π∈-，0)，54cos =x ，则tan 2x = A.247 B.724- C.724 D.247- 3. （2003▪辽宁）=+-2)3(31i i A.i 4341+ B.i 4341--C.i 2321+D.i 2321-- 4. （2003▪辽宁）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =A.()AB AD λ+，(0λ∈，1)B.()AB BC λ+，(0λ∈，C.()AB AD λ-，(0λ∈，1)D.()AB BC λ-，(0λ∈，25. （2003▪辽宁）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0()0(12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是A.1(-，)1B.1(-，)∞+C.-∞(，0()2 -，)∞+D.-∞(，1()1 -，)∞+6. （2003▪辽宁）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为 A.48 B.49 C.50 D.517. （2003▪辽宁）函数1ln1x y x +=-，1(∈x ，)∞+的反函数为 A.11x x e y e -=+，0(∈x ，)∞+ B.11x x e y e +=-，0(∈x ，)∞+ C.11x x e y e -=+，-∞∈(x ，)0 D.11x x e y e +=-，-∞∈(x ，)0 8. （2003▪辽宁）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A.33a B.43a C.63a D.123a9. （2003▪辽宁）设0a >，2()f x ax bx c =++，曲线)(x f y =在点0(x P ，))(0x f 处的切线的倾斜角的取值范围为0[，]4π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为A.[0，1]aB.[0，1]2aC.[0，||]2b a D.[0，1||]2b a-10. （2003▪辽宁）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0)，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x 11. （2003▪辽宁）已知长方形的四个顶点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1).一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标为4(x ，0)，若412x <<，则θtan 的取值范围是 A.1(3，1) B.1(3，23） C.2(5，1)2 D.2(5，2)312. （2003▪辽宁）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.3πB.4πC.D.6π 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （2003▪辽宁）92)21(xx -展开式中9x 的系数是________________. 14. （2003▪辽宁）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______、__________、__________辆.15. （2003▪辽宁）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_________种．（以数字作答）16. （2003▪辽宁）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB AC =，BD CD =，则BC AD ⊥；②若AB CD =，AC BD =，则BC AD ⊥；③若AB AC ⊥，BD CD ⊥，则BC AD ⊥；④若AB CD ⊥，BD AC ⊥，则BC AD ⊥.其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共6小题，满分12+12+12+12+14+12=74分）17. （2003▪辽宁）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -，1AB =，12AA =，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点.⑴证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线；⑵求点1D 到面BDE 的距离.18. （2003▪辽宁）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(4M π，0)对称，且在区间[0，]2π上是单调函数，求ϕ和ω的值.19. （2003▪辽宁）设0a >，求函数()ln()f x x a +，(0x ∈，)+∞的单调区间.20. （2003▪辽宁）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是1A ，2A ，3A ，B 队队员是1B ，2B ，3B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负分分别为ξ、η.⑴求ξ、η的概率分布；⑵求E ξ，E η.21. （2003▪辽宁）设0a 为常数，且1*132()n n n a a n N --=-∈. ⑴证明对任意1n ≥，11[3(1)5n n n a -=+-•2](1)n n +-•02n a ； ⑵假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围. 22. （2003▪辽宁）已知常数0a >，向量(0c =，)a ，(1i =，0)，经过原点O 以c iλ+为方向向量的直线与经过定点(0A ，)a 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈.试问：是否存在两个定点E F 、，使得||||PE PF +为定值.若存在，求出E F 、的坐标；若不存在，说明理由.2003年辽宁省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•辽宁）与曲线关于原点对称的曲线为（）A．B． C．D．【分析】题目中：“曲线关于原点对称的曲线”，只要将原函数式中的x换成﹣x，y换成﹣y，即可得到新曲线的函数解析式．【解答】解：∵曲线关于原点对称的曲线，∴只要将原函数式中的x换成﹣x，y换成﹣y，即可得到新曲线的函数解析式，即﹣y=，整理，得．故选A．【点评】本题考查函数图象的变换，由于使用了数形结合的方法，使问题便迎刃而解，且解法简捷．2．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．3．（5分）（2003•天津）=（）A． B．C． D．【分析】化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即可求得结果．【解答】解：=故选B．【点评】复数代数形式的混合运算，是基础题．4．（5分）（2003•辽宁）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则=（）A．B．C．D．【分析】先过P分别作AD、AB的平行线，可得，，运用向量的加法运算可得=λ（+），λ∈（0，1）．【解答】解：设P是对角线AC上的一点（不含A、C），过P分别作AD、AB的平行线，则可得．设，则λ∈（0，1）且．于是=λ（+），λ∈（0，1）．故选A．【点评】本题主要考查向量的线性运算和向量加法的几何意义．属基础题．5．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．6．（5分）（2003•天津）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n为（）A．48 B．49 C．50 D．51【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an的表达式，然后令an=33，解方程即可．【解答】解：设{an}的公差为d，∵，a2+a5=4，∴+d++4d=4，即+5d=4，解得d=．∴an=+（n﹣1）=，令an=33，即=33，解得n=50．故选C．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用．7．（5分）（2003•天津）函数，x∈（1，+∞）的反函数为（）A．，x∈（0，+∞）B．，x∈（0，+∞）C．，x∈（﹣∞，0）D．，x∈（﹣∞，0）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域等函数知识和方法；将，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域．【解答】解：由已知，解x得，令，当x∈（1，+∞）时，m∈（1，+∞），则，∴函数，x∈（1，+∞）的反函数为，x∈（0，+∞）故选B．【点评】这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答时注意两点，一是借助指数式和对数式的互化求x，二是函数，x∈（1，+∞）值域的确定，这里利用”常数分离法“和对数函数的性质推得．8．（5分）（2003•天津）棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的．一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为，所以八面体的体积为：．故选C．【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题．9．（5分）（2003•天津）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A．[0，] B．[0，] C．[0，||] D．[0，||]【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围．【解答】解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是[0，]，∴f′（x0）=2ax0+b∈[0，1]，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=﹣的距离d=x0﹣（﹣）=x0+∴x0∈[，]．∴d=x0+∈[0，]．故选：B．【点评】本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心．10．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选D．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．11．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1） B．（，）C．（，）D．（，）【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tan θ=，用排除法解答．【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tanθ≠，排除A．B．D，故选C．【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故答案选A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）（2003•天津）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 辆、30 辆、10 辆．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．【解答】解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．故答案为：6，30，10．【点评】本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．15．（4分）（2003•天津）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有120 种．（以数字作答）【分析】由题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，③与⑤同色，则②④或⑥④同色，②与④且③与⑥同色，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种．∴共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种．故答案为：120【点评】这是一道理科的高考题，本题还可以这样解：记颜色为A，B，C，D四色，先安排1，2，3有A43种不同的栽法，不妨设1，2，3已分别栽种A，B，C，则4，5，6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见．根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A43×5=120．16．（4分）（2003•辽宁）对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．其中真命题的序号是①④．（写出所有真命题的序号）【分析】证明线线垂直一般采用线面垂直来证线线垂直．①的证明可转借化证明BC ⊥面AHD．④的证明可转化为证垂心，然后再证明BC⊥面AED来证明BC⊥AD．②③条件下不能求出两线的夹角，也无法保证一个线垂直于另一个线所在的平面，故不对．【解答】证明：如图对于①取BC的中点H，连接AH与DH，可证得BC⊥面AHD，进而可得BC⊥AD，故①对；对于②条件不足备，证明不出结论；对于③条件不足备，证明不出结论；对于④作AE⊥面BCD于E，连接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出DE⊥BC，进而可证得BC⊥面AED，即可证出BC⊥AD．综上知①④正确，故应填①④．【点评】本题在判断时有一定的难度，需要构造相关的图形，在立体几何中，构造法是一个常用的方法，本题用其来将线线证明转化线面证明，三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•天津）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．【分析】（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．求解即得．【解答】解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D．又EC CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1=2，AB=1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．18．（12分）（2003•天津）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．【分析】由f（x）是偶函数可得ϕ的值，图象关于点对称可得函数关系，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．【解答】解：由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x），即sin（﹣ωx+φ）=sin（ωx+φ），所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，对任意x都成立，且w＞0，所以得cosφ=0．依题设0≤φ≤π，所以解得φ=，由f（x）的图象关于点M对称，得，取x=0，得f（）=sin（）=cos，∴f（）=sin（）=cos，∴cos=0，又w＞0，得=+kπ，k=0，1，2，3，…∴ω=（2k+1），k=0，1，2，…当k=0时，ω=，f（x）=sin（）在[0，]上是减函数，满足题意；当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）=cos2x，在[0，]上是减函数，满足题意；当k=2时，ω=，f（x）=sin（x+）在[0，]上不是单调函数；所以，综合得ω=或2．【点评】本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．19．（12分）（2003•天津）设a＞0，求函数f（x）=﹣ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．【分析】由题意函数f（x）=﹣ln（x+a），首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系对a的大小进行分类讨论．【解答】解：由题意得，令f′（x）=0，即x2+（2a﹣4）x+a2=0，其中△=4（a﹣2）2﹣4a2=8﹣8a，（i）当a＞1时，△＜0成立，对所有x＞0，有x2+（2a﹣4）+a2＞0．即f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）内单调递增；（ii）当a=1时，△=0成立，对x≠1，有x2+（2a﹣4）x+a2＞0，即f′（x）＞0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，且在（1，+∞）内也单调递增，又知函数f（x）在x=1处连续，因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增；（iii）当0＜a＜1时，△＞0成立，令f′（x）＞0，即x2+（2a﹣4）x+a2＞0，解得x＜2﹣a﹣2或x＞2﹣a+2，因此，函数f（x）在区间，内也单调递增．令f′（x）＜0，即x2+（2a﹣4）x+a2＜0，解得，因此，函数f（x）在区间内单调递减．【点评】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．20．（12分）（2003•天津）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η．（1）求ξ、η的概率分布；（2）求Eξ，Eη．【分析】（1）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，根据相互独立事件同时发生的概率做出变量ξ的分布列，根据两者之间和为3，得到另一个变量的分布列．（2）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，两个变量的期望之间也有这种关系，两个变量的期望的和是3，解出一个，另一个用做差来解．【解答】解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0．，，．根据题意知ξ+η=3，∴P（η=0）=P（ξ=3）=，P（η=1）=P（ξ=2）=，P（η=2）=P（ξ=1）=，P（η=3）=P（ξ=0）=．（2），∵ξ+η=3，∴．【点评】本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大．21．（14分）（2003•天津）设an为常数，且an=3n﹣1﹣2an﹣1（n∈N*）．（1）证明对任意n≥1，有；（2）假设对任意n≥1有an＞an﹣1，求a0的取值范围．【分析】（1）选择利用数学归纳法为妥，需要注意的是有归纳假设ak到ak+1的变形，利用归纳假设，注意目标的形式就能得到结果；另外可以利用递推数列来求得通项公式，当然需要对递推数列的an+1=pan+f（n）这种形式的处理要合适；这种形式的一般处理方法是：两边同时除以pn+1或者是构造一个等比数列，构造法有一定的技巧，如本题可设an﹣a3n=﹣2（an﹣1﹣a3n﹣1），（2）由（1）的结论可作差an﹣an﹣1＞0并代入运算，由于含有（﹣1）n的形式要注意对n=2k﹣1和n=2k进行讨论，只需取k=1，2时得到a0的取值范围即可，另外一个思路是只需取n=1，2时得到a0的范围，然后分n=2k﹣1和n=2k进行证明an﹣an﹣1＞0．具体解法参见参考答案．【解答】解：（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1﹣2a0，等式成立；（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则，那么=．也就是说，当n=k+1时，等式也成立．根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立．证法二：如果设an﹣a3n=﹣2（an﹣1﹣a3n﹣1），用an=3n﹣1﹣2an﹣1代入，可解出．所以是公比为﹣2，首项为的等比数列．∴．即．（2）解法一：由an通项公式．∴an＞an﹣1（n∈N）等价于．①（i）当n=2k﹣1，k=1，2，时，①式即为即为．②式对k=1，2，都成立，有．（ii）当n=2k，k=1，2时，①式即为．即为．③式对k=1，2都成立，有．综上，①式对任意n∈N*，成立，有．故a0的取值范围为．解法二：如果an＞an﹣1（n∈N*）成立，特别取n=1，2有a1﹣a0=1﹣3a0＞0．a2﹣a1=6a0＞0．因此．下面证明当．时，对任意n∈N*，an﹣an﹣1＞0．由an的通项公式5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1+（﹣1）n﹣13×2n﹣1+（﹣1）n5×3×2n﹣1a0．（i）当n=2k﹣1，k=1，2时，5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1+3×2n﹣1﹣5×3×2n﹣1a0＞2×2n﹣1+3×2n﹣1﹣5×3×2n﹣1=0（ii）当n=2k，k=1，2时，5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1﹣3×2n﹣1+5×3×2n﹣1a0＞2×3n﹣1﹣3×2n﹣1≥0．故a0的取值范围为．【点评】本题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．对递推数列的an+1=pan+f（n）这种形式的考查是一个难点，同时除以pn+1得到，然后用累加法得到的等式可得结果，或者是构造一个等比数列an+1+kf（n）=p（an+kf（n））（不具有普适性）．22．（12分）（2003•天津）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．【分析】根据和，求得+λ和﹣2λ进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当时，方程为圆不符合题意；当时和当时，P的轨迹为椭圆符合两定点．【解答】解：∵=（0，a），=（1，0），∴+λ=（λ，a），﹣2λ=（1，﹣2λa）．因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2a2x2．整理得．①因为a＞0，所以得：（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点．【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．参与本试卷答题和审题的老师有：yhx01248；zhwsd；qiss；wsj1012；minqi5；jj2008；liuerq；rxl；wzj123；geyanli；danbo7801；gongjy；涨停；xintrl；zhiyuan；于其才（排名不分先后）菁优网2017年5月28日。

2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54c o s =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）24 （D ）24-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）cos θρ2- 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若（）（A ）（1-，1）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y += （）（A ）21+ （B ）12-5（0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得（）（C ）12- （D ）12+63R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（C ）238R π （D ）223R π70)=n 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，3211．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C）（A ）3 （B ）3112．一个四面体的所有棱长都为2 ）（A ）π3（B ）π4 （C ）二.小题，每小题4分，共16分。

(完整版)湖南省_2003年_高考数学真题(理科数学)(附答案)_历年历届试题

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)-同湖南一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知（==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π）A ．B ．C ．D ．247247-724724-2．圆锥曲线（的准线方程是θθρ2cos sin 8=）A ．B ．C ．D ．2cos -=θρ2cos =θρ2sin -=θρ2sin =θρ3．设函数（的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-）A ．（－1，1）B ．（－1，+）∞C ．D ．),0()2,(+∞⋃--∞),1()1,(+∞⋃--∞4．函数的最大值为（)cos (sin sin 2x x x y +=）A ．B ．C ．D ．221+12-25．已知圆的截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-弦长为时，则a =32A ．B ．C ．D ．222-12-12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A ．B ．C ．D ．22Rπ249R π238R π223r π7．已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 41则（）=-||n mA ．1B ．C ．D ．4321838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为M 、N 两点，与其相交于直线1),0,7(-=x y F MN 中点的横坐标为则此双曲线的方程是（ ,32-）A ．B ．C ．14322=-y x 13422=-y x 12522=-yx D ．15222=-y x 9．函数（ =∈=-)(23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ）A ．B ．]1,1[,arcsin -∈-x x ]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．D ．]1,1[,arcsin -∈+-x x π]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB的中点P 0沿与AB 夹角为的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB θ上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（的取值范围是θtg ,2x 1),0,44则若<<x （）A ．B ．C ．D ．)1,31(32,31(21,52()32,52(11．（=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ）A ．3B ．C ．D ．6316112．一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（2）A ．3B ．4C ．3D ．6πππ3π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．展开式中的系数是 .92)21(xx -9x 14．使成立的的取值范围是.1)(log 2+<-x x x15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中l 点，能得出⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序l 号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且是和的等比中项. 求.|1|-z ||z |2|-z ||z 18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.19．（本小题满分12分）已知设.0>c P ：函数在R 上单调递减.xc y =Q ：不等式的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求的取值1|2|>-+c x x c 范围.20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 102arccos(=θθ台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？s21．（本小题满分14分）已知常数在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分,0>a a 别在BC 、CD 、DA 上移动，且，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是DADGCD CF BC BE ==否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设中所有的数从小到大排列成的数Z}t s,,0|2{2}{t∈<≤+且是集合t s a sn 列，即.,12,10,9,6,5,3654321 ======a a a a a a将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：}{n a35 69 1012— — — —— — — ——（i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；（i i ）求.100a （Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设中所有的数都是从小到大排Z}t s,r,,0|22{2}{r∈<<≤++且是集合t s r b stn 列成的数列，已知k.,1160求=k b 2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A二、填空题13． 14．（-1，0）15．7216．①④⑤221-三、解答题：17．解：设，则复数由题设)60sin 60cos r r z+=.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1,(4)3sinD E CC A B DC ABC CDEFDE G ADB G DF EFDEF FG FD FD EF FDED EG FC CD AB A B EBEGEBG AB ABDEB⊥∴∆∴∈=⋅==∴=======∴∠==∴分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是（Ⅱ）解：,,,FABEFEFEDABED=⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111111111111的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AEDAABBAAAKAABAAEDAKAAEDKAKAEKAAEABAAEDABAAEDAEDEDABAED∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数在R上单调递减xcy=.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为RcxxyRcxx-+=⇔>-+).,1[21,0(.1,,.21,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数ccQPcQPccRcxxcRcxxycxccxcxcxx20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为yx,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市O受到,)]([)()(22t ryyxx≤-+-,6010)(+=tt r台风的侵袭，则有即.)6010()0()0(222+≤-+-tyx22)22201027300()2220102300(tt⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤tttt解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设)10(≤≤==kDADCCDCFBCBE由此有E（2，4a k），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：①)12(2=-+ykax直线GE 的方程为：②02)12(=-+--a y x k a 从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a 整理得当时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.1)(21222=-+a a y x 212=a当时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。

2000年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2003年高考数学试题（全国文）及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）注意事项：1. . 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. . 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．答案，不能答在试题卷上．3. . 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：参考公式：三角函数的积化和差公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式正棱台、圆台的侧面积公式正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin b a b a b a -++=× l c c S )(21+¢=台侧其中其中c ¢、c 分别表示分别表示)]sin()[sin(21sin cos b a b a b a --+=× 上、下底面周长，上、下底面周长，l 表示斜高或母线长表示斜高或母线长. .)]cos()[cos(21cos cos b a b a b a -++=× 球体的体积公式：球体的体积公式：334R V p =球，其中R)]cos()[cos(21sin sin b a b a b a --+-=× 表示球的半径表示球的半径表示球的半径. . 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．直线2y x x =关于对称的直线方程为对称的直线方程为（）（A ）12y x =- （B ）12y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x p æöÎ-ç÷èø，54cos =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724- 3．抛物线2y a x =的准线方程是2,y a =则的值为的值为（）（A ）18（B ）18-（C ）8 （D ）8-4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（为（）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51 5．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F F M F Ð=°，则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（）（A ）3 （B ）62（C ）63（D ）336．设函数ïîïíì-=--2112)(xx f x00>£x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，¥+）（C ）（¥-，2-）È（0，¥+）（D ）（¥-，1-）È（1，¥+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg32（D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R j j p j =+££=是上的偶函数，则（）（A ）0 （B ）4p（C ）2p（D ）p9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（）（A ）2（B ）22- （C ）21- （D ）21+10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（，该圆柱的全面积为（）（A ）22R p （B ）249R p （C ）238R p （D ）252R p11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB夹角为q 的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）若40P P 与重合，则tg q = （）（A ）31 （B ）52 （C ）21（D ）1 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A ）p 3 （B ）p 4 （C ）p 33 （D ）p 62003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 13．不等式24x x x -<的解集是____________________. 14．92)21(xx -的展开式中9x 系数是系数是 ________ . 15．在平面几何里，有勾股定理：“设222,,A B C A B A C A B A C B C+= 的两边互相垂直则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A B C D-的三个侧面A B C A C 、、两两互相垂直，则______________________________________________.” 16．如图，一个地区分为5个行政区域，个行政区域，现给地图现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种_______________________（以数字作答）（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）分）已知正四棱柱111111112A B C D A B C D A B A A E C C F B D -==，，，点为中点，点为点中点（Ⅰ）证明11E F B D C C 为与的公垂线的公垂线（Ⅱ）求点1D D B DEE 到面的距离18．（本小题满分12分）分）已知复数z 的辐角为°60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z . 1919．．（本小题满分12分）分）已知数列{}n a 满足1111,3(2).n n n n a a a n --==+³（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）证明312nn a -=20．（本小题满分12分）分）已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；的最小正周期和最大值；()y f x =在（Ⅱ）在（Ⅱ）在给出给出的直角坐标系中，画出函数区间,22p p éù-êúëû上的图象21．（本小题满分12分）分）2 1 5 3 4 EDBACB D CAFMy O 2p2p-x 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南2(cos )10q q =方向西偏北°45方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？的侵袭？22．（本小题满分14分）分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADC CDCF BCBE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文）参考解答及评分标准说明：一. . 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. . 对计算题，对计算题，对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，当考生的解答在某一步出现错误时，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，O P A G D F E C B x y q O 北东y 线岸 O x Pr(t) P 45°海三. . 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四. . 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．]4,2( 14．221- 15．2222BCD ADB ACD ABC S S S S D D D D =++ 16．72 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点，中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ，∴四边形EFMC 是矩形是矩形 ∴EF ⊥CC 1又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1Ì面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线的公垂线（II ）解：连结ED 1，有V 由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ，则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF . ∵AA 1=2·AB=1. 22,2====\EF ED BE BD 23)2(2321,2222121=××==××=\D D DBC DBD S S 故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18．解：设z=2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数+2,r z z r z z ==+\由题设|2||||1|2-×=-z z z即)2)(2(||)1)(1(--=--z z z z z 42122+-=+-r rrr r12120122--=-==-+r r r r 解得（舍去）（舍去）即|z|=12-19．（I ）解∵1343,413,12321=+==+=\=a a a（II ）证明：由已知故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a aaaa a n n n nn+-++-+-=---.2)n s(22（Ⅱ）由（Ⅰ）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83p -8p-8p83p85py1 21-1 21+1 ]p p ）台风中心),(y x P ïíì´+´=´-´=22102722102t y t x ))y x -))--y x 22102722102´+´´-´t t的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(££===k k DADC CDCF BCBE ，由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ， ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a . ②从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a ，整理得1)(21222=-+aa y x . 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212¹a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值2. 当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ，），（的距离之和为定值a 2. 。

2002年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是A ．21 B ．23 C ．1 D ．32．复数3)2321(i +的值是 A ．－i B ．i C ．－1D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x xA ．}10|{<≤x xC ．{11|<<-x x }4．在（π2,0）内，使x x cos sin > A ．)45,()2,4(ππππ)5ππD ．)2,4(),4(π5},214|{},Z k k x x N ∈+==，则C ．N M ⊃D ．=N M ø6t ∈R ）上的点的最短距离为C ．2D ．2 7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是A ．43 B ．54 C ．53 D ．53-8．正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．函数)),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是A ．b ≥0B ．b ≤0C ．b>0D ．b<010．函数111--=x y 的图象是 ABC D11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种 12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为A ．115 000亿元B ．120 000亿元C ．127 000亿元D ．135 000亿元第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数a y =在[0，1]的最大值与最小值的和为3，则a= .14．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k = . 15．723项的系数是 .16函数221)(xxx f +=那么=++)41()4()1(f f f .分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．απααsin ).2,0(,12求∈=、αtg 的值.18．（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直. 点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=)20(<<a a .（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.19．（本小题满分12分）设点P 到点M （－１，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2.求m 的取值范围.20．（本小题满分12分）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?21．（本小题满分12分）设a 为实数，函数.,1||)(2R x a x x x f ∈+-+= （Ⅰ）讨论)(x f 的奇偶性；（Ⅱ）求)(x f 的最小值.22．（本小题满分14分）设数列{a n }满足,,3,2,1,121 =+-=+n na a a n n n4,并由此猜想出n a 的一个通项公式； 1≥n ，有.2111≤++na数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．2 14．1 15．1 008 16．27三、解答题 17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.满分12分.解：由倍角公式，1cos 22cos ,cos sin 22sin 2-==ααααα (2)分由原式得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα 0)1s i n s i n 2(c o s 222=-+⇔αααs i n 2(c o s 22⇔αα (8)分)2,0(πα∈ ，s i n ,01s i n 2,0c o s ,01s i n 2==-∴≠≠+∴αααα即 ,6πα=∴=∴αtg 12分18．本小题主要考查线面关系、P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得，MN=PQ. ……………3分，CB=AB=BE=1，22222)2()21()1(a a BQCP PQ MN +-=+-==∴)20(21)22(2<<+-=a a . (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ），,21)22(2+-=a MN 所以，当.22,22==MN a 时即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为.22 (9)分（Ⅲ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ AM=AN ，BM=BN ，G 为MN 的中点 ∴ AG ⊥MN ，BG ⊥MN ，∠AGB 即为二面角α的平面角，又AG=BG=46，所以，由余弦定理有.31464621)46()46(c o s 22-=⋅⋅-+=α故所求二面角)1arccos(-=α.……………12分19.满分12分.解法一：设点P 的坐标为（x ,y ）即.0,2≠±=x x y2分因此，点P （x ,y ）、M （－1，0） ||||||||=<-MN pN PM ||2||||||>=-m PN PM2|m|的双曲线上，故②…………6分……………8分,0512>-m解得55||0<<m .即m 的取值范围为).55,0()0,55( -……………12分解法二：设点P 的坐标为（x ,y ），依题设得2||||=x y ，即0,2≠±=x x y . ①…………2分由|PM|－|PN|=2m ，得,2)1()1(2222m yx yx =+--++ ②…………4分由②式可得,2)1()1(42222m yx yx x =+-+++所以，0||,21||2||2||≠=<m y x m 且.……………6分由②式移项，两边平方整理得.)1(222m x y x m -=+- 将①式代入，整理得)1()51(2222m m x m -=-.③…………8分且,02>x综上，得m 满足.55||0<<m即m 的取值范围为0()0,55( -20．本小题主要考查为数列、决实际问题的能力.满分12分.解：设2001年末汽车保有量为b 辆，…，每年新增汽车x .94.0,30121x b b b +⨯==2分对于n >1，有94.01x b b n n +⨯=+ x b nn n06.094.0)94.094.11+⨯=++-.94.0n⨯ (6).3011=≤≤≤+b b b n n (8),06.0]94.0)06.030(06.0[lim 1x x x b n n n =⨯-+=-∞→∞n 06.0x . ……………10分因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即),3,2,1(60 =≤n b n .则6.3,6006.0≤≤x x 即（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.………12分21．本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查分类讨论的思想和逻辑思维能力.满分12分.解：（Ⅰ）当)(),(1||)()(,02x f x f x x x f a 此时函数时=+-+-=-=为偶函数. (2)分当,1||2)(,1)(,022++=-+=≠a a a f a a f a 时)()(),()(a f a f a f a f -≠-≠-.此时函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数. (4)分（Ⅱ）（i ）当.43)21(1)(,22++-=++-=≤a x a x x x f a x 函数时若],()(,21a x f a -∞≤在则函数上单调递减，从而，函数],()(a x f -∞在上的最小值为.1)(2+=a a f若21>a ，则函数],()(a x f -∞在).a ………7分（ii ）当a x ≥时，函数)(2=x x f 若).(),[)(,21a f a x f a +∞-≤在则函数若.1)(),[)(,212+=+∞->aa a x f a 在则函数10分综上，当)(,21x f a-≤函数时 .12+a 的最小值是.43+……………12分22．考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题,412,3,31222321=+-===+-a a a a a 得由na 的一个通项公式：)1(1≥+=x n a n………4分（Ⅱ）（i ）用数学归纳法证明： ①当213,11+=≥=a n ，不等式成立. (6)分②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么,31)2)(2(1)(1+≥+-++≥+-=+k k k k k a a a k k k也就是说，当.2)1(11++≥+=+k a k n k 时根据①和②，对于所有.2,1+≥≥n a n n 有……………10分（ii ）由及1)(1+-=+n a a a n n n （i ），对1)1(,211++-=≥--k a a a k k k k 有,121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a .1)1(2122211211-+=++++≥∴---a a a k k k k……………12分于是.2,21111111≥⋅+≤+-k a a k k∑∑∑===--=+≤+≤+=+++≤+nk nk nk k k ka a a a a12111111131212211121111111。

历年高考数学真题（全国卷整理版）

历年高考数学真题(全国卷整理版)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件 A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i2、已知集合A ＝{1.3.}，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0B 0或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2 BC D 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=，则cos2α=(A) （B）(D)（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

2003年山东高考数学高考数学出题人

2003年山东高考数学高考数学出题人葛军是2003年高考数学卷的命题人，而且当年的数学卷不仅在题量上很大，同时基础拿分题很少，不少参加过当年高考的人如今回忆坦言，很多题目在平时训练的时候连题型见都没见过。

后来的葛军也坦言，当年的数学题更加注重综合性，其实除了葛军在2003年出题了高考全国卷之外，2010年葛军参与了江苏数学卷的出题，创下了当年全省数学成绩的新低。

葛军，男，汉族，XX年XX月生，XX省XX市XX县人。

教育学博士，XX大学兼职教授、硕士生导师。

新课标高中数学（苏教版）教材编写组核心成员，中国数学奥林匹克高级教练。

曾任XX师范大学附属实验学校校长，XX师范大学教师教育学院副院长，现任XX师范大学附属中学校长，多次参与江苏高考数学卷命题，且因“试题难度大”而被称为“数学帝”。

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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种。

（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离19．（本小题满分12分）已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径D E KBC 1A 1B 1AFC G东O为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DA DC CD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。

22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试x数学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17．解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin .323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED=⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。